上海市格致中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

格致中学 二O二五学年度第一学期第二次测验 高二年级 数学试卷 （共4页） （测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷） 友情提示：昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获！ 祝你：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利！ 一、填空题（本题共有12个小题，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分，满分42分） 1. 若复数满足：，则______. 2. 已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么等于______________． 3. 若，，且，则_____. 4. 函数在上的值域为_________． 5. 第十五届全国运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”一亮相，好评不断，这对吉祥物不仅在体育赛事中扮演着重要角色，还成为了文化自信与家国情怀的象征．现工厂决定从只“喜洋洋”，只“乐融融”和个全运会会徽中，采用分层随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本进行质量检测，若“喜洋洋”抽取了只，则______． 6. 若正方体的表面积为，则它的外接球的表面积为________. 7. 现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000，001，002，…499，利用随机数表抽取样本，从下表第1行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续．则抽出的第三袋牛奶的编号是_______． 35025 83921 20676 63016 47859 16955 56719 98105 07185 12867 35807 44395 23879 33211 8. 若关于的方程和的四个根可组成首项为的等差数列，则的值为__________． 9. 下列说法正确的序号是______. ①用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则某个个体被抽到的概率是0.1； ②已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5； ③数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； ④数据8.1，8.1，8.9，5.3，8.2，9.8，6.5的极差为4.5 10. 甲乙两人下棋，每局两人获胜的可能性一样.某一天两人要进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得1000元奖金.甲连胜两局后，因为有其他要事而中止比赛.甲应分______元奖金才公平. 11. 对于数列，若，则称数列为“广义递增数列”，若，则称数列为“广义递减数列”，否则称数列为“摆动数列”.已知数列共4项，且，则数列是摆动数列的概率为______. 12. 已知函数的部分图像如图1所示，A，B分别为图像的最高点和最低点，过A作x轴的垂线，交x轴于，点C为该部分图像与x轴的交点；将绘有该图像的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此时，S是及其内部的点构成的集合，设集合，则T表示的区域的面积为______________ 二、选择题（本题共有4个小题，第13、14题每题3分，第15、16题每题4分，满分14分） 13. 已知事件和事件满足，则下列说法正确的是（ ）． A. 事件和事件独立 B. 事件和事件互斥 C. 事件和事件对立 D. 事件和事件互斥 14. 在中，若，则的形状是 A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定 15. 如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ） A. B. C. D. 16. 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ） A. p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B. 该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C. 该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D. 该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 三、解答题（本题共有4大题，满分44分．解题时要有必要的解题步骤） 17. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，设表示“两颗骰子点数之和等于”，表示“至少有一颗骰子的点数为”，表示“红色骰子上的点数大于”． （1）请写出一个等可能的样本空间，并求事件，，的概率； （2）写出事件，对应的子集并求出它们的概率． 18. 如图，在四棱锥中，，且． （1）证明：平面平面； （2）若，，且四棱锥的体积为，求与平面所成的线面角的大小． 19. 法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示： （1）求a； （2）根据频率分布直方图，估计该地年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）； （3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于的概率． 20. 我们可以用多种方法证明命题：如果平面四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，那么它的对角线互相垂直． 即在平面四边形中，若，则． （1）请用向量的方法进行证明． （2）在平面四边形中，命题“”是命题“”的______________条件（填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”），并将此命题在空间进行推广．（只写结论，无需证明） （3）请观察平面勾股定理的条件和结论特征，试根据表格提示将勾股定理推广到空间． 勾股定理的类比 三角形 四面体 条件 、、两两垂直 结论 ？ 请在答题纸上完成上表中的类比结论，并给出证明． 格致中学 二O二五学年度第一学期第二次测验 高二年级 数学试卷 （共4页） （测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷） 友情提示：昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获！ 祝你：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利！ 一、填空题（本题共有12个小题，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分，满分42分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】14 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】①③④ 【10题答案】 【答案】875 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本题共有4个小题，第13、14题每题3分，第15、16题每题4分，满分14分） 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】A 【15题答案】 【答案】A 【16题答案】 【答案】D 三、解答题（本题共有4大题，满分44分．解题时要有必要的解题步骤） 【17题答案】 【答案】（1），，， （2），，， 【18题答案】 【答案】（1）证明：因为在四棱锥中，， 所以，， 又，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）． 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【20题答案】 【答案】（1）若，则， 即有， 即，故， 即，则， 即，则, 故，即，故； （2）充要；推广为：在空间四边形中，命题“”是命题“”的充要条件 （3）类比结论为，证明如下： 设、、，且、、两两垂直， 则，，， 则， ，，， 则， 则， 则 ， 则， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $