2.2.2有理数的除法（分层作业，13大题型）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 本同步练通过A、B、C三层分级设计，实现从有理数除法基础运算到综合应用再到思维拓展的进阶，适配新授课分层教学需求，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|除法运算、法则辨析、乘除混合、简算及实际应用|以选择、填空、基础解答题为主，强化单一知识点掌握，如除法法则辨析题培养推理意识| |B组|除法与数轴、绝对值综合，倒数法应用，数轴位置判断|结合图形与符号语言，如数轴与除法综合题提升几何直观，培养综合运用能力| |C组|数轴折叠、新定义运算、分类讨论|设置探究性问题，如新定义除方运算、分类讨论题，发展创新意识与逻辑思维|

分层作业 2.2.2 有理数的除法 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 有理数的除法运算 题型02 有理数除法法则的辨析 题型03 有理数除法的应用 题型04 有理数乘除混合运算 题型05 有理数除法的简算 题型06 有理数四则混合运算实际应用 B组 能力进阶 题型01 有理数的除法与数轴综合 题型02 有理数的除法与绝对值的综合应用 题型03 利用倒数法求解有理数的除法 题型04 根据点在数轴的位置判断式子的正负 C组 思维拔高 题型01 数轴上折叠问题 题型02 有理数混合运算中新定义类问题 题型03 有理数四则运算中的分类讨论思想的运用 有理数的除法运算题型01 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）计算等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理除法，熟练掌握有理数除法法则是解题的关键． 根据有理数除法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．（2026·陕西渭南·模拟）计算： （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 3．的倒数与4的相反数的商为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数、相反数和有理数的除法运算． 先求出的倒数，再求的相反数，最后计算两者的商即可． 【详解】解： 的倒数为 又的相反数为 根据题意可列式为 故选：D 4．计算：_____________． 【答案】-1 【分析】根据有理数的除法运算可进行求解． 【详解】解：原式=； 故答案为-1． 【点睛】本题主要考查有理数的除法，熟练掌握有理数的除法运算是解题的关键． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2)2 (3)-6 (4)2 【分析】此题考查了有理数的除法运算，根据有理数的除法运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 有理数除法法则的辨析题型02 1．如果，则的值与0的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据有理数的除法法则：两数相除，异号得负，即可得到答案． 【详解】解：， ， 故选：B． 【点睛】主要考查了有理数的除法法则，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键． 2．计算1÷时，除法变为乘法正确的是（　　） A．1× B．1× C．1× D．1× 【答案】D 【分析】根据除以一个数等于乘以这个数的倒数判断即可． 【详解】解： 故选D． 【点睛】本题考查了有理数除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．下列说法：①若数a的绝对值等于a，则a是正数；②若，则a、b、c互为相反数；③若两个数的和为正数，则这两个数中至少有一个是正数；④若两个数的商为，则这两个数互为相反数；⑤除以一个数等于乘这个数的倒数；⑥几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，相反数，有理数的运算，解题的关键是熟练掌握相关的定义和运算法则， 根据绝对值，相反数，有理数的运算进行解答即可 【详解】解：①若数a的绝对值等于a，则a是正数或0，故此选项错误； ②若，a、b、c不互为相反数，因为相反数指的是两个数，故此选项错误； ③若两个数的和为正数，则这两个数中至少有一个是正数，故此选项正确； ④若两个数的商为，则这两个数互为相反数，故此选项正确；； ⑤除以一个数等于乘这个数（0除外）的倒数，故此选项错误； ⑥当几个不为0的数相乘时，积的符号由负因数的个数决定，故此选项错误； 则正确的只有2个， 故选：B 4．请用符号语言表示有理数的除法法则_______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的除法，直接根据有理数的除法法则即可用字母表示即可，掌握有理数的除法法则是解题的关键． 【详解】解： 用符号语言表示有理数的除法法则为：， 故答案为：． 5．嘉淇同学做一道计算题的解题过程如下： 计算：． 解：原式 ………………………………………第一步 …………………第二步 ………………………第三步 ．………………………………第四步 (1)嘉淇在进行第一步运算时，运用了乘法的____________律； (2)她在计算中出现了错误，其中你认为在第____________步开始出错了，请你给出正确的解答过程． 【答案】(1)分配 (2) 是第二步开始出错，正确的解答过程如下： 原式 ． 【分析】（1）根据乘法分配律可得答案； （2）第二步的除法运算开始出错，正确解法是先计算括号内的减法，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：对，运算时用了乘法分配律；故填：分配． （2）略 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：“先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化”． 有理数除法的应用题型03 1．（25-26上·黑龙江绥化·期中）王师傅说“我每天加工6把椅子，”李师傅说“我4天加工20把椅子．”他们谁做得快些？（   ） A．王师傅 B．李师傅 C．一样快 【答案】A 【分析】本题主要考查了除法的应用，通过计算每天加工椅子的数量来比较工作效率，王师傅每天加工6把，根据李师傅4天加工20把，求出李师傅每天加工数量，再进行比较即可． 【详解】解：∵李师傅4天加工20把椅子， ∴李师傅每天加工数量为：（把）， ∵， ∴王师傅做得快些． 故选：A． 2．（25-26上·黑龙江哈尔滨·期末）已知平均每个水龙头一天漏水约，如果1个人1年用水，那么按照这个漏水速度，100个水龙头1年（365天）的漏水量可供______人用1年． 【答案】73 【分析】本题考查了有理数的乘除法的应用，根据题意，先计算100个水龙头一年的总漏水量，再除以一个人一年的用水量，得到可供的人数． 【详解】解：平均每个水龙头一天漏水，100个水龙头一天漏水， 100个水龙头一年漏水． 因为一个人一年用水，所以（人）． 故答案为73． 3．小明骑摩托车去城里，去时每小时行驶45km，用去6小时．后来接到电话，让他4小时回来，他回来时每小时要行驶多少千米？ 【答案】67.5千米 【分析】根据题意求得路程，根据速度等于路程除以时间即可求解． 【详解】解：45×6÷4 =270÷4 =67.5（千米/时）； 答：返回时每小时行驶67.5千米． 【点睛】本题考查了有理数乘除法的实际应用，掌握关系式：速度×时间=路程，路程÷时间=速度是解题的关键． 4．（25-26七年级上·湖南永州·期中）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．永州市小王家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电电车，他连续七天记录了每天行驶的路程（如下表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程/ (1)这七天里路程最多的一天比最少的一天多行驶 ； (2)小王家的新能源汽车这七天一共行驶了多少； (3)已知小王家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足最大续航里程的，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算，说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【答案】(1)50； (2)； (3)不会． 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数减法的实际应用，有理数混合运算的实际应用．理解题意，正确列出等式是解题关键． （1）由表格可得出这七天里路程最多的一天和最少的一天，再相减即可； （2）先求出这七天高于（或低于）的标准所行驶的路程，再加上七天按标准行驶的路程，即可求解； （3）求出剩余续航里程所占百分比和比较即可． 【详解】（1）解：由表格可知最多的一天为第七天，最少的一天为第三天， 所以最多的一天比最少的一天多行驶； （2）解：， 答：小王家的新能源汽车这七天一共行驶了 ； （3）解：， 所以行车电脑不会发出充电提示． 5．公交车由始发站A站开出向B站行进，与此同时，小强和小明分别从A，B两站同时出发，小强由A向B步行，小明骑自行车由B向A行驶，小明的速度是小强的3倍，公交车每隔相同时间发一辆车，小强发现每隔有一辆公交车追上他，而小明也发现每隔就遇到一辆公交车． (1)求两辆公交车发车的间隔时间． (2)若A，B两站相距，公交车的速度为，问在行进途中（不包括起点和终点），小强被几辆公交车追上，小明又遇到了几辆公交车？ 【答案】(1) (2)被5辆公交车追上，共遇到3辆公交车 【分析】此题属于应用类问题，解答本题的关键是求出公交车的速度与小明、小强的速度的关系，要注意掌握解不定方程的技巧． （1）设小强速度是x，那么小明的速度，再设公交车为y，因为两辆车间隔距离相等，小强与车是追及问题，即小强与小明之间距离为①，小明与小强是相遇问题，即小明与车之间的距离为②，根据上面两式可得到，代入①即可求得一的值，也即可得出两辆公交车发车的间隔时间． （2）根据题意条件求出小强、小明的速度，及走完全路程所用的时间，结合第一问可得出答案． 【详解】（1）解：设小强的速度是x，则小明的速度是．设两辆公交车之间的距离是s，公交车的速度为y． 由题意，得 解得， ∴两辆公交车发车的间隔时间为． （2）解：， ， 小强走完用，每被追上一次，总共就被追上6次，除去终点的一次，共被5辆公交车追上．小明骑完用，第一次相遇时是第，每相遇一次， ∴总共遇到3辆公交车． 有理数乘除混合运算题型04 1．计算的结果是（   ） A．2 B． C． D．7 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算．先算乘除，后算加减，即可解答． 【详解】解： ， 故选：B． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用有理数的运算法则分别计算后即可得到答案． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项正确，符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则和运算顺序是解题的关键． 3．计算：_________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘除法法则．把除法转化为乘法，利用多个有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解：原式 故答案为： 4．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用有理数乘法分配律运算即可； （2）利用有理数乘除法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟知运算律和运算法则是解题的关键． 5．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4) (5)； (6)； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（）利用有理数减法法则，将减法转化为加法即，再按有理数加法法则计算，得出结果； （）先把小数化分数，依据有理数减法法则转化符号，再用加法交换律和结合律分组计算，最后得出和为； （）把带分数化假分数，按照有理数乘除法法则从左到右依次计算，逐步得出结果； （）运用乘法分配律，将括号内的每一项分别与相乘，再把所得积相加，得到； （）把带分数变形为，再利用分配律展开计算，得出； （）先算乘方，再算括号内的运算，接着算乘法，最后算减法，结果为． 【详解】（1）解： ． （2） ． （3） ． （4） ． （5） ． （6） ． 【点睛】本题主要考查有理数混合运算，综合运用有理数加、减、乘、除、乘方法则，借助乘法分配律、加法交换律与结合律简化计算，严格遵循“先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内”的运算顺序，考查对有理数运算知识的综合掌握． 有理数除法的简算题型05 1．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）的值为________． 【答案】 【分析】根据乘法分配律将算式变化，即可计算出结果． 【详解】解： 2．计算：+； 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据加法交换律进行简便运算即可． 【详解】解：原式 ． 3．（24-25下·黑龙江绥化·期中）用简便方法计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)17 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法运算律，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先将除法化为乘法，再利用乘法分配律简便计算即可； （2）先利用乘法分配律展开，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（24-25七年级上·甘肃定西·月考）数学张老师在多媒体上列出了如下的材料：计算 上述这种方法叫拆项法．请仿照上述方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查有理数的加减乘除运算，解题的关键是正确理解题意给出的运算方法． （1）根据题意给出的运算方法以及有理数的加减乘除运算法则即可求出答案； （2）根据题意给出的运算方法以及有理数的加减运算法则即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 5．简便计算 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3)1 (4) (5) 【分析】（1）根据，根据分数的拆项公式进行简算即可； （2）先将除法转化为乘法，再逆用乘法分配律进行计算即可； （3）先计算括号里面的，再计算最后计算乘法即可； （4）把原式转化为，再利用乘法分配律进行计算即可； （5）根据先将看着一个整体，利用乘法分配律把后面乘法部分展开，再逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） （5） 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．灵活运用乘法分配律进行计算． 有理数四则混合运算实际应用题型06 1．一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，那么这家商店卖这两件衣服总的情况是（　　） A．盈利了 B．亏损了 C．不盈不亏 D．盈亏不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算在实际生活中的应用，正确计算出两件衣服的进价是解题关键．此题可先计算出两件衣服的进价，再算出售价和进价的差值判断盈亏情况． 【详解】解：盈利衣服的进价为（元）； 亏损衣服的进价为（元）； ， ∴这家商店卖这两件衣服总的情况是亏损了． 故选：B． 2．体育课上全班女生进行了50米测试，达标成绩为，下面是某小组8名女生的成绩记录：，，0，，，，，，其中“＋”号表示成绩大于，“－”号表示成绩小于，该小组女生的达标率为______． 【答案】 【分析】根据正负数的意义可得达标的有6人，然后计算即可． 【详解】解：由题意得，，0，，，，，中，小于等于0的有6个，即达标的有6人， 则这个小组的达标率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正负数的意义，根据正负数的意义得出达标的人数是解题的关键． 3．（24-25七年级·山东聊城·月考）某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产自行车100辆，由于各种原因，实际每天生产量与计划每天生产量相比有出入．下表是某周的自行车生产情况（过计划生产量为正，不足计划生产量为负，单位：辆）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减/辆 (1)根据记录可知，前三天共生产自行车______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)该厂实行按生产的自行车数量的多少计工资，即计件工资制．如果每生产1辆自行车就可以得到人民币60元，每天超额完成任务，每超1辆可多得15元，不足计划数的，每少生产1辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)303 (2)28 (3)42470 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的实际应用及正数和负数的实际应用，解题的关键是读懂题意，正确的列出算式． （1）利用表格中前三个的数据和加上，进行求解即可； （2）表格中的最大数据减去最小数据，即可得到答案； （3）分别算出每一天的工资，然后再相加即可． 【详解】（1）解： （辆）， ∴前三天共生产自行车303辆； 故答案为：303； （2）解：（辆）； ∴产量最多的一天比产量最少的一天多生产28辆； （3）解：星期一：（元）， 星期二：（元）， 星期三：（元）， 星期四：（元）， 星期五：（元）， 星期六：（元）， 星期日：（元）， ∴(元）， 答：该厂工人这一周的工资总额是元． 4．【问题呈现】 为缓解百姓停车压力，政府新建多个公用停车场、小嘉同学家所在小区附近也建有一个．该停车场收费标准的指示牌如图所示． 说明：停车1小时内（包含1小时）免费；小时，超过1小时的部分为每小时2元；小时，超过4小时的部分为每小时3元；6小时以上或过夜车辆，共计收费20元． 【应用体验】 今年国庆期间，小嘉邀请同学小兴一家到家里做客，小兴爸爸将车停在了该停车场，从进场停车到取车驶离，共经过了小时，则小兴爸爸共花费了停车费___________元． 【深入思考】 今年秋假期间，小嘉妈妈的好友小禾阿姨到访，她也将车停在了该停车场，已知小禾阿姨的停车时长为整数小时，她一共花了9元停车费，求小禾阿姨的停车时长． 【答案】应用体验：6；深入思考：5小时 【分析】应用体验：停车时长为小时，那么需要按照4小时收费，据此列式求解即可； 深入思考：根据题意可推出小禾阿姨的停车时长一定大于4小时，小于6小时，根据停车费为9元列式求解即可． 【详解】解：应用体验：，（元）， ∴小兴爸爸共花费了停车费6元； 深入思考：停车4小时时，停车费为（元）， 停车6小时时，停车费为（元）， ∵，     ∴小禾阿姨的停车时长一定大于4小时，小于6小时， ∵，且小禾阿姨的停车时长为整数小时， ∴小禾阿姨的停车时长为（小时）， 答：小禾阿姨的停车时长为小时． 5．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）某检修小组乘一辆汽车沿东西走向的公路检修线路，约定向东走为正．某天从地出发到收工时，行走记录如下（单位：）： ，，，，，，，，，， (1)收工时，检修小组在地的哪一边？距地多远？ (2)若汽车每千米耗油0.1升，则从地出发到收工时共耗油多少升？ 【答案】(1)收工时，检修小组在A地的东边，距A地39千米 (2)共耗油6.5升 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数四则混合运算的应用等知识，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键． （1）将行走记录的数字相加，由此即可得； （2）将行走记录的数字的绝对值相加，再乘以每千米汽车耗油量即可得． 【详解】（1）解： ， ∵， 答：收工时，检修小组在A地的东边，距A地39千米； （2）解： ， ， 答：从地出发到收工时共耗油6.5升． 有理数的除法与数轴综合题型01 1．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2023的点与圆周上表示哪个数字的点重合？（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查数轴，有理数的减法与除法，圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，滚动到2023时，滚动了2024个单位长度，用2024除以4，余数即为重合点． 【详解】解：圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合， ， ， 圆滚动了506周到2023， 因此数轴上表示2023的点与圆周上表示0的点重合． 故选A． 2．（25-26上·上海·期中）数轴上的点A、点B所对应的数分别是和5.1，如果数轴上另有一点C，且点C与点A的距离等于点C与点B的距离，那么点C所对应的数是_______． 【答案】0.95 【分析】本题考查有理数与数轴，根据点C与点A、点B的距离相等，得到点C是的中点，进行求解即可． 【详解】解：由题意，点C是的中点， 故点表示的数为． 故答案为：0.95． 3．（24-25上·山东烟台·期末）一把刻度尺在数轴上的摆放位置如图①所示，它的左端点A的刻度为“”，刻度“”和“”分别与数轴上表示数和0的点重合；如图②，刻度尺沿数轴向右移动6个单位，恰使它的右端点B与数轴上表示数7的点重合，则该刻度尺的长度为________． 【答案】30 【分析】本题考查了数轴与刻度尺，根据刻度“”和“”分别与数轴上表示的数0和的点重合，可求出数轴上一个单位是，再根据向右平移6个单位得出点B表示的数，就可求出刻度尺的长，解题的关键是求出一个单位长度代表多少厘米． 【详解】解：∵刻度“”和“”分别与数轴上表示数0和的点重合， ∴数轴上一个单位长度为， 将该刻度尺沿数轴向右平移6个单位，如图2，恰使它的右端点B与数轴上表示数7的点重合， 图①点B表示的数是， 图①点B到原点的距离为， 刻度尺长为． 故答案为：30． 4．（24-25七年级上·山西临汾·期中）如图所示，已知在数轴上点A表示的数为3，点B表示的数为，点P为数轴上一个动点，点P从点B出发，沿着数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动． (1)点和点之间的距离为________． (2)经过多少秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离？此时，点P对应的数为多少？ (3)经过多少秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍？此时，点P对应的数为多少？ 【答案】(1)10 (2)经过秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离，此时点P对应的数是 (3)经过或10秒后，点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，此时点P对应的数分别是或13 【分析】本题主要考查了数轴上两点间距离，数轴上的动点问题，有理数混合运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握数轴上两点间距离公式． （1）根据两点间距离公式进行求解即可； （2）根据点P到点B的距离等于点P到点A的距离，结合两点间距离，求出点P运动的距离，再根据运动速度求出点P运动时间，最后求出点P表示的数即可； （3）分两种情况，当点P在点A左侧时，当点P在点A右侧时，分别列式求出结果即可． 【详解】（1）解：点和点之间的距离为； （2）解：，（秒）， 此时，点P对应的数为， 答：经过秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离，此时点P对应的数是； （3）解：当点P在点A的左边时， ， （秒）． 此时，点P对应的数为． 当点P在点A的右边时， ， （秒）． 此时，点P对应的数为， 综上：经过或10秒后，点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，此时点P对应的数分别是或13． 5．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）的木棒放置在一条数轴上（数轴的1个单位长度为）．木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合．若将木棒在数轴上水平移动，当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为24；当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得到木棒a的长为______． （2）借助上述方法请你运用“数轴”这个工具帮助小明解决下列问题：一天，小明去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生呢；你若是我现在这么大，我已经115岁，是老寿星了，哈哈！”小明纳闷，爷爷到底是多少岁？ 请你画出示意图，求出爷爷和小明现在的年龄，并说明解题思路． 【答案】（1）木棒a的长为；（2）小明今年15岁，爷爷现在的年龄为65岁 【分析】此题考查了数轴，解题的关键是把爷爷与小红的年龄差看做一个整体（木棒）． （1）由题意可知，6和24之间刚好是3个木棒的长度，根据两点之间距离求解即可； （2）借助数轴，把小明与爷爷的年龄差看作木棒，类似爷爷像小明那么大时看作当B点移动到A点时，小明像爷爷那么大时看作当A点移动到B点时，再根据（1）的解法求解即可． 【详解】解：（1）木棒a的长为； （2）如图：点A表示小明现在的年龄，点B表示爷爷现在的年龄， 借助数轴，把小明与爷爷的年龄差看作， 类似爷爷像小明那么大时看作当B点移动到A点时，此时B点所对应的数为， 小明像爷爷那么大时看作当A点移动到B点时，此时A点所对应的数为115， 所以可知爷爷比小明大岁， 所以小明现在的年龄是岁，爷爷现在的年龄是岁． 有理数的除法与绝对值的综合应用题型02 1．下列各式的值等于9的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质和有理数的除法运算，解决本题的关键是根据绝对值的性质进行化简，再进行除法运算. 分别计算各选项的值，判断是否等于9.需注意绝对值的非负性及符号处理. 【详解】选项A：==，不等于9.选项说法错误，不符合题意； 选项B：==，不等于9.选项说法错误，不符合题意； 选项C：==，不等于9.选项说法错误，不符合题意； 选项D；==9，等于9.选项说法正确，符合题意. 故选：D. 2．如果，则一定是（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数除法，熟知绝对值为非负数是解题的关键．根据一个数的绝对值是非负数可以解题． 【详解】， 则， ， ，， 一定是负数． 故选：B． 3．（25-26七年级上·内蒙古·月考）若，则的值是（     ） A．22 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，有理数的混合运算． 利用绝对值和平方的非负性，和为零则每个部分均为零，求出x和y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， 即，， 解得：，， ∴． 故选：A． 4．【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________． 【答案】（1）或2（2）或1；（3）或或3 【分析】（1）分和，两种情况进行讨论求解即可； （2）分 中有一个负数和三个均为负数，两种情况进行讨论求解； （3）分，和，两种情况，进行讨论求解． 【详解】解：（1）∵， ∴同号， 当时：； 当时：； 故答案为：或2； （2）∵， ∴有两种情况：有一个负数和两个正数或三个均为负数， 当时，则：； 当有两个正数和一个负数时，假设：，则：； 故答案为：或1； （3）∵， ∴中有两正一负， ①当时：则：均为正， ∴， ∴； ②当时，则：一正一负， 若，则：，此时：； 如，则：，此时：； 综上，原式或或3． 故答案为：或或3 【点睛】本题考查化简绝对值，有理数乘法的符号法则．熟练掌握绝对值的性质，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 5．（24-25七年级上·广西柳州·期中）综合与实践 【知识再现】我们都知道，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，因为原点表示的数是0，所以，由此可知，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与的两点之间的距离，所以； 【问题初探】阅读以下材料，并回答问题： 如图，把一根长度为木棒放在一条数轴（单位长度为）上，它的两端分别落在点处，将木棒在数轴上水平移动，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为17，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为5． （1）由此可得，____________，的值为____________． （2）图中点所表示的数是____________，点所表示的数是____________． 【拓展应用】 （3）借助上述方法解决下列问题： 一天，小华去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经是109岁的老寿星了，哈哈”小华纳闷，奶奶到底是多少岁？ 请你画出示意图，求出小华和奶奶现在的年龄，并说明解题思路． 【答案】（1）12，4； （2）9，13； （3）小华今年13岁，奶奶今年61岁， 如图∶点A表示小华现在的年龄，点B表示奶奶现在的年龄， 借助数轴，把小华与奶奶的年龄差看作木棒，类似奶奶像小华那么大时看作当B点移动到A点时，此时点A所对应的数为．小华像奶奶那么大时看作当A点移动到B点时此时B点所对应的数为109． 可知奶奶比小华大（岁）． ，． 点A对应的数为13，点B对应的数为61． 答：小华今年13岁，奶奶现在的年龄为61岁． 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴及绝对值的含义，并能将题中结论应用是解本题的关键，综合性较强，难度适中． （1）根据数轴上两点间距离直接求解； （2）根据数轴上两点的几何意义直接求解； （3）奶奶与小华的年龄差不变，借助数轴，把奶奶与小华的年龄差看作木棒，再对应求值即可 【详解】解：（1）根据题意有， 5到点A的距离、点A到点B的距离、点B到17的距离相等，都等于木棒的长度a， ，， 12，的值为； 故答案为：12，4； （2）由（1）可知∶， 所表示的数是5， 点所表示的数是，点所表示的数是， 故答案为：9，13； （3）略 利用倒数法求解有理数的除法题型03 1．请阅读下题的解法，再计算． 例题  计算： 解：设， 则 = 所以，即 按照例题解法，请计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的除法，看懂例题的解法是解决问题的关键． 首先看懂例题的做法，先计算出的倒数的结果，再算出原式结果即可． 【详解】解：设， 则 = ， 所以，即． 2．数学老师布置了一道思考题：“计算”，小红和小明两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题． 小红的解法：原式的倒数为．所以． 小明的解法：原式． 请你分别用小红和小明的方法计算：． 【答案】 【分析】参考小红和小明的两种不同方法计算即可. 【详解】解：法：原式的倒数为， ∴； 法：原式． 【点睛】灵活采用运算技巧能使计算简化. 3．（24-25七年级上·浙江杭州·月考）老师布置了一道思考题“计算：”，小明用了一种不同的方法解决了这个问题： 原式的倒数为，所以． (1)请你用不同方法计算“”，验证小明的解法的正确性； (2)由此可以得到结论：一个数的倒数的倒数等于________； (3)请你运用小明的解法计算：． 【答案】(1) 原式 ， 小明的解法正确； (2)这个数 (3) 【分析】本题考查有理数的除法，倒数的定义．熟练掌握有理数的运算法则，倒数的定义：“两数之积为1，两数互为倒数”是解题的关键． （1）先算括号，再算除法，得出结果进行验证即可； （2）一个数的倒数的倒数等于这个数； （3）先算原式的倒数，再求这个倒数的倒数即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得到：一个数的倒数的倒数等于这个数， 故答案为：这个数； （3）解：原式的倒数为 ， 所以． 4．小华在课外书中看到这样一道题： 计算：． 他发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，他顺利地解答了这道题： (1)前后两部分之间存在着什么关系？ (2)先计算哪部分比较简便？并请计算比较简便的那部分； (3)根据以上分析，求出原式的结果． 【答案】(1)前后两部分互为倒数 (2)先计算后一部分比较方便． (3) 【分析】本题主要考查有理数的除法运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据有理数除法运算，倒数的概念进行判定即可； （2）根据有理数的除法运算法则计算即可； （3）根据有理数的除法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：前后两部分互为倒数； （2）解：先计算后一部分比较方便． ； （3）解：根据以上分析，可知原式． 5．阅读下面的材料． 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为， 其值， 原式． (1)上述解法中．你认为解法 是错误的．在正确的解法中，你认为解法 较简便．（填“一”、“二”或“三”） (2)请用你认为简便的方法计算：． 【答案】(1)一，三； (2) 【分析】（1）判断三种解法的正误，依据除法运算性质，除法没有分配律，所以解法一错误；再比较解法二和解法三，解法三通过求倒数，利用乘法分配律计算更简便． （2）借鉴（1）中简便的解法三，先求原式的倒数，再利用乘法分配律计算倒数的值，最后得出原式的值． 本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． 【详解】（1）解：上述解法中．我认为解法一是错误的．在正确的解法中，你认为解法三较简便 故答案为：一，三； （2）解：原式的倒数为： ， 故原式． 根据点在数轴的位置判断式子的正负题型04 1．（25-26九年级下·北京·学情自测）实数a、b在数轴上的位置如下图所示，则下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实数a，b在数轴上的位置可得，，再逐一判断即得答案． 【详解】解：由题意得：，， ∴，，，， ∴选项A、B、C是错误的，选项D是正确的． 2．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据各点在数轴上的位置得出a，b两点到原点距离的大小，进而可得出结论． 【详解】由图可知，，，且， A．，选选项A错误； B．，故选项B错误； C．，故选项C错误； D．，故选项D正确． 故选：D 【点睛】本题考查的是数轴，熟知有理数的加减乘除运算法则是解答此题的关键． 3．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式中，①ab＞0；②|b﹣a|＝a﹣b；③a+b＞0；④＞；⑤a﹣b＜0；正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．5个 D．4个 【答案】B 【详解】根据题意得，b<0＜a，|b|>|a|， ∴①ab<0，故①错误；②|b-a|=a-b，正确；③a+b<0，故③错误；④，正确；⑤a-b>0，故⑤错误，所以正确的有2个， 故选B. 【点睛】本题考查了数轴、有理数的运算、绝对值的化简等，熟练掌握有理数的运算法则、绝对值的性质等是解题的关键. 4．两个有理数、在数轴上的位置如图所示，则；___________0；___________；___________0（填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了数轴的性质、有理数的加法与乘法、绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，，再根据有理数的乘法与加法法则即可得． 【详解】解：由数轴可知，，， 则，， 故答案为：；；． 5．（24-25七年级上·四川自贡·期中）已知数在数轴上对应的点如图所示： (1) ， ．（填“”、“”或“”） (2)在数轴上标出的相反数的对应点的位置． (3)若与相隔个单位长度，求的值． 【答案】(1)，； (2) 如图： (3)． 【分析】本题考查了在数轴上表示数，数轴上两点间的距离，相反数的定义等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据数轴在原点的左侧，在原点的右侧即可得出答案； （2）根据相反数的定义得到为正数，为负数，然后在数轴表示出来即可； （3）由与相隔个单位长度，得到与的对应点距离原点个单位长度，又因为为负数，得到． 【详解】（1）解：由数轴可知，在原点的左侧，在原点的右侧， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵为负数，则其相反数为正数，在数轴上位于原点右侧， 为正数，则其相反数为负数，在数轴上位于原点左侧， （3）解：∵与相隔个单位长度， ∴与的对应点距离原点个单位长度， 又∵为负数， ∴． 数轴上折叠问题题型01 1．（24-25七年级上·山东济南·月考）将数轴对折，使表示与1的两个点重合，若此时表示的点与另一个表示数的点重合，则______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了数轴，先求出对称点，再求x即可． 【详解】解：∵将数轴对折，使表示与1的两个点重合， ∴对折点为， ∴此时表示的点与另一个表示数3的点重合， ∴， 故答案为：3． 2．已知数轴上点，表示的数分别是-3，10，在数轴上取一点，将数轴沿点向右对折．若点落在点的右边，且与点相距1个单位长度，则点表示的数是__________． 【答案】4 【分析】先求出点折叠后的对应点表示的数，折叠点是与的中点，用中点公式计算代表的数． 【详解】解：由题意，点折叠后的对应点在点右侧个单位，故表示的数为， ∵点与点关于折点对称， ∴点为线段的中点，即． 3．（25-26上·浙江杭州·期中）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为4，则C点表示的数是______． 【答案】或1 【分析】本题主要考查了数轴与翻折，数轴上两点间距离，有理数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先根据点对折后的对应点与点的距离是4，得出对应点所表示的数，再结合点所表示的数即知A与对应点间的距离，而C是其中点，则可知A，C两点间的距离，则C点表示的数可求． 【详解】解：因为点对折后的对应点与点的距离是4，且点表示的数为， ∴或， 又因为点表示的数是， 当点的对应点表示的数为时， ，，， 即点表示的数是1； 当点的对应点表示的数为6， ，，， 即点表示的数是； 综上所述，点表示的数为：或1． 故答案为：或1． 4．（24-25七年级上·江苏泰州·月考）如图①，在一条可以折叠的数轴上有点A，B，C，其中点A，点B表示的数分别为和7，现以点C为折点，将数轴向右对折，点A对应的点落在B的右边；如图②，再以点B为折点，将数轴向左折叠，点对应的点落在B的左边，若、B之间的距离为3，则点C表示的数为________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上的折叠问题，由翻折得，表示的数为，点C表示的数为，即可求解． 【详解】解：因为、B之间的距离为3， 所以， 因为以点B为折点，将数轴向左折叠，点对应的点落在B的左边， ， 因为点B表示的数为7， 所以表示的数为， 所以点C表示的数为； 故答案为：． 5．（25-26七年级上·四川德阳·期中）平移和翻折是初中阶段研究的两种重要的图形运动． 【平移运动】 （1）把笔尖放在数轴的原点，然后沿数轴向左移动4个单位长度，再向右移动3个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式可以将以上过程及结果表示为______． （2）把笔尖放在数轴的原点，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，……依次规律跳，当它跳了2025次时，这时笔尖的位置表示的数是______． 【翻折运动】 已知纸面上有一数轴，折叠纸面． （3）若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与______表示的点重合． （4）若1表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①3表示的点与______表示的点重合； ②若数轴上两点之间的距离为2020（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且、两点经折叠后重合，则A点表示的数是______，点表示的数是______； （5）若数轴上折叠重合的两点表示的数分别为，那么数表示的点与数______表示的点也重合．（用含有的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3）7；（4）①；②，1008；（5） 【分析】（1）根据向左为负，向右为正得出算式，求出即可； （2）由题意可以规定向右记为正，向左记为负，然后列算式，再找规律计算； （3）根据对称的知识，若1表示的点与表示的点重合，则对称中心是原点，从而找到的对称点； （4）①若1表示的点与表示的点重合，则对称中心是表示的点，从而找到3的对称点； ②根据对应点连线被对称中心平分，则点A和点B到的距离都是1010，从而求解． （5）根据对称的知识，若a表示的点与b表示的点重合，则对称中心是a，b的中点，故可以列出与数c表示的点重合的数的式子； 【详解】解：（1）∵把笔尖放在数轴的原点，然后沿数轴向左移动4个单位长度，再向右移动3个单位长度， ∴根据向左为负，向右为正得出算式：； （2）设向右跳动为正，向左跳动为负，由题意可得， ∴当它跳了2025次时，这时笔尖的位置表示的数是； （3）由题意可知：数轴上当表示1和的点重合时，相当于把数轴沿着原点进行了折叠，由此可知此时表示的点与表示7的点重合； （4）①∵1表示的点与表示的点重合， ∴对称中心是表示的点， ∴， ∴3表示的点与数表示的点重合； ②若数轴上两点之间的距离为2020（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同）， 则点A表示的数是，点B表示的数是； （5）∵a表示的点与b表示的点重合， ∴对称中心是a，b的中点． ∴与数c表示的点重合的数是． 【点睛】本题考查了有关数轴问题，数轴上两点之间的距离，解此题的关键是掌握数轴上两点之间距离的表示方法． 有理数混合运算中新定义类问题题型02 1．（25-26七年级·河南濮阳·质检）定义新运算“*”：，则的值为（） A．5 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】按照题目给出的运算规则，代入对应数值计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴． 2．若“！”是一种数学运算符号，并且，则的值为（　　） A． B． C．2450 D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了有理数的乘除法的运算方法，以及阶乘的含义和求法，要熟练掌握．根据阶乘的定义，，再代入计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 3．（24-25上·山东泰安·期中）与我们常用的10进制不同，十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0~9和字母A~F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如：十进制中26，用十六进制表示为，具体转化方法：（对应十六进制A）；十进制中123用十六进制表示为，具体转化方法：（对应十六进制B）．按照上述规则，在十六进制中所对应的10进制中的数应为_________． 【答案】108 【分析】本题主要考查进制以及进制，准确理解题意是解题的关键．根据进制和进制的转化关系进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·广东惠州·月考）已知a是有理数，表示不超过a的最大整数，如，，，等，那么________． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘除运算．根据表示不超过的最大整数，求出各个数，再计算即可求解． 【详解】解：∵表示不超过的最大整数， ∴ ； 故答案为：． 5．（25-26七年级上·陕西咸阳·月考）我们已经知道：求n个相同因数的积的运算叫做乘方．类比乘方的定义，求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．我们把记作，读作“2的下3次方”，记作：，读作“的下4次方”． (1)直接写出计算结果：_______； (2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：．仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式：_______，________； (3)计算：． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，理解表示“的下次方”的意义是正确计算的关键． （1）根据表示“的下次方”的意义进行计算即可； （2）根据表示“的下次方”的意义，进行计算进而得出答案； （3）按照有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为： ． （2）解： ； ． （3）解： ． 有理数四则运算中的分类讨论思想的运用题型03 1．如果有理数、满足，那么的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘除法，化简绝对值，由，可知与异号，利用绝对值的性质分别计算两种情形的值即可，掌握有理数的乘法法则是解题关键． 【详解】解：∵， ∴与异号， 若，， ∴； 若，， ∴； 综上，， 故选：． 2．已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于_________． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的含义．分四种情况讨论即可得到结果，不重不漏是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴的值等于或， 故答案为：或． 3．实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个相同高度的圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为，用两个相同的管子在高度处连通（即管子底部离容器底），现三个容器中，只有乙中有水，水位高，如图所示．若每分钟同时向甲和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，甲的水位上升．则开始注入____分钟水量后，甲的水位比乙高． 【答案】2或6 【分析】本题主要考查了列代数式的应用，利用圆柱体积计算公式，利用底面半径之间的关系得出高之间的关系是解决问题的关键．开设始注入x分钟的水量后，甲的水位比乙高，有两种情况：①甲的水位达到厘米，乙不变时；②甲、丙的水位到达管子底部10厘米，乙的水位上升到时；分别列式计算即可． 【详解】解：①∵开始时乙中水位高， ∴甲的水位比乙高即为， ∵注水1分钟，甲的水位上升， ∴需要注入分钟水量后，甲的水位比乙高； ②甲、丙中的水流入乙后，甲的水位比乙高，此时甲、丙中的水位高， 则乙中的水位高， ∵甲、乙、丙底面半径之比为， ∴设容器甲、丙的底面半径为r，则乙的底面半径为， ∴所需时间=分钟， 故答案是：2或6分钟． 4．已知． (1)直接写出m所有可能取值； (2)若，，，求的值． 【答案】(1)m的值为3或1或或； (2)． 【分析】本题考查了绝对值的性质，分情况讨论是解题的关键． （1）分情况讨论，①同正；②同负；③两正一负；④一正两负，利用绝对值的性质，求解即可； （2）由题意得到，推出互为相反数，则． 【详解】（1）解：分情况讨论， ①同正时，； ②同负时，； ③两正一负时，不妨设为正，为负，； ④一正两负时，不妨设为负，为正，； 综上，m的值为3或1或或； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴互为相反数， ∴． 5．（2025·河北邯郸·一模）如图，以为1个单位长度，用直尺画数轴，数轴上的点，，刚好对着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．设点，，所表示的数的和是，该数轴的原点为． (1)分别计算出原点与点重合时、与的中点重合时的值． (2)原点沿着数轴每向左移动，的值将会如何变化？当的值为时，求原点的位置． 【答案】(1)当原点与点重合时，；当原点与的中点重合时， (2)的值将会增大3，原点在点处 【分析】本题考查了数轴，相反数，有理数的加减运算，数轴上点的特点，解题的关键是熟练掌握数轴上点的特点． （1）求出当原点与点重合时，点A、B、C表示的数，再求出p的值；先求出原点与的中点重合时，点C表示的数，然后再求出p的值即可； （2）根据数轴特点，得出原点沿着数轴每向左移动，点A、B、C表示的数分别增加1，根据时，得出p增大了6，从而得出原点从与点重合的位置，向左移动，能得到． 【详解】（1）解：∵当原点与点重合时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为0， ∴， 当原点与的中点重合时，点，表示的数为一对相反数， ∴此时点表示的数为， ∴． （2）解：原点沿着数轴每向左移动，点A、B、C表示的数分别增加1，则的值将会增大3， 当时，， ∵， 原点从与点重合的位置，向左移动，能得到， 此时原点在点处． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.2.2 有理数的除法 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 有理数的除法运算 题型02 有理数除法法则的辨析 题型03 有理数除法的应用 题型04 有理数乘除混合运算 题型05 有理数除法的简算 题型06 有理数四则混合运算实际应用 B组 能力进阶 题型01 有理数的除法与数轴综合 题型02 有理数的除法与绝对值的综合应用 题型03 利用倒数法求解有理数的除法 题型04 根据点在数轴的位置判断式子的正负 C组 思维拔高 题型01 数轴上折叠问题 题型02 有理数混合运算中新定义类问题 题型03 有理数四则运算中的分类讨论思想的运用 有理数的除法运算题型01 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）计算等于（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西渭南·模拟）计算：（    ） A． B． C． D． 3．的倒数与4的相反数的商为（    ） A．5 B． C． D． 4．计算：_____________． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 有理数除法法则的辨析题型02 1．如果，则的值与0的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 2．计算1÷时，除法变为乘法正确的是（　　） A．1× B．1× C．1× D．1× 3．下列说法：①若数a的绝对值等于a，则a是正数；②若，则a、b、c互为相反数；③若两个数的和为正数，则这两个数中至少有一个是正数；④若两个数的商为，则这两个数互为相反数；⑤除以一个数等于乘这个数的倒数；⑥几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．请用符号语言表示有理数的除法法则_______． 5．嘉淇同学做一道计算题的解题过程如下： 计算：． 解：原式 ………………………………………第一步 …………………第二步 ………………………第三步 ．………………………………第四步 (1)嘉淇在进行第一步运算时，运用了乘法的____________律； (2)她在计算中出现了错误，其中你认为在第____________步开始出错了，请你给出正确的解答过程． 有理数除法的应用题型03 1．（25-26上·黑龙江绥化·期中）王师傅说“我每天加工6把椅子，”李师傅说“我4天加工20把椅子．”他们谁做得快些？（   ） A．王师傅 B．李师傅 C．一样快 2．（25-26上·黑龙江哈尔滨·期末）已知平均每个水龙头一天漏水约，如果1个人1年用水，那么按照这个漏水速度，100个水龙头1年（365天）的漏水量可供______人用1年． 3．小明骑摩托车去城里，去时每小时行驶45km，用去6小时．后来接到电话，让他4小时回来，他回来时每小时要行驶多少千米？ 4．（25-26七年级上·湖南永州·期中）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．永州市小王家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电电车，他连续七天记录了每天行驶的路程（如下表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程/ (1)这七天里路程最多的一天比最少的一天多行驶 ； (2)小王家的新能源汽车这七天一共行驶了多少； (3)已知小王家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足最大续航里程的，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算，说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 5．公交车由始发站A站开出向B站行进，与此同时，小强和小明分别从A，B两站同时出发，小强由A向B步行，小明骑自行车由B向A行驶，小明的速度是小强的3倍，公交车每隔相同时间发一辆车，小强发现每隔有一辆公交车追上他，而小明也发现每隔就遇到一辆公交车． (1)求两辆公交车发车的间隔时间． (2)若A，B两站相距，公交车的速度为，问在行进途中（不包括起点和终点），小强被几辆公交车追上，小明又遇到了几辆公交车？ 有理数乘除混合运算题型04 1．计算的结果是（   ） A．2 B． C． D．7 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．计算：_________． 4．计算： (1)． (2)． 5．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4) (5)； (6)； 有理数除法的简算题型05 1．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）的值为________． 2．计算：+； 3．（24-25下·黑龙江绥化·期中）用简便方法计算 (1) (2) 4．（24-25七年级上·甘肃定西·月考）数学张老师在多媒体上列出了如下的材料：计算 上述这种方法叫拆项法．请仿照上述方法计算： (1)； (2)． 5．简便计算 (1) (2) (3) (4) (5) 有理数四则混合运算实际应用题型06 1．一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，那么这家商店卖这两件衣服总的情况是（　　） A．盈利了 B．亏损了 C．不盈不亏 D．盈亏不能确定 2．体育课上全班女生进行了50米测试，达标成绩为，下面是某小组8名女生的成绩记录：，，0，，，，，，其中“＋”号表示成绩大于，“－”号表示成绩小于，该小组女生的达标率为______． 3．（24-25七年级·山东聊城·月考）某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产自行车100辆，由于各种原因，实际每天生产量与计划每天生产量相比有出入．下表是某周的自行车生产情况（过计划生产量为正，不足计划生产量为负，单位：辆）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减/辆 (1)根据记录可知，前三天共生产自行车______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)该厂实行按生产的自行车数量的多少计工资，即计件工资制．如果每生产1辆自行车就可以得到人民币60元，每天超额完成任务，每超1辆可多得15元，不足计划数的，每少生产1辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 4．【问题呈现】 为缓解百姓停车压力，政府新建多个公用停车场、小嘉同学家所在小区附近也建有一个．该停车场收费标准的指示牌如图所示． 说明：停车1小时内（包含1小时）免费；小时，超过1小时的部分为每小时2元；小时，超过4小时的部分为每小时3元；6小时以上或过夜车辆，共计收费20元． 【应用体验】 今年国庆期间，小嘉邀请同学小兴一家到家里做客，小兴爸爸将车停在了该停车场，从进场停车到取车驶离，共经过了小时，则小兴爸爸共花费了停车费___________元． 【深入思考】 今年秋假期间，小嘉妈妈的好友小禾阿姨到访，她也将车停在了该停车场，已知小禾阿姨的停车时长为整数小时，她一共花了9元停车费，求小禾阿姨的停车时长． 5．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）某检修小组乘一辆汽车沿东西走向的公路检修线路，约定向东走为正．某天从地出发到收工时，行走记录如下（单位：）： ，，，，，，，，，， (1)收工时，检修小组在地的哪一边？距地多远？ (2)若汽车每千米耗油0.1升，则从地出发到收工时共耗油多少升？ 有理数的除法与数轴综合题型01 1．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2023的点与圆周上表示哪个数字的点重合？（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26上·上海·期中）数轴上的点A、点B所对应的数分别是和5.1，如果数轴上另有一点C，且点C与点A的距离等于点C与点B的距离，那么点C所对应的数是_______． 3．（24-25上·山东烟台·期末）一把刻度尺在数轴上的摆放位置如图①所示，它的左端点A的刻度为“”，刻度“”和“”分别与数轴上表示数和0的点重合；如图②，刻度尺沿数轴向右移动6个单位，恰使它的右端点B与数轴上表示数7的点重合，则该刻度尺的长度为________． 4．（24-25七年级上·山西临汾·期中）如图所示，已知在数轴上点A表示的数为3，点B表示的数为，点P为数轴上一个动点，点P从点B出发，沿着数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动． (1)点和点之间的距离为________． (2)经过多少秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离？此时，点P对应的数为多少？ (3)经过多少秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍？此时，点P对应的数为多少？ 5．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）的木棒放置在一条数轴上（数轴的1个单位长度为）．木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合．若将木棒在数轴上水平移动，当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为24；当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得到木棒a的长为______． （2）借助上述方法请你运用“数轴”这个工具帮助小明解决下列问题：一天，小明去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生呢；你若是我现在这么大，我已经115岁，是老寿星了，哈哈！”小明纳闷，爷爷到底是多少岁？ 请你画出示意图，求出爷爷和小明现在的年龄，并说明解题思路． 有理数的除法与绝对值的综合应用题型02 1．下列各式的值等于9的是（   ） A． B． C． D． 2．如果，则一定是（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 3．（25-26七年级上·内蒙古·月考）若，则的值是（     ） A．22 B．8 C． D． 4．【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________． 5．（24-25七年级上·广西柳州·期中）综合与实践 【知识再现】我们都知道，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，因为原点表示的数是0，所以，由此可知，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与的两点之间的距离，所以； 【问题初探】阅读以下材料，并回答问题： 如图，把一根长度为木棒放在一条数轴（单位长度为）上，它的两端分别落在点处，将木棒在数轴上水平移动，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为17，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为5． （1）由此可得，____________，的值为____________． （2）图中点所表示的数是____________，点所表示的数是____________． 【拓展应用】 （3）借助上述方法解决下列问题： 一天，小华去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经是109岁的老寿星了，哈哈”小华纳闷，奶奶到底是多少岁？ 请你画出示意图，求出小华和奶奶现在的年龄，并说明解题思路． 利用倒数法求解有理数的除法题型03 1．请阅读下题的解法，再计算． 例题  计算： 解：设， 则 = 所以，即 按照例题解法，请计算：． 2．数学老师布置了一道思考题：“计算”，小红和小明两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题． 小红的解法：原式的倒数为．所以． 小明的解法：原式． 请你分别用小红和小明的方法计算：． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·月考）老师布置了一道思考题“计算：”，小明用了一种不同的方法解决了这个问题： 原式的倒数为，所以． (1)请你用不同方法计算“”，验证小明的解法的正确性； (2)由此可以得到结论：一个数的倒数的倒数等于________； (3)请你运用小明的解法计算：． 4．小华在课外书中看到这样一道题： 计算：． 他发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，他顺利地解答了这道题： (1)前后两部分之间存在着什么关系？ (2)先计算哪部分比较简便？并请计算比较简便的那部分； (3)根据以上分析，求出原式的结果． 5．阅读下面的材料． 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为， 其值， 原式． (1)上述解法中．你认为解法 是错误的．在正确的解法中，你认为解法 较简便．（填“一”、“二”或“三”） (2)请用你认为简便的方法计算：． 根据点在数轴的位置判断式子的正负题型04 1．（25-26九年级下·北京·学情自测）实数a、b在数轴上的位置如下图所示，则下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式中，①ab＞0；②|b﹣a|＝a﹣b；③a+b＞0；④＞；⑤a﹣b＜0；正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．5个 D．4个 4．两个有理数、在数轴上的位置如图所示，则；___________0；___________；___________0（填“”或“”）． 5．（24-25七年级上·四川自贡·期中）已知数在数轴上对应的点如图所示： (1) ， ．（填“”、“”或“”） (2)在数轴上标出的相反数的对应点的位置． (3)若与相隔个单位长度，求的值． 数轴上折叠问题题型01 1．（24-25七年级上·山东济南·月考）将数轴对折，使表示与1的两个点重合，若此时表示的点与另一个表示数的点重合，则______． 2．已知数轴上点，表示的数分别是-3，10，在数轴上取一点，将数轴沿点向右对折．若点落在点的右边，且与点相距1个单位长度，则点表示的数是__________． 3．（25-26上·浙江杭州·期中）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为4，则C点表示的数是______． 4．（24-25七年级上·江苏泰州·月考）如图①，在一条可以折叠的数轴上有点A，B，C，其中点A，点B表示的数分别为和7，现以点C为折点，将数轴向右对折，点A对应的点落在B的右边；如图②，再以点B为折点，将数轴向左折叠，点对应的点落在B的左边，若、B之间的距离为3，则点C表示的数为________． 5．（25-26七年级上·四川德阳·期中）平移和翻折是初中阶段研究的两种重要的图形运动． 【平移运动】 （1）把笔尖放在数轴的原点，然后沿数轴向左移动4个单位长度，再向右移动3个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式可以将以上过程及结果表示为______． （2）把笔尖放在数轴的原点，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，……依次规律跳，当它跳了2025次时，这时笔尖的位置表示的数是______． 【翻折运动】 已知纸面上有一数轴，折叠纸面． （3）若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与______表示的点重合． （4）若1表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①3表示的点与______表示的点重合； ②若数轴上两点之间的距离为2020（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且、两点经折叠后重合，则A点表示的数是______，点表示的数是______； （5）若数轴上折叠重合的两点表示的数分别为，那么数表示的点与数______表示的点也重合．（用含有的代数式表示） 有理数混合运算中新定义类问题题型02 1．（25-26七年级·河南濮阳·质检）定义新运算“*”：，则的值为（） A．5 B．1 C． D． 2．若“！”是一种数学运算符号，并且，则的值为（　　） A． B． C．2450 D． 3．（24-25上·山东泰安·期中）与我们常用的10进制不同，十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0~9和字母A~F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如：十进制中26，用十六进制表示为，具体转化方法：（对应十六进制A）；十进制中123用十六进制表示为，具体转化方法：（对应十六进制B）．按照上述规则，在十六进制中所对应的10进制中的数应为_________． 4．（24-25七年级上·广东惠州·月考）已知a是有理数，表示不超过a的最大整数，如，，，等，那么________． 5．（25-26七年级上·陕西咸阳·月考）我们已经知道：求n个相同因数的积的运算叫做乘方．类比乘方的定义，求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．我们把记作，读作“2的下3次方”，记作：，读作“的下4次方”． (1)直接写出计算结果：_______； (2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：．仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式：_______，________； (3)计算：． 有理数四则运算中的分类讨论思想的运用题型03 1．如果有理数、满足，那么的值为（    ） A． B． C．或 D．或 2．已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于_________． 3．实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个相同高度的圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为，用两个相同的管子在高度处连通（即管子底部离容器底），现三个容器中，只有乙中有水，水位高，如图所示．若每分钟同时向甲和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，甲的水位上升．则开始注入____分钟水量后，甲的水位比乙高． 4．已知． (1)直接写出m所有可能取值； (2)若，，，求的值． 5．（2025·河北邯郸·一模）如图，以为1个单位长度，用直尺画数轴，数轴上的点，，刚好对着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．设点，，所表示的数的和是，该数轴的原点为． (1)分别计算出原点与点重合时、与的中点重合时的值． (2)原点沿着数轴每向左移动，的值将会如何变化？当的值为时，求原点的位置． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $