第二章 有理数的运算 单元卷 2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学“有理数的运算”单元复习卷，通过基础巩固、情境应用与创新探究的梯度设计，全面考查有理数运算核心知识，适配单元复习需求，培养抽象能力、运算能力与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|科学记数法、近似数、有理数加减乘除及符号法则|结合中国森林面积（题1）考查科学记数法，体现时代性| |填空题|6/18|负倒数、绝对值方程、程序计算、实际优惠问题|外卖满减计算（题15）培养应用意识，幻方（题16）渗透文化传承| |解答题|8/72|有理数混合运算、新定义“除方”、行程与销售数据分析|新定义“除方”（题24）发展创新意识，检修行程（题20）强化运算能力与模型意识|

第二章 有理数的运算（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、截至目前中国森林面积达到175000000公顷，森林覆盖率为，人工林面积居世界首位，其中数字175000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：175000000用科学记数法表示为． 2、下列对圆周率的取值说法错误的是（ ） A. （精确到个位） B. （精确到十分位） C. （精确到0.1） D. （精确到百分位） 【答案】A 【详解】A.是精确到十分位，故A错误，符合题意； B.是精确到十分位，故B正确，不符合题意； C.是精确到十分位，即精确到0.1，故C正确，不符合题意； D.是精确到百分位，故D正确，不符合题意． 3、两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 【答案】C 【详解】解：A：若两个数都是正数，显然它们的和也为正数，A错误； B：若两个数都是负数，它们的和必然为负数，B错误； C：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，C正确； D：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，D错误． 4、可表示（   ） A．五个2相加 B．两个5相加 C．五个2相乘 D．两个5相乘 【答案】C 【详解】解：表示个2相乘． 5、不改变原式的值，将中的减法改成加法并写成省略加号和的形式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 详解】解：， 6、下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、有2个负号，积的符号为正，不符合题意； B、有4个负号，积的符号为正，不符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有3个负号，积的符号为负，符合题意； 7、若，则以下四个结论中，正确的是（　　） A. 一定是正数 B. 可能是负数 C. 一定是正数 D. 一定是正数 【答案】C 【详解】解：A、符号无法确定，故此选项错误； B、，则，故此选项错误； C、∵， ∴， ∴一定是正数，故此选项正确； D、符号无法确定，故此选项错误； 8、如图，数轴上，两点所表示的有理数分别是，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】解：∵由数轴可知，，，， ∴，故选项A错误， ，故选项B错误， ∵，， ∴，故选项C正确， ∵，， ∴，故选项D错误， 9、对于有理数a，b定义一种新运算，规定，则的值为（  ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， 10、在数轴上点表示的数是，点从点出发，先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度依次操作次后，此时点表示的数是(　　) A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023 【答案】D 【详解】解：将点先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，看作移动一次，是向右移动一次；向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，看作移动一次，也是向右移动一次； ， ， 即此时点表示的数是． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、如果，则称a、b互为“负倒数”．那么的“负倒数”等于 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得：， 则的负倒数等于． 故答案为：． 12、已知，则x＝ ． 【答案】3 【详解】∵， ∴ 故答案为：3． 13、如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是_______． 【答案】19 【详解】解：输入， ∴， 所以应将再重新输入计算程序进行计算， 即． 故答案为：． 14、已知，且，则的值是_______． 【答案】或 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴时，， 时，， 综上所述，的值是或． 故答案为：或 15、小赵计划在某外卖网站点如下表所示的菜品．已知每份订单的配送费为6元，商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满70元减30元，满100元减40元．如果小赵在购买下表中的所有菜品时，采取适当的下订单方式，那么他点餐的总费用最低可为 元． 菜品 单价（含包装费） 数量 水煮牛肉（小） 40元 1 醋溜土豆丝（小） 12元 1 豉汁排骨（小） 30元 1 手撕包菜（小） 12元 1 米饭 3元 2 【答案】66 【详解】解：依题意，购买所有菜品花费元， 若订单方式采用3份满30元减12元，则减36元，加上3份配送费18元，实际减18元， 若订单方式采用70一份，30一份，优惠，加上2份配送费12元，实际减30元， 若订单方式采用满100一份，则优惠40元，加上1份配送费6元，实际减34元 ∴应采取的订单方式是100一份， 所以点餐总费用最低可为（元）， 即他点餐总费用最低可为66元． 故答案为：66． 16、幻方是一种将数字填在正方形格子中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等的方法．幻方历史悠久，是中国传统游戏．如图是一个3×3的幻方的一部分，则a+b＝_____． ﹣6 a ﹣8 ﹣5 b ﹣9 【答案】-3． 【详解】解：根据图示，判断出它是一个三阶幻方， 由a+（﹣9）＝﹣5×2，可得：a＝﹣1， 由b+（﹣8）＝﹣5×2，可得：b＝﹣2， ∴a+b＝（﹣1）+（﹣2）＝﹣3． 故答案为：﹣3． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-19，每题8分，20-21，每题9分, 22-24，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 6897 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18、 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 19、 阅读下面的解题方法，回答问题． 计算：． 解：原式= = = =． 上述解题方法叫作拆项法，请按此方法计算： ． 【答案】1 【详解】解： ． 20、某检修小组乘一辆汽车沿东西方向检修路，约定向东走为正，某天从A地出发到收工时行走记录（单位千米）： ，求： （1）收工时检修小组在A地的哪一边，距A地多远？ （2）若汽车耗油3升／每千米，开工时储存180升汽油，收工后返回A地中途是否需要加油，若需要则加油最少加多少升？若不需要加油则到达A地后，还剩多少升汽油？ 【答案】（1）收工时在A地的正东方向，距A地 （2）收工后返回A地中途最少需要加油60升 【小问1详解】 根据题意可得：向东走为“+”，向西走为“”； 则收工时距离等于． 答：收工时在A地的正东方向，距A地． 【小问2详解】 从A地出发到收工时， 汽车共走了， ， （升）， 答：收工后返回A地中途最少需要加油60升． 21、小丽同学做一道计算题的解题过程如下： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 根据小丽的计算过程，回答下列问题： （1）小丽在进行第一步时，运用了乘法的______律； （2）她在计算中出现了错误，其中你认为在第______步开始出错了； （3）请你给出正确的解答过程． 【答案】（1）分配 （2）二 （3）见详解 【小问1详解】 解：小丽在进行计算第一步时运用了乘法分配律， 故答案为：分配； 【小问2详解】 她在第二步出错了，因为除法没有分配律， 故答案为：二； 【小问3详解】 原式 22、柿子饼是产于陕西省的优质特色农产品，深受顾客的喜爱．某经销商借助直播平台销售柿子饼，经过一段时间的销售，发现每天能销售100千克左右的柿子饼．表格为一月份第一周销售柿子饼的情况（以100千克为标准，超额记为正，不足记为负，单位：千克）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与标准销售量的差值/千克 根据以上内容，解答下列问题． (1)这一周中，销售量最接近100千克的是星期_____，该天的销售量是_____千克． (2)借助直播平台销售需要缴纳费用，每天的收费由固定300元加上销售提成构成，方案如下：每天销量不超过100千克，则不足的部分每千克罚款2元；超过100千克，则超过的部分每千克奖励1元．求该经销商这周需要支付给直播平台的费用． 【答案】(1)三， (2)一周的总费用为元 【详解】（1）解：，， 这一周中，销售量最接近100千克的是星期三，该天的销售量为：(千克)， 故答案为：三，； （2） 解：星期一：销售量为：(千克)，不足100千克，罚款元， 费用为：(元)； 星期二：销售量为：(千克)，超过100千克，奖励元， 费用为：(元)； 星期三：销售量为：(千克)，超过100千克，罚款元， 费用为：(元)； 星期四：销售量为：(千克)，不足100千克，罚款元， 费用为：(元)； 星期五：销售量为：(千克)，不足100千克，罚款元， 费用为：(元)； 星期六：销售量为：(千克)，超过100千克，奖励元， 费用为：(元)； 星期日：销售量为：(千克)，超过100千克，奖励元， 费用为：(元)； 一周的总费用为：(元)． 23、有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果_____； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果_____； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果_____； ④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果_____； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 【答案】(1)①9；②；③；④； (2)见详解 【详解】（1）解：①依题意，， 故答案为：9； ②依题意，， 故答案为：； ③依题意，， 故答案为：； ④依题意，， 故答案为：； （2）解：依题意，； ． 24、规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方． 例如，记作，读作“2的圈3次方”； 再例如，记作，读作“的圈4次方”；一般地，把为大于等于2的整数）记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)关于除方，下列说法错误的是______． A．任何非零数的圈2次方都等于1             B．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 C．         【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方幂的形式． (3)仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：______，______； (4)将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式为______． 【灵活应用】 (5)计算： 【答案】(1)， (2)C (3)， (4) (5) 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：A，，即任何非零数的圈2次方都等于1，故该选项说法正确； B，负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故该选项说法正确； C，，， 可得，故该选项说法错误； 故选C． （3）解：， ， 故答案为：，； （4）解：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式为： ， 故答案为：； （5）解： ． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数的运算（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、截至目前中国森林面积达到175000000公顷，森林覆盖率为，人工林面积居世界首位，其中数字175000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2、下列对圆周率的取值说法错误的是（ ） A. （精确到个位） B. （精确到十分位） C. （精确到0.1） D. （精确到百分位） 3、两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 4、可表示（   ） A．五个2相加 B．两个5相加 C．五个2相乘 D．两个5相乘 5、不改变原式的值，将中的减法改成加法并写成省略加号和的形式是（ ） A. B. C. D. 6、下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 7、若，则以下四个结论中，正确的是（　　） A. 一定是正数 B. 可能是负数 C. 一定是正数 D. 一定是正数 8、如图，数轴上，两点所表示的有理数分别是，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9、对于有理数a，b定义一种新运算，规定，则的值为（  ） A． B． C． D．2 10、在数轴上点表示的数是，点从点出发，先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度依次操作次后，此时点表示的数是(　　) A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、如果，则称a、b互为“负倒数”．那么的“负倒数”等于 ． 12、已知，则x＝ ． 13、如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是_______． 14、已知，且，则的值是_______． 15、小赵计划在某外卖网站点如下表所示的菜品．已知每份订单的配送费为6元，商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满70元减30元，满100元减40元．如果小赵在购买下表中的所有菜品时，采取适当的下订单方式，那么他点餐的总费用最低可为 元． 菜品 单价（含包装费） 数量 水煮牛肉（小） 40元 1 醋溜土豆丝（小） 12元 1 豉汁排骨（小） 30元 1 手撕包菜（小） 12元 1 米饭 3元 2 16、幻方是一种将数字填在正方形格子中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等的方法．幻方历史悠久，是中国传统游戏．如图是一个3×3的幻方的一部分，则a+b＝_____． ﹣6 a ﹣8 ﹣5 b ﹣9 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-19，每题8分，20-21，每题9分, 22-24，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、计算： （1）； （2） 18、 计算 （1） （2） 19、 阅读下面的解题方法，回答问题． 计算：． 解：原式= = = =． 上述解题方法叫作拆项法，请按此方法计算： ． 20、某检修小组乘一辆汽车沿东西方向检修路，约定向东走为正，某天从A地出发到收工时行走记录（单位千米）： ，求： （1）收工时检修小组在A地的哪一边，距A地多远？ （2）若汽车耗油3升／每千米，开工时储存180升汽油，收工后返回A地中途是否需要加油，若需要则加油最少加多少升？若不需要加油则到达A地后，还剩多少升汽油？ 21、小丽同学做一道计算题的解题过程如下： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 根据小丽的计算过程，回答下列问题： （1）小丽在进行第一步时，运用了乘法的______律； （2）她在计算中出现了错误，其中你认为在第______步开始出错了； （3）请你给出正确的解答过程． 22、柿子饼是产于陕西省的优质特色农产品，深受顾客的喜爱．某经销商借助直播平台销售柿子饼，经过一段时间的销售，发现每天能销售100千克左右的柿子饼．表格为一月份第一周销售柿子饼的情况（以100千克为标准，超额记为正，不足记为负，单位：千克）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与标准销售量的差值/千克 根据以上内容，解答下列问题． (1)这一周中，销售量最接近100千克的是星期_____，该天的销售量是_____千克． (2)借助直播平台销售需要缴纳费用，每天的收费由固定300元加上销售提成构成，方案如下：每天销量不超过100千克，则不足的部分每千克罚款2元；超过100千克，则超过的部分每千克奖励1元．求该经销商这周需要支付给直播平台的费用． 23、有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果_____； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果_____； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果_____； ④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果_____； (2) 从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 24、规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方． 例如，记作，读作“2的圈3次方”； 再例如，记作，读作“的圈4次方”；一般地，把为大于等于2的整数）记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)关于除方，下列说法错误的是______． A．任何非零数的圈2次方都等于1             B．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 C．         【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方幂的形式． (3)仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：______，______； (4)将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式为______． 【灵活应用】 (5)计算： —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $