1.6 有理数的乘方 课时作业 2026-2027学年湘教版数学七年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，覆盖有理数的乘方（含乘方意义、符号法则等6个知识点），分层递进设计，从概念理解到综合应用，强化运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|乘方定义、符号法则、简单运算|选择/填空/解答题，如辨析(-3)⁴与-3²底数| |能力提升|非负性应用、规律探究|综合计算（含乘方混合运算）、周期规律分析| |拓展探究|乘方实际应用、数塔规律|阅读探究（对折问题）、数塔观察与推理|

湘教版七年级数学上册 第1章 有理数 1.6 有理数的乘方 1.6 有理数的乘方 课时作业 湘教版·七年级数学（上册）　第1章　有理数　　班级：　　　　　姓名：　　　　　得分：　　　　 一、知识梳理 知识点1 乘方的意义 1. 定义：求 n 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 即 a×a×…×a（共 n 个 a）记作 an。 2. 各部分名称：在 an 中，a 叫做底数，n 叫做指数，an 读作“a 的 n 次方”，也可读作“a 的 n 次幂”。 3. 特殊读法：a2 读作 a 的平方（或 a 的二次方）；a3 读作 a 的立方（或 a 的三次方）。 4. 几何意义：边长为 a 的正方形的面积是 a2，棱长为 a 的正方体的体积是 a3，这正是“平方”“立方”名称的由来。 5. 约定：一个数可以看作它本身的一次方，指数 1 通常省略不写，如 51=5。 知识点2 乘方的符号法则 1. 正数的任何正整数次幂都是正数。 2. 负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数。 3. 0 的任何正整数次幂都是 0。 4. 常用结论：1 的任何正整数次幂都是 1；(-1) 的奇次幂是 -1，偶次幂是 1。 5. 任何有理数的偶次幂都是非负数，即 a2≥0。这一性质常与绝对值一起用于“非负数之和为 0”的问题。 知识点3 两组极易混淆的式子 1. (-a)^{n} 与 -a^{n} 的区别：(-a)n 的底数是 -a（括号内整体），-an 的底数是 a，负号在乘方之外。 例：(-2)4=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16，而 -24=-(2×2×2×2)=-16。 再如：(-2)3=-8，-23=-8，这两个式子恰好相等，但含义不同，不能因为个别相等就混为一谈。 2. 分数作底数时必须加括号：(-)2 表示把 - 整体平方，结果是 ；而 -()2 表示 的平方的相反数，结果是 -。两者含义完全不同。 知识点4 含乘方的运算顺序 有理数的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号时先算括号里面的。 例：(-2)3+32=-8+9=1；　-22×(-3)=-4×(-3)=12。 知识点5 乘方的实际应用 1. 对折问题：一张纸对折 1 次得 2 层，对折 2 次得 22=4 层，…，对折 n 次得 2n 层。 2. 分裂问题：某种细胞每小时分裂一次，一个变两个，则 n 小时后由 1 个细胞变成 2n 个。 3. 面积、体积问题：正方形面积 a2，正方体体积 a3。 知识点6 易错警示 1. 括号定底数：底数是负数或分数时，一定要用括号括起来，否则底数就变了。 2. -a^{2} 与 (-a)^{2} 不同：前者是 a2 的相反数，后者是 -a 的平方。 3. 平方有两解，立方只有一解：由 a2=4 得 a=±2；由 a3=-8 只能得 a=-2。 4. 指数 1 可省略，但底数不能省略：a1=a，而 1a 与 a1 完全不同。 5. 运算顺序不能颠倒：-22×3 必须先算 22=4，再取相反数，最后乘 3，结果是 -12。 二、基础巩固 （一）选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1. 在 (-3)4 中，底数是（　　） A. -3　　B. 3　　C. 4　　D. -4 2. 计算 (-2)3 的结果是（　　） A. -6　　B. 6　　C. -8　　D. 8 3. 下列各式中，值为正数的是（　　） A. -22　　B. (-2)3　　C. (-2)4　　D. -(23) 4. -32 的值是（　　） A. 9　　B. -9　　C. 6　　D. -6 5. 下列各组数中，两个数相等的是（　　） A. -23 与 (-2)3　　B. -22 与 (-2)2 C. (-2)3 与 (-3)2　　D. 23 与 32 6. 计算 (-1)2026+(-1)2027 的结果是（　　） A. 2　　B. -2　　C. 0　　D. 1 7. 若 a2=9，则 a 的值是（　　） A. 3　　B. -3　　C. ±3　　D. 81 8. 计算 (-)3 的结果是（　　） A. 　　B. -　　C. 　　D. - 9. 一个数的平方等于它本身，这个数是（　　） A. 0　　B. 1　　C. 0 或 1　　D. ±1 10. 计算 23×32 的结果是（　　） A. 36　　B. 72　　C. 216　　D. 66 （二）填空题（每小题 3 分，共 30 分） 11. (-5)2=　　　　；-52=　　　　。 12. (-)2=　　　　。 13. 底数是 -4、指数是 3 的幂写作　　　　，它的值是　　　　。 14. (-1)99=　　　　；(-1)100=　　　　。 15. 若 |a-2|+(b+3)2=0，则 a=　　　　，b=　　　　。 16. 0.13=　　　　。 17. 平方等于 16 的数是　　　　；立方等于 -27 的数是　　　　。 18. 一张纸对折 3 次后，纸的层数是　　　　层。 19. 边长为 3 cm 的正方形的面积是　　　　 cm2；棱长为 3 cm 的正方体的体积是　　　　 cm3。 20. -(-2)3=　　　　。 （三）解答题（共 40 分） 21.（10 分）计算： （1）(-4)2　　　　　　　（2）-42 （3）(-)3　　　　　　（4）(-2)5 （5）-(-3)2　　　　　　　（6）(-1.5)2 （7）(-)2　　　　　　（8）-(-)4 22.（8 分）不计算具体结果，直接判断下列各式的符号（填“正”“负”或“零”），并说明依据。 （1）(-7)6　　　（2）(-7)5　　　（3）-76　　　（4）05 （5）(-)101　　（6）-(-2)8 23.（8 分）计算： （1）(-2)3+32 （2）-22×(-3) （3）(-3)2÷(-) （4）(-1)3-(-2)2+|-3| 24.（8 分）一张厚度为 0.1 mm 的纸，可以反复对折。 （1）对折 1 次后是 2 层，对折 2 次后是几层？对折 5 次后是几层？ （2）用含 n 的式子表示对折 n 次后的层数； （3）求对折 7 次后这叠纸的总厚度（单位：mm）； （4）求对折 10 次后这叠纸的总厚度，并换算成厘米。 25.（6 分）判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”，并举例或说明理由。 （1）一个数的偶次幂一定是正数。（　　） （2）若 a3<0，则 a<0。（　　） （3）-a2 一定是负数。（　　） （4）(-a)3 与 -a3 一定相等。（　　） 三、能力提升 26. 已知 (a-1)2+|b+2|=0，求 a，b 的值，并求 (a+b)3 的值。 27. 观察下列各式，探究规律： 31=3，　32=9，　33=27，　34=81，　35=243，　36=729，　… （1）写出 37 的个位数字； （2）这些幂的个位数字有什么规律？ （3）求 32026 的个位数字。 28. 比较下列各组数的大小，并说明理由。 （1）(-2)3 与 -23　　　（2）(-2)4 与 -24　　　（3）(-)2 与 (-)2 29. 某种细菌在适宜的条件下每 30 分钟分裂一次（由 1 个分裂成 2 个）。 （1）1 个这样的细菌经过 2 小时后可以分裂成多少个？ （2）若开始时有 5 个这样的细菌，经过 2 小时后共有多少个？ （3）若开始时有 1 个细菌，要使细菌总数超过 100 个，至少需要经过多长时间？ 四、拓展探究 30. 阅读与探究：观察式子 (-1)1，(-1)2，(-1)3，(-1)4，… （1）填空：(-1)1=　　　　，(-1)2=　　　　，(-1)3=　　　　，(-1)4=　　　　； （2）用一句话概括 (-1)n（n 为正整数）的取值规律； （3）计算：(-1)1+(-1)2+(-1)3+…+(-1)2026。 31. 探究活动：数塔中的乘方。观察下面的数表，回答问题。 第 1 行 21=2 第 2 行 22=4 第 3 行 23=8 第 4 行 24=16 第 5 行 25=32 （1）写出第 6 行、第 7 行的式子及结果； （2）观察各结果的个位数字，你发现了什么规律？ （3）不计算出结果，直接写出 22025 的个位数字，并说明理由。 五、参考答案与解析 （一）选择题 1. A　【解析】(-3)4 中的括号表明底数是 -3，指数是 4。若写成 -34，底数才是 3。 2. C　【解析】(-2)3=(-2)×(-2)×(-2)=-8。负数的奇次幂是负数。 3. C　【解析】-22=-4；(-2)3=-8；(-2)4=16>0；-(23)=-8。只有 C 为正数。 4. B　【解析】-32 的底数是 3，先算 32=9，再取相反数得 -9。这是本节最常见的错误之一。 5. A　【解析】-23=-8，(-2)3=-8，两者相等；-22=-4 而 (-2)2=4；(-2)3=-8 而 (-3)2=9；23=8 而 32=9。 6. C　【解析】2026 是偶数，(-1)2026=1；2027 是奇数，(-1)2027=-1。故原式=1+(-1)=0。 7. C　【解析】平方等于 9 的数有两个，32=9，(-3)2=9，故 a=±3。只填 3 会漏解。 8. B　【解析】(-)3=(-)×(-)×(-)=-。注意指数作用于整个分数。 9. C　【解析】02=0，12=1，都等于本身；而 (-1)2=1≠-1，故不含 -1。 10. B　【解析】先算乘方：23=8，32=9，再相乘 8×9=72。 （二）填空题 11. 25；-25　【解析】(-5)2 的底数是 -5，结果为正；-52 是 52 的相反数，结果为负。 12. 　【解析】(-)2=(-)×(-)=，分子分母都要平方。 13. (-4)3；-64　【解析】底数为负数时必须加括号。 14. -1；1　【解析】(-1) 的奇次幂为 -1，偶次幂为 1。 15. 2；-3　【解析】|a-2|≥0，(b+3)2≥0，两个非负数之和为 0，故 a-2=0，b+3=0。 16. 0.001　【解析】0.1×0.1×0.1=0.001。 17. ±4；-3　【解析】平方有两个解，立方只有一个解，因为负数的立方仍为负数。 18. 8　【解析】23=8。 19. 9；27　【解析】32=9（cm2），33=27（cm3）。 20. 8　【解析】先算 (-2)3=-8，再取相反数得 8。 （三）解答题 21.（1）(-4)2=16；　（2）-42=-16； （3）(-)3=-；　（4）(-2)5=-32； （5）-(-3)2=-9；　（6）(-1.5)2=2.25； （7）(-)2=；　（8）-(-)4=-。 【解析】做这类题的口诀是：先看括号定底数，再看指数定符号，最后计算绝对值。 22.（1）正。负数的偶次幂（指数 6 为偶数）是正数。 （2）负。负数的奇次幂（指数 5 为奇数）是负数。 （3）负。底数是 7，76 为正，前面的负号使结果为负。 （4）零。0 的任何正整数次幂都是 0。 （5）负。底数 - 是负数，指数 101 是奇数。 （6）负。(-2)8 为正，再取相反数为负。 23.（1）原式=-8+9=1； （2）原式=-4×(-3)=12； （3）原式=9÷(-)=9×(-)=-6； （4）原式=-1-4+3=-2。 【解析】务必遵守“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序；(2) 中 -22=-4，不要误算成 4。 24.（1）对折 2 次后是 22=4（层）；对折 5 次后是 25=32（层）。 （2）对折 n 次后是 2n 层。 （3）27=128（层），总厚度为 128×0.1=12.8（mm）。 （4）210=1024（层），总厚度为 1024×0.1=102.4（mm）=10.24（cm）。 【解析】层数按“翻倍”增长，这种增长非常迅速，正是乘方的威力所在。 25.（1）×　理由：0 的偶次幂是 0，不是正数。正确的说法是“偶次幂一定是非负数”。 （2）√　理由：正数的立方为正，0 的立方为 0，只有负数的立方为负。 （3）×　理由：当 a=0 时，-a2=0，不是负数。 （4）√　理由：(-a)3=(-a)×(-a)×(-a)=-a3，奇次幂中负号可以提到式子前面。 三、能力提升 26.【解】因为 (a-1)2≥0，|b+2|≥0，且两者之和为 0， 所以 a-1=0，b+2=0，即 a=1，b=-2。 所以 a+b=1+(-2)=-1，故 (a+b)3=(-1)3=-1。 27.（1）37=2187，个位数字是 7。 （2）规律：3 的正整数次幂的个位数字依次是 3，9，7，1，3，9，7，1，…，每 4 个一循环。 （3）2026÷4=506……2，余数为 2，说明 32026 的个位数字与 32 的个位数字相同，即为 9。 【解析】处理这类“周期问题”，先找出循环节的长度，再用指数除以循环节长度，根据余数确定对应位置（余数为 0 时取循环节的最后一个）。 28.（1）相等。因为 (-2)3=-8，-23=-8。 （2）(-2)4>-24。因为 (-2)4=16，-24=-16，16>-16。 （3）(-)2>(-)2。因为 (-)2=，(-)2=，且 >。 29.（1）2 小时=120 分钟，共分裂 120÷30=4（次），1 个细菌变成 24=16（个）。 （2）5×24=5×16=80（个）。 （3）26=64<100，27=128>100，所以至少需要分裂 7 次，即 7×30=210（分钟）=3.5（小时）。 四、拓展探究 30.（1）-1；1；-1；1。 （2）当 n 为奇数时，(-1)n=-1；当 n 为偶数时，(-1)n=1。 （3）从 1 到 2026 共 2026 项，其中 n 为奇数的有 1013 项，每项为 -1；n 为偶数的有 1013 项，每项为 1。 所以原式=(-1)×1013+1×1013=-1013+1013=0。 也可两两配对：(-1)+1=0，共 1013 对，故和为 0。 31.（1）第 6 行：26=64；第 7 行：27=128。 （2）各结果的个位数字依次为 2，4，8，6，2，4，8，6，…，每 4 个一循环。 （3）2025÷4=506……1，余数为 1，所以 22025 的个位数字与 21 的个位数字相同，是 2。 【解析】与第 27 题同理，抓住“循环节长度为 4”这一关键，再用余数定位即可。 六、限时小测（10 分钟，满分 20 分） 小测1.（2 分）(-3)3 的底数是　　　　，指数是　　　　，结果是　　　　。 小测2.（2 分）比较大小：(-2)2　　　　-22（填“>”或“<”）。 小测3.（4 分）计算：(-)4。 小测4.（4 分）计算：-32+(-2)3÷4。 小测5.（4 分）已知 (m+3)2+|n-1|=0，求 m2+n3 的值。 小测6.（4 分）某种浮萍每天覆盖的面积是前一天的 2 倍，第 1 天覆盖 1 m2。第 6 天覆盖多少平方米？若池塘面积为 60 m2，第几天能被全部覆盖？ 限时小测参考答案 小测1. 底数是 -3，指数是 3，结果是 -27。 小测2. >　因为 (-2)2=4，-22=-4，4>-4。 小测3. (-)4=。（负数的偶次幂为正，分子分母都要乘方。） 小测4. 原式=-9+(-8)÷4=-9+(-2)=-11。（先乘方，再乘除，最后加减。） 小测5. 由非负性得 m+3=0，n-1=0，故 m=-3，n=1； 所以 m2+n3=(-3)2+13=9+1=10。 小测6. 第 6 天覆盖 25=32（m2）；第 7 天覆盖 26=64>60（m2），所以第 7 天池塘被全部覆盖。 （注意：第 1 天是 20=1，第 n 天覆盖 2n-1 平方米。） 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $