第26章 二次函数 单元测试 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册第26章二次函数单元测试卷，满分120分，覆盖二次函数概念、图像性质、实际应用及综合探究，通过基础巩固与创新应用梯度设计，提升学生抽象能力、几何直观与模型意识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|二次函数概念、图像识别、性质比较|结合图像辨析（如第2题）、实际情境建模（第6题握手问题）| |填空题|6/18|定义、增减性、最值、新定义|设置新定义问题（第16题最小数），考查知识迁移| |解答题|8/72|交点坐标、实际应用、综合探究|突出应用（第19题拱桥、21题利润）与几何综合（第24题旋转变换），体现逻辑推理与模型意识|

人教版2026年九年级数学上册 第26章 二次函数 单元测试卷 满分120分 时间120分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（共30分） 1．下列函数中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 4．对于抛物线，下列结论：①开口向上；②对称轴为；③顶点坐标为；④当时，随的增大而减小．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知抛物线过，则抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 6．参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了次手，那么与到会人数之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 7．如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 8．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 9．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 10．如图，在矩形中，M是的中点，，P，Q两点分别从点B，点M同时出发，并都以的速度沿着方向运动，当点Q到达点D时，两点同时停止运动．在P，Q两点运动的过程中，与的面积S随时间t变化的图象最接近的是（   ） A．B．C．D． 二、填空题（共18分） 11．如果函数是关于x的二次函数，则_______． 12．抛物线，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 13．若二次函数的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是__________． 14．当时，最大值与最小值的差为，则的值________． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点和点，抛物线的顶点为点C，的面积为________． 16．对于三个数a、b、c，用表示这三个数中最小的数，例如， ，那么的最大值为______． 三、解答题（共72分） 17．（8分）已知二次函数． (1)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； (2)画出该函数的大致图象． 18．（8分）已知抛物线． (1)求证：此抛物线与x轴必有两个交点； (2)若此抛物线与直线的一个交点在y轴上，求m的值． 19．（8分）如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m．若以通过拱顶点的水平直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求出该抛物线的解析式． (2)若水面下降1m，则此时水面宽度为多少m．（结果允许保留根号的形式） 20．（8分）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，（点在点的左侧）． (1)求该二次函数的解析式； (2)求由，，三点构成的的面积． 21．（8分）某商家销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足，设销售这种商品每天的利润为（元）． (1)直接写出与x之间的函数关系式. (2)若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求的最大值． 22．（10分）设二次函数（是常数），已知函数值和自变量的部分对应取值如表所示． ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 1 1 ．．． (1)若，求二次函数的表达式． (2)若当时，有最小值，求的值． (3)求证：． 23．（10分）二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点和点． (1)试求a，b所满足的关系式； (2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当的面积为面积的倍时，求a的值； (3)是否存在实数a，使得为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中．点为坐标原点，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），抛物线与轴交于点，点是抛物线上任意一点，其横坐标为，当点不在轴上时，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结． (1)点、坐标分别为 ； ． (2)当轴时，求的值． (3)当点在轴上方时，点到轴的距离是点到轴距离一半时，求的值． (4)以、为邻边构造正方形，当点在轴上方时，正方形的面积被轴分成时，直接写出此时的值． 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B B D B C C D B 二、填空题 11． 12． 13． 14．或 15．2 16．1 三、解答题 17．（1）解；令得，， 则与轴的交点坐标为， 令得， 解得或， 则与轴的交点坐标为和； （2）解：根据题意得，二次函数， 由（1）知，该函数图象经过点、和， 其对称轴为， 令，则， 则顶点坐标为． 18．(1)证明：令，得方程， ∵ ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴此抛物线与轴必有两个交点． （2）解：∵抛物线与直线的一个交点在轴上， ∴该交点的横坐标为， 将代入抛物线解析式，得， 将代入直线解析式，得， ∴， 整理得， 解得，， 综上所述，的值为或． 19．（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 将，代入，， 得， 解得， 因此，该抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知：， 当水面下降，即时， ， 解得或， 此时水面宽度为， 答：此时水面宽度为． 20．（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点， ∴ 解得： ∴该二次函数的解析式为； （2）当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积． 21．（1）解：根据题意得： ， ∴与x之间的函数关系式为. （2）解: 根据题意得：，解得：， 由（1）得：， 配方得：， ， ∴此抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，随x的增大而减小， ， ∴当时， ， ∴销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，的最大值为2160元. 22．（1）解：当时，，当时，， ∴对称轴直线为，即， ∴， 若，即时，， ∴， ∴， 解得，， ∴二次函数的表达式； （2）解：根据题意，，， ∴， 当时，二次函数图象开口象限，对称轴直线处取得最小值， ∴， 解得，； 当时，二次函数图象开口向下，对称轴直线为，离对称轴直线越远，函数值越小， ∴当时，取得最小值， ∴， 解得，； (3) 解：当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴关于的二次函数图象开口向下，函数的最大值为， ∴． 23．(1) (2) (3)不存在实数a，使得为直角三角形． 理由如下： ①由图可知，A为直角顶点，不可能； ②若C为直角顶点，此时与原点O重合，由题意可知，也不可能； ③若B为直角顶点，则， 令，可得， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，整理得， 解得， 由（2）可知，， ∴，不合题意，舍去； 综上所述，不存在实数a，使得为直角三角形． 24．（1）解：令，即， ， 解得，， 点在点左侧， ，． 当时，， （2）解：如图所示，当点为抛物线上不在轴上的任意一点时， 过点作轴，过点作轴， ，， ， 同理，， 在和中， ， ， ， 点的横坐标与点的纵坐标互为相反数，点的纵坐标与点的横坐标相等， 设点坐标为，则点坐标为， 轴，绕点顺时针旋转得到线段， 如图所示，有点在轴上方或下方两种情况． 点的纵坐标相等， ， 解得或． （3）解：点在轴上方， ， 或． 点到轴的距离等于横坐标的绝对值， 点到轴的距离为，点到轴的距离为， 根据题意得，， 即，分两种情况讨论， 当两边同号时，， ， 解得或（舍去），情形如图所示， 当两边异号时，， ， 解得（舍去）或，情形如图所示， 综上，或． （4）解：正方形的面积被轴分成，即轴把正方形切成两部分，较小部分占总面积的，较大部分占总面积的， 可以推出轴过正方形一条边的中点，这条边可能是或． 设点坐标为，则可推出点坐标为，点坐标为． 情形一：中点在轴上 ，， 中点横坐标为，， ， ， 解得或， 当时，，点在轴下方，舍去； 当时，，点在轴上方，符合． 情形二：中点在轴上 ，， 中点横坐标为，， ， ， ， 解得或， 当时，，点在轴下方，舍去； 当时，，点在轴上方，符合． 综上，或． 学科网（北京）股份有限公司 $