26.1 二次函数的概念【分层作业】- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 分层清晰，从概念梳理到中考应用梯度递进，适配新授课知识巩固与核心素养培养 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |前置作业|二次函数定义、一般形式|填空题梳理基础，培养抽象能力| |巩固性作业|识别、列解析式、求参数|选择+填空+解答，对接基础考点，强化推理意识| |拓展性作业|自变量取值范围、实际情境探究|含探究解答题，结合矩形面积等情境，发展模型观念| |中考链接|概念辨析、参数计算、实际应用|真题演练，衔接阶段测评，提升应用意识|

26.1 二次函数的概念【分层作业】 2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.巩固性作业 2 【题型1】二次函数的识别与定义 2 【题型2】根据实际问题列二次函数解析式 4 【题型3】根据二次函数定义求参数 6 三.拓展性作业 9 【题型4】二次函数自变量的取值范围 9 四.中考链接 15 五.自我评价 21 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 （1）只含有_______未知数，并且未知数的最高次数是_______的_______方程，叫做一元二次方程。 （2）一元二次方程的一般形式是（为常数，且_______）；其中_______是二次项，是二次项系数；是一次项；是__________。 （3）使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的________。 参考答案： （1）一个；；整式 （2）；；；常数项（3）根 二.巩固性作业 【题型1】二次函数的识别与定义 1．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列各式中，是的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义：形如（a、b、c为常数，且）的函数是二次函数，即可判断． 解：A、中的最高次数为1，不是二次函数，故选项不符合题意； B、未明确，不一定是二次函数，故选项不符合题意； C、是分式形式，不是二次函数，故选项不符合题意； D、将整理得，符合二次函数的定义，是二次函数，故选项符合题意． 2．（25-26九年级上·河南周口·期末）下列函数中，属于二次函数的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义， 根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数，逐一判断各选项即可． 解：选项A: 是一次函数，最高次数为1，不符合； 选项B:，是反比例函数，不符合； 选项C: 是二次函数，最高次数为2且，符合； 选项D: 是根式函数，不是多项式函数，不符合． 故选：C． 3．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）给出下列函数：①；②；③；④．其中是二次函数的有______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．根据二次函数的一般形式：形如（a，b，c为常数且），逐一判断即可解答． 解：①不是二次函数； ②是一次函数，不是二次函数； ③不是二次函数； ④是二次函数； 综上，是二次函数的有④， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）有下列函数： ①；②；③；④；⑤； 其中属于二次函数的是 ___________（填序号）． 【答案】②④ 【分析】根据二次函数的定义判断即可． 解：②y=；④y=﹣1符合二次函数的定义，属于二次函数； ①y=5x﹣4是一次函数，不属于二次函数； ③y=自变量的最高次数是3，不属于二次函数； ⑤y=的右边不是整式，不属于二次函数． 综上所述，其中属于二次函数的是②④． 故答案为：②④． 【点拨】此题主要考查了二次函数的定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 【题型2】根据实际问题列二次函数解析式 1．（25-26九年级上·河南新乡·期中）将进货价格为30元/个的商品按售价40元/个售出时，能卖出200个．已知该商品的售价每上涨1元，其销售量就减少6个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的应用． 根据利润每个利润销售量列出关系式即可． 解：售价上涨元后，每个利润为元， 销售量减少个，即为个， ∴利润． 故选：A． 2．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期中）2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比赛），设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为__________． 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数关系式；根据题意，每个队伍参加场比赛，列出函数关系式，即可求解． 解：设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为． 即． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查列函数解析式，根据月平均增长率问题，11月份产量为，12月份产量为，从而得到函数关系式． 解：依题意，月平均增长率为，则11月份化肥产量为，12月份化肥产量为， 故， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）用长的篱笆围成矩形圈养小兔，求矩形的面积与矩形的长之间的函数关系式． 解决方案：在这个问题中，因为矩形的长为，所以宽为________． 因为矩形的面积为， 所以与之间的函数关系式为________，整理为________． 【答案】 【分析】（1）由矩形的周长求解； （2）由矩形的面积公式求解． 解：宽， 面积，． 故答案为：，， 【点拨】本题考查矩形的性质，列函数解析式；由矩形的性质得到等量关系是解题的关键． 【题型3】根据二次函数定义求参数 1．（25-26九年级上·云南昭通·期末）若是二次函数，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的定义，二次函数的一般形式为（），根据定义列出关于的方程与不等式，进而求解的值． 解：∵函数是二次函数， ∴，且． 由，得，解得或． 又∵，即， ∴． 故选：A． 2．（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）若是关于的二次函数，则的值为（　　） A．0 B．0或3 C．3 D．0或 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的函数是二次函数，据此可得，解之可得答案． 解：∵是关于的二次函数， ∴， 解得，， 故选：D． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知两个变量，之间的关系式为 （1）当__________时，，之间是二次函数关系． （2）当__________时，，之间是一次函数关系． 【答案】 ， 【分析】根据二次函数与一次函数的定义，分别对二次项系数和一次项系数列条件不等式求解，即可得到和的取值． 解：（1）根据二次函数的定义，二次函数的二次项系数不为， 因此 ， 解得． （2）根据一次函数的定义，一次函数的二次项系数为且一次项系数不为， 因此 ， 解得且． 4．（2026九年级上·江苏泰州·专题练习）若是关于的二次函数，则_______． 【答案】1 【分析】本题考查二次函数的定义，解一元二次方程，掌握好二次函数的概念是解题关键． 根据二次函数的定义，函数中必须存在二次项且其系数不为零，因此令指数部分等于2，解方程并验证系数是否非零． 解：由题意，函数是关于的二次函数，则的最高次数为 2，且二次项系数不为零． 令，得方程， 因式分解，得 ， 解得，或， 当时，二次项系数 ，不符合二次函数定义； 当时，二次项系数 ，符合要求． 故答案为：1． 三.拓展性作业 【题型4】二次函数自变量的取值范围 1．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期中）关于x的函数，甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？ 【答案】解：乙的说法对，理由如下： ， ∵， ∴， ∴无论取何值，， ∴此函数一定是二次函数，即乙的说法对． 【分析】本题考查了二次函数的定义，配方法的应用，将配方得出，从而得出无论取何值，，结合二次函数的定义即可得解． 解：略 2．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，有长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为米，面积为． （1）求与的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）如果要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 【答案】（1）；；（2）围成面积为的花圃，的长为米 【分析】本题考查了一元二次方程，二次函数的综合应用； （1）可先用篱笆的长表示出的长，然后根据矩形的面积长宽，得出与的函数关系式； （2）根据（1）的函数关系式，将代入其中，求出的值即可． （1）解：依题意得，， ∴， ∵墙的最大可用长度为10米， ∴，即，解得：， ∴x的取值范围是：； （2）当时，，解得：，， ∵， ∴，即， ∴要围成面积为的花圃，的长为米． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键．由题意分析出每件商品的盈利为：元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，再化简，进一步求解的范围即可． 解：由题意得：每件商品的盈利为：元， 所以： ， ∵且， ∴． 故答案为：， 4．（2025九年级·全国·专题练习）下列各式中，哪些一定是y关于x的二次函数？哪些一定不是y关于x的二次函数？对于有可能是y关于x的二次函数的，请补充条件使它一定是y关于x的二次函数． ①； ②； ③； ④（k为常数）． 【答案】一定是y关于x的二次函数的是①④；一定不是y关于x的二次函数的是②；有可能是y关于x的二次函数的是③，当，a，b，c为常数时，③一定是y关于x的二次函数． 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解决本题的关键． 根据二次函数的定义去进行解答即可． 解：由题意可知： ①根据二次函数的定义可知是二次函数； ②将函数展开合并，得，所以一定不是二次函数； ③当，，为常数且时，函数才是二次函数； ④由二次函数的定义可知是二次函数； 综上所述，一定是关于的二次函数的是①④；一定不是关于的二次函数的是②；有可能是关于的二次函数的是③，当，为常数时，③一定是关于的二次函数． 5．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图所示，一个矩形的长为，宽为，如果将这个矩形的长与宽都增加，那么这个矩形的面积增加 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）这个函数是二次函数吗？为什么？ （3）求自变量的取值范围． 【答案】（1）；（2）是二次函数；理由： ∵一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数， ∴是二次函数； （3） 【分析】本题考查的是二次函数的应用，以及二次函数的定义，熟知一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数是解题的关键． （1）根据题意，算出原来矩形的面积，再算边长增加后的面积，然后列出y与x的函数关系式； （2）结合（1）得到的函数关系式，根据所学过的函数表达式即可判断； （3）因为边长的增加量是非负数，即可写出x的取值范围． （1）解：∵矩形的长为，宽为， ∴矩形的面积． ∵矩形的长与宽都增加， ∴增加后矩形的面积， ∴，即， 故y与x之间的函数关系式为． （2）略 （3）解：∵x为矩形增加的长与宽， ∴自变量x的取值范围为． 6．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，用长为的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃． （1）设矩形的一边为，面积为，求关于的函数关系式； （2）上述函数是什么函数？ （3）并写出自变量的取值范围； （4）当时，所围苗圃的面积是多少？ 【答案】（1）；（2）二次函数；（3）；（4） 【分析】本题考查二次函数的应用， （1）篱笆只有两边，且其和为18，设一边为，则另一边为，根据公式表示面积求解即可； （2）根据二次函数定义可得答案； （3）根据实际意义，矩形边长应大于0，列不等式组求解即可； （4）把代入解析式计算即可． （1）解：由已知，矩形的另一边长为， 则； 即； （2）解：是二次函数； （3）解：根据实际意义，得， 解得：． ∴自变量的取值范围为 （4）解：把代入，得 ， 答：当时，所围苗圃的面积是． 四.中考链接 一、单选题 1．（25-26九年级上·上海浦东新·模拟）下列函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的识别，根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数，逐项分析判断即可． 解：∵二次函数需满足最高次项为且系数不为0， A.，最高次项为，不是二次函数，不符合题意； B.，若，则，不是二次函数，不符合题意； C. ，∵，∴，恒满足二次函数定义，符合题意； D.，若，则，不是二次函数，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25九年级上·甘肃定西·模拟）若关于x的函数是二次函数，则m的值为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数定义：形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．根据二次函数的定义得出且，求出m即可． 解：∵关于x的函数是二次函数， ∴且， 解得：． 故选：B． 3．（2026·山东菏泽·一模）若二次函数经过原点，则的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．无法确定 【答案】B 【分析】此题考查二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，注意二次函数的二次项系数不能为0，这是容易出错的地方． 由题意二次函数的解析式为：知，则，再根据二次函数的图象经过原点，把代入二次函数，解出的值． 解：二次函数的解析式为：， ∴， ， 二次函数的图象经过原点， ， 或， ∵， ． 故选：B． 二、填空题 4．（2025·湖南永州·模拟预测）二次函数的一次项系数是_____． 【答案】9 【分析】本题考查二次函数的一般形式、多项式的乘法运算法则，先进行多项式的乘法运算，再合并同类项化成一般形式即可． 解：， ， ∴一次项系数是9， 故答案为：9． 5．（25-26九年级上·青海西宁·模拟）已知是二次函数，则实数______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义可得且，即可求解． 解：∵是二次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 6．（2026·上海长宁·一模）在下列给定的关于的函数中：①，②，③，④，一定是二次函数的是___________．（填写序号） 【答案】① 【分析】本题考查二次函数的判断，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，需满足整式且的最高次数为2，据此解答即可． 解：①，其中，是二次函数； ②，可能为0，不一定是二次函数； ③，为一次函数，不是二次函数； ④，是分式函数，不是二次函数． 故答案为：①． 三、解答题 7．（2026·云南曲靖·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（常数）的图像经过坐标原点． （1）求的值； （2）若点与在二次函数（常数）的图像上，设．求的值． 【答案】（1）；（2）或或 【分析】（1）把原点的坐标代入解析式即可求出的值； （2）把点与的坐标代入二次函数中，可得：或，从而可得：或或，分情况代入求值即可． （1）解：二次函数（常数）的图像经过坐标原点， ， 解得：； （2）解：由（1）可知二次函数的解析式为 点与在二次函数, 可得：， 可得：， 整理得：， 可得：， 或， 可得：， 整理得：， 当时， 可得：， 二次函数的图象过点， 可得：， 解得：或， 当时， 可得：； 当时， 可得：； 当时， 可得：； 综上所述，或或． 8．（2025·全国·一模）如图，用长为24米的篱笆围成一面靠墙（足够长）的矩形菜地，中间用篱笆分隔为两个小矩形（平行于墙面方向分隔）： （1）设垂直于墙的边长为x米，求菜地总面积S与x的函数关系式； （2）结合二次函数性质，求S的最大值； （3）（变式）若分隔篱笆长度为x米，其他条件不变，重新建立S与x的关系式，并分析最值变化． 【答案】（1）；（2）36平方米；（3），最大面积没有发生变化 【分析】本题主要考查了列函数关系式、二次函数的面积问题、配方法的应用等知识点，掌握数形结合思路并灵活运用相关知识是解题的关键． （1）设垂直于墙的边长为x米，则菜地的平行于墙的边的长为，即；再根据长方形的面积公式即可解答； （2）直接运用配方法求最值即可； （3）若分隔篱笆长度为x米，则垂直于墙的边长为，即米，，然后根据题意列出函数关系式并求最值，然后再比较即可． （1）解：由垂直于围墙的边长为x米， 则平行于围墙的边长为，即米， 所以菜地面积S与x的函数关系式为：，即． （2）解：∵，， ∴当时，菜地的最大面积为36平方米． （3）解：若分隔篱笆长度为x米， 则垂直于围墙的边长为，即米，， 所以菜地面积S与x的函数关系式为，即． 所以当时，菜地的最大面积为36平方米，最大面积没有发生变化． 五.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 巩固性作业 □顺利 □有困难 拓展性作业 □顺利 □有困难 探究性作业 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.1 二次函数的概念【分层作业】 2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.巩固性作业 2 【题型1】二次函数的识别与定义 2 【题型2】根据实际问题列二次函数解析式 4 【题型3】根据二次函数定义求参数 6 三.拓展性作业 9 【题型4】二次函数自变量的取值范围 9 四.中考链接 15 五.自我评价 21 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 （1）只含有_______未知数，并且未知数的最高次数是_______的_______方程，叫做一元二次方程。 （2）一元二次方程的一般形式是（为常数，且_______）；其中_______是二次项，是二次项系数；是一次项；是__________。 （3）使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的________。 二.巩固性作业 【题型1】二次函数的识别与定义 1．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列各式中，是的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河南周口·期末）下列函数中，属于二次函数的是 （    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）给出下列函数：①；②；③；④．其中是二次函数的有______． 4．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）有下列函数： ①；②；③；④；⑤； 其中属于二次函数的是 ___________（填序号）． 【题型2】根据实际问题列二次函数解析式 1．（25-26九年级上·河南新乡·期中）将进货价格为30元/个的商品按售价40元/个售出时，能卖出200个．已知该商品的售价每上涨1元，其销售量就减少6个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期中）2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比赛），设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为__________． 3．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）用长的篱笆围成矩形圈养小兔，求矩形的面积与矩形的长之间的函数关系式． 解决方案：在这个问题中，因为矩形的长为，所以宽为________． 因为矩形的面积为， 所以与之间的函数关系式为________，整理为________． 【题型3】根据二次函数定义求参数 1．（25-26九年级上·云南昭通·期末）若是二次函数，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 2．（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）若是关于的二次函数，则的值为（　　） A．0 B．0或3 C．3 D．0或 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知两个变量，之间的关系式为 （1）当__________时，，之间是二次函数关系． （2）当__________时，，之间是一次函数关系． 4．（2026九年级上·江苏泰州·专题练习）若是关于的二次函数，则_______． 三.拓展性作业 【题型4】二次函数自变量的取值范围 1．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期中）关于x的函数，甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？ 2．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，有长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为米，面积为． （1）求与的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）如果要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 3．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 4．（2025九年级·全国·专题练习）下列各式中，哪些一定是y关于x的二次函数？哪些一定不是y关于x的二次函数？对于有可能是y关于x的二次函数的，请补充条件使它一定是y关于x的二次函数． ①； ②； ③； ④（k为常数）． 5．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图所示，一个矩形的长为，宽为，如果将这个矩形的长与宽都增加，那么这个矩形的面积增加 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）这个函数是二次函数吗？为什么？ （3）求自变量的取值范围． 6．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，用长为的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃． （1）设矩形的一边为，面积为，求关于的函数关系式； （2）上述函数是什么函数？ （3）并写出自变量的取值范围； （4）当时，所围苗圃的面积是多少？ 四.中考链接 一、单选题 1．（25-26九年级上·上海浦模拟）下列函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·甘肃定西·模拟）若关于x的函数是二次函数，则m的值为（   ） A．2 B． C． D．4 3．（2026·山东菏泽·一模）若二次函数经过原点，则的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．无法确定 二、填空题 4．（2025·湖南永州·模拟预测）二次函数的一次项系数是_____． 5．（25-26九年级上·青海西宁·模拟）已知是二次函数，则实数______． 6．（2026·上海长宁·一模）在下列给定的关于的函数中：①，②，③，④，一定是二次函数的是___________．（填写序号） 三、解答题 7．（2026·云南曲靖·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（常数）的图像经过坐标原点． （1）求的值； （2）若点与在二次函数（常数）的图像上，设．求的值． 8．（2025·全国·一模）如图，用长为24米的篱笆围成一面靠墙（足够长）的矩形菜地，中间用篱笆分隔为两个小矩形（平行于墙面方向分隔）： （1）设垂直于墙的边长为x米，求菜地总面积S与x的函数关系式； （2）结合二次函数性质，求S的最大值； （3）（变式）若分隔篱笆长度为x米，其他条件不变，重新建立S与x的关系式，并分析最值变化． 五.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 巩固性作业 □顺利 □有困难 拓展性作业 □顺利 □有困难 探究性作业 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $