6.1 平均数与方差 新课预习 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学八年级上册6.1平均数与方差同步练，以“基础巩固-能力提升-综合应用”分层设计，通过真实情境问题链培养数据意识、运算推理与应用表达能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|众数、平均数定义及基本计算|单选1-5直接考查概念辨析，填空11-13通过方程求未知数据，夯实抽象能力| |能力提升|加权平均数、方差与决策|单选6-8结合校园招聘、果篮选择等情境，填空14-15综合众数与标准差，发展推理意识| |综合应用|统计图表分析与样本估计|解答题16-20关联环保调查、射击比赛等实际问题，需数据解读与模型应用，培养数据观念|

6.1 平均数与方差 新课预习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．某校八年级各班参加植树活动的人数统计如下：5，6，6，7，8，8，9，该组数据的众数是（  ） A．5 B．6和8 C．7 D．9 2．一位卖“运动鞋”的经销商到一所学校对学生的鞋号进行了抽样调查．经销商最感兴趣的是这组数据中的（     ） A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差 3．随着人工智能的发展，智能机器人的应用越来越广泛．某工厂使用、两种型号机器人对零件进行质量检测，型机器人每检测一个零件需要3分钟，型号机器人每检测一个零件需要5分钟．某日，工厂随机抽取了型机器人检测的4个零件和型机器人检测的6个零件进行复检，则被抽检零件的平均检测时间为（   ） A．3.8分钟 B．4.2分钟 C．5分钟 D．5.25分钟 4．若数据11，12，12，19，11，x的唯一众数是12，则x的值是（   ） A．12 B．11 C．11.5 D．19 5．若数据、、的平均数是2，则数据、、的平均数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 6．某中学举行校园主持人比赛，小静同学的语言表达、临场应变、形象仪态的分数分别是9分，8分，10分，若依次按的比例确定最终成绩，则小静的最终成绩是（     ） A．8.2分 B．8.4分 C．8.6分 D．8.8分 7．地球是我们唯一的家园，爱护地球是每一个人应尽的义务．4月22 日“世界地球日”来临之际，为了了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭某月的用水量，统计结果如表所示，则这组数据的方差是 （   ） 月用水量/吨 6 8 9 10 户数 2 3 6 9 A．1.6 B．1.5 C．1.4 D．1.3 8．赵县雪花梨是河北石家庄赵县的特产，甲、乙、丙、丁四个果篮中10个雪花梨的平均质量与方差如下表所示，若要挑选一个单果质量大且雪花梨大小均匀的果篮，则应选（     ） 果篮 甲 乙 丙 丁 平均质量/g 392 401 405 405 方差 0.3 1.5 1.2 0.4 A．甲果篮 B．乙果篮 C．丙果篮 D．丁果篮 9．某校拟招聘一名数学老师，现通过笔试、面试、答辩三项成绩来考核甲、乙、丙三名应聘者，各项满分均为100分，成绩如下表： 应聘者 笔试成绩(分) 面试成绩(分) 答辩成绩（分） 甲 85 90 92 乙 92 88 86 丙 88 91 89 学校综合岗位需求，规定笔试、面试、答辩权重之比为，按加权平均数分择优录取，那么被录用的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定 10．小姜，小徐，小林正在玩射击游戏，小姜同学四次成绩分别为9.5环、9.7环、10.5环、10.3环；小徐同学的四次成绩分别为9.6环、9.7环、10.7环、10.0环；小林同学四次成绩分别为9.8环、9.5环、10.6环、10.1环，则他们成绩较为稳定的是（   ） A．小姜同学 B．小徐同学 C．小林同学 D．一样稳定 二、填空题 11．若一组数据2，3，x，5，7的平均数为4，则________． 12．一位求职者参加某公司的招聘，面试和笔试的成绩分别是86和90，公司给出他这两项测试的平均成绩为87.6，可知此次招聘中_____（填“面试”或“笔试”）的权重较大． 13．一组数据的方差为，则该组数据的平均数是______． 14．已知一组数据1，2，8，x，7，4的众数为2，则x的值是________，这组数据的标准差是________． 15．随机抽查某班5名同学，记录自己家中一周内用水量，分别为：，，，，．如果该班有40名学生，估计一周内该班全体同学家中用水总量约为______． 三、解答题 16．钟南山院士在谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量减少走亲访友，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜，健康才是幸福，”某小区防控小组为了了解小区每户家庭每周外出的次数，在外出登记册上随机抽取了若干户家庭，并对所抽家庭的外出次数进行统计，绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：    (1)补全条形统计图； (2)本次所抽取家庭每周外出的众数是________； (3)已知该小区共有800户家庭，请你估计该小区每周外出次数不超过3次的家庭户数． 17．甲、乙两名同学参加少年科技创新选拔赛，六次比赛的成绩如下： 甲：87  93  88  93  89  90 乙：85  90  90  96  89  a (1)若甲、乙的平均成绩相同，求a的值； (2)已知乙的方差是，如果要选派一名发挥稳定的同学参加比赛，应该选谁？说明理由． 18．某社区准备在甲乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表（图1），并计算了甲成绩的平均数和方差（见图2小宇的作业）． 甲、乙两人射箭成绩统计表 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲成绩 9 4 7 4 6 乙成绩 7 5 7 a 7 小宇的作业： 解： ． (1) ； (2)请完成图中表示乙成绩变化情况的折线． (3)观察图，可看出 的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”）．请参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断． 19．实施天保工作，建设恩施秀美山川，退耕还林后，某农户在山上种了棵苹果树，进入收获期的第一年，该农户先随意采摘了棵树上的苹果，称得每棵树上的苹果的重量如下： (单位： kg) （1）根据样本估计这年苹果的总产量是多少? （2）若这年苹果的售价为每元，请估计该农户卖苹果的总收入为多少元? （3）假定在连续三年苹果的销售价格不变的情况下，该农户计划在第二年将苹果收入提高到元，并以这样的增长速度，预计到第三年时苹果的总收入是多少元? 20．考试前，同学们总会采用各种方式缓解考试压力，以最佳状态迎接考试．某校对该校九年级的部分同学做了一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校将减压方式分为五类，同学们可根据自己的情况必选且只选其中一类．学校收集整理数据后，绘制了图1和图2两幅不完整的统计图，请根据统计图中信息解答下列问题：    (1)这次抽样调查中，一共抽查了多少名学生？ (2)请补全条形统计图并计算扇形统计图中“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数； (3)根据调查结果，估计该校九年级500名学生中采用“听音乐”来减压方式的人数并谈谈你的建议． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B A C D B D C C 1．【答案】B 【知识点】求众数 【分析】本题考查了众数的定义，解题的关键是找出数据中出现次数最多的数． 统计数据，，，，，，中每个数字的出现次数，其中和都出现了次，是出现次数最多的数，因此众数为和． 【详解】解：在数据，，，，，，中， 出现次，出现次，出现次，出现次，出现次． ∵ 和出现的次数最多， ∴ 这组数据的众数是和． 故选：B． 2．【答案】A 【知识点】运用众数做决策 【详解】解：经销商需知晓销量最高的鞋号以安排进货，对应这组数据中出现次数最多的数，即众数， ∴经销商最感兴趣的是这组数据中的众数． 3．【答案】B 【知识点】求一组数据的平均数 【分析】本题考查加权平均数的实际应用，需先计算两种型号机器人检测零件的总时间，再除以总零件数得到平均检测时间． 【详解】∵A型机器人4个零件总检测时间为分钟，B型机器人6个零件总检测时间为分钟， ∴检测零件的总时间为分钟，总零件数为个， ∴平均检测时间为分钟． 4．【答案】A 【知识点】 利用众数求未知数据的值 【分析】此题考查了众数的定义，众数是数据中出现次数最多的数，注意众数可以不止一个． 根据众数的定义求解即可． 【详解】解：数据11，12，12，19，11，x的众数是12， ． 故选：A． 5．【答案】C 【知识点】 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【分析】本题考查了平均数的计算方法，熟练掌握平均数的计算方法和整体代入的方法是解决本题的关键．根据平均数的计算方式“所有数据之和除以数据的个数”表示出的平均数，再表示出的平均数整体代换即可． 【详解】解：∵数据、、的平均数是2， ∴， ∴数据、、的平均数为：， 故选：C． 6．【答案】D 【知识点】求加权平均数 【详解】解：总权重为， 小静的最终成绩为分. 7．【答案】B 【知识点】求方差 【分析】本题考查数据的方差计算，先计算总户数和平均用水量，再应用方差公式求解． 【详解】解：平均用水量， 方差 ， ∴ 这组数据的方差是1.5， 故选：B． 8．【答案】D 【知识点】利用平均数做决策、运用方差做决策 【分析】从平均质量和方差两个维度依次筛选即可； 【详解】解：先比较平均质量，四个果篮平均质量：，丙和丁的平均质量最大， 满足“单果质量大”的要求，排除甲、乙， 再比较丙和丁的方差：，丁的方差更小，说明丁果篮的雪花梨大小更均匀， 因此应选丁果篮． 9．【答案】C 【知识点】求加权平均数、运用加权平均数做决策 【分析】分别计算三名应聘者的加权平均数，比较大小后得分最高的即为被录用者． 【详解】解：∵ 笔试、面试、答辩权重之比为，权重和为， 分别计算三人的加权平均数： 甲的加权平均数：分， 乙的加权平均数：分， 丙的加权平均数：分， ∵ ，丙的加权平均数最高， ∴ 被录用的是丙． 10．【答案】C 【知识点】根据方差判断稳定性 【分析】本题涉及方差的概念，方差越小数据越稳定． 先分别计算出平均数，再由方差公式计算出小姜、小徐、小林成绩的方差，由方差越小数据越稳定判断即可． 【详解】解：小姜成绩的平均数，方差为 ，以此方法，计算小徐成绩的方差为0.185，平均数为10，小林的平均数为10，方差为0.165, ∵， ∴小林同学成绩较为稳定， 故选：C． 11．【答案】3 【知识点】已知 平均数求未知数据的值 【分析】根据平均数的定义，通过列一元一次方程求解未知数x的值． 【详解】解：∵一组数据2，3，x，5，7的平均数为4， ∴根据平均数的计算公式可得， 去分母，得 计算得 移项，得 解得， 故答案为：3． 12．【答案】面试 【知识点】 利用加权平均数求未知数据的值 【分析】设此次招聘中面试的权重为，从而可得笔试的权重为，根据加权平均数的计算公式求出的值，由此即可得出答案． 【详解】解：设此次招聘中面试的权重为，则笔试的权重为， 由题意得：， 解得， ， 则此次招聘中面试的权重较大， 故答案为：面试． 【点睛】本题考查了加权平均数，熟记公式是解题关键． 13．【答案】 【知识点】 利用方差求未知数据的值 【分析】根据方差的定义，方差计算公式即可得到结果． 【详解】解：方差的计算公式为，其中为这组数据的平均数，为数据的个数， 对比题目给出的方差为，可得该组数据的平均数． 14．【答案】 【知识点】标准差、 利用众数求未知数据的值、求方差 【分析】本题考查了标准差，根据众数定义求得x的值，掌握方差、标准差的计算公式是解题的关键．先根据众数的定义求出x的值，再求出平均数，继而根据方差公式计算方差，然后求出标准差即可． 【详解】解：∵1，2，8，x，7，4的众数为2， ∴， ∴这组数据的平均数是， 则方差为 ． ∴标准差为； 故答案为：，． 15．【答案】100 【知识点】求一组数据的平均数、用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 【分析】此题考查了求平均数，样本平均数估计总体，解题的关键是熟练掌握求平均数的方法．首先求出样本的平均数，然后估算全体同学家中用水总量． 【详解】解：5名同学的用水量平均数为： 那么全班同学家的用水总量约为： 故答案为：100． 16．【答案】(1) 补全条形统计图如图所示：      (2)4 (3)416 【知识点】求众数、由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】（1）用“1”次的家庭数除以即可得到样本容量，进而得出“4”次的家庭数，再用样本容量乘可得“4”次的家庭数，进而补全条形统计图； （2）根据出现次数最多的家庭数即可得到众数； （3）利用样本估计总体即可． 【详解】（1）本次所抽取家庭数为：（户） “4”次的家庭数为：（户） （2）由（1）可知，“4”次的家庭数最多，故答案为4； （3）（户） 答：估计该小区每周外出次数不超过3次的家庭户数约为416户． 【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体及众数的运用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合思想解答问题． 17．【答案】(1)； (2)选甲， 理由如下： 甲的平均数， 甲的方差 ， ∵， ∴甲发挥稳定，应该选甲． 【知识点】运用方差做决策、 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【分析】此题考查根据平均数求一组数据中的未知数据，求数据的方差并依据方差做决定，熟练求解方差是解题的关键． （1）求出甲的成绩总和得到乙的成绩总和，减去其他成绩即可得到a； （2）求出甲的平均数，计算出方差，根据甲、乙的方差大小即可做出选择． 【详解】（1）解：∵甲、乙的平均成绩相同， ∴甲、乙的总成绩相同， ∴； （2）略 18．【答案】(1)4 (2) 如图所示： (3) 解：①观察图，可看出乙的成绩比较稳定， ， ． ， ∴上述判断正确． 故答案为：乙． 【知识点】已知 平均数求未知数据的值、求方差、根据方差判断稳定性 【分析】本题考查了已知平均数求未知数据的值，求方差，根据方差判断稳定性，解题关键是根据已知得出a的值进而利用方差的意义比较稳定性即可． （1）根据他们的总成绩相同，得出； （2）根据（1）中所求得出a的值进而得出折线图即可； （3）观察图，即可得出乙的成绩比较稳定． 【详解】（1）解：由题意得：甲的总成绩是：， ∵两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同， ∴， 故答案为：4； （2）略 （3）略 19．【答案】（1）1088；（2）3264；（3）5100 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 【分析】(1) 根据题意，首先找出5棵树上苹果的平均重量，然后再乘以32可知大概的总重量； (2)计算出苹果的总重量，又已知售价为3元每千克，易求总收入； (3)设年增长率为x，则列出等式求出x.然后可求出第三年的总收入. 【详解】（1）， （2）(元) ； （3）设年增长率为，则， ，第三年总收入为： (元) 答:苹果总产量为1088公斤；该农户卖苹果的总收入为3264元，第三年苹果的总收入是5100元. 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，首先要明确苹果的平均重量为多少，然后求出总重量以及总收入，再设未知数年增长率为x从而可求出第三年的总收入． 20．【答案】(1)50人 (2) 则补全条形统计图如下：    (3) 解：（人）， 由条形统计图可知，采用“体育活动”减压方式的人数最多，所以建议该校采购体育器材，增加体育项目． 答：估计该校九年级500名学生中采用“听音乐”来减压方式的人数为120人． 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联、运用众数做决策 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、利用样本估计总体、众数等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）根据采用“交流谈心”减压方式的人数除以所占百分比即可得； （2）求出采用“体育活动”减压方式的人数，据此补全条形统计图即可；利用采用“享受美食”减压方式的人数所占百分比乘以即可得； （3）利用该校九年级的学生总数乘以采用“听音乐”来减压方式的人数所占百分比即可得；从众数的角度提建议即可． 【详解】（1）解：一共抽查的学生：（人）， 答：一共抽查了50名学生． （2）解：采用“体育活动”减压方式的人数为（人）， “享受美食”所对应扇形的圆心角的度数为． （3）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $