第二章《有理数的运算》单元测试（A）卷 2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 初中数学《有理数的运算》单元卷，以实际情境与创新题型为特色，覆盖倒数、科学记数法、数轴等核心知识，适配单元复习，培养运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|倒数、科学记数法、数轴|基础概念辨析，如第3题结合嫦娥三号考查科学记数法| |填空题|8/24|近似数、温差、数轴动点|生活情境应用，如第12题冰箱温差计算| |解答题|7/66|新定义运算、行程问题、实际销售|综合实践与创新探究，如24题“市场分析师”项目考查有理数运算应用，25题“除方”概念培养创新意识|

第二章《有理数的运算》单元测试（A）卷 （卷面总分120分 考试用时100分钟） 班级：________ 学号：________ 姓名：____________ 得分：________ 一、单选题（每题 3 分，共30分） 1．若a与7互为倒数，则（　　） A． B． C．7 D． 2．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 3．我国成功发射了嫦娥三号卫星，是世界上第三个实现月面软着陆和月面巡视探测的国家．嫦娥三号探测器的发射总质量约3700千克，3700用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 4．如果，，是有理数，且，那么（     ） A．三个数有可能同号 B．三个数一定都是 C．一定有两个数互为相反数 D．一定有一个数的相反数等于其余两个数之和 5．在、、、0、、中，非负数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．已知，两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 7．下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示3个相加 C．与意义相同 D．表示个相乘的积的相反数 8．下面各组大小关系中，正确的是（     ） A． B． C． D． 9．已知a、b是有理数，下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若且a、b均是非零数，则 C．若，则 D．若数轴上a，b在原点的两侧，则 10．定义新运算“⊕”：，则的值为（     ） A．5 B．7 C．8 D．10 二、填空题（每题 3 分，共24分） 11．把精确到十分位，得到的近似数为______． 12．小王观察发现：家里的冰箱冷藏室温度为，冷冻室温度为零下，那么冰箱冷藏室与冷冻室的温差为_______． 13．的倒数是___________． 14．大于而小于7的所有整数的积是________． 15．在数轴上，M为表示的点，N在M左面3个单位长度，Q为距离N为5个单位长度的点，Q所表示的数是___________． 16．若，则________． 17．表示不超过x的最大整数，如，，则______． 18．定义运算“@”的运算法则为：，则( )． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）计算 (1) (2) 20．（本题8分）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．于是借助有理数的运算，他定义了一种新运算“”，规则如下：． (1)求的值； (2)求的值； 21．（本题10分）周末，小明骑车从家出发到同学家去玩，他首先向东走了2千米到达小亮家，继续向东走了3.5千米到达小海家，然后又向西走了7.5千米到达小军家，最后回到家，以小明家为原点，以向东的方向为正方向，用一个单位长度表示1千米，点O，A、B、C分别表示小明家、小亮家、小海家和小军家． (1)画出数轴，并在数轴上表示出点O，A，B，C的位置； (2)小亮家距小军家多远？ (3)若小亮步行到小海家每小时走5千米；小军骑自行车到小海家每小时骑12千米，若两个人同时分别从自己家出发，问两个人能否同时到达小海家？若不能同时，谁先到达？ 22．（本题10分）应用有理数的加法解下列各题： (1)仓库内原存有某种原料，一周内存入和领出情况如下（存入为正，单位：）：，，，，，，．问：第7天末仓库内还存有这种原料多少千克？ (2)某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视维护，某天早晨从A地出发，晚上最后到达B地．约定向北为正，当天的行驶记录如下（单位：）：，，，，，，，．问：B地在A地的哪个方向？它们相距多少千米？如果汽车行驶每千米路程耗油，那么该天共耗油多少升？ 23．（本题10分）佳佳和琪琪用扑克牌做数学游戏，如图，两人手中各有四张扑克牌，并且都不知道对方手中的牌． 游戏规则是：将方块“◆”记为正分，如“”记为分，将梅花“”记为负分，如“”记为分；两人各自同时从对方手中任意抽取一张牌，与手中剩余的牌计算总分，得分高的人获胜． (1)若佳佳从琪琪手中抽到“◆”，同时琪琪从佳佳手中抽到“”，分别计算此时佳佳和琪琪手中牌的总分，并判断谁获胜； (2)若两人互相任意抽取一张牌后，佳佳手中牌的总分最高可能是多少？ (3)在两人互相任意抽取一张牌后，直接写出佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分具有什么特征． 24．（本题10分） 项目主题 做一个市场分析师 项目背景 在山药售卖活动中，某数学兴趣小组提出“如何获得更高的销售额？” 素材1 如图，甲种植户将山药精品和普通品均匀混装了6箱，每箱质量在千克左右，其中，超过千克的千克数记为正数，不足千克的千克数记为负数． 铁报山菊镇山品张山药 素材2 甲种植户将超过千克的以元/箱的价格售出，剩下的山药以元/千克销售，并全部售出． 素材3 乙种植户将山药进行了筛选，筛选出千克精品山药，以元/千克销售，剩下的普通山药按精品山药单价的七折全部售出，售出的总质量与甲种植户一样多． 问题解决 任务1 甲种植户的6箱山药中，最重的一箱比最轻的一箱重______千克； 任务2 求乙种植户售出的山药的总质量； 任务3 甲种植户和乙种植户的山药全部售出后，哪个种植户获得了更高的销售额？该种植户销售额为多少元？ 25．（本题10分）【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把（个，）写作，读作“a的圈n次方”． (1)【初步探究】直接写出计算结果：_________，__________； (2)【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式．_________，_________． (3)算一算：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章《有理数的运算》单元测试（A）卷 （卷面总分120分 考试用时100分钟） 班级：________ 学号：________ 姓名：____________ 得分：________ 一、单选题（每题 3 分，共30分） 1．若a与7互为倒数，则（　　） A． B． C．7 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数． 【详解】解：与7互为倒数， ∴． 故选：D． 2．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据有理数的混合运算法则解题即可． 【详解】解：A：，故该选项不合题意； B：，故该选项不合题意； C：，故该选项符合题意； D：，故该选项不合题意． 故选：C． 3．我国成功发射了嫦娥三号卫星，是世界上第三个实现月面软着陆和月面巡视探测的国家．嫦娥三号探测器的发射总质量约3700千克，3700用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据科学记数法的规则，得3700=   .故选B. 4．如果，，是有理数，且，那么（     ） A．三个数有可能同号 B．三个数一定都是 C．一定有两个数互为相反数 D．一定有一个数的相反数等于其余两个数之和 【答案】D 【分析】根据已知，通过举反例排除错误选项，再对正确选项结合等式变形推导即可得到结果. 【详解】解：A.若三个数同号，全正则和为正，全负则和为负，均不可能等于0，故选项A错误； B.，可知三个数不都为0，故选项B错误； C.仍对数组，三个数中没有两个数互为相反数，故选项C错误； D. ∵ ，对等式移项可得，即的相反数等于其余两个数的和，因此一定有一个数的相反数等于其余两个数之和，故选项D正确. 5．在、、、0、、中，非负数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【详解】解∶∵非负数是指大于或等于0的数． ，，，，，是非负数． ∴符合条件的非负数共有4个． 6．已知，两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上点的位置确定的符号及绝对值大小关系，结合有理数运算法则判断； 【详解】解：由数轴可知， ， ，，，， 故选项A、B、C正确，D选项错误，该选项符合题意． 7．下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示3个相加 C．与意义相同 D．表示个相乘的积的相反数 【答案】D 【详解】解：的底数是，负号不属于底数部分，故A错误． 表示个相乘，不是相加，故B错误． 表示个相乘的相反数，表示个相乘，二者意义不同，故C错误． 是的相反数，表示个相乘的积，故表示个相乘的积的相反数，D正确． 8．下面各组大小关系中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用绝对值的性质，乘方运算逐项判定即可． 【详解】解：A、，，故，本选项错误； B、，，，故，本选项错误； C、，，，故，本选项正确； D、，，，故，本选项错误． 9．已知a、b是有理数，下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若且a、b均是非零数，则 C．若，则 D．若数轴上a，b在原点的两侧，则 【答案】A 【分析】根据绝对值的性质逐一判断各选项正误． 【详解】解：若，则或，例如，时，但，故A错误； ，当异号或至少有一个为零，即时，结论正确；又a、b均为非零有理数，因此，故B正确； 由，根据绝对值的性质可得，即，故C正确； 由a、b在原点两侧可得a、b异号且均不为0，故当时，此时，从而，和为0；当时，此时，从而，和为0，故D正确． 10．定义新运算“⊕”：，则的值为（     ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【详解】解：由，得. 二、填空题（每题 3 分，共24分） 11．把精确到十分位，得到的近似数为______． 【答案】 【分析】本题考查近似数，解答本题的关键是会用四舍五入法求近似数的方法．把百分位上的数字5进行四舍五入即可． 【详解】（精确到十分位）， 故答案为：． 12．小王观察发现：家里的冰箱冷藏室温度为，冷冻室温度为零下，那么冰箱冷藏室与冷冻室的温差为_______． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的实际意义，有理数的减法，根据题意直接列出算式，然后按有理数的减法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：22． 13．的倒数是___________． 【答案】 【分析】按运算顺序先算乘方，再算绝对值内的加法，进而求绝对值，最后计算结果的倒数即可． 【详解】解： ， ∴的倒数是． 14．大于而小于7的所有整数的积是________． 【答案】 【分析】根据有理数乘法法则计算．注意到，在这个范围内有整数0，故它们的积为0． 【详解】解：大于而小于的所有整数为，，，，，，，，，，， ． 15．在数轴上，M为表示的点，N在M左面3个单位长度，Q为距离N为5个单位长度的点，Q所表示的数是___________． 【答案】或 【分析】先根据M点的位置求出N点表示的数，再分Q在N点左侧、Q在N点右侧两种情况计算Q点表示的数． 【详解】解：已知M表示，N在M左面3个单位长度，数轴上左边的数比右边小，因此N表示的数为：， ∵Q距离N为5个单位长度，Q的位置有两种可能，分情况计算： 当Q在N左侧时，Q表示的数为：， 当Q在N右侧时，Q表示的数为：， 因此Q所表示的数是或． 16．若，则________． 【答案】 【分析】首先依据绝对值的非负数的性质求得、、的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， 而，，， ∴，，， 解得，，， ∴． 17．表示不超过x的最大整数，如，，则______． 【答案】0 【分析】根据表示不超过的最大整数的定义，分别求出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵表示不超过的最大整数， ∴，， ∴． 18．定义运算“@”的运算法则为：，则( )． 【答案】 【分析】按照题目定义的新运算法则，先计算括号内的运算，再计算括号外的运算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， 同理可得 ∴． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算． （1）含乘法的有理数混合运算，先算乘方，再算乘除法，最后算加减法． （2）含乘法的有理数混合运算，先算乘方，去绝对值，再算乘除法，最后算加减法． 【详解】（1）解： （2） 20．（本题8分）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．于是借助有理数的运算，他定义了一种新运算“”，规则如下：． (1)求的值； (2)求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算．定义新运算的题目要严格按照题中给出的计算法则计算． （1）利用规定的运算方法代入求得数值即可； （2）先计算后面括号里的运算，再进行新运算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ； 21．（本题10分）周末，小明骑车从家出发到同学家去玩，他首先向东走了2千米到达小亮家，继续向东走了3.5千米到达小海家，然后又向西走了7.5千米到达小军家，最后回到家，以小明家为原点，以向东的方向为正方向，用一个单位长度表示1千米，点O，A、B、C分别表示小明家、小亮家、小海家和小军家． (1)画出数轴，并在数轴上表示出点O，A，B，C的位置； (2)小亮家距小军家多远？ (3)若小亮步行到小海家每小时走5千米；小军骑自行车到小海家每小时骑12千米，若两个人同时分别从自己家出发，问两个人能否同时到达小海家？若不能同时，谁先到达？ 【答案】(1) (2) 小亮家距小军家4千米 (3) 两个人不能同时到达，小军先到达 【分析】（1）计算各点对应有理数，结合数轴三要素作图； （2）利用数轴上两点间距离为两数差的绝对值计算； （3）分别计算两人到小海家的时间，比较时间长短判断． 【详解】（1）解：由题意知，取原点O表示数0（对应小明家），规定向右为正方向并标注箭头，选取1个单位长度表示1千米并标注刻度；在数轴上标出点A（表示数2，对应小亮家）、点B（表示数5.5，对应小海家）、点C（表示数，对应小军家）． （2）解：由（1）中的数轴可知，小亮家为点A，表示数2，小军家为点C，表示数， ∴（千米）， ∴小亮家距小军家4千米． （3）解：两个人不能同时到达，小军先到达， 理由：小亮从家到小海家的路程为（千米），所需时间为（小时）， 小军从家到小海家的路程为（千米），所需时间为（小时）， ∵， ∴ 小军先到达． 22．（本题10分）应用有理数的加法解下列各题： (1)仓库内原存有某种原料，一周内存入和领出情况如下（存入为正，单位：）：，，，，，，．问：第7天末仓库内还存有这种原料多少千克？ (2)某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视维护，某天早晨从A地出发，晚上最后到达B地．约定向北为正，当天的行驶记录如下（单位：）：，，，，，，，．问：B地在A地的哪个方向？它们相距多少千米？如果汽车行驶每千米路程耗油，那么该天共耗油多少升？ 【答案】(1)第7天末仓库内还存有这种原料 (2)地在地的正南方向，相距；该天共耗油 【分析】（1）先求出一周内原料的变化量，再与原有的原料量相加即可； （2）计算行驶记录的和即可得出位置，计算行驶记录的绝对值的和，再乘以行驶每千米路程耗油量即可． 【详解】（1）解： ， ， 答：第7天末仓库内还存有这种原料； （2）解： ， ， ， 答：地在地的正南方向，相距，该天共耗油． 23．（本题10分）佳佳和琪琪用扑克牌做数学游戏，如图，两人手中各有四张扑克牌，并且都不知道对方手中的牌． 游戏规则是：将方块“◆”记为正分，如“”记为分，将梅花“”记为负分，如“”记为分；两人各自同时从对方手中任意抽取一张牌，与手中剩余的牌计算总分，得分高的人获胜． (1)若佳佳从琪琪手中抽到“◆”，同时琪琪从佳佳手中抽到“”，分别计算此时佳佳和琪琪手中牌的总分，并判断谁获胜； (2)若两人互相任意抽取一张牌后，佳佳手中牌的总分最高可能是多少？ (3)在两人互相任意抽取一张牌后，直接写出佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分具有什么特征． 【答案】(1)佳佳获胜 (2) (3)佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分的绝对值相等 【分析】（1）分别计算两人互相抽取后，各人手中牌的总分，比较即可得出答案； （2）根据两人互相任意抽取一张牌后，佳佳手中牌的总分要最高，则佳佳从琪琪手中抽到“◆”，同时琪琪从佳佳手中抽到“7”，再列式计算即可； （3）根据两人手中牌的总分的和为，可得佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分的绝对值相等，即可得出答案． 【详解】（1）解：互相抽取后，佳佳手中牌的总分为：， 琪琪手中牌的总分为：． ， 佳佳获胜； （2）解：∵两人互相任意抽取一张牌后，佳佳手中牌的总分最高， ∴佳佳应抽取琪琪手中最大的牌，琪琪应抽取佳佳手中最小的牌， ∴当佳佳从琪琪手中抽取到“◆7”，同时琪琪从佳佳手中抽取到“7”时，佳佳手中牌的总分最高， ∴佳佳手中牌的总分最高为：． （3）解：∵佳佳和琪琪手中的牌互换， ∴佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分的和不变， ∵， ∴两人互相任意抽取一张牌后，佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分的绝对值相等（或佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分互为相反数）． 24．（本题10分） 项目主题 做一个市场分析师 项目背景 在山药售卖活动中，某数学兴趣小组提出“如何获得更高的销售额？” 素材1 如图，甲种植户将山药精品和普通品均匀混装了6箱，每箱质量在千克左右，其中，超过千克的千克数记为正数，不足千克的千克数记为负数． 铁报山菊镇山品张山药 素材2 甲种植户将超过千克的以元/箱的价格售出，剩下的山药以元/千克销售，并全部售出． 素材3 乙种植户将山药进行了筛选，筛选出千克精品山药，以元/千克销售，剩下的普通山药按精品山药单价的七折全部售出，售出的总质量与甲种植户一样多． 问题解决 任务1 甲种植户的6箱山药中，最重的一箱比最轻的一箱重______千克； 任务2 求乙种植户售出的山药的总质量； 任务3 甲种植户和乙种植户的山药全部售出后，哪个种植户获得了更高的销售额？该种植户销售额为多少元？ 【答案】任务1∶最重的一箱比最轻的一箱重千克； 任务2∶ 乙种植户售出的山药的总质量为千克 任务3∶ 甲种植户的销售额更高，甲种植户的销售额为元． 【分析】本题考查了正负数的实际应用、有理数的运算及销售额的计算，解题的关键是准确理解题意，结合正负数的意义计算质量和销售额． 任务1：找出甲种植户六箱中超过千克最多的和最少的值相减即可； 任务2：先计算甲种植户6箱的总质量（基准总质量加偏差总和），因乙与甲总质量相同，即得乙的总质量； 任务3：分别计算甲（分类计算超过千克的箱与其余箱的销售额之和）和乙（精品与普通品销售额之和）的销售额，即可求解． 【详解】解∶任务1∶ (千克) 答∶最重的一箱比最轻的一箱重千克； 故答案为∶ 任务2∶ (千克) 答∶乙种植户售出的山药的总质量为千克； 任务3∶甲种植户的销售额为∶ (元)， 乙种植户的销售额为∶ (元)， ， 甲种植户的销售额更高，甲种植户的销售额为元． 故答案为∶甲；． 25．（本题10分）【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把（个，）写作，读作“a的圈n次方”． (1)【初步探究】直接写出计算结果：_________，__________； (2)【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式．_________，_________． (3)算一算：． 【答案】(1)；4 (2)； (3) 【分析】（1）根据题中所给定义进行计算即可； （2）根据题中所给示例进行计算即可； （3）结合（1）和（2）的方法进行计算即可． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． （3）解： ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $