1.5 有理数的乘法和除法 课时作业 2026-2027学年湘教版数学七年级上册

**基本信息** 该同步练习通过“基础巩固-能力提升-拓展探究”三层设计，实现从单一知识点到综合应用再到创新探究的梯度进阶，强化运算能力与推理意识，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|有理数乘除法法则、倒数、运算律等单一知识点|选择/填空/解答题结合，如直接计算(-3)×5，夯实“先定号后算数”基础| |能力提升|绝对值、相反数、倒数综合应用|含ab<0等符号判断，如已知|a|=4,|b|=3求a÷b，培养推理意识| |拓展探究|新定义运算与规律探究|设计“※”运算及负因数个数规律分析，发展创新意识与数学表达能力|

湘教版七年级数学上册 第1章 有理数 1.5 有理数的乘法和除法 1.5 有理数的乘法和除法 课时作业 湘教版·七年级数学（上册）　第1章　有理数　　班级：　　　　　姓名：　　　　　得分：　　　　 一、知识梳理 知识点1 有理数的乘法法则 1. 两数相乘：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 例：(-3)×(-5)=+(3×5)=15；　(-3)×5=-(3×5)=-15。 2. 任何数与 0 相乘，都得 0，即 a×0=0。 3. 运算步骤：先由两个因数的符号确定积的符号，再把绝对值相乘。“先定号，后算数”。 4. 几何解释：(-2)×3 表示 3 个 (-2) 相加，在数轴上就是从原点开始，连续向左移动 3 次，每次 2 个单位长度，终点落在 -6 处，如图。 知识点2 多个有理数相乘 1. 几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数的个数是偶数个时，积为正；是奇数个时，积为负。 2. 几个数相乘，只要有一个因数为 0，积就等于 0。 例：(-1)×(-2)×(-3)×(-4)=+(1×2×3×4)=24（4 个负因数，积为正）； 　　(-2)×3×(-4)×(-5)=-(2×3×4×5)=-120（3 个负因数，积为负）。 知识点3 倒数 1. 定义：乘积为 1 的两个数互为倒数。若 ab=1，则 a 与 b 互为倒数。 2. 表示：a（a≠0）的倒数是 。特别地， 的倒数是 （a≠0，b≠0）。 3. 注意：①0 没有倒数；②1 的倒数是 1，-1 的倒数是 -1，倒数等于它本身的数是 ±1；③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，即互为倒数的两个数符号相同；④求小数的倒数要先化成分数，如 -0.25=-，它的倒数是 -4。 4. 倒数与相反数的区别：相反数的和为 0，符号相反；倒数的积为 1，符号相同。0 有相反数（是 0），但没有倒数。 知识点4 乘法运算律 1. 乘法交换律：ab=ba。 2. 乘法结合律：(ab)c=a(bc)。 3. 乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+ac。它也可以逆用，把 ab+ac 写成 a(b+c) 以简化计算。 4. 常用技巧：互为倒数的因数先乘；能凑整（如 -0.25 与 -4，0.125 与 8）的因数先乘；括号内是分数和时优先考虑分配律。 知识点5 有理数的除法法则 1. 法则一（转化法）：除以一个不等于 0 的数，等于乘以这个数的倒数，即 a÷b=a×（b≠0）。 2. 法则二（符号法）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 3. 0 除以任何一个不等于 0 的数都得 0；0 不能作除数，分母（除数）为 0 的式子没有意义。 4. 选择方法：除数是整数或小数时，一般直接用法则二；除数是分数时，用法则一化为乘法更方便。 知识点6 乘除混合运算 1. 乘除混合运算没有括号时，按从左到右的顺序进行；也可以先把所有除法统一化为乘法，再一次算出结果。 2. 统一为乘法后，先确定结果的符号（数负因数的个数），再把绝对值相乘除。 3. 带分数要先化成假分数，小数一般化成分数后再运算。 二、基础巩固 （一）选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1. 计算 (-3)×5 的结果是（　　） A. 15　　B. -15　　C. 2　　D. -2 2. 计算 (-2)×(-6) 的结果是（　　） A. -12　　B. 12　　C. -8　　D. 8 3. - 的倒数是（　　） A. 　　B. -　　C. 　　D. - 4. 下列各数中，倒数等于它本身的是（　　） A. 1　　B. -1　　C. 1 和 -1　　D. 0 5. 计算 (-12)÷(-3) 的结果是（　　） A. 4　　B. -4　　C. 36　　D. -36 6. 计算 (-1)×(-2)×(-3)×(-4) 的结果是（　　） A. -24　　B. 24　　C. -10　　D. 10 7. 若 ab>0，则下列结论一定成立的是（　　） A. a>0 且 b>0　　B. a<0 且 b<0　　C. a，b 同号　　D. a，b 异号 8. 下列运算中，正确的是（　　） A. (-2)÷(-)=1　　B. 0÷(-5)=0　　C. (-5)÷0=0　　D. -×(-2)=-1 9. 若 a<0，则 的值是（　　） A. 1　　B. -1　　C. 0　　D. ±1 10. 计算 (-+)×(-12) 的结果是（　　） A. 2　　B. -2　　C. 6　　D. -6 （二）填空题（每小题 3 分，共 30 分） 11. (-4)×(-7)=　　　　。 12. - 的倒数是　　　　；-0.25 的倒数是　　　　。 13. (-36)÷9=　　　　。 14. 若 x 的倒数是 -，则 x=　　　　。 15. (-1)×(-1)×(-1)=　　　　；(-1)×(-1)×(-1)×(-1)=　　　　。 16. (-0.25)×(-4)=　　　　。 17. 若 a 与 b 互为倒数，则 ab=　　　　；若 a 与 b 互为相反数，则 a+b=　　　　。 18. -8÷(-2)÷(-2)=　　　　。 19. 若 a÷b<0，且 a>0，则 b　　　　0（填“>”或“<”）。 20. -×(-)=　　　　。 （三）解答题（共 40 分） 21.（8 分）计算： （1）(-6)×7　　　　　　　（2）(-8)×(-1.25) （3）(-)×　　　　　（4）(-2)×(-3)×(-5) （5）(-1.5)×0×(-8)　　　　（6）×(-) 22.（8 分）计算： （1）(-48)÷6　　　　　　　（2）(-3.6)÷(-0.4) （3）(-)÷(-)　　　　（4）0÷(-) （5）÷(-)　　　　　（6）(-2.5)÷ 23.（8 分）用简便方法计算： （1）(-+-)×(-24) （2）(-+)×(-12) （3）(-8)×(-)× （4）1.25×(-)×(-8) 24.（8 分）计算： （1）(-36)÷(-9)×(-2) （2）(-)×÷(-) （3）-÷(-)×(-4) （4）(-1.6)÷(-0.4)×(-)÷2 25.（8 分）一名潜水员从海平面出发进行作业。他先以每分钟下潜 3 m 的速度下潜 8 分钟，然后以每分钟上升 2 m 的速度上升 5 分钟。（下潜记为负，上升记为正） （1）下潜 8 分钟后，他位于海平面下多少米？用负数表示他的位置； （2）上升 5 分钟后，他位于海平面下多少米？ （3）在这 13 分钟内，他一共移动了多少米？ 三、能力提升 26. 已知 |a|=4，|b|=3，且 ab<0，求 a÷b 的值。 27. 已知 a 与 b 互为相反数，c 与 d 互为倒数，m 的绝对值是 2，求 (a+b)÷4+cd-m 的值。 28. 已知 abc<0，且 a>0，b<0，判断 c 的符号，并说明理由。 29. 某检修小组从 A 地出发，在东西向的公路上工作，若规定向东为正，向西为负，一天的行驶记录如下（单位：km）： +8，-5，+4，-9，+6，-3 （1）收工时，检修小组在 A 地的哪个方向？距离 A 地多远？ （2）若每千米耗油 0.2 L，这一天共耗油多少升？ （3）若每千米耗油费用为 1.5 元，这一天的油费是多少元？ 四、拓展探究 30. 定义一种新运算“※”：对于任意两个有理数 a，b，规定 a※b=ab-(a+b)。 （1）求 (-3)※4 的值； （2）求 [2※(-3)]※1 的值； （3）判断这种新运算是否满足交换律，即是否有 a※b=b※a，并说明理由。 31. 探究：几个非零有理数相乘时积的符号规律。 （1）计算并观察符号：(-2)×(-3)=　　　　；(-2)×(-3)×(-4)=　　　　；(-2)×(-3)×(-4)×(-5)=　　　　； （2）由（1）你发现了什么规律？请用一句话概括； （3）若 2026 个负数相乘，积的符号是什么？若 2025 个负数相乘呢？ （4）已知 a1，a2，…，an 都不等于 0，且它们的积小于 0，那么这些数中负数的个数是奇数还是偶数？ 五、参考答案与解析 （一）选择题 1. B　【解析】异号两数相乘得负：(-3)×5=-(3×5)=-15。 2. B　【解析】同号两数相乘得正：(-2)×(-6)=+(2×6)=12。 3. D　【解析】互为倒数的两数乘积为 1，且符号相同。因为 (-)×(-)=1，所以倒数是 -。选 C 的错误在于漏掉了负号。 4. C　【解析】1×1=1，(-1)×(-1)=1，故 1 与 -1 的倒数都等于本身；0 没有倒数。 5. A　【解析】同号两数相除得正：(-12)÷(-3)=+(12÷3)=4。 6. B　【解析】共有 4 个负因数，个数为偶数，积为正，绝对值为 1×2×3×4=24。 7. C　【解析】ab>0 说明积为正，由“同号得正”知 a，b 同号，但不能确定同为正还是同为负，故 A、B 都不一定成立。 8. B　【解析】A 中 (-2)÷(-)=(-2)×(-2)=4；C 中 0 不能作除数，式子无意义；D 中 -×(-2)=1；B 中 0 除以非零数得 0，正确。 9. B　【解析】a<0 时 |a|=-a，故 ==-1。也可取 a=-3 验证：=-1。 10. A　【解析】用分配律：(-)×(-12)+×(-12)=4+(-2)=2。 （二）填空题 11. 28 12. -；-4　【解析】求倒数时把分子分母交换位置，符号不变；-0.25=-，其倒数为 -4。 13. -4 14. -5　【解析】倒数为 - 的数是 -5，因为 (-5)×(-)=1。 15. -1；1　【解析】3 个负因数，积为负；4 个负因数，积为正。 16. 1　【解析】(-0.25)×(-4)=+(0.25×4)=1，两数恰为互为倒数。 17. 1；0 18. -2　【解析】按从左到右的顺序：-8÷(-2)=4，4÷(-2)=-2。 19. <　【解析】商为负说明被除数与除数异号，a>0，故 b<0。 20. 　【解析】同号得正，×==。约分时先约再乘更简便。 （三）解答题 21.（1）原式=-(6×7)=-42； （2）原式=+(8×1.25)=10； （3）原式=-(×)=-； （4）原式=-(2×3×5)=-30（3 个负因数，积为负）； （5）原式=0（有因数 0，积为 0）； （6）原式=-(×)=-。 22.（1）原式=-(48÷6)=-8； （2）原式=+(3.6÷0.4)=9； （3）原式=+(×)=； （4）原式=0； （5）原式=-(×)=-； （6）原式=-(2.5×)=-4。 【解析】除数是分数时，先化为乘以它的倒数，再约分，可以避免繁琐的分数除法。 23.（1）原式=(-)×(-24)+×(-24)+(-)×(-24)=12+(-16)+6=2； （2）原式=×(-12)+(-)×(-12)+×(-12)=-9+10+(-1)=0； （3）原式=8×(×)=8×1=8（2 个负因数，积为正）； （4）原式=+(1.25××8)=+(1×8)=8。 【解析】使用分配律时，括号外的因数要与括号内每一项都相乘，并且连同符号一起相乘，这是最容易失分的地方。 24.（1）原式=4×(-2)=-8； （2）原式=(-)××(-)=+(××)=4； （3）原式=(-)×(-)×(-4)=-(××4)=-1； （4）原式=4×(-)÷2=(-2)÷2=-1。 【解析】乘除混合运算可先把除法全部化为乘法，然后一次性确定符号（数负因数的个数），再计算绝对值，这样最不容易出错。 25.（1）(-3)×8=-24（m），即他位于海平面下 24 m，位置记作 -24 m。 （2）2×5=10（m），-24+10=-14（m），即他位于海平面下 14 m。 （3）移动的总路程为 24+10=34（m）。 【解析】第（1）（2）问求位置，要带符号计算；第（3）问求路程，与方向无关，取绝对值相加。 三、能力提升 26.【解】由 |a|=4 得 a=±4，由 |b|=3 得 b=±3。因为 ab<0，所以 a，b 异号。 当 a=4，b=-3 时，a÷b=4÷(-3)=-； 当 a=-4，b=3 时，a÷b=(-4)÷3=-。 所以 a÷b=-。 【解析】两种情况的结果相同，说明只要 a，b 异号且绝对值确定，商就唯一确定。 27.【解】因为 a 与 b 互为相反数，所以 a+b=0； 因为 c 与 d 互为倒数，所以 cd=1； 因为 |m|=2，所以 m=2 或 m=-2。 当 m=2 时，原式=0÷4+1-2=0+1-2=-1； 当 m=-2 时，原式=0÷4+1-(-2)=0+1+2=3。 所以原式的值为 -1 或 3。 28.【解】c>0。 理由：因为 a>0，b<0，所以 ab<0（异号得负）。又因为 abc<0，即 (ab)·c<0，而 ab<0，两数相乘得负必须异号，所以 c>0。 29.（1）8-5+4-9+6-3=(8+4+6)+(-5-9-3)=18+(-17)=1（km）。 结果为正，说明收工时在 A 地的东方向，距离 A 地 1 km。 （2）总路程为 8+5+4+9+6+3=35（km），耗油 35×0.2=7（L）。 （3）油费为 35×1.5=52.5（元）。 四、拓展探究 30.（1）(-3)※4=(-3)×4-[(-3)+4]=-12-1=-13。 （2）先算括号内：2※(-3)=2×(-3)-[2+(-3)]=-6-(-1)=-6+1=-5； 再算：(-5)※1=(-5)×1-[(-5)+1]=-5-(-4)=-5+4=-1。所以原式的值为 -1。 （3）满足交换律。理由：a※b=ab-(a+b)，b※a=ba-(b+a)。由乘法交换律 ab=ba，由加法交换律 a+b=b+a，所以 a※b=b※a。 【解析】新定义运算题的关键是“照葫芦画瓢”：把题目给的字母式子中的 a，b 换成具体的数，注意添加必要的括号。 31.（1）6；-24；120。 （2）规律：几个不等于 0 的数相乘，负因数的个数是偶数个时积为正，是奇数个时积为负，积的绝对值等于各因数绝对值的积。 （3）2026 是偶数，2026 个负数相乘的积为正数；2025 是奇数，2025 个负数相乘的积为负数。 （4）奇数个。因为积小于 0 说明积为负，由（2）的规律可知负因数的个数必为奇数。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $