七年级数学上学期9月学情自测（新教材北师大版，高效培优·强化卷）

**基本信息** 2026-2027学年七年级数学9月学情自测（北师大版第一章~第二章），以神舟探火、七巧板、股票交易等真实情境为载体，覆盖几何体视图、数轴、有理数运算等核心知识，通过“6中数”新定义题考查抽象能力与创新意识，适配七年级起始阶段学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|几何体视图、科学记数法、数轴距离|结合精密零件尺寸考查数感，正方体展开图培养空间观念| |填空题|6/18|七巧板面积、二进制转化、变换规律|七巧板体现文化传承，二进制转化发展抽象能力| |解答题|9/72|股票收益计算、绝对值几何意义、新定义“6中数”|股票问题培养模型意识，“6中数”创新考查数学语言表达|

2026-2027学年七年级数学上学期9月学情自测 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B D B B B A B D D 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11． 12．4 13． 14． 15．19 10111 16． 三、解答题（本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ；···················1分 （2）解： ；··················2分 （3）解： ；·················4分 （4）解： ．·················6分 18．（6分） 【答案】(1)数轴上点A，B，C，D分别表示； (2)数轴上的点表示各数，如图： 【详解】(1)数轴上点A，B，C，D分别表示；·················4分 (2)数轴上的点表示各数，如图： ·················6分 19．（6分） 【答案】(1) 该几何体从左面看到的形状图如下： 从上面看到的形状图如下： (2)． 【分析】（1）根据该几何体分别从左面看，从上面看，画出即可； （2）根据图中标注出应摆放的小正方体的个数即可解答． 【详解】（1）该几何体从左面看到的形状图如下： ·················2分 从上面看到的形状图如下： ·················4分 （2）解：在备注数字的位置上加相应数量的小正方体即可，如从上面看到的形状图： ， 所以为保持从正面和上面看到的形状图不变，最多可以再添加块小正方体．·················6分 20．（6分） 【答案】(1)元 (2)最高价是每股元，最低价是每股24元 (3)赔元 【分析】（1）根据题意，买进时每股为25元，周一收盘时，每股涨了2元，可得周一收盘时每股的价格，依此类推即可解答； （2）根据表格，可求出每天的股价，再进行比较即可解答； （3）根据题意推出周五收盘前的每股价格，然后计算出1000股的总价，再减去所缴纳的手续费和交易税，即为周五收盘前将股票全部卖出的总额，再跟买进时股票的总成本进行比较，即可得到答案． 【详解】（1）解：元， 即星期四收盘时，每股是元；·················1分 （2）解：星期一：元； 星期二：元； 星期三：元； 星期四：元； 星期五：元； 因为， 所以本周内最高价是每股元，最低价是每股24元；·················3分 （3）解：买进的总成本：元； 卖出的净收入：元， 则赔钱：元．·················6分 21．（8分） 【答案】(1)5；7 (2)2或 (3)，，，，， 【分析】结合数轴，利用绝对值的几何含义求解各小问即可． 【详解】（1）解：，；·················2分 （2）因为， 所以表示在数轴上表示数与的两点之间的距离等于5， 因此整数的值为2或；·················4分 （3）因为， 所以表示在数轴上表示数的点分别与表示数，的两点之间的距离之和， 因此所有符合条件的整数的值为，，，，，．·················8分 22．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据材料提示，设，结合题意的计算方法求解即可； （2）设，等式两边同时乘以，结合题意的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：设， ， ， ；·················3分 （2）设， ， ∴， ， ．·················8分 23．（10分） 【答案】(1)B (2)①②③ (3)58 (4)如图所示，即为所求； 70 【分析】本题考查了几何体的展开图，解题的关键是熟练掌握几何体的展开图的特征，属于中考常考题型． （1）根据正方体的平面展开图求解即可； （2）根据长方体的平面展开图求解即可； （3）根据长方体的长、宽、高分别为4，3，6结合图形求解即可； （4）要使外围周长最大，那么边长为6的边要尽可能在外围，边长为3的边尽可能不在外围，据此作图求解即可． 【详解】（1） 解：根据正方体的表面展开图可得，是正方体的表面展开图的是   ， 故选：B；·················2分 （2）解：根据长方体的表面展开图可得， 可能是该长方体表面展开图的有①②③， 故答案为：①②③；·················4分 （3）解：∵长方体的长、宽、高分别为4，3，6， ∴图B的外围周长；·················7分 （4）解：此时外围周长为．·················10分 24．（10分） 【答案】(1)①；②； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了分式的裂项相消法，熟练掌握裂项的规律（根据分母的结构确定拆分形式与系数）并利用抵消简化计算是解题的关键． （1）①观察已知式子的拆分规律，推导的拆分形式；②利用①的拆分规律对式子裂项，再通过抵消计算结果； （2）根据已知的拆分方法（提取），对式子裂项后抵消计算； （3）先确定拆分系数，对式子裂项后抵消计算． 【详解】（1）解：①， 故答案为：；·················2分 ② ， 故答案为：；·················4分 （2）解： ；·················7分 （3）解： ．·················10分 25．（12分） 【答案】(1) (2) (3)，，0，5， (4)，， 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数、列代数式、中点公式，结合题意确定对应数和中点并采用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据定义可知“6中数”在数轴上是两个个位是6的数所对应点的中点，利用中点公式即可求得； （2）根据题意可以用相应的代数式表示出和，再利用中点公式即可求得； （3）根据定义确定范围内的个位是6的数有、、6、，采用分类讨论的思想两两组合分别求出所有的“6中数”即可； （4）根据定义确定范围内的个位是6的数有、、6，即脚踏感应器对应点的数，从而得到同时踩到脚踏感应器有三种情况，根据时间，结合数轴上两点距离表示路程列出时间关系式即可． 【详解】（1）解：∵到个位数字是6的两个点距离相等的点所对应的数，叫这两个点的“6中数”， ∴“6中数”是个位数字是6的两个点的中点， ∵表示的数是，表示的数是， ∴、的“6中数”为； 故答案为：；·················2分 （2）解：∵、都是两位数，个位数字都是6，十位数字分别是、， ∴表示的数为，表示的数为， ∴、的“6中数”为；·················4分 （3）解：∵范围内个位是6的数有、、6、， ∴当两个点表示的数分别是、时，这两个点的“6中数”为， 当两个点表示的数分别是、6时，这两个点的“6中数”为， 当两个点表示的数分别是、时，这两个点的“6中数”为， 当两个点表示的数分别是、6时，这两个点的“6中数”为（重复）， 当两个点表示的数分别是、时，这两个点的“6中数”为， 当两个点表示的数分别是6、时，这两个点的“6中数”为， ∴属于范围内的两个点的“6中数”有，，0，5，； 故答案为：，，0，5，；·················9分 （4）解：∵起点为，终点为，在个位数字是6的地方安装有脚踏感应器， ∴脚踏感应位置表示的数有、、6， ∵小丹和小东同时踩到脚踏感应器时，就会点亮感应彩灯， ∴当小丹和小东同时到达、时， 小丹的路程为：，小东的路程为：， 根据时间相等得：，即， 当小丹和小东同时到达、6时， 小丹的路程为：，小东的路程为：， 根据时间相等得：，即， 当小丹和小东同时到达、6时， 小丹的路程为：，小东的路程为：， 根据时间相等得：，即， ∴当和满足或或时，可以点亮彩灯．·················12分 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级数学上学期9月学情自测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版七年级上册第一章~第二章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图的几何体，从左面看得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 2．自贡恐龙博物馆是国家一级博物馆，2025年接待游客约2860000人次，数据2860000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 3．神舟上天、嫦娥奔月、天问探火，探秘星辰大海的背后离不开超精密加工技术的保驾护航，某飞行器控制设备中精密机械零件的尺寸要求为微米，下列零件尺寸符合要求的是（    ） A．6499.80微米 B．6499.03微米 C．6500.20微米 D．6500.03微米 4．如图是正方体，各个面展开后如图所示，对应的六个面分别用字母、、、、、表示，则正方体前、后两个面，分别是展开后图中的（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．数轴上一点沿数轴向左移动个单位长度后到达点，若点到原点的距离为，点到点和点的距离相等，则点表示的数是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数有（     ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．若，则（   ） A．4 B． C．2 D． 8．决定在方格表中的各个单元格内填入数，使得四个可能的正方形内的各数的总和相同．如图所示，其中三个角落处单元格内的数已经写好了．问她应该在位于第四个角落的单元格里写什么数？（   ） A．0     B．1      C．4      D．5        E．6 9．用棱长为的小立方块搭一个几何体，使得其两个方向的视图如图所示．当这个几何体中小立方块个数最多时，该几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 10．如图，点在数轴上表示的数分别为，则下列结论中正确的个数有（   ） ①；②；③；④； ⑤若P是数轴上任一点，表示的数是，且的最小值为17，则 A．1个 B．2个 C．3 D．4个 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．计算：_____． 12．有下列各数：0.01，10，，，0，，，，，其中属于非负整数的共有______个． 13．一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的上面、正面、左面看到的形状图，则这个几何体是用________个小立方块搭成的． 14．七巧板是我国古代劳动智慧的结晶，被西方人称为“东方魔板”．下面的图是小明同学由同一副七巧板拼成的，已知七巧板拼成的正方形（如图①）的边长为2，则拼成的“小天鹅”图案（如图②）阴影部分的面积为________． 15．将二进制数101转化成十进制数这样进行：，即二进制数101转化成十进制数为5．再如：二进制数1101转化成十进制数这样进行：，即二进制数1101转化成十进制数为13．依此类推． （1）将二进制数10011转化成十进制数为___________； （2）将十进制数23转化成二进制数为___________． 16．任意取一个正整数，如果它是奇数，就将该数乘3再加1；如果它是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过若干次计算后，得到的结果必然是1（结果为1时停止计算），每一次计算称为一次变换．根据上述运算法则，若给定一个正整数a，经过8次变换后得1，则a的最小值为_________． 三、解答题（本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 18．（6分）解答下列各题 (1)如图，数轴上点A，B，C，D分别表示什么数？ (2)画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： ，，0，5，，，3，． 19．（6分）如图是用棱长为的小正方体组成的简单几何体． (1)在右面的网格中画出从左面看和从上面看到的这个几何体的形状图； (2)若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保证添加后得到的新几何体从正面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加______个小正方体． 20．（6分）股民小王上星期五买进某股票1000股，每股25元，下表为本周内每日该股票收盘价比前一天的涨跌情况（单位：元）；（“+”表示收盘价比前一天涨） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（元） (1)星期四收盘时，每股是多少元？ (2)本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (3)已知买进股票时需付成交额的手续费，卖出时需付成交额的（千分之）的手续费和的交易税．如果小王在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？（收益卖股票收入买股票支出卖股票手续费和交易税买股票手续费） 21．（8分）阅读：表示4与1的差的绝对值，也可以理解为4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示4与的差的绝对值，也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)_________，_________； (2)利用数轴找出所有符合条件的整数，使得； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数，使得． 22．（8分）阅读材料，求值：． 解：设①，将等式两边同时乘以得： ②， ②①，得：， 所以， 即， 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数）． 23．（10分）我们知道，将一个正方体或长方体的表面沿某些棱剪开，可以展成一个平面图形． (1)下列图形中，是正方体的表面展开图的是_____． A．    B．    C．    D． (2)如图所示的长方体，长、宽、高分别为4、3、6，若将它的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形．则下列图形中可能是该长方体表面展开图的有_____（填序号）． (3)下列、分别是题（2）中长方体的一种表面展开图，已知求得图的外围周长为52，请你求出图的外围周长； (4)第（2）题中长方体的表面展开图还有不少，聪明的你能画出一个使外围周长最大的表面展开图吗？请画出这个表面展开图，并在图中用数字标注出外围各线段的长度，并求出它的外围周长． 24．（10分）如何计算呢？数学兴趣小组通过探索完成了这道题的计算．他们的探究思路如下： 解：小红发现：，，，…… 于是有：原式． (1)①兴趣小组的同学发现此类算式有一个规律，请你帮忙写出来： ； ②兴趣小组的同学根据这一规律，发现： ； (2)兴趣小组的同学继续探索算式，发现：，，则和之间的数量关系为：，请你利用同学们的发现，结合（1）中的计算方法，帮助兴趣小组计算出的结果； (3)请利用前面的思想方法计算：． 25．（12分）在数轴上，我们称到个位数字是6的两个点距离相等的点所对应的数，叫这两个点的“6中数”，例如，图1，表示，表示6，那么0就是和6的“6中数”． (1)如图2，表示的数是，表示的数是，求、的“6中数”是______； (2)若、都是两位数，个位数字都是6，十位数字分别是、（，是小于的正整数），则、的“6中数”是（用含，的代数式表示）； (3)在数轴上，属于范围内的两个点的“6中数”有______； (4)六中艺术节在一段长米的直路上进行彩灯秀表演，如果将起点在数轴上记为，那么终点记为，在个位数字是6的地方安装有脚踏感应器，在每个“6中数”的位置有感应彩灯，小丹和小东同时从起点向终点跑去，小东比小丹跑的快，小东到达终点，小丹也停止，在跑步的过程中，当他们同时踩到脚踏感应器时，就会点亮感应彩灯，如果用表示小丹的速度，用表示小东的速度，和满足哪些关系，可以点亮彩灯？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级数学上学期9月学情自测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版七年级上册第一章~第二章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图的几何体，从左面看得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查从不同方向看几何体，根据几何体的结构特征判断形状即可． 【详解】 解：观察几何体可知，从左面看得到的平面图形是． 2．自贡恐龙博物馆是国家一级博物馆，2025年接待游客约2860000人次，数据2860000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 3．神舟上天、嫦娥奔月、天问探火，探秘星辰大海的背后离不开超精密加工技术的保驾护航，某飞行器控制设备中精密机械零件的尺寸要求为微米，下列零件尺寸符合要求的是（    ） A．6499.80微米 B．6499.03微米 C．6500.20微米 D．6500.03微米 【答案】D 【详解】解：由题意得，合格尺寸（单位：微米）满足，即， ∵，，， ∴A、B、C均不符合要求； ∵，∴D符合要求． 4．如图是正方体，各个面展开后如图所示，对应的六个面分别用字母、、、、、表示，则正方体前、后两个面，分别是展开后图中的（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】首先确定正方体的前面是，再根据的相对面是，即可确定正方体前、后两个面． 【详解】解：正方体前面的正方形中的两个黑色正方形分别位于正方形的左上角和右下角， 正方体的前面是， 由正方体的表面展开图可知的对面是， 正方体的后面是． 5．数轴上一点沿数轴向左移动个单位长度后到达点，若点到原点的距离为，点到点和点的距离相等，则点表示的数是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】由点到原点距离的两种情况切入，结合平移、中点条件求解． 【详解】解：点到原点的距离为， 点表示的数为或． 点向左移动个单位到达点， 点表示的数为或． 点到点和点的距离相等， 点是线段的中点， 点表示的数为或． 6．有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数有（     ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据数轴上点的位置确定、的正负号及绝对值的大小关系，结合有理数的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知：，且， ∴，故①正确； ，故②正确； ，故③正确； ，故④错误． 综上所述，一定成立的有①②③，共3个． 7．若，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解：∵任意有理数的平方和绝对值都是非负数，且 ∴， 解得， 将，代入，得． 8．决定在方格表中的各个单元格内填入数，使得四个可能的正方形内的各数的总和相同．如图所示，其中三个角落处单元格内的数已经写好了．问她应该在位于第四个角落的单元格里写什么数？（   ） A．0     B．1      C．4      D．5        E．6 【答案】B 【分析】用分别方格中另外5个数，设第四个角落的单元格里的数为，根据题意列出相应的式子即可求解． 【详解】解：如图，用分别方格中另外5个数，设第四个角落的单元格里的数为， ∵四个可能的正方形内的各数的总和相同， ∴，即， ∴， 同理，，即， ∴， ∴第四个角落的单元格里的数为1． 9．用棱长为的小立方块搭一个几何体，使得其两个方向的视图如图所示．当这个几何体中小立方块个数最多时，该几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由三视图判断几何体，几何体的表面积，解题的关键是理解三视图的定义．在俯视图中，写出最多时，小正方体的个数，再根据表面积的定义求解． 【详解】解：最多时，小立方块的个数如俯视图所示． 则几何体左右各9个小正方形的面，上下各6个小正方形的面，前后各个小正方形的面， ∴表面积． 故选：D． 10．如图，点在数轴上表示的数分别为，则下列结论中正确的个数有（   ） ①；②；③；④； ⑤若P是数轴上任一点，表示的数是，且的最小值为17，则 A．1个 B．2个 C．3 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的特征和应用以及绝对值的含义和求法，有理数的加法和乘法，解题的关键是掌握相关的知识的灵活运用．根据数轴得：，故可判断②，再根据有理数的乘法即可判断①，根据有理数的加法即可判断③，根据绝对值的性质即可判断④，根据绝对值的几何意义即可判断⑤． 【详解】解：根据数轴得：，故②正确； ， ，故①正确； ②， ， ，故③正确； ，， ， ，故④不正确； 当时，的值最小，即， ，故⑤正确． 综上所述，正确的有①②③⑤，共4个， 故选：． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．计算：_____． 【答案】 【详解】解： ． 12．有下列各数：0.01，10，，，0，，，，，其中属于非负整数的共有______个． 【答案】4 【分析】先根据有理数运算法则化简每个数，再根据非负整数的定义，即和正整数，找出符合条件的数，统计个数即可． 【详解】解：，，， 因此符合条件的数有：，，，，共个． 13．一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的上面、正面、左面看到的形状图，则这个几何体是用________个小立方块搭成的． 【答案】 【分析】此题主要考查根据从不同方向看到的几何体的形状判断几何体．根据题意可以得到该几何体从正面和上面看至少有多少个小立方块，综合考虑即可解答本题． 【详解】解：从上面看底层有6个小立方块， 从正面和左面看共有2层，第2层只有1个小立方块，如图， 则这个几何体是用个小立方块搭成的． 故答案为：． 14．七巧板是我国古代劳动智慧的结晶，被西方人称为“东方魔板”．下面的图是小明同学由同一副七巧板拼成的，已知七巧板拼成的正方形（如图①）的边长为2，则拼成的“小天鹅”图案（如图②）阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了七巧板问题． 用正方形的面积减去白色三角形的面积即可． 【详解】解：． 故答案为：． 15．将二进制数101转化成十进制数这样进行：，即二进制数101转化成十进制数为5．再如：二进制数1101转化成十进制数这样进行：，即二进制数1101转化成十进制数为13．依此类推． （1）将二进制数10011转化成十进制数为___________； （2）将十进制数23转化成二进制数为___________． 【答案】 19 10111 【分析】（1）根据题中给出的示例，二进制数转化为十进制数的方法是将每一位上的数字乘以对应的2的幂次方，然后相加即可； （2）将十进制数转化为二进制数，可采用“除2取余法”，即不断用2去除该数，直到商为0为止，然后将余数倒序排列即可． 【详解】解：（1）由题意知，， ∴将二进制数10011转化成十进制数为19； （2）， ， ， ， ， 将余数从下往上排列，得到：10111， 经检验：， ∴将十进制数23转化成二进制数为10111． 16．任意取一个正整数，如果它是奇数，就将该数乘3再加1；如果它是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过若干次计算后，得到的结果必然是1（结果为1时停止计算），每一次计算称为一次变换．根据上述运算法则，若给定一个正整数a，经过8次变换后得1，则a的最小值为_________． 【答案】 【分析】采用逆推法，从最终结果出发，根据变换规则反向推导每一步可能的正整数，结合变换停止规则排除不符合要求的结果，最终得到初始值的最小值． 【详解】设初始值，第次变换后结果为，由题意得，根据变换规则逆推： 1．若第次变换后的结果为，仅存在一种可能 2．若第次变换后的结果为，仅存在一种可能 3．若第次变换后的结果为，存在两种可能或，会提前停止变换，不符合要求，仅保留 4．若第次变换后的结果为，仅存在一种可能 5．若第次变换后的结果为，存在两种可能或 6．若第次变换后的结果为，仅得；若第次变换得，仅得，故可能为 7．若第次变换后的结果为，得或；若第次变换得，得或，故可能为 8．逆推初始值：得到所有可能值为，其中最小的正整数为． 三、解答题（本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ；···················1分 （2）解： ；··················2分 （3）解： ；·················4分 （4）解： ．·················6分 18．（6分）解答下列各题 (1)如图，数轴上点A，B，C，D分别表示什么数？ (2)画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： ，，0，5，，，3，． 【答案】(1)数轴上点A，B，C，D分别表示； (2)数轴上的点表示各数，如图： 【详解】(1)数轴上点A，B，C，D分别表示；·················4分 (2)数轴上的点表示各数，如图： ·················6分 19．（6分）如图是用棱长为的小正方体组成的简单几何体． (1)在右面的网格中画出从左面看和从上面看到的这个几何体的形状图； (2)若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保证添加后得到的新几何体从正面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加______个小正方体． 【答案】(1) 该几何体从左面看到的形状图如下： 从上面看到的形状图如下： (2)． 【分析】（1）根据该几何体分别从左面看，从上面看，画出即可； （2）根据图中标注出应摆放的小正方体的个数即可解答． 【详解】（1）该几何体从左面看到的形状图如下： ·················2分 从上面看到的形状图如下： ·················4分 （2）解：在备注数字的位置上加相应数量的小正方体即可，如从上面看到的形状图： ， 所以为保持从正面和上面看到的形状图不变，最多可以再添加块小正方体．·················6分 20．（6分）股民小王上星期五买进某股票1000股，每股25元，下表为本周内每日该股票收盘价比前一天的涨跌情况（单位：元）；（“+”表示收盘价比前一天涨） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（元） (1)星期四收盘时，每股是多少元？ (2)本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (3)已知买进股票时需付成交额的手续费，卖出时需付成交额的（千分之）的手续费和的交易税．如果小王在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？（收益卖股票收入买股票支出卖股票手续费和交易税买股票手续费） 【答案】(1)元 (2)最高价是每股元，最低价是每股24元 (3)赔元 【分析】（1）根据题意，买进时每股为25元，周一收盘时，每股涨了2元，可得周一收盘时每股的价格，依此类推即可解答； （2）根据表格，可求出每天的股价，再进行比较即可解答； （3）根据题意推出周五收盘前的每股价格，然后计算出1000股的总价，再减去所缴纳的手续费和交易税，即为周五收盘前将股票全部卖出的总额，再跟买进时股票的总成本进行比较，即可得到答案． 【详解】（1）解：元， 即星期四收盘时，每股是元；·················1分 （2）解：星期一：元； 星期二：元； 星期三：元； 星期四：元； 星期五：元； 因为， 所以本周内最高价是每股元，最低价是每股24元；·················3分 （3）解：买进的总成本：元； 卖出的净收入：元， 则赔钱：元．·················6分 21．（8分）阅读：表示4与1的差的绝对值，也可以理解为4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示4与的差的绝对值，也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)_________，_________； (2)利用数轴找出所有符合条件的整数，使得； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数，使得． 【答案】(1)5；7 (2)2或 (3)，，，，， 【分析】结合数轴，利用绝对值的几何含义求解各小问即可． 【详解】（1）解：，；·················2分 （2）因为， 所以表示在数轴上表示数与的两点之间的距离等于5， 因此整数的值为2或；·················4分 （3）因为， 所以表示在数轴上表示数的点分别与表示数，的两点之间的距离之和， 因此所有符合条件的整数的值为，，，，，．·················8分 22．（8分）阅读材料，求值：． 解：设①，将等式两边同时乘以得： ②， ②①，得：， 所以， 即， 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据材料提示，设，结合题意的计算方法求解即可； （2）设，等式两边同时乘以，结合题意的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：设， ， ， ；·················3分 （2）设， ， ∴， ， ．·················8分 23．（10分）我们知道，将一个正方体或长方体的表面沿某些棱剪开，可以展成一个平面图形． (1)下列图形中，是正方体的表面展开图的是_____． A．    B．    C．    D． (2)如图所示的长方体，长、宽、高分别为4、3、6，若将它的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形．则下列图形中可能是该长方体表面展开图的有_____（填序号）． (3)下列、分别是题（2）中长方体的一种表面展开图，已知求得图的外围周长为52，请你求出图的外围周长； (4)第（2）题中长方体的表面展开图还有不少，聪明的你能画出一个使外围周长最大的表面展开图吗？请画出这个表面展开图，并在图中用数字标注出外围各线段的长度，并求出它的外围周长． 【答案】(1)B (2)①②③ (3)58 (4)如图所示，即为所求； 70 【分析】本题考查了几何体的展开图，解题的关键是熟练掌握几何体的展开图的特征，属于中考常考题型． （1）根据正方体的平面展开图求解即可； （2）根据长方体的平面展开图求解即可； （3）根据长方体的长、宽、高分别为4，3，6结合图形求解即可； （4）要使外围周长最大，那么边长为6的边要尽可能在外围，边长为3的边尽可能不在外围，据此作图求解即可． 【详解】（1） 解：根据正方体的表面展开图可得，是正方体的表面展开图的是   ， 故选：B；·················2分 （2）解：根据长方体的表面展开图可得， 可能是该长方体表面展开图的有①②③， 故答案为：①②③；·················4分 （3）解：∵长方体的长、宽、高分别为4，3，6， ∴图B的外围周长；·················7分 （4）解：此时外围周长为．·················10分 24．（10分）如何计算呢？数学兴趣小组通过探索完成了这道题的计算．他们的探究思路如下： 解：小红发现：，，，…… 于是有：原式． (1)①兴趣小组的同学发现此类算式有一个规律，请你帮忙写出来： ； ②兴趣小组的同学根据这一规律，发现： ； (2)兴趣小组的同学继续探索算式，发现：，，则和之间的数量关系为：，请你利用同学们的发现，结合（1）中的计算方法，帮助兴趣小组计算出的结果； (3)请利用前面的思想方法计算：． 【答案】(1)①；②； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了分式的裂项相消法，熟练掌握裂项的规律（根据分母的结构确定拆分形式与系数）并利用抵消简化计算是解题的关键． （1）①观察已知式子的拆分规律，推导的拆分形式；②利用①的拆分规律对式子裂项，再通过抵消计算结果； （2）根据已知的拆分方法（提取），对式子裂项后抵消计算； （3）先确定拆分系数，对式子裂项后抵消计算． 【详解】（1）解：①， 故答案为：；·················2分 ② ， 故答案为：；·················4分 （2）解： ；·················7分 （3）解： ．·················10分 25．（12分）在数轴上，我们称到个位数字是6的两个点距离相等的点所对应的数，叫这两个点的“6中数”，例如，图1，表示，表示6，那么0就是和6的“6中数”． (1)如图2，表示的数是，表示的数是，求、的“6中数”是______； (2)若、都是两位数，个位数字都是6，十位数字分别是、（，是小于的正整数），则、的“6中数”是（用含，的代数式表示）； (3)在数轴上，属于范围内的两个点的“6中数”有______； (4)六中艺术节在一段长米的直路上进行彩灯秀表演，如果将起点在数轴上记为，那么终点记为，在个位数字是6的地方安装有脚踏感应器，在每个“6中数”的位置有感应彩灯，小丹和小东同时从起点向终点跑去，小东比小丹跑的快，小东到达终点，小丹也停止，在跑步的过程中，当他们同时踩到脚踏感应器时，就会点亮感应彩灯，如果用表示小丹的速度，用表示小东的速度，和满足哪些关系，可以点亮彩灯？ 【答案】(1) (2) (3)，，0，5， (4)，， 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数、列代数式、中点公式，结合题意确定对应数和中点并采用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据定义可知“6中数”在数轴上是两个个位是6的数所对应点的中点，利用中点公式即可求得； （2）根据题意可以用相应的代数式表示出和，再利用中点公式即可求得； （3）根据定义确定范围内的个位是6的数有、、6、，采用分类讨论的思想两两组合分别求出所有的“6中数”即可； （4）根据定义确定范围内的个位是6的数有、、6，即脚踏感应器对应点的数，从而得到同时踩到脚踏感应器有三种情况，根据时间，结合数轴上两点距离表示路程列出时间关系式即可． 【详解】（1）解：∵到个位数字是6的两个点距离相等的点所对应的数，叫这两个点的“6中数”， ∴“6中数”是个位数字是6的两个点的中点， ∵表示的数是，表示的数是， ∴、的“6中数”为； 故答案为：；·················2分 （2）解：∵、都是两位数，个位数字都是6，十位数字分别是、， ∴表示的数为，表示的数为， ∴、的“6中数”为；·················4分 （3）解：∵范围内个位是6的数有、、6、， ∴当两个点表示的数分别是、时，这两个点的“6中数”为， 当两个点表示的数分别是、6时，这两个点的“6中数”为， 当两个点表示的数分别是、时，这两个点的“6中数”为， 当两个点表示的数分别是、6时，这两个点的“6中数”为（重复）， 当两个点表示的数分别是、时，这两个点的“6中数”为， 当两个点表示的数分别是6、时，这两个点的“6中数”为， ∴属于范围内的两个点的“6中数”有，，0，5，； 故答案为：，，0，5，；·················9分 （4）解：∵起点为，终点为，在个位数字是6的地方安装有脚踏感应器， ∴脚踏感应位置表示的数有、、6， ∵小丹和小东同时踩到脚踏感应器时，就会点亮感应彩灯， ∴当小丹和小东同时到达、时， 小丹的路程为：，小东的路程为：， 根据时间相等得：，即， 当小丹和小东同时到达、6时， 小丹的路程为：，小东的路程为：， 根据时间相等得：，即， 当小丹和小东同时到达、6时， 小丹的路程为：，小东的路程为：， 根据时间相等得：，即， ∴当和满足或或时，可以点亮彩灯．·················12分 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $