6.1 平均数与方差同步练习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册“6.1 平均数与方差”同步练习，通过基础巩固、中档应用、综合拓展三层设计，实现从单一概念到统计决策的知识进阶，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|众数、算术平均数计算|单选1-5直接考查定义，填空11-13强化公式应用，夯实概念理解| |中档|加权平均数、方差性质|单选6-8结合实际情境（如经销商选鞋号），填空14-15涉及数据变换影响，培养运算能力| |综合|统计决策、用样本估计总体|解答题16-20结合图表分析（折线图、频数表）、跨情境应用（射击成绩、读书量调查），发展数据观念与推理意识|

6.1 平均数与方差 同步练习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．一组数据：，，，，，，，的众数是（     ） A． B． C． D． 2．一位卖“运动鞋”的经销商到一所学校对学生的鞋号进行了抽样调查．经销商最感兴趣的是这组数据中的（     ） A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差 3．小丽同学某周每天的睡眠时间（单位：h）如下：8，9，7，9，7，8，8．小丽该周平均每天的睡眠时间为（    ） A．7h B．7.5h C．8h D．9h 4．已知一组数据：3，3，4，5，，6有唯一的众数，则的值可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．若数据、、的平均数是2，则数据、、的平均数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 6．某校在开展“书香校园”活动期间，对甲、乙、丙、丁四名同学一学年的图书借阅册数情况进行统计，整理得出四人平均每月借阅册数和方差，如下表所示： 同学 甲 乙 丙 丁 平均每月借阅册数 方差 根据表中数据，学校要评选“读书达人”，要求年借阅总册数多且借阅习惯稳定，应选择（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．在一次演讲比赛中，甲的演讲内容80分、演讲能力90分，若按照演讲内容占，演讲能力占，计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为（    ） A．86 B．85 C．87 D．84 8．已知数据的平均数是2，方差是3，则一组新数据的平均数和方差分别是（   ） A．10，3 B．10，11 C．2，3 D．2，11 9．某校在“科技创新”比赛中，对甲、乙、丙三项作品进行量化评分（百分制），如表： 项目作品 甲 乙 丙 创新性 90 95 90 实用性 90 90 95 如果按照创新性占，实用性占计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲和丙 10．甲、乙两家酒店规模相当，去年月的月盈利折线统计图如图所示．下列说法中，不正确的是（    ） A．甲酒店每月盈利呈现不断增长的趋势 B．乙酒店经营状况有可能很快超过甲酒店 C．甲酒店月盈利的平均数大于乙酒店月盈利的平均数 D．甲酒店月盈利的方差小于乙酒店月盈利的方差 二、填空题 11．若一组数据1，2，5，3，x，的平均数是2，则x的值为______． 12．如表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表：已知该小组本次数学测验的平均分是85分，则_____． 分数 70 80 90 100 人数 1 3 x 1 13．已知一组数据：，小明用计算这一组数据的方差，那么______． 14．已知一个样本，0，2，x，3，平均数为2，则这个样本的方差是______，标准差是______． 15．随机抽查某班5名同学，记录自己家中一周内用水量，分别为：，，，，．如果该班有40名学生，估计一周内该班全体同学家中用水总量约为______． 三、解答题 16．为迎接党的二十大胜利召开，某校开展了以“不忘初心跟党走”为主题的读书活动，学校对本校学生9月份“读书量”进行了随机抽样调查，对所有随机抽取的数据进行了统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图． (1)求出此次抽样调查的学生总数，并补全条形统计图； (2)本次所抽取学生9月份“读书量”的众数为______本； (3)根据抽样调查的结果，请你估计该校1000名学生中，9月份“读书量”不少于4本的学生人数． 17．甲、乙两名同学参加少年科技创新选拔赛，六次比赛的成绩如下： 甲：87  93  88  93  89  90 乙：85  90  90  96  89  a (1)若甲、乙的平均成绩相同，求a的值； (2)已知乙的方差是，如果要选派一名发挥稳定的同学参加比赛，应该选谁？说明理由． 18．甲、乙两名运动员在相同条件下进行了10次射击训练，成绩如下表： 靶次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲的成绩/环 6 7 6 8 7 6 8 6 9 7 乙的成绩/环 5 5 7 7 5 8 6 9 8 10 将成绩绘制成如下折线统计图： 根据上述图表可求甲、乙两名运动员的平均成绩均为7环，在此基础上解答下列问题： (1)若设甲、乙两运动员成绩的方差分别为，，则与的大小关系是___________（填“>”“<”或“=”）； (2)求甲运动员成绩的方差； (3)如果乙再射击1次，命中7环，那么乙射击成绩的方差将___________（填“变大”“变小”或“不变”） 19．甲、乙两名学生进行射击练习，在相同条件下各射击10次，结果如下： 命中的环数/环 5 6 7 8 9 10 甲命中次数 1 2 4 2 1 0 乙命中次数 1 4 2 1 1 1 (1)乙同学10次射击命中环数的众数是______环； (2)求甲同学10次射击命中环数的平均数和方差； (3)经过计算可知，乙同学10次射击的平均数是7环，方差是2.2．根据所学的统计知识，从数据的集中趋势和数据波动的大小这两个不同的角度来评价甲、乙两名学生的射击水平． 20．为了解某中学八年级250名学生考试的数学成绩，从中抽取了50名学生的数学成绩进行分析，求得，下面是50名学生数学成绩的频数分布表． 频率分布表 分组 频数累计 频数 频率 上 3 a 正丨 6 正止 9 正正正丄 17 1 b 正 5 合计 50 1 根据题中给出的条件回答下列问题： (1)在这次抽样分析的过程中，样本是__________． (2)频数分布表中的数据__________，__________． (3)估计该校八年级这次考试的数学平均成绩约为__________分． (4)在这次考试中，该校八年级数学成绩在范围内的人数约为__________人． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C A C B A A B D 1．【答案】D 【知识点】求众数 【详解】解：根据众数的定义，一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数， 统计各数据出现的次数： ∵ 出现次，出现次，出现次，出现次，出现次， ∴ 出现的次数最多， 因此这组数据的众数是． 2．【答案】A 【知识点】运用众数做决策 【详解】解：经销商需知晓销量最高的鞋号以安排进货，对应这组数据中出现次数最多的数，即众数， ∴经销商最感兴趣的是这组数据中的众数． 3．【答案】C 【知识点】求一组数据的平均数 【分析】此题考查了算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数． 根据算术平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：小丽该周平均每天的睡眠时间为：， 故选：C． 4．【答案】A 【知识点】 利用众数求未知数据的值 【分析】本题主要考查了众数的定义，根据众数的定义，逐项进行验证即可确定使数据中出现次数最多的数唯一存在的x值． 【详解】解：原数据为3，3，4，5，x，6．已知3出现2次，4、5、6各出现1次． 选项A，当时，数据变为3，3，3，4，5，6．此时3出现3次，其他数各1次，3是唯一众数，符合条件． 选项B，当时，数据变为3，3，4，4，5，6．此时3和4均出现2次，出现两个众数，不符合条件． 选项C，当时，数据变为3，3，4，5，5，6．此时3和5均出现2次，出现两个众数，不符合条件． 选项D，当时，数据变为3，3，4，5，6，6．此时3和6均出现2次，出现两个众数，不符合条件． 综上，只有时满足唯一众数的条件， 故选A． 5．【答案】C 【知识点】 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【分析】本题考查了平均数的计算方法，熟练掌握平均数的计算方法和整体代入的方法是解决本题的关键．根据平均数的计算方式“所有数据之和除以数据的个数”表示出的平均数，再表示出的平均数整体代换即可． 【详解】解：∵数据、、的平均数是2， ∴， ∴数据、、的平均数为：， 故选：C． 6．【答案】B 【知识点】利用平均数做决策、运用方差做决策 【分析】本题考查了由平均数，方差作决策，根据年借阅总册数多要求平均每月借阅册数高，借阅习惯稳定要求方差小，则平均每月借阅册数：甲，乙，丙，丁，乙和丁最高；方差：乙，丁，乙更小，因此乙更符合要求，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵年借阅总册数多要求平均每月借阅册数高，借阅习惯稳定要求方差小， ∴平均每月借阅册数：甲，乙，丙，丁，乙和丁最高；方差：乙，丁，乙更小， ∴乙平均册数高且方差小，应选择乙， 故选：． 7．【答案】A 【知识点】求加权平均数 【分析】根据加权平均数为各项目数据与权重的积的和列式计算即可． 【详解】解：∵演讲内容得分80分，占比，演讲能力得分90分，占比． ∴综合成绩分，即A选项符合题意． 8．【答案】A 【知识点】 利用已知的平均数求相关数据的平均数、求方差 【分析】本题考查方差与平均数：若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．根据平均数的变化规律可得出数据的平均数是10；根据数据的方差为3，即可求出的方差是3． 【详解】解：∵的平均数是2， ∴的平均数是； ∵的方差是3， ∴的方差是3； 故选：A． 9．【答案】B 【知识点】求加权平均数、运用加权平均数做决策 【分析】分别计算甲、乙、丙三项作品的总成绩，比较总成绩大小后择优推荐即可． 【详解】解：根据加权平均数公式，分别计算三项作品的总成绩： 甲的总成绩 （分）， 乙的总成绩 （分）， 丙的总成绩 （分）， ∵ ， ∴ 乙的总成绩最高，应推荐乙． 10．【答案】D 【知识点】折线统计图、求一组数据的平均数、求方差、根据方差判断稳定性 【分析】本题主要考查了折线统计图、方差、平均数等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据折线统计图、方差、平均数逐项分析计算即可解答． 【详解】解：A．观察甲酒店折线统计图，从2月到7月，其盈利数值依次为1，2，3，3，4，5（单位：十万元） ，呈现不断增长的趋势，该选项正确，不符合题意； B．乙酒店在7月盈利为4（十万元），且之前盈利有波动变化，若后续经营策略调整得当，盈利持续增长，是有可能很快超过甲酒店的，该选项正确，不符合题意； C．甲酒店月盈利平均数为；乙酒店月盈利平均数为；由，则甲酒店月盈利的平均数大于乙酒店月盈利的平均数，该选项正确，不符合题意； D．甲酒店月盈利方差为，乙酒店月盈利方差为；由，则甲酒店月盈利的方差大于乙酒店月盈利的方差，该选项错误，符合题意． 故选D． 11．【答案】2 【知识点】已知 平均数求未知数据的值 【分析】本题主要考查了平均数的概念和一元一次方程的解法，熟练掌握平均数的计算公式是解题的关键． 根据平均数的定义，先求出这组数据的总和，再列出关于的方程，通过解方程求出的值． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】 利用加权平均数求未知数据的值 【分析】本题考查了加权平均数的计算和列方程解决问题的能力． 根据加权平均数的定义列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意和图表可得， 解得： 故答案为：． 13．【答案】40 【知识点】求一组数据的平均数、 利用方差求未知数据的值 【分析】本题考查了方差的定义：一般地设个数据，，，，…，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，根据方差公式可以确定这组数据的平均数和数据个数，相乘即可得出答案，解题的关键是熟记方差计算公式，根据公式确定平均数与数据个数． 【详解】解：由， 可知这8个数据的平均数为5， ∴， 故答案为：40． 14．【答案】 6 【知识点】标准差、已知 平均数求未知数据的值、求方差 【分析】本题考查了平均数，方差及标准差，熟练掌握平均数，方差及标准差的计算方法是解答本题的关键先由平均数公式求得的值，再由方差公式求解出方差，开方后即可得出标准差． 【详解】：∵平均数， ∴， ∴， ∴方差， ∴标准差为． 故答案为：，． 15．【答案】100 【知识点】求一组数据的平均数、用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 【分析】此题考查了求平均数，样本平均数估计总体，解题的关键是熟练掌握求平均数的方法．首先求出样本的平均数，然后估算全体同学家中用水总量． 【详解】解：5名同学的用水量平均数为： 那么全班同学家的用水总量约为： 故答案为：100． 16．【答案】(1)50名， 补全条形统计图，如下： (2)3 (3)300名 【知识点】求众数、由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】（1）由1本人数及其所占百分比可得总人数，再用总人数减去其它部分的人数可得到“读书量”4本的人数，即可补全图形； （2）根据众数的意义，即可求解； （3）总人数乘以样本中“读书量”不少于4本的学生人数所占百分比即可． 【详解】（1）解：此次抽样调查的学生总数为名， “读书量”为4本的人数为名； （2）解：根据题意得：“读书量”为3本的人数最多， ∴本次所抽取学生9月份“读书量”的众数为3本； 故答案为：3 （3）解：名， 答：9月份“读书量”不少于4本的学生人数为300名． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 17．【答案】(1)； (2)选甲， 理由如下： 甲的平均数， 甲的方差 ， ∵， ∴甲发挥稳定，应该选甲． 【知识点】运用方差做决策、 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【分析】此题考查根据平均数求一组数据中的未知数据，求数据的方差并依据方差做决定，熟练求解方差是解题的关键． （1）求出甲的成绩总和得到乙的成绩总和，减去其他成绩即可得到a； （2）求出甲的平均数，计算出方差，根据甲、乙的方差大小即可做出选择． 【详解】（1）解：∵甲、乙的平均成绩相同， ∴甲、乙的总成绩相同， ∴； （2）略 18．【答案】(1)< (2)1 (3)变小 【知识点】折线统计图、求方差、根据方差判断稳定性 【分析】本题考查了方差，熟练掌握方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键． （1）结合折线统计图，根据方差的意义即可得出结论； （2）根据方差的公式计算即可； （3）先计算乙运动员10次射击训练成绩的方差，再计算乙再射击1次，命中7环后的方差，比较二者的大小即可得出结论． 【详解】（1）解：由折线统计图可知，甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定， 又∵设甲、乙两运动员成绩的方差分别为，， ∴， 故答案为：<； （2）解： ， ∴甲运动员成绩的方差为1； （3）解：乙运动员10次射击训练成绩的方差 ， 如果乙再射击1次，命中7环，那么乙射击成绩的方差为， ∴乙射击成绩的方差将变小． 故答案为：变小． 19．【答案】(1)6 (2)， (3) 从离散程度看，甲的成绩比乙更加稳定； 从集中趋势看，甲的众数比乙大； 【知识点】求众数、求方差、求一组数据的平均数、根据方差判断稳定性 【分析】此题主要考查了学生对平均数，众数，方差的理解及运用能力，正确求出方差是解题关键． （1）根据众数的定义即可得出答案； （2）根据平均数、方差公式计算即可得出答案； （3）从集中趋势和稳定性两个方面来考查两人的成绩． 【详解】（1）解：∵乙同学10次射击命中环数最多的是6环， ∴众数是6； 故答案为：6； （2）解：甲同学10次射击命中环数的平均数为： ， 方差为： ； （3）解：从平均水平看，甲、乙两名学生射击的环数平均数均为7环，成绩一样； 从离散程度看，，，甲的成绩比乙更加稳定； 从集中趋势看，甲的众数比乙大； 故甲的射击水平更好一些． 20．【答案】(1)50名学生数学成绩 (2)，； (3) (4) 【知识点】总体、个体、样本、样本容量、由样本所占百分比估计总体的数量、用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差）、根据数据填写频数、频率统计表 【分析】（1）根据样本是总体中抽取的一部分个体，即可得到答案； （2）根据频率频数总体，即可求出、的值； （3）利用样本估计总体的思想，即可得到答案； （4）根据题意得到该校八年级数学成绩在范围内的频率为，进而即可估算出总体在该范围内的人数． 【详解】（1）解：这次抽样分析的过程中，样本是50名学生的数学成绩， 故答案为：50名学生的数学成绩 （2）解：，， 故答案为：，； （3）解：由题意可知，抽取的50名学生的数学成绩的， 即该校八年级这次考试的数学平均成绩约为分， 故答案为：； （4）解：由题意可知，该校八年级数学成绩在范围内的频率为， （人），即该校八年级数学成绩在范围内的人数约为人， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了频数与频率，样本估计总体，熟练掌握相关知识点是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $