29.2.1 垂直于弦的直径（作业课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦“垂直于弦的直径”，系统呈现垂径定理及其推论，通过中考真题、教材变式题导入，构建从学习理解到应用实践再到迁移创新的递进脉络，以分层次练习、小贴士及“一课一得”为学习支架。 其亮点在于融合数学眼光（几何直观）、数学思维（推理能力）与数学语言（模型意识），如“圆材埋壁”传统文化题、跨学科化学题等实例，采用分层设计与变式设问，总结“知二推三”方法，助力学生提升解题能力，教师教学更高效。

《学练优》·九年级数学上·RJ 第二十九章　圆 29.2　圆的有关性质 29.2.1　垂直于弦的直径 目 录 CONTENTS 01 A 学习理解 02 B 应用实践 03 C 迁移创新 知识点一　垂径定理及其推论 1. (2025·宜宾中考)如图，AB是☉O的弦，半径 OC⊥AB于点D. 若AB＝8，OC＝5，则OD的长是 (　A　) 第1题图 A. 3 B. 2 C. 6 D. A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 2. (2025·长沙中考)如图，AB为☉O的弦，OC⊥AB 于点C，连接OA，OB，若AB＝OA，AC＝3，则OA 的长为 ⁠. 第2题图 6　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 3. 教材P125练习T2变式 如图，在☉O中，弦AB， AC互相垂直，OE⊥AC于E，OD⊥AB于D. 若AC＝ 4cm，AB＝5cm，则四边形OEAD的周长 为 cm. 9　 第3题图 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 变式设问 若AC＝AB＝6cm，则四边形OEAD的形状为 ⁠ ，☉O的半径为 cm. 正 方形　 3　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 4. 如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD ＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是 ⁠. 第4题图 3　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 知识点二　垂径定理的应用 5. 如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为 8cm的弓形铁片，则弓形的弦AB的长为(　C　) A. 12cm B. 16cm C. 24cm D. 26cm 第5题图 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 6. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》 中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小. 以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问：径几何？”转 化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为☉O的 直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10 寸，则直径CD的长度为 寸. 26　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 小贴士 本题的长度无法直接计算得出，需通过设未知数半 径r，再用代数式表示OE的长(r－1)，利用勾股定 理构建方程，才能求解. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 7. 新素材 传统文化 如图①，点P表示我国古代水车 的一个盛水筒.如图②，当水车工作时，盛水筒的运 行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆.若☉O被 水面截得的弦AB长为8m，求水车工作时，盛水筒 在水面以下的最大深度. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 解：如图，过点O作半径OD⊥AB于点E， 解：如图，过点O作半径OD⊥AB于点E， 则AE＝BE＝AB＝×8＝4(m).在Rt△AEO中， OE＝＝＝3(m)， ∴ED＝OD－OE＝5－3＝2(m). 答：水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度为 2m. OE＝＝＝3(m)， ∴ED＝OD－OE＝5－3＝2(m). 答：水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度为2m. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 8. 如图，半径为5的☉A与y轴交于点B(0，2)，C(0， 10)，则点A的横坐标为(　B　) A. －3 B. 3 C. 4 D. 6 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 9. 如图，☉O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦 AB上的一动点，则线段OM长的取值范围 是 ⁠. 第9题图 4≤OM≤5　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 10. 跨学科 化学 (2026·福州期中改编)如图，有一个 底部近似球形的烧瓶，球的半径为5cm，其纵截面 图为☉O. 若瓶内液面在☉O中对应弦的长为 4cm，则瓶内液体的深度为 ⁠. 第10题图 4cm或6cm　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 11. 教材P125练习T1变式 如图，在以O为圆心的两 个同心圆中，大圆的半径为5，大圆的弦AB与小圆 交于点C，D，AB＝8，CD＝3. (1)求AC的长； 解：(1)如图，过O作OH⊥AB于H. 解：(1)如图，过O作OH⊥AB于H. ∵OH⊥AB，AB＝8，CD＝3， ∴AH＝BH＝4，CH＝DH＝. ∴AC＝AH－CH＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 11. 教材P125练习T1变式 如图，在以O为圆心的两 个同心圆中，大圆的半径为5，大圆的弦AB与小圆 交于点C，D，AB＝8，CD＝3. (2)求小圆的半径. 解： (2)如图，连接OA和OD. ∵OA＝5，AH＝4， ∴由勾股定理得OH＝3.∵HD＝， ∴由勾股定理得OD＝＝，即小圆的半 径为. 解： (2)如图，连接OA和OD. ∵OA＝5，AH＝4， ∴由勾股定理得OH＝3.∵HD＝， ∴由勾股定理得OD＝＝， 即小圆的半径为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 12. 在综合实践课上，小东同学展示了如下的操作 及问题： (1)如图①，☉O1的半径为4cm，通过折叠圆形纸 片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好经过圆心O1， 则AB的长为 cm； 4　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 (2)如图②，O2C⊥弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦 AB折叠后经过O2C的中点D，AB＝10cm，求☉O2的 半径. 12. 在综合实践课上，小东同学展示了如下的操作 及问题： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 解：如图②，延长O2C交虚线劣弧AB于点G， 由折叠知CG＝CD. ∵D是O2C的中点， ∴CD＝O2D. ∴CG＝CD＝O2D. 解：如图②，延长O2C交虚线劣弧AB于点G， 由折叠知CG＝CD. ∵D是O2C的中点， ∴CD＝O2D. ∴CG＝CD＝O2D. 设☉O2的半径为3rcm，则O2C＝2rcm. ∵O2C⊥弦AB， ∴AC＝AB＝5cm.连接O2A，在Rt△ACO2中， 根据勾股定理得(3r)2－(2r)2＝25，∴r＝(舍去负值). ∴O2A＝3r＝3cm，即☉O2的半径为3cm. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 一课一得：垂径定理中的“知二推三” 方法指导 在半径、弦长、弦心距中，知道了任意两个量，就 可以求出第三个量.通常的方法是利用垂径定理构 造由半径、弦的一半、圆心到弦的垂线段为三边的 直角三角形，再利用勾股定理求解.(直接求或构建 方程) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 1. 如图，某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度(即圆 弧所对的弦长AB)为24米，拱高(即圆弧的中点到弦 的距离CD)为8米，则拱桥所在圆的半径为(　B　) A. 14.5米 B. 13米 C. 12米 D. 10米 第1题图 B 2 1 2. 如图①是圆形干果盘，其示意图如图②所示，四 条隔板AB，CD，EF，GH的长度相等，横纵隔板互 相垂直交于隔板的三等分点，测得AB＝30cm，则 该干果盘的半径为 cm. 第2题图 5　 1 2 $