6.1 平均数与方差 同步练习 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、中档应用、提升拓展三层设计，实现从单一概念到综合决策的知识进阶，培养数据意识与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|众数、算术平均数定义|单选题1-2题直接考查概念，如求数据众数、简单平均数| |中档|加权平均数、方差计算|单选题6结合平均数与方差做决策，填空题12考查加权平均数权重| |提升|图表分析、样本估计总体|解答题20综合分析集中趋势与波动程度，解答题16用样本估计总体捐书量|

6.1 平均数与方差 同步练习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．有一组数据：1，2，2，2，3，4，4，这组数据的众数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．小丽同学某周每天的睡眠时间（单位：h）如下：8，9，7，9，7，8，8．小丽该周平均每天的睡眠时间为（    ） A．7h B．7.5h C．8h D．9h 3．一商场销售的某款裤子共有5种尺码，分别是、、、、．店主想通过调查每种尺码的销量来决定多进哪种尺码．下列指标中，店主最关心的指标是（     ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 4．已知一组数据：，，，，，，的众数是，则是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．若的平均数为4，的平均数为6，则的平均数为（    ） A．4.8 B．5 C．5.2 D．5.4 6．某校九年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数及方差，如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 202 214 205 214 方差 3.8 3.8 5.6 5.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．某校八年级开展“光影拾忆•母爱成诗”主题演讲比赛，前三名选手的比赛成绩如表： 选手 评分项目（单位：分） 故事内容 情感表达 演讲技巧 小芸 100 85 90 小琨 80 100 100 小龙 95 90 90 若“故事内容”“情感表达”和“演讲技巧”依次按的比例计算最终成绩，则本次比赛最终成绩最高的选手是（　　） A．小芸 B．小琨 C．小龙 D．三名选手最终成绩一样高 8．已知数据的平均数是，方差是，则的平均数和方差分别为（　　） A． B． C． D． 9．数学测试满分为150分．某校对期中测试成绩和期末测试成绩赋予不同的权，计算它们的平均数作为学期期末总评成绩．如图是张老师发明的计算期末总评成绩的算图，图中点在y轴上，m代表期中测试成绩，点在直线上，n代表期末测试成绩，直线与直线相交于点．根据以上对算图的描述，下列对点P的说法正确的是（   ） A．p，分别是期中成绩、期末成绩的权，相应的总评成绩为q B．，p分别是期中成绩、期末成绩的权，相应的总评成绩为q C．p，分别是期中成绩、期末成绩的权，相应的总评成绩为p D．，p分别是期中成绩、期末成绩的权，相应的总评成绩为p 10．甲、乙两家酒店规模相当，去年月的月盈利折线统计图如图所示．下列说法中，不正确的是（    ） A．甲酒店每月盈利呈现不断增长的趋势 B．乙酒店经营状况有可能很快超过甲酒店 C．甲酒店月盈利的平均数大于乙酒店月盈利的平均数 D．甲酒店月盈利的方差小于乙酒店月盈利的方差 二、填空题 11．若一组数据的平均数是5，则的值为_____． 12．一位求职者参加某公司的招聘，面试和笔试的成绩分别是86和90，公司给出他这两项测试的平均成绩为87.6，可知此次招聘中_____（填“面试”或“笔试”）的权重较大． 13．已知一组数据的方差，则_____． 14．数据12，13，14，16，x，已知平均数是14，则这组数据的标准差为______． 15．某班开展“节约每一滴水”活动，为了解开展活动一个月以来节约用水的情况，从全班40名同学中选取8名同学统计了各自家庭一个月节约用水情况如表，从中可以估计这40名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是_________． 节水量/ 0.1 0.2 0.3 0.4 家庭数/个 1 3 3 1 三、解答题 16．某单位750名职工积极参加向贫困地区学校捐书活动，为了解职工的捐书量，采用随机抽样的方法抽取30名职工作为样本，对他们的捐书量进行统计，统计结果共有4本、5本、6本、7本、8本五类，分别用A、B、C、D、E表示，根据统计数据绘制成了如图所示的不完整的条形统计图，由图中给出的信息解答下列问题： (1)补全条形统计图； (2)求这30名职工捐书本数的平均数； (3)估计该单位750名职工共捐书多少本？ 17．某校组织学生开展植树造林活动．为了解全校学生的植树情况，学校随机抽查了100名学生的植树情况，将调查数据整理如下表： 植树数量/棵 4 5 6 8 10 人数 30 22 25 15 8 （1）这100名学生平均每人植树多少棵？ （2）若该校共有1000名学生，请根据以上调查结果估计该校学生植树的总棵数． 18．甲、乙两名同学参加少年科技创新选拔赛，六次比赛的成绩如下： 甲：87  93  88  93  89  90 乙：85  90  90  96  89  a (1)若甲、乙的平均成绩相同，求a的值； (2)已知乙的方差是，如果要选派一名发挥稳定的同学参加比赛，应该选谁？说明理由． 19．甲、乙两名运动员在相同条件下进行了10次射击训练，成绩如下表： 靶次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲的成绩/环 6 7 6 8 7 6 8 6 9 7 乙的成绩/环 5 5 7 7 5 8 6 9 8 10 将成绩绘制成如下折线统计图： 根据上述图表可求甲、乙两名运动员的平均成绩均为7环，在此基础上解答下列问题： (1)若设甲、乙两运动员成绩的方差分别为，，则与的大小关系是___________（填“>”“<”或“=”）； (2)求甲运动员成绩的方差； (3)如果乙再射击1次，命中7环，那么乙射击成绩的方差将___________（填“变大”“变小”或“不变”） 20．甲、乙两名学生进行射击练习，在相同条件下各射击10次，结果如下： 命中的环数/环 5 6 7 8 9 10 甲命中次数 1 2 4 2 1 0 乙命中次数 1 4 2 1 1 1 (1)乙同学10次射击命中环数的众数是______环； (2)求甲同学10次射击命中环数的平均数和方差； (3)经过计算可知，乙同学10次射击的平均数是7环，方差是2.2．根据所学的统计知识，从数据的集中趋势和数据波动的大小这两个不同的角度来评价甲、乙两名学生的射击水平． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C D C B A C B D 1．【答案】B 【知识点】求众数 【分析】本题考查众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数据，只需统计各数据出现的次数，找出次数最多的即可． 【详解】∵在数据1，2，2，2，3，4，4中，1出现1次，2出现3次，3出现1次，4出现2次， ∴出现次数最多的数是2， ∴这组数据的众数是2． 故选：B． 2．【答案】C 【知识点】求一组数据的平均数 【分析】此题考查了算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数． 根据算术平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：小丽该周平均每天的睡眠时间为：， 故选：C． 3．【答案】C 【知识点】运用众数做决策 【详解】店主最关注的是哪种尺码销量最高，即哪一尺码在销售数据中出现次数最多， 又众数是一组数据中出现次数最多的数据，平均数反映数据平均水平， 中位数反映数据中间水平，方差反映数据波动程度，后三者均不符合店主需求， 所以店主最关心的指标是众数． 4．【答案】D 【知识点】 利用众数求未知数据的值 【分析】本题考查了众数的定义，根据众数是一组数据中出现次数最多的数值，有时众数在一组数中有好几个，但是有时也可能没有众数即可解答． 【详解】解：根据题意得：在中2出现的次数最多， 则， 故选：D． 5．【答案】C 【知识点】 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【分析】本题考查了平均数（利用已知的平均数求相关数据的平均数），熟练掌握平均数的定义是解题的关键：一般地，对于个数，，，，，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数．由平均数的定义可得，，则，，，，的平均数为，由此即可得出答案． 【详解】解：由平均数的定义可得： ， ， 则，，，，的平均数为： ， 故选：C． 6．【答案】B 【知识点】利用平均数做决策、运用方差做决策 【分析】平均数越大成绩越好，方差越小数据波动越小，发挥越稳定，先找出平均数最大的同学，再在其中找出方差最小的同学即可． 【详解】解：∵要选择成绩好且发挥稳定的同学，平均数越大代表成绩越好， ∴根据表中数据可得，乙和丁的平均数最大，均大于甲和丙的平均数，因此只需从乙和丁中选择， 又∵方差越小代表发挥越稳定，乙的方差为，小于丁的方差， ∴乙满足成绩好且发挥稳定的要求． 7．【答案】A 【知识点】求加权平均数、运用加权平均数做决策 【分析】本题主要考查了加权平均数，解题的关键是熟练掌握加权平均数的计算公式． 根据题目中给出的评分比例（），计算三位选手的加权平均分，比较后确定最高分． 【详解】解：小芸的最终成绩为：（分）； 小琨的最终成绩为：（分）； 小龙的最终成绩为：（分）； 综上，小芸的最终成绩最高（分）， 故选：A． 8．【答案】C 【知识点】 利用已知的平均数求相关数据的平均数、求方差 【分析】本题考查了平均数和方差，根据平均数和方差的定义解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵ 数据的平均数是， ∴， ∵新数据为， ∴新数据的平均数为， ∵原数据的方差是， ∴， ∵新数据为， ∴新数据的方差为 ， ∴新数据的平均数和方差分别为，， 故选：． 9．【答案】B 【知识点】从函数的图象获取信息、求加权平均数 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，加权平均数．根据题意可得从p到10的距离为，在加权平均数中，我们可以把这两个距离看作是对应成绩的权，即可求解． 【详解】解：∵点在y轴上，m代表期中测试成绩，点在直线上，n代表期末测试成绩，直线与直线相交于点， ∴从横坐标来看，0到10的距离为10，对于点P的横坐标p，那么从0到P的距离为p， ∴从p到10的距离为，在加权平均数中，我们可以把这两个距离看作是对应成绩的权． 即期中成绩的权为，期末成绩的权为P．而点P的纵坐标q就是根据加权平均数计算出来的总评成绩， ∴ ，p分别是期中成绩、期末成绩的权，相应的总评成绩为q， 故选：B． 10．【答案】D 【知识点】折线统计图、求一组数据的平均数、求方差、根据方差判断稳定性 【分析】本题主要考查了折线统计图、方差、平均数等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据折线统计图、方差、平均数逐项分析计算即可解答． 【详解】解：A．观察甲酒店折线统计图，从2月到7月，其盈利数值依次为1，2，3，3，4，5（单位：十万元） ，呈现不断增长的趋势，该选项正确，不符合题意； B．乙酒店在7月盈利为4（十万元），且之前盈利有波动变化，若后续经营策略调整得当，盈利持续增长，是有可能很快超过甲酒店的，该选项正确，不符合题意； C．甲酒店月盈利平均数为；乙酒店月盈利平均数为；由，则甲酒店月盈利的平均数大于乙酒店月盈利的平均数，该选项正确，不符合题意； D．甲酒店月盈利方差为，乙酒店月盈利方差为；由，则甲酒店月盈利的方差大于乙酒店月盈利的方差，该选项错误，符合题意． 故选D． 11．【答案】 3 【知识点】已知 平均数求未知数据的值 【分析】本题考查了平均数的计算，根据平均数的定义，通过列方程求解． 【详解】解：数据个数为5，平均数为5， ∴总和为， 已知数据4，5，6，7的和为， ∴． 故答案为：3． 12．【答案】面试 【知识点】 利用加权平均数求未知数据的值 【分析】设此次招聘中面试的权重为，从而可得笔试的权重为，根据加权平均数的计算公式求出的值，由此即可得出答案． 【详解】解：设此次招聘中面试的权重为，则笔试的权重为， 由题意得：， 解得， ， 则此次招聘中面试的权重较大， 故答案为：面试． 【点睛】本题考查了加权平均数，熟记公式是解题关键． 13．【答案】25 【知识点】 利用方差求未知数据的值 【分析】本题考查方差的定义与意义：一般地设个数据的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 根据方差公式中各项偏差均以9为基准，可知该组数据的平均数为9，从而利用平均数的定义求解． 【详解】解：由方差公式可知， 该组数据的平均数为9， 因此，有 ， 整理得， 即 ， 所以 ． 故答案为：25． 14．【答案】 【知识点】标准差、已知 平均数求未知数据的值 【分析】本题考查求标准差，根据平均数求出的值，根据标准差的计算公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 15．【答案】/10立方米 【知识点】用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 【分析】此题考查的是根据样本估计总体．先计算这8名同学各自家庭一个月的节水量的平均数，即样本平均数，然后乘以总数40即可解答． 【详解】解：8名同学各自家庭一个月平均节约用水是： ， 因此这40名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是： ， 故答案为：． 16．【答案】(1)补全条形统计图如图： (2)6本 (3)4500本 【知识点】求加权平均数、画条形统计图、用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 【分析】本题主要考查了平均数，条形统计图，用样本估计总体；要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可． （1）根据题意列式计算得到D类书的人数，补全条形统计图即可． （2）根据加权平均数公式可求得平均数； （3）用捐款平均数乘以总人数即可． 【详解】（1）解：D组的频数为（人）， 图略； （2）解：（本）， 答：这30名职工捐书本数的平均数为6本． （3）解：（本）． ∴估计该校750名职工共捐书4500本． 17．【答案】（1）5.8；（2）5800 【知识点】用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 【分析】先求出样本的平均数，再根据总体平均数约等于样本平均数列式计算即可． 【详解】解：（1）这100名学生平均每人植树的棵数为：（棵）； （2）由样本平均数估计总体平均数，该校1000名学生平均每人植树5.8棵，共植树约（棵）． 【点睛】此题考查了用样本估计总体，用到的知识点是总体平均数约等于样本平均数． 18．【答案】(1)； (2)选甲， 理由如下： 甲的平均数， 甲的方差 ， ∵， ∴甲发挥稳定，应该选甲． 【知识点】运用方差做决策、 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【分析】此题考查根据平均数求一组数据中的未知数据，求数据的方差并依据方差做决定，熟练求解方差是解题的关键． （1）求出甲的成绩总和得到乙的成绩总和，减去其他成绩即可得到a； （2）求出甲的平均数，计算出方差，根据甲、乙的方差大小即可做出选择． 【详解】（1）解：∵甲、乙的平均成绩相同， ∴甲、乙的总成绩相同， ∴； （2）略 19．【答案】(1)< (2)1 (3)变小 【知识点】折线统计图、求方差、根据方差判断稳定性 【分析】本题考查了方差，熟练掌握方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键． （1）结合折线统计图，根据方差的意义即可得出结论； （2）根据方差的公式计算即可； （3）先计算乙运动员10次射击训练成绩的方差，再计算乙再射击1次，命中7环后的方差，比较二者的大小即可得出结论． 【详解】（1）解：由折线统计图可知，甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定， 又∵设甲、乙两运动员成绩的方差分别为，， ∴， 故答案为：<； （2）解： ， ∴甲运动员成绩的方差为1； （3）解：乙运动员10次射击训练成绩的方差 ， 如果乙再射击1次，命中7环，那么乙射击成绩的方差为， ∴乙射击成绩的方差将变小． 故答案为：变小． 20．【答案】(1)6 (2)， (3) 从离散程度看，甲的成绩比乙更加稳定； 从集中趋势看，甲的众数比乙大； 【知识点】求众数、求方差、求一组数据的平均数、根据方差判断稳定性 【分析】此题主要考查了学生对平均数，众数，方差的理解及运用能力，正确求出方差是解题关键． （1）根据众数的定义即可得出答案； （2）根据平均数、方差公式计算即可得出答案； （3）从集中趋势和稳定性两个方面来考查两人的成绩． 【详解】（1）解：∵乙同学10次射击命中环数最多的是6环， ∴众数是6； 故答案为：6； （2）解：甲同学10次射击命中环数的平均数为： ， 方差为： ； （3）解：从平均水平看，甲、乙两名学生射击的环数平均数均为7环，成绩一样； 从离散程度看，，，甲的成绩比乙更加稳定； 从集中趋势看，甲的众数比乙大； 故甲的射击水平更好一些． 学科网（北京）股份有限公司 $