21.2.1 直接开平方法-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（华东师大版）

山原式=6当a=8十1,6=厅-1时，原式=号 12.(1)a=2W2,b=5,c=3√2. (2),a<c<b,且a十c>b,∴.能构成三角形. ∴.周长=2W2+5+3w2=5+5√2 第2课时二次根式的混合运算 基础导学 1.乘方乘除加减2.化简求值 典例探究 【例1】(1)2(2)22-1(3)7 【例2】(1)46-85(2)26-4 【变式训练1】(1)0(2)√2 【变式训练2】(1)-13-22(2)2(3)3【例3】2 【变式训练3】当a=3时，原式=20a√2a=60√6 课后演练 1.B2.C3.B4-15.(1)23(2)号6.1 7.(1)123-60(2)0(3)12/5-203(4)32+1(5)9 8原式=)当x=2y-见时，原式=-罗 2 9.3210.505011.18 12.(1)m2+3m22mm(2)4211(3)a=7或13 专题练习1二次根式的化简求值技巧 【技巧1】1.B2.2 【技巧2】3.原式=6ab, .a=3-√2，b=√3+√2， .原式=6ab=6. 4.-8+25 【技巧3】5.186.-45【技巧4】7.08.2 第20章《二次根式》专题复习 【例1】C【例2】C【例3】±3 【例A【例5】(1)9原-330(2)23 【例6】3【例7】飞机的高度约为3182m 第20章章末测试 1.B2.C3.D4.B5.B6.A7.C8.C9.x>1 10.-万11.号12.73013.14.8+23 15.(1)1-4W(2)-7+2516.4 35 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 17.原式=2y,当x=5+2,y=5-2时，原式=号 【例2】(1)1=4,2=一4；(2)m=3,x2=-3. 2 18.原式=-√a[(a+2-2ab 【例3】(1)=5，x=-1.(2)M=2%=-2 ab a十b=-8,ab=8,∴.原式=-12W2. 3=5=-1.(wa=-号4=- 19.(1)a2=√2，a3=2,an=(W2)m-1. (2)15+15w2. 【变式训练2】（①）a=6,a=-6 第21章一元二次方程 1 21.1认识一元二次方程 (3)x1=√2+5,2=√2-5 基础导学 w6=1+号6=-号 2 1.只含有一个未知数2.整式方程未知数的最高次数是2 3.ax2十bx十c=0(a≠0，a、b、c为常数)a.x2bxc 课后演练 4相等根 1.C2.D3.D4.±75.m≥3 典例探究 6.87.0=2,x2=-1 【例1】(1)、(6)是一元二次方程.【变式训练1】D 8.(1)x1=4,x2=-4.(2)x1=1,x2=-3 【例2】a=一3【变式训练2】≠士1=一1 (3=-日函=3④0西=6=4 【例3】3.x2一24x+1=0,此方程的二次项系数为3，一次项 9.x十y=-3或x+y=-11 系数为一24，常数项为1. 10.(1)10(2)4或23 【变式训练3】5y2-y-4=0【例4】m=-4. 【变式训练4】C【例5】矩形的长为6cm,宽为5cm :11.-3或412.96或0 【变式训练5】C 第2课时因式分解法 课后演练 基础导学 1.C2.B3.B4.A5.x2-2x-15=0-2-15 :1.因式分解两个一元一次方程 6.67.x2-70x+825=0 2.降次至少一个数为0 8.(1)m=4,方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项 4.(2)因式分解(3)两个一元一次方程(4)原方程的 11(2)m=3或m=2 典例探究 9.15cm10.8或√11911.-3 【例1】=4，x2=一4 12.(1)y-y-2=0 【变式训练】五=专=一号 (2)所求方程为：cy2十by十a=0(c≠0) 【例2】(1)1=0，x2=5(2)=2,x2=1 13.(1)2026(2)5 21.2一元二次方程的解法 【变式训练2】石=1=一号 【例3】(1)x=1,x2=2.(2)x=2,x2=4. 第1课时直接开平方法 基础导学 3-E,-5④a=-1a=-是 1.求非负数（或可化为非负数）的平方根 【变式训练3】=3,2=一1. 2.2=a(a≥0)(x十a)2=b(b>0)m(ax十b2=n(a≠课后演练 0,mn≥0) 1.D2.D3.A4.A5.B6.57.=2,2=-7 3.(1)把原方程左边化为完全平方，右边为常数(2)再把平 方项系数化为1(3)开平方取正负，求得方程的解 81西=3，=号2函=号西=一品 典例探究 (3)知=6,2=-1 【例1】C【变式训练1】B :9.(1)知=1,2=3(2)第三边的长为2W2或√10 10.62或10113或-312.=0，=-2. 第3课时配方法 基础导学 1配方直接开平方法a2士2ab十？=(a士b)2和直接开平方 法2.降次两个一元一次方程 3.方程两边同时除以二次项系数将二次项系数化为1常数项 右移方程两边都加上一次项系数一半的平方，将原方程化 为(x十m)2=n的形式开平方求解 典例探究 【】a2552②品￥34号2（④生受 【变式训练1】(1)C(2)土10(3)=2027,2=-2023 【例2】(1)a=2,=-8(2)a=1,西= 【变式训练2)(1)=1+√5,2=1-√5 ②n=3,0=-23通=26=-号 【例3】因为m2-8m+17=m2-8m+16-16+17=(m 4)2十1≥1≠0，所以不论m为何值，该方程都是一元二次方程. 【变式训练3】证明略 课后演练 1C2B3B4C542@是是⑧品 -是（④-2片627a>9 8.(1)0=2-1,2=√2-1(2)1=6+4W2,2=6-4/2 (3)x=-2土√6(4)x1=2,x2=4 9五=9+353 ,w2=9-V353 4 4 10.(1)-23(2)-1-5(3)小大 11.(1)二( a=2+四 x2=2-10 2 12.(1)10(2)-2(3)m=4或m=8 第4课时公式法 基础导学 1z=-b士-ac(-4ac≥0)公式法 2a 2.无实根3.(1)化成一般形式(2)找出系数a、b、c的值 (3)计算b一4ac的值(4)当b一4ac≥0时用公式求出原 方程的根 典例探究 【例1】D 36第21章一元二次方程 21.2 一元二次方程的解法 【变式训练1】下列方程中，不能用直接开 第1课时直接开平方法 平方法解的是 () A.2x2-9=0 B.x2=2x 基础 导学 C.(2x-3)2-4=0D.(x+3)2=9(2x-1)2 1.直接开平方法：如果x2=a(a≥0)，那么 考点2用直接开平方法解一元二次方程 x=士√a,这种方法叫做直接开平方法，其原理 【例2】用直接开平方法解下列方程. 为 (1)x2-16=0: (2)3x2-27=0. 2.直接开平方法解一元二次方程的类型 有： 3.运用直接开平方法解一元二次方程的 步骤： 规律与方法：(1)用直接开平方法解方程时， (1) 要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式， (2) 右边是非负数的形式，再根据平方根的定义求 解.(2)根据平方根的定义开平方时，不要丢掉负 (3) 的平方根， 注：x2=a中a=0,得c1=x2=0. 【例3】用直接开平方法解方程： 典 例探究 (1)(x-2)2=9; (2)(2y-3)2=16; 考 点① 直接开平方的条件 (3)4(x-2)2-36=0; (4)4(3x-1)2-9(3x+1)2=0. 【例1】下列方程中，不能用直接开平方法 求解的是 ( A.x2-3=0 B.(x-1)2-4=0 C.x2+2x=0 D.(x-1)2=(2x+1)2 规律与方法：直接开平方法的实质是求非负 数的平方根.一个一元二次方程不能化成左边为 一个含未知数的式子的平方，右边是非负数，就 不能用直接开平方法求解。 ·31· 格南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS)》 规律与方法：如果一元二次方程的一边是未 4.若x=2是关于x的方程x2-x-a2+5=0的 知数的平方，另一边是一个非负常数，那么可以 一个根，则a的值为 用直接开平方法求解；如果一元二次方程的一边 5.已知关于x的方程(x-1)2=m-3有实数 是含未知数的代数式的平方，另一边也是一个含 根，则m的取值范围是 同一未知数的代数式的平方，同样可以用直接开 6.若(x2+y2+1)2=81,则x2+y2的值是 平方法求解 7.对于两个不相等的实数a、b,我们规定符号 【变式训练2】用直接开平方法解下列 min{a,b}表示a、b中的较小值.如：mim{2, 方程： -3}=-3,按照这个规定，方程mn{x,x-1》 (1)号-g-0;(2)4(1-x2-9=0: =x2一3的解为 8.解下列方程： (1)(x-√2)(x+√2)=14； (3)(W2x-2)2=6;(4)(2x-1)2=(1+√2)2. (2)(攀枝花中考)(x十1)2一4=0； 课后演练 【基础过关】 1.方程x2-4=0的解是 (3)(2x-1)2-x2-4x-4=0; A.x=2 B.x=-2 C.x=±2 D.x=±4 2.一元二次方程x2-x+ =0的根是 ( ) 4 A=2= 2 B.x1=2,x2=-2 C== 2 D.- (4)(2x-5)2+6(5-2x)+9=0. 3.一元二次方程ax2一c=0的两根是 ( A.c B.vac a a C.±Vac D.不一定有实数解 ·32·