26.1《二次函数的概念》分层作业（基础过关+进阶思维+中考链接）2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 分层递进式设计，覆盖二次函数概念核心考点，从基础定义到综合应用再到中考衔接，强化数学抽象与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|二次函数定义、系数识别、简单实际问题（面积/增长率/利润）|单一知识点直接应用，如判断函数类型、识别系数、基础面积问题| |进阶思维题|综合定义判断、参数综合应用、复杂实际问题（含限制条件）、动态几何|多知识点结合，如含绝对值参数问题、靠墙矩形面积（自变量范围）、动态三角形面积| |中考链接题|中考高频考点（定义、系数、实际问题模型）|真题再现，强化考点与测评衔接，如利润问题、增长率问题中考题型|

人教版九年级上册 第26章 二次函数 26.1二次函数的概念 本节知识点总结 1. 二次函数的定义：形如 是常数，的函数，叫做二次函数。 2. 相关概念： x是自变量； a是二次项系数； b是一次项系数； c是常数项。 3. 判断二次函数的三个条件： ① 函数表达式是整式； ② 自变量的最高次数是2； ③ 二次项系数不为0。 4. 根据实际问题列二次函数解析式的步骤： ① 审清题意，找出等量关系； ② 设自变量和因变量； ③ 根据等量关系列出函数解析式； ④ 注意自变量的取值范围。 5. 常见实际问题类型：面积问题、增长率问题、利润问题、几何图形问题等。 6. 二次函数定义的应用：利用"最高次数为2"和"二次项系数不为0"求参数的值。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 判断二次函数 1．（2024秋·北京朝阳·单元测）下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y = 2x + 1 B．y = 2/x C．y = x² + 1 D．y = (x - 1)² - x² 2．（2024-2025九年级上·上海闵行·期中）下列函数中，属于二次函数的有（　　） ① y = 3x² - 1 ② y = ax² + bx + c ③ y = (x + 2)² - x² ④ y = x² + A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024秋·广东广州·月考）若函数y = (m - 2)x² + 3x - 1是二次函数，则m的取值范围是（　　） A．m ≠ 0 B．m ≠ 2 C．m > 2 D．m = 2 4．（2024-2025九年级上·江苏苏州·单元测）下列函数关系中，是二次函数关系的是（　　） A．圆的周长C与半径r的关系 B．正方形的面积S与边长a的关系 C．矩形的长一定时，面积S与宽b的关系 D．速度一定时，路程s与时间t的关系 题型02 二次函数各项系数的识别 5．（2024秋·浙江杭州·期中）二次函数y = 3x² - 2x + 5的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，-2，5 B．3，2，5 C．3，-2，-5 D．-3，2，5 6．（2024-2025九年级上·山东济南·月考）将函数y = 2x(x - 1) + 3化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，-2，3 B．2，2，3 C．2，-1，3 D．2，1，3 7．（2024秋·湖北武汉·期末）函数y = (x + 1)(x - 2)的二次项是________，一次项系数是________，常数项是________。 题型03 根据实际问题列二次函数解析式（面积问题） 8．（2024-2025九年级上·湖南长沙·期中）一个正方形的边长为x cm，它的面积y（cm²）与边长x的函数关系式是（　　） A．y = 4x B．y = x² C．y = 2x² D．y = x/2 9．（2024秋·河南郑州·月考）用一根长为20cm的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为x cm，面积为y cm²，则y与x的函数关系式为（　　） A．y = x(20 - x) B．y = x(10 - x) C．y = x(20 - 2x) D．y = 2x(10 - x) 10．（2024-2025九年级上·河北石家庄·期末）在一块长为30m、宽为20m的矩形草地上，修建两条宽为x m的互相垂直的小路，余下的草地面积为y m²，则y与x的函数关系式为________。 题型04 根据实际问题列二次函数解析式（增长率问题） 11．（2024秋·陕西西安·单元测）某工厂一月份的产值为100万元，每月的增长率为x，则三月份的产值y（万元）与x的函数关系式为（　　） A．y = 100(1 + x) B．y = 100(1 + x)² C．y = 100 + 2x D．y = 100x² 12．（2024-2025九年级上·辽宁沈阳·期中）某商品原价为50元，连续两次降价，每次降价的百分率为x，降价后的价格为y元，则y与x的函数关系式为________。 13．（2024秋·重庆渝中·月考）某银行的一年期存款利率为x，某人存入10000元，一年后将本息和再存入一年，两年后本息和为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y = 10000(1 + x) B．y = 10000(1 + 2x) C．y = 10000(1 + x)² D．y = 10000x² 题型05 根据实际问题列二次函数解析式（利润问题） 14．（2024-2025九年级上·天津南开·期末）某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件。设销售单价为x元（x ≥ 30），半个月内获得的利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y = (x - 20)(400 - 20x) B．y = (x - 20)[400 - 20(x - 30)] C．y = x(400 - 20x) D．y = (x - 30)(400 - 20x) 15．（2024秋·四川成都·期中）某商品每件进价为40元，售价为60元时，每天可卖出200件。经市场调查发现，每件商品每涨价1元，每天就少卖出10件。设每件商品涨价x元，每天的销售利润为y元，则y与x的函数关系式为________。 16．（2024-2025九年级上·安徽合肥·月考）某水果店销售某种水果，每千克成本为10元，售价为15元时，每天可售出100千克。经调查发现，每千克每降价1元，每天可多售出50千克。设每千克降价x元（0 ≤ x ≤ 5），每天的利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y = (15 - x)(100 + 50x) B．y = (15 - x - 10)(100 + 50x) C．y = (5 - x)(100 + 50x) D．B和C都对 题型06 二次函数定义的应用（求参数值） 17．（2024秋·福建福州·单元测）若函数y = (m - 3)x(m²-7) + 2x - 1是二次函数，则m的值为（　　） A．3 B．-3 C．±3 D．0 18．（2024-2025九年级上·江西南昌·期中）已知函数y = (k + 1)x² + 2x - 1是二次函数，则k的取值范围是________。 19．（2024秋·山东青岛·月考）若函数y = (m - 1)x^(m²+1) + 3x是二次函数，求m的值。 20．（2024-2025九年级上·江苏南京·期末）已知函数y = (m² - m)x² + mx - 2。 （1）当m为何值时，该函数是二次函数？ （2）当m为何值时，该函数是一次函数？ 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025九年级上·广东深圳·期末）下列函数中，一定是二次函数的是（　　） A．y = ax² + bx + c B．y = x² + 2x - 1/x C．y = 2x² + 3x - 5 D．y = x³ + 2x² 2．（2024秋·浙江宁波·期末）已知y = (m + 2)x|m| + 3x - 1是二次函数，则m的值为（　　） A．2 B．-2 C．±2 D．0 3．（2024-2025九年级上·湖北武汉·期末）圆的面积S与半径r之间的关系是S = πr²，下列说法正确的是（　　） A．S、π、r都是变量 B．只有r是变量 C．S和r是变量，π是常量 D．S和π是变量，r是常量 4．（2024秋·山东济南·期末）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价。若每件商品售价为x元，则可卖出(350 - 10x)件。设商店赚的钱为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y = x(350 - 10x) B．y = (x - 21)(350 - 10x) C．y = 21(350 - 10x) D．y = (x - 21)(10x - 350) 5．（2024-2025九年级上·四川成都·期末）用长度为24m的材料围成一个矩形的养鸡场，一边靠墙（墙足够长），设与墙垂直的一边长为x m，养鸡场的面积为y m²，则y与x的函数关系式为（　　） A．y = x(24 - x) B．y = x(24 - 2x) C．y = x(12 - x) D．y = 2x(12 - x) 6．（2024秋·河北唐山·期末）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件。已知商品的进价为每件40元，设每件涨价x元，每星期的利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y = (60 + x)(300 - 10x) B．y = (20 + x)(300 - 10x) C．y = (60 + x - 40)(300 + 10x) D．y = (60 - 40 - x)(300 - 10x) （二）填空题 7．（2024-2025九年级上·重庆沙坪坝·期末）若函数y = (m + 2)x(m²+m) + 3x是二次函数，则m = ________。 8．（2024秋·天津和平·期末）已知二次函数y = ax² + bx + c，当x = 1时，y = 0；当x = 0时，y = -3；当x = 2时，y = 5。则这个二次函数的二次项系数a = ________，一次项系数b = ________，常数项c = _______。 9．（2024-2025九年级上·江苏苏州·期末）将函数y = (x + 1)(x - 2) + 3x化为一般形式后，二次项系数与一次项系数的和为_______。 10．（2024秋·山东青岛·期末）圆柱的高为定值h，设底面半径为r，圆柱的体积为V，则V与r的函数关系式为________。（圆柱体积公式：V = πr²h） 11．（2024-2025九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数y = x² + bx + c的图象经过点(1, 0)和(3, 0)，则b + c的值为________。 （三）解答题 12．（2024秋·安徽合肥·期末）已知函数y = (m - 3)x(m²-7) + 2x + 1。 （1）当m为何值时，该函数是二次函数？ （2）当m为何值时，该函数是一次函数？ 13．（2024-2025九年级上·福建福州·期末）用长为60m的篱笆围成一个矩形菜园，一边靠墙（墙长为30m），设垂直于墙的一边长为x m，菜园的面积为y m²。 （1）求y与x的函数关系式； （2）求自变量x的取值范围。 14．（2024秋·江西南昌·期末）某商店销售一种商品，每件成本为8元，销售单价为10元时，每天可售出100件。根据市场调查，销售单价每提高1元，每天的销售量就减少10件。设销售单价为x元（x ≥ 10），每天的销售利润为y元。 （1）求y与x的函数关系式； （2）当销售单价为13元时，每天的利润是多少？ 15．（2024-2025九年级上·北京海淀·期末）在△ABC中，∠C = 90°，AC = 6cm，BC = 8cm，点P从点A出发沿AC边向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动。若P、Q分别从A、C同时出发，设移动时间为t秒（0 < t < 4），△PCQ的面积为S cm²。 （1）求S与t的函数关系式； （2）当t = 2时，求△PCQ的面积。 三、中考链接题 1．（2024·四川成都·中考）下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y = 2x + 1 B．y = 2/x C．y = x² + 2 D．y = 2x 2．（2024·江苏苏州·中考）若二次函数y = ax² + bx + c的图象经过点(0, -1)，则c的值为（　　） A．-1 B．0 C．1 D．2 3．（2024·浙江杭州·中考）已知二次函数y = x² + bx + 3的图象经过点(1, 0)，则b的值为（　　） A．-4 B．-3 C．3 D．4 4．（2024·山东济南·中考）某商店销售一种商品，每件的进价为5元，售价为10元时，每天可售出100件。经市场调查发现，每件商品每涨价1元，每天的销售量就减少10件。设每件商品涨价x元，每天的销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y = (10 + x)(100 - 10x) B．y = (5 + x)(100 - 10x) C．y = (10 - 5 - x)(100 - 10x) D．y = (10 + x - 5)(100 + 10x) 5．（2024·湖北武汉·中考）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，设垂直于墙的边长为x m，菜园的面积为y m²，则y与x的函数关系式为（　　） A．y = x(30 - x) B．y = x(30 - 2x) C．y = x(15 - x) D．y = 2x(15 - x) 6．（2024·陕西·中考）下列函数中，y是x的二次函数的是（　　） A．y = 2x - 1 B．y = C．y = x² + 1 D．y = (x - 1)² - x² 7．（2024·重庆·中考）已知二次函数y = ax² + bx + c的图象经过点(-1, 0)和(3, 0)，则方程ax² + bx + c = 0的解为（　　） A．x₁ = -1，x₂ = 3 B．x₁ = 1，x₂ = -3 C．x₁ = -1，x₂ = -3 D．x₁ = 1，x₂ = 3 8．（2024·广东·中考）某商品原价为100元，连续两次涨价，每次涨价的百分率为x，涨价后的价格为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y = 100(1 + x) B．y = 100(1 + x)² C．y = 100 + 2x D．y = 100x² 9．（2024·北京·中考）已知二次函数y = x² - 2x + 3，当x = 2时，y的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 10．（2024·上海·中考）下列函数中，属于二次函数的是（　　） A．y = 3x - 1 B．y = 3x² - 1 C．y = 3/x D．y = 3x³ - 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版九年级上册 第26章 二次函数 26.1二次函数的概念 本节知识点总结 1. 二次函数的定义：形如 是常数，的函数，叫做二次函数。 2. 相关概念： x是自变量； a是二次项系数； b是一次项系数； c是常数项。 3. 判断二次函数的三个条件： ① 函数表达式是整式； ② 自变量的最高次数是2； ③ 二次项系数不为0。 4. 根据实际问题列二次函数解析式的步骤： ① 审清题意，找出等量关系； ② 设自变量和因变量； ③ 根据等量关系列出函数解析式； ④ 注意自变量的取值范围。 5. 常见实际问题类型：面积问题、增长率问题、利润问题、几何图形问题等。 6. 二次函数定义的应用：利用"最高次数为2"和"二次项系数不为0"求参数的值。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 判断二次函数 1．（2024秋·北京朝阳·单元测）下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y = 2x + 1 B．y = 2/x C．y = x² + 1 D．y = (x - 1)² - x² 【答案】C 【分析】二次函数必须满足三个条件：①是整式函数；②自变量最高次数为2；③二次项系数不为0。 【详解】解： A. y = 2x + 1是一次函数，不是二次函数； B. y = ，不是整式函数； C. y = x² + 1是二次函数，二次项系数为1≠0； D. y = (x - 1)² - x² = x² - 2x + 1 - x² = -2x + 1，化简后是一次函数。 故选：C。 2．（2024-2025九年级上·上海闵行·期中）下列函数中，属于二次函数的有（　　） ① y = 3x² - 1 ② y = ax² + bx + c ③ y = (x + 2)² - x² ④ y = x² + A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】逐一判断，注意a可能为0的情况，以及化简后是否仍含二次项。 【详解】解： ① y = 3x² - 1是二次函数； ② 不一定，当a = 0时不是二次函数； ③ y = (x + 2)² - x² = x² + 4x + 4 - x² = 4x + 4，是一次函数； ④ y = x² + 不是整式函数。 只有①是二次函数。 故选：A。 3．（2024秋·广东广州·月考）若函数y = (m - 2)x² + 3x - 1是二次函数，则m的取值范围是（　　） A．m ≠ 0 B．m ≠ 2 C．m > 2 D．m = 2 【答案】B 【分析】二次函数要求二次项系数不为0。 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴二次项系数不为0，即m - 2 ≠ 0， ∴m ≠ 2。 故选：B。 4．（2024-2025九年级上·江苏苏州·单元测）下列函数关系中，是二次函数关系的是（　　） A．圆的周长C与半径r的关系 B．正方形的面积S与边长a的关系 C．矩形的长一定时，面积S与宽b的关系 D．速度一定时，路程s与时间t的关系 【答案】B 【分析】分别写出各选项的函数关系式，判断是否为二次函数。 【详解】解： A. C = 2πr，是一次函数； B. S = a²，是二次函数； C. S = ab（a为定值），是一次函数； D. s = vt（v为定值），是一次函数。 故选：B。 题型02 二次函数各项系数的识别 5．（2024秋·浙江杭州·期中）二次函数y = 3x² - 2x + 5的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，-2，5 B．3，2，5 C．3，-2，-5 D．-3，2，5 【答案】A 【分析】直接从一般形式y = ax² + bx + c中读取各项系数，注意符号。 【详解】解：在函数y = 3x² - 2x + 5中， 二次项系数a = 3， 一次项系数b = -2， 常数项c = 5。 故选：A。 6．（2024-2025九年级上·山东济南·月考）将函数y = 2x(x - 1) + 3化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，-2，3 B．2，2，3 C．2，-1，3 D．2，1，3 【答案】A 【分析】去括号、合并同类项化为一般形式。 【详解】解：y = 2x(x - 1) + 3， 去括号：y = 2x² - 2x + 3， ∴二次项系数为2，一次项系数为-2，常数项为3。 故选：A。 7．（2024秋·湖北武汉·期末）函数y = (x + 1)(x - 2)的二次项是___x²_____，一次项系数是____-1____，常数项是____-2____。 【答案】x²；-1；-2 【分析】展开化为一般形式。 【详解】解：y = (x + 1)(x - 2)， 展开：y = x² - 2x + x - 2， 合并：y = x² - x - 2。 ∴二次项是x²，一次项系数是-1，常数项是-2。 故答案为：x²；-1；-2。 题型03 根据实际问题列二次函数解析式（面积问题） 8．（2024-2025九年级上·湖南长沙·期中）一个正方形的边长为x cm，它的面积y（cm²）与边长x的函数关系式是（　　） A．y = 4x B．y = x² C．y = 2x² D．y = x/2 【答案】B 【分析】正方形面积 = 边长 × 边长。 【详解】解：正方形面积 = 边长 × 边长， 即y = x × x = x²。 故选：B。 9．（2024秋·河南郑州·月考）用一根长为20cm的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为x cm，面积为y cm²，则y与x的函数关系式为（　　） A．y = x(20 - x) B．y = x(10 - x) C．y = x(20 - 2x) D．y = 2x(10 - x) 【答案】B 【分析】矩形周长为20cm，一边长为x，则另一边长为(10 - x)。 【详解】解：矩形周长 = 20cm，一边长为x cm， 则另一边长 = (20 - 2x)/2 = 10 - x (cm)， 面积y = x(10 - x)。 故选：B。 10．（2024-2025九年级上·河北石家庄·期末）在一块长为30m、宽为20m的矩形草地上，修建两条宽为x m的互相垂直的小路，余下的草地面积为y m²，则y与x的函数关系式为____y = x² - 50x + 600____。 【答案】y = x² - 50x + 600 【分析】利用平移法，将小路移到边缘，草地变成一个长(30-x)、宽(20-x)的矩形。 【详解】解：将两条小路平移到边缘， 余下的草地拼成一个长为(30 - x)m、宽为(20 - x)m的矩形， ∴草地面积y = (30 - x)(20 - x)， 展开得：y = 600 - 30x - 20x + x² = x² - 50x + 600。 故答案为：y = x² - 50x + 600。 题型04 根据实际问题列二次函数解析式（增长率问题） 11．（2024秋·陕西西安·单元测）某工厂一月份的产值为100万元，每月的增长率为x，则三月份的产值y（万元）与x的函数关系式为（　　） A．y = 100(1 + x) B．y = 100(1 + x)² C．y = 100 + 2x D．y = 100x² 【答案】B 【分析】一月份产值100万，二月份为100(1+x)，三月份为100(1+x)²。 【详解】解：一月份产值为100万元， 二月份产值 = 100(1 + x) 万元， 三月份产值 = 100(1 + x)(1 + x) = 100(1 + x)² 万元， ∴y = 100(1 + x)²。 故选：B。 12．（2024-2025九年级上·辽宁沈阳·期中）某商品原价为50元，连续两次降价，每次降价的百分率为x，降价后的价格为y元，则y与x的函数关系式为___y = 50(1 - x)²_____。 【答案】y = 50(1 - x)² 【分析】连续两次降价，每次降价百分率为x。 【详解】解：原价50元， 第一次降价后价格 = 50(1 - x) 元， 第二次降价后价格 = 50(1 - x)(1 - x) = 50(1 - x)² 元， ∴y = 50(1 - x)²。 故答案为：y = 50(1 - x)²。 13．（2024秋·重庆渝中·月考）某银行的一年期存款利率为x，某人存入10000元，一年后将本息和再存入一年，两年后本息和为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y = 10000(1 + x) B．y = 10000(1 + 2x) C．y = 10000(1 + x)² D．y = 10000x² 【答案】C 【分析】复利计算，第一年本息和作为第二年的本金。 【详解】解：存入10000元，年利率为x， 一年后本息和 = 10000(1 + x) 元， 再存一年后本息和 = 10000(1 + x)(1 + x) = 10000(1 + x)² 元， ∴y = 10000(1 + x)²。 故选：C。 题型05 根据实际问题列二次函数解析式（利润问题） 14．（2024-2025九年级上·天津南开·期末）某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件。设销售单价为x元（x ≥ 30），半个月内获得的利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y = (x - 20)(400 - 20x) B．y = (x - 20)[400 - 20(x - 30)] C．y = x(400 - 20x) D．y = (x - 30)(400 - 20x) 【答案】B 【分析】每提高1元销量减20件，提高了(x-30)元，销量减少20(x-30)件。 【详解】解：销售单价为x元，比30元提高了(x - 30)元， 销售量减少20(x - 30) 件， ∴销售量 = 400 - 20(x - 30) 件， 每件利润 = (x - 20) 元， 总利润y = (x - 20)[400 - 20(x - 30)]。 故选：B。 15．（2024秋·四川成都·期中）某商品每件进价为40元，售价为60元时，每天可卖出200件。经市场调查发现，每件商品每涨价1元，每天就少卖出10件。设每件商品涨价x元，每天的销售利润为y元，则y与x的函数关系式为____y = -10x² + 4000____。 【答案】y = -10x² + 4000 【分析】每件利润 = 售价 - 进价 = (60+x-40)元，销量 = (200-10x)件。 【详解】解：每件商品涨价x元， 每件利润 = (60 + x - 40) = (20 + x) 元， 每天销售量 = (200 - 10x) 件， ∴每天销售利润y = (20 + x)(200 - 10x)， 展开得：y = 4000 - 200x + 200x - 10x² = -10x² + 4000。 故答案为：y = -10x² + 4000。 16．（2024-2025九年级上·安徽合肥·月考）某水果店销售某种水果，每千克成本为10元，售价为15元时，每天可售出100千克。经调查发现，每千克每降价1元，每天可多售出50千克。设每千克降价x元（0 ≤ x ≤ 5），每天的利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y = (15 - x)(100 + 50x) B．y = (15 - x - 10)(100 + 50x) C．y = (5 - x)(100 + 50x) D．B和C都对 【答案】D 【分析】每千克利润 = 售价 - 成本 = (15-x-10) = (5-x)元，销量 = (100+50x)千克。 【详解】解：每千克降价x元， 每千克利润 = (15 - x - 10) = (5 - x) 元， 每天销售量 = (100 + 50x) 千克， ∴每天利润y = (5 - x)(100 + 50x)， 也可以写成y = (15 - x - 10)(100 + 50x)。 B和C都正确。 故选：D。 题型06 二次函数定义的应用（求参数值） 17．（2024秋·福建福州·单元测）若函数y = (m - 3)x(m²-7) + 2x - 1是二次函数，则m的值为（　　） A．3 B．-3 C．±3 D．0 【答案】B 【分析】二次函数要求：自变量最高次数为2，且二次项系数不为0。 【详解】解：∵函数y = (m - 3)x(m²-7) + 2x - 1是二次函数， ∴m² - 7 = 2，且m - 3 ≠ 0， 由m² - 7 = 2得m² = 9，m = ±3， 由m - 3 ≠ 0得m ≠ 3， ∴m = -3。 故选：B。 18．（2024-2025九年级上·江西南昌·期中）已知函数y = (k + 1)x² + 2x - 1是二次函数，则k的取值范围是___k ≠ -1_____。 【答案】k ≠ -1 【分析】二次项系数不为0。 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴二次项系数不为0， 即k + 1 ≠ 0， ∴k ≠ -1。 故答案为：k ≠ -1。 19．（2024秋·山东青岛·月考）若函数y = (m - 1)x^(m²+1) + 3x是二次函数，求m的值。 【答案】m = -1 【分析】利用二次函数的定义：最高次数为2，二次项系数不为0。 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴m² + 1 = 2，且m - 1 ≠ 0， 由m² + 1 = 2得m² = 1，m = ±1， 由m - 1 ≠ 0得m ≠ 1， ∴m = -1。 ∴m的值为-1。 20．（2024-2025九年级上·江苏南京·期末）已知函数y = (m² - m)x² + mx - 2。 （1）当m为何值时，该函数是二次函数？ （2）当m为何值时，该函数是一次函数？ 【答案】（1）m ≠ 0且m ≠ 1；（2）m = 1 【分析】根据二次函数和一次函数的定义求解。 【详解】解：（1）当函数是二次函数时， 二次项系数不为0，即m² - m ≠ 0， m(m - 1) ≠ 0， ∴m ≠ 0且m ≠ 1。 （2）当函数是一次函数时， 二次项系数为0，且一次项系数不为0， 即m² - m = 0，且m ≠ 0， 由m² - m = 0得m(m - 1) = 0，m = 0或m = 1， 又m ≠ 0， ∴m = 1。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025九年级上·广东深圳·期末）下列函数中，一定是二次函数的是（　　） A．y = ax² + bx + c B．y = x² + 2x - 1/x C．y = 2x² + 3x - 5 D．y = x³ + 2x² 【答案】C 【分析】逐一判断，注意a可能为0、是否为整式函数、最高次数是否为2。 【详解】解： A. 不一定，当a = 0时不是二次函数； B. 含有1/x，不是整式函数； C. 是二次函数，二次项系数2≠0； D. 最高次数是3，是三次函数。 故选：C。 2．（2024秋·浙江宁波·期末）已知y = (m + 2)x|m| + 3x - 1是二次函数，则m的值为（　　） A．2 B．-2 C．±2 D．0 【答案】A 【分析】二次函数要求：最高次数为2，二次项系数不为0。 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴|m| = 2，且m + 2 ≠ 0， 由|m| = 2得m = ±2， 由m + 2 ≠ 0得m ≠ -2， ∴m = 2。 故选：A。 3．（2024-2025九年级上·湖北武汉·期末）圆的面积S与半径r之间的关系是S = πr²，下列说法正确的是（　　） A．S、π、r都是变量 B．只有r是变量 C．S和r是变量，π是常量 D．S和π是变量，r是常量 【答案】C 【分析】在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量。 【详解】解：在S = πr²中， S随着r的变化而变化，所以S和r是变量； π是一个固定不变的常数，所以π是常量。 故选：C。 4．（2024秋·山东济南·期末）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价。若每件商品售价为x元，则可卖出(350 - 10x)件。设商店赚的钱为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y = x(350 - 10x) B．y = (x - 21)(350 - 10x) C．y = 21(350 - 10x) D．y = (x - 21)(10x - 350) 【答案】B 【分析】总利润 = 每件利润 × 销售量，每件利润 = 售价 - 进价。 【详解】解：每件商品售价为x元，进价为21元， 每件利润 = (x - 21) 元， 销售量 = (350 - 10x) 件， ∴总利润y = (x - 21)(350 - 10x)。 故选：B。 5．（2024-2025九年级上·四川成都·期末）用长度为24m的材料围成一个矩形的养鸡场，一边靠墙（墙足够长），设与墙垂直的一边长为x m，养鸡场的面积为y m²，则y与x的函数关系式为（　　） A．y = x(24 - x) B．y = x(24 - 2x) C．y = x(12 - x) D．y = 2x(12 - x) 【答案】B 【分析】一边靠墙，所以只围三边，与墙平行的边长 = 24 - 2x。 【详解】解：与墙垂直的一边长为x m， 则与墙平行的一边长 = 24 - 2x (m)， 养鸡场面积y = x(24 - 2x)。 故选：B。 6．（2024秋·河北唐山·期末）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件。已知商品的进价为每件40元，设每件涨价x元，每星期的利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y = (60 + x)(300 - 10x) B．y = (20 + x)(300 - 10x) C．y = (60 + x - 40)(300 + 10x) D．y = (60 - 40 - x)(300 - 10x) 【答案】B 【分析】每件利润 = 售价 - 进价 = (60+x-40) = (20+x)元，销量 = (300-10x)件。 【详解】解：每件涨价x元， 每件利润 = (60 + x - 40) = (20 + x) 元， 每星期销售量 = (300 - 10x) 件， ∴每星期利润y = (20 + x)(300 - 10x)。 故选：B。 （二）填空题 7．（2024-2025九年级上·重庆沙坪坝·期末）若函数y = (m + 2)x(m²+m) + 3x是二次函数，则m = ___1_____。 【答案】1 【分析】二次函数要求自变量最高次数为2，且二次项系数不为0。 【详解】解：∵函数y = (m + 2)x(m²+m) + 3x是二次函数， ∴m² + m = 2，且m + 2 ≠ 0， 由m² + m = 2得m² + m - 2 = 0， 即(m + 2)(m - 1) = 0， 解得m = -2或m = 1， 由m + 2 ≠ 0得m ≠ -2， ∴m = 1。 故答案为：1。 8．（2024秋·天津和平·期末）已知二次函数y = ax² + bx + c，当x = 1时，y = 0；当x = 0时，y = -3；当x = 2时，y = 5。则这个二次函数的二次项系数a = ___1_____，一次项系数b = ____2____，常数项c = ____-3____。 【答案】1；2；-3 【分析】将三组对应值代入函数解析式，建立方程组求解各项系数。 【详解】解：将三组值分别代入y = ax² + bx + c： 当x = 0时，y = -3，得c = -3； 当x = 1时，y = 0，得a + b - 3 = 0，即a + b = 3 ①； 当x = 2时，y = 5，得4a + 2b - 3 = 5，即2a + b = 4 ②。 ② - ①得：a = 1， 将a = 1代入①得：1 + b = 3，b = 2。 ∴a = 1，b = 2，c = -3。 故答案为：1；2；-3。 9．（2024-2025九年级上·江苏苏州·期末）将函数y = (x + 1)(x - 2) + 3x化为一般形式后，二次项系数与一次项系数的和为__3_____。 【答案】3 【分析】先展开化为一般形式，再求系数和。 【详解】解：y = (x + 1)(x - 2) + 3x， 展开：y = x² - 2x + x - 2 + 3x， 合并：y = x² + 2x - 2。 二次项系数为1，一次项系数为2， 和为1 + 2 = 3。 故答案为：3。 10．（2024秋·山东青岛·期末）圆柱的高为定值h，设底面半径为r，圆柱的体积为V，则V与r的函数关系式为___V = πhr²_____。（圆柱体积公式：V = πr²h） 【答案】V = πhr² 【分析】圆柱体积 = 底面积 × 高，底面积 = πr²。 【详解】解：圆柱的高为定值h，底面半径为r， 底面积 = πr²， 体积V = 底面积 × 高 = πr² × h = πhr²。 故答案为：V = πhr²。 11．（2024-2025九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数y = x² + bx + c的图象经过点(1, 0)和(3, 0)，则b + c的值为____-1____。 【答案】-1 【分析】将点(1, 0)代入解析式，直接得到b + c的值。 【详解】解：∵函数图象经过点(1, 0)， ∴当x = 1时，y = 0， 即1 + b + c = 0， ∴b + c = -1。 故答案为：-1。 （三）解答题 12．（2024秋·安徽合肥·期末）已知函数y = (m - 3)x(m²-7) + 2x + 1。 （1）当m为何值时，该函数是二次函数？ （2）当m为何值时，该函数是一次函数？ 【答案】（1）m = -3；（2）m = 3或m = ±2√2 【分析】根据二次函数和一次函数的定义求解。 【详解】解：（1）当函数是二次函数时， 自变量最高次数为2，且二次项系数不为0， 即m² - 7 = 2，且m - 3 ≠ 0， 由m² - 7 = 2得m² = 9，m = ±3， 由m - 3 ≠ 0得m ≠ 3， ∴m = -3。 （2）当函数是一次函数时，有两种情况： 情况一：二次项系数为0，即m - 3 = 0，m = 3， 此时函数为y = 2x + 1，是一次函数； 情况二：最高次数为1，即m² - 7 = 1，m² = 8，m = ±2√2， 此时二次项系数m - 3 ≠ 0，函数为y = (m-3)x + 2x + 1 = (m-1)x + 1，是一次函数。 综上，m = 3或m = ±2√2时，函数是一次函数。 13．（2024-2025九年级上·福建福州·期末）用长为60m的篱笆围成一个矩形菜园，一边靠墙（墙长为30m），设垂直于墙的一边长为x m，菜园的面积为y m²。 （1）求y与x的函数关系式； （2）求自变量x的取值范围。 【答案】（1）y = -2x² + 60x；（2）15 ≤ x < 30 【分析】一边靠墙，篱笆围三边，平行于墙的边长 = 60 - 2x。 【详解】解：（1）垂直于墙的一边长为x m， 则平行于墙的一边长 = 60 - 2x (m)， 菜园面积y = x(60 - 2x) = -2x² + 60x。 （2）由题意得： ① 平行于墙的边长 > 0，即60 - 2x > 0，x < 30； ② 平行于墙的边长 ≤ 墙长，即60 - 2x ≤ 30，x ≥ 15； ③ x > 0。 综合得：15 ≤ x < 30。 14．（2024秋·江西南昌·期末）某商店销售一种商品，每件成本为8元，销售单价为10元时，每天可售出100件。根据市场调查，销售单价每提高1元，每天的销售量就减少10件。设销售单价为x元（x ≥ 10），每天的销售利润为y元。 （1）求y与x的函数关系式； （2）当销售单价为13元时，每天的利润是多少？ 【答案】（1）y = -10x² + 280x - 1600；（2）350元 【分析】每件利润 = x - 8，销量 = 100 - 10(x - 10)。 【详解】解：（1）销售单价为x元， 每件利润 = (x - 8) 元， 销售量 = 100 - 10(x - 10) = 100 - 10x + 100 = 200 - 10x (件)， ∴每天利润y = (x - 8)(200 - 10x)， 展开得：y = 200x - 10x² - 1600 + 80x = -10x² + 280x - 1600。 （2）当x = 13时， y = -10×13² + 280×13 - 1600 = -10×169 + 3640 - 1600 = -1690 + 3640 - 1600 = 350 (元)。 ∴当销售单价为13元时，每天的利润是350元。 15．（2024-2025九年级上·北京海淀·期末）在△ABC中，∠C = 90°，AC = 6cm，BC = 8cm，点P从点A出发沿AC边向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动。若P、Q分别从A、C同时出发，设移动时间为t秒（0 < t < 4），△PCQ的面积为S cm²。 （1）求S与t的函数关系式； （2）当t = 2时，求△PCQ的面积。 【答案】（1）S = -t² + 6t；（2）8 cm² 【分析】PC = 6 - t，CQ = 2t，利用直角三角形面积公式。 【详解】解：（1）由题意得： AP = t cm，PC = AC - AP = (6 - t) cm， CQ = 2t cm。 ∵∠C = 90°， ∴△PCQ的面积S = × PC × CQ = × (6 - t) × 2t = t(6 - t) = -t² + 6t。 （2）当t = 2时， S = -2² + 6×2 = -4 + 12 = 8 (cm²)。 ∴当t = 2时，△PCQ的面积为8 cm²。 三、中考链接题 1．（2024·四川成都·中考）下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y = 2x + 1 B．y = 2/x C．y = x² + 2 D．y = 2x 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断。 【详解】解： A. 是一次函数； B. 是反比例函数； C. 是二次函数； D. 是正比例函数（一次函数的特殊形式）。 故选：C。 2．（2024·江苏苏州·中考）若二次函数y = ax² + bx + c的图象经过点(0, -1)，则c的值为（　　） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】将x = 0代入函数解析式即可。 【详解】解：∵函数图象经过点(0, -1)， ∴当x = 0时，y = -1， 即c = -1。 故选：A。 3．（2024·浙江杭州·中考）已知二次函数y = x² + bx + 3的图象经过点(1, 0)，则b的值为（　　） A．-4 B．-3 C．3 D．4 【答案】A 【分析】将点(1, 0)代入解析式求解。 【详解】解：∵函数图象经过点(1, 0)， ∴当x = 1时，y = 0， 即1 + b + 3 = 0， b = -4。 故选：A。 4．（2024·山东济南·中考）某商店销售一种商品，每件的进价为5元，售价为10元时，每天可售出100件。经市场调查发现，每件商品每涨价1元，每天的销售量就减少10件。设每件商品涨价x元，每天的销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y = (10 + x)(100 - 10x) B．y = (5 + x)(100 - 10x) C．y = (10 - 5 - x)(100 - 10x) D．y = (10 + x - 5)(100 + 10x) 【答案】B 【分析】每件利润 = 售价 - 进价 = (10+x-5) = (5+x)元，销量 = (100-10x)件。 【详解】解：每件商品涨价x元， 每件利润 = (10 + x - 5) = (5 + x) 元， 每天销售量 = (100 - 10x) 件， ∴每天利润y = (5 + x)(100 - 10x)。 故选：B。 5．（2024·湖北武汉·中考）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，设垂直于墙的边长为x m，菜园的面积为y m²，则y与x的函数关系式为（　　） A．y = x(30 - x) B．y = x(30 - 2x) C．y = x(15 - x) D．y = 2x(15 - x) 【答案】B 【分析】一边靠墙，篱笆围三边，平行于墙的边长 = 30 - 2x。 【详解】解：垂直于墙的一边长为x m， 则平行于墙的一边长 = 30 - 2x (m)， 菜园面积y = x(30 - 2x)。 故选：B。 6．（2024·陕西·中考）下列函数中，y是x的二次函数的是（　　） A．y = 2x - 1 B．y = C．y = x² + 1 D．y = (x - 1)² - x² 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断。 【详解】解： A. 是一次函数； B. 不是整式函数； C. 是二次函数； D. 化简后y = x² - 2x + 1 - x² = -2x + 1，是一次函数。 故选：C。 7．（2024·重庆·中考）已知二次函数y = ax² + bx + c的图象经过点(-1, 0)和(3, 0)，则方程ax² + bx + c = 0的解为（　　） A．x₁ = -1，x₂ = 3 B．x₁ = 1，x₂ = -3 C．x₁ = -1，x₂ = -3 D．x₁ = 1，x₂ = 3 【答案】A 【分析】二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的解。 【详解】解：∵二次函数y = ax² + bx + c的图象经过点(-1, 0)和(3, 0)， 即当x = -1或x = 3时，y = 0， ∴方程ax² + bx + c = 0的解为x₁ = -1，x₂ = 3。 故选：A。 8．（2024·广东·中考）某商品原价为100元，连续两次涨价，每次涨价的百分率为x，涨价后的价格为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y = 100(1 + x) B．y = 100(1 + x)² C．y = 100 + 2x D．y = 100x² 【答案】B 【分析】连续两次涨价，每次涨价百分率为x。 【详解】解：原价100元， 第一次涨价后价格 = 100(1 + x) 元， 第二次涨价后价格 = 100(1 + x)(1 + x) = 100(1 + x)² 元， ∴y = 100(1 + x)²。 故选：B。 9．（2024·北京·中考）已知二次函数y = x² - 2x + 3，当x = 2时，y的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】将x = 2代入函数解析式计算。 【详解】解：当x = 2时， y = 2² - 2×2 + 3 = 4 - 4 + 3 = 3。 故选：B。 10．（2024·上海·中考）下列函数中，属于二次函数的是（　　） A．y = 3x - 1 B．y = 3x² - 1 C．y = 3/x D．y = 3x³ - 1 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义判断。 【详解】解： A. 是一次函数； B. 是二次函数； C. 是反比例函数； D. 是三次函数。 故选：B。 学科网（北京）股份有限公司 $