21.2.1 直接开平方法和因式分解法（第1课时：用直接开平方法解二次方程） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦直接开平方法解二次方程，通过A/B/C三层设计实现从基础巩固到综合探究的进阶，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A基础达标|直接开平方法的概念理解、基本运算及简单应用|以选择、填空、解答题夯实基础，如单选题考查根的存在性，解答题直接训练解方程步骤| |B能力提升|跨知识综合（如双曲线交点）、方法迁移（换元法）及根的性质深化|通过综合题型提升思维，如结合双曲线考查方程解的存在性，填空题训练根与系数关系| |C综合与实践|新解法探究与创新应用|以探究题培养创新意识，如模仿新解法变形方程，体现数学思维的迁移与拓展|

21.2.1 直接开平方法和因式分解法 （第1课时：用直接开平方法解二次方程） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【A基础达标】 一、单选题 1．下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 2．若关于的方程的一个根为，则方程的另一个根为（     ） A．3 B．9 C． D． 3．如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．若方程的两根为a和b，且，则下列结论中正确的是（     ） A．a与b相等 B．a与b互为相反数 C．是17的算术平方根 D．是17的算术平方根 5．方程的负根是（   ） A． B． C． D． 6．若一元二次方程的两个实数根分别是和，则m的值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题 7．电流通过导线时会产生热量．电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足：．已知导线的电阻，的时间导线产生的热量，则电流I为_____A．（结果用二次根式表示） 8．一元二次方程的根是______． 三、解答题 9．用直接开平方法解下列方程． (1)；(2)． 10．用直接开平方法解方程：． 【B能力提升】 1．若双曲线与直线一定有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 3．若，是方程为常数的两个实数根．若，则p的值为________． 4．对于实数，我们用符号表示两数中较小的数，如，，若，则________ ． 5．用直接开平方法解方程： 【C综合与实践】 1．爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法．如：解方程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或． 所以，原方程的解为：，． (1)下面是小强同学用发现的新解法解方程时，写的解题过程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 请直接写出上述过程中的，的值及方程的根； (2)请用小强同学发现的新解法解方程：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.2.1 直接开平方法和因式分解法 （第1课时：用直接开平方法解二次方程） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【A基础达标】 一、单选题 1．下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各选项方程整理为的形式，若，方程有两个不相等的实数根；若，方程有两个相等的实数根；若，方程无实数根；据此逐项判断即可． 【详解】解：A、，移项，得， ∵， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意； B、，移项，得， ∵， ∴此方程有两个不相等的实数根，故该选项符合题意； C、，系数化为，得， ∵， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意； D、， ∵， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意． 2．若关于的方程的一个根为，则方程的另一个根为（     ） A．3 B．9 C． D． 【答案】A 【分析】先根据方程的根，求得，再利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：把代入，得， 解得． 原方程为， 移项得. 开平方，得． 方程的另一个根为． 3．如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据非负数的性质，建立不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程可以用直接开平方法求解，， ∴， 解得． 4．若方程的两根为a和b，且，则下列结论中正确的是（     ） A．a与b相等 B．a与b互为相反数 C．是17的算术平方根 D．是17的算术平方根 【答案】C 【分析】先直接用开平方法求出一元二次方程的两根，根据确定a、b的值，再判断各选项的说法是否正确． 【详解】解：解方程， 解得，， ，， A、，A选项错误； B、a与b不是互为相反数，B选项错误； C、，是17的算术平方根，C选项正确； D、，不是17的算术平方根，D选项错误． 5．方程的负根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程． 直接开平方法解出方程的两个根后，选取其中的负根即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，解得， 当时，解得， ∴方程的负根是． 故选：A． 6．若一元二次方程的两个实数根分别是和，则m的值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根的意义，掌握相关知识是解决问题的关键．方程 的两个根互为相反数，因此两根之和为零，据此求出 a 的值，再代入求根，进而求出 m． 【详解】解：∵方程的两个根互为相反数， ∴ 即 ∴， 则两根分别为和， ∴ ． 故选：B． 二、填空题 7．电流通过导线时会产生热量．电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足：．已知导线的电阻，的时间导线产生的热量，则电流I为_____A．（结果用二次根式表示） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，解一元二次方程——直接开平方法，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据公式，代入导线的电阻，的时间导线产生的热量，求出电流I． 【详解】解：因为导线的电阻，的时间导线产生的热量， 所以， 解得：（负值舍去）， 则电流I为． 故答案为：． 8．一元二次方程的根是______． 【答案】或 【分析】本题考查直接开平方，熟练掌握直接开平方的方法是解题的关键，将写成一个完全平方的形式，再通过直接开平方求解． 【详解】解：∵， ∴， 两边同时开平方得：， ∴；， 故答案为：；． 三、解答题 9．用直接开平方法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接开平方解一元二次方程； （2）直接开平方解一元二次方程． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ∴． 10．用直接开平方法解方程：． 【答案】 【详解】解：， ， 或， 解得，． 【B能力提升】 1．若双曲线与直线一定有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题、直接开方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一次函数与反比例函数交点问题是解题的关键． 联立与得，利用双曲线与直线一定有交点，则方程有解，再利用根的判别式求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 化简为：， ∵双曲线与直线一定有交点， ∴方程有解， 又∵双曲线中， ∴，解得：． 故选：A． 2．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用一元二次方程根的性质求出，再将代入新方程即可求解． 【详解】解：由题意，关于x的一元二次方程有解， 解方程得， ∵一元二次方程（）的解是，， ∴，， ∴， 将，代入原方程得， 对于方程， 整理得：， 代入得 ， 解得，． 3．若，是方程为常数的两个实数根．若，则p的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解与根的关系，熟练掌握对一元二次方程根的推到能力是解题的关键． 首先需要将给定的方程展开，转化为一般形式，再利用直接开平方法求出方程的两个根，最后根据两根之差的绝对值建立等式，从而求出p的值． 【详解】解：将方程用直接开平方法求解： 对等式两边开平方，得， 由此可求出方程的两个根： ，， 接下来计算两根之差的绝对值： ， 已知， ， 解得． 故答案为：． 4．对于实数，我们用符号表示两数中较小的数，如，，若，则________ ． 【答案】或 【分析】根据新定义，分、及时三种情况，分别令较小的数等于求解，再验证是否符合大小条件即可； 【详解】解：分情况讨论：当时，展开不等式得，化简得， ∵， ∴较小的数，解得或， 又，舍去，得，符合条件； 当时，展开不等式得，化简得， ∵， ∴较小的数，开方得，解得或， 又，舍去，得，符合条件； 当时，解得，此时两数都为，不符合题意，舍去； 综上，或； 5．用直接开平方法解方程： 【答案】， 【分析】利用直接开平方法得出两个一元一次方程，解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解： ∴， 则或， 解得：，． 【C综合与实践】 1．爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法．如：解方程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或． 所以，原方程的解为：，． (1)下面是小强同学用发现的新解法解方程时，写的解题过程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 请直接写出上述过程中的，的值及方程的根； (2)请用小强同学发现的新解法解方程：． 【答案】(1)，，， (2)， 【详解】（1）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 即，，，； （2）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $