第二十六章 二次函数（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 本卷为二次函数单元强化卷，通过基础题、综合题及应用情境题，全面考查顶点坐标、图象平移、性质分析及实际应用，适配初中数学单元复习，培养几何直观、推理能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|顶点坐标（题1）、平移（题3）、函数值范围（题5）|基础概念辨析，梯度合理| |填空题|6/18|增减性（题14）、图象与系数关系（题15）|聚焦性质理解，强化符号意识| |解答题|8/72|解析式求解（题17）、利润问题（题20）、羽毛球飞行轨迹（题21）|结合红窗汇、运动情境，体现模型意识；综合题（题23-24）考查参数分析，培养推理能力|

第二十六章 二次函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．抛物线的顶点坐标是（ ） A． B． C． D． 2．抛物线的开口方向和顶点坐标是（ ） A．开口向上， B．开口向下， C．开口向上， D．开口向下， 3．二次函数的图象向左平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为（ ） A． B． C． D． 4．将抛物线向上平移5个单位长度得到的抛物线是（ ） A． B． C． D． 5．已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示：则当时，的取值范围是 … … … A． B． C． D． 6．如图，抛物线与x轴交点为，且，有下列结论：①；②；③；④若图象上有两点，，当时，总有，则n的取值范围为．其中，正确的结论有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．如图，抛物线与轴交于点，交y轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴与点，则下列结论：①；②；③（为任意实数）；④一元二次方程有两个不相等的实数根；⑤若点为对称轴上的动点，则有最大值，最大值为．其中正确的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．将抛物线向上平移个单位后得到的抛物线恰好与轴有一个交点，则的值为（ ） A． B． C． D． 9．在平面直角坐标系中，点，将抛物线向上平移个单位，使得平移后的抛物线与线段有公共点，则的取值范围为（ ） A． B． C．或 D． 10．如图，抛物线与轴交于，两点，且．点在抛物线上，的面积为4．将该抛物线向右平移4个单位，再向下平移2个单位后，点的对应点为，抛物线与轴交于，两点，则的面积是（ ） A．2 B．4 C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．抛物线的顶点的坐标为______． 12．已知，点，为二次函数的图象上的两个点，则__________（填“＞”或“＜”）． 13．把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______． 14．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是______． 15．若二次函数的部分图象如图所示，以下四个结论：①；②；③；④关于x的不等式的解集是．其中正确结论的序号的是__________． 16．已知函数（是常数，），（是常数，），在同一平面直角坐标系中，若无论为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围是______． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）在二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 -1 0 3 … (1)求这个二次函数的解析式； (2)画出函数图象，结合图象直接写出当时，的取值范围． 18．（8分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点． (1)该抛物线的顶点坐标为__________； (2)求该抛物线的表达式； (3)将该抛物线向上平移__________个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点． 19．（8分）如图，已知二次函数经过点和点， (1)求的值和点的坐标； (2)若一次函数经过、两点，直接写出不等式的解集． 20．（8分）一年一度的红窗汇，是课程学习成果的展示、交流、分享和变现的平台，是十一系的学子们期待的盛会．某社团设计了一款文创产品，想要在红窗汇售卖，为了解同学们的购买意向，社团成员提前进行了市场调研．经过统计，该产品的制作成本为每件30元，当售价定为每件50元时，预计可以销售80件，售价每下降1元，预计可多销售5件． 设该产品的售价下降x元，预计销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）； (2)该产品的售价定为多少元时，预计可获得最大利润？最大利润是多少元？ 21．（10分）小德与小胜是两名羽毛球爱好者，他们经常运用数学知识对羽毛球的飞行轨迹进行技术分析．以小德发球点正下方为原点建立平面直角坐标系，记羽毛球与发球点的水平距离为（单位：），距地面的垂直高度为（单位：）．他们采用图象测距技术，获得了羽毛球的某次飞行数据，下表是其中部分数据．经分析发现，此次飞行中，从发球点到某一点的飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，此点之后，球的飞行路线开始偏离抛物线．若在偏离前能达到的最大高度为，根据上述信息，回答下列问题． 水平距离 … 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 … 垂直高度 … 2.75 3 3.15 3.2 3.15 2.85 2.5 2 … (1)求羽毛球按抛物线飞行时，与满足的函数关系式（不必写出自变量取值范围）； (2)已知球网高，与发球点的水平距离为．小胜在球网的另一侧，准备在羽毛球与发球点水平距离为的点处，以向下扣球的方式回击该球．扣球时，羽毛球距地面的垂直高度（单位：）与它距发球点的水平距离（单位：）近似满足一次函数关系； ①若，请通过计算说明小胜回击的球能否过网； ②如果小胜回击的球刚好过网，请直接写出此时的值． 22．（10分）在平面直角坐标系中，，是抛物线上的两点． (1)当时，抛物线的对称轴为____________； (2)直接写出一个的值，使得成立； (3)是抛物线上不同于，的点，若对于，都有，求的取值范围． 23．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）； (2)点在抛物线上，其中． ①若的最小值是，求的值； ②若对于，都有，求t的取值范围． 24．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线G：． (1)直接写出抛物线G的顶点坐标； (2)若在抛物线G上有两点，，且，直接写出n的取值范围； (3)抛物线G的对称轴与x轴交于点M，点M与点A关于y轴对称，将点M向右平移3个单位得到点B，若抛物线G与线段恰有一个公共点，结合图象，求m的取值范围． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．B 2．C 3．D 4．A 5．B 6．B 7．B 8．D 9．D 10．D 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11． 12．＜ 13． 14． 15．②③④ 16．或 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．(1) (2)图像见解析； 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）根据表格中的数据利用待定系数法即可求得这个二次函数的解析式； （2）根据表格中的数据，利用描点法即可画出函数图象；观察图象，当时，函数的最大值为3，最小值为，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意将，，代入二次函数中，得 解得： 所以这个二次函数的解析式为：． （2）解：利用描点法画出函数图象如下，即为所求， 观察图像可知，当时，函数的最大值为3，最小值为， 所以当时，的取值范围为． 18．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数顶点式的图像和性质，熟练掌握二次函数顶点式的图像和性质是解题的关键． （1）根据顶点式写出顶点坐标即可； （2）将点代入即可求出抛物线的表达式； （3）根据顶点式函数解析式进行平移即可； 【详解】（1）解：抛物线解析式为， 故该抛物线的顶点坐标为， 故答案为：； （2）解：将点代入，得： 解得， 故函数解析式为：； （3）解：将该抛物线向上平移个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点． 故答案为：． 19．(1)； (2) 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数与不等式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先把点和的坐标分别代入中得到方程组，解之即可得到、的值，从而得到抛物线解析式，然后解方程可得B点坐标； （2）结合函数图象，写出直线在抛物线上方所对应的自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：二次函数经过点和点 解得： 二次函数解析式为 当时， 解得：， 的值为；点的坐标为． （2）解：观察图象可知，当时， 不等式的解集为． 20．(1) (2)该产品的售价为48元时，可获得最大利润，最大利润为1620元 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题是解题的关键； （1）由题意可得销售量为件，然后可得函数解析式； （2）根据（1）中函数解析式及二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： ， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：由（1）可知： ， ∵， ∴当时，即售价为元时，可获得最大利润，最大利润为1620元； 答：该产品的售价为48元时，可获得最大利润，最大利润为1620元． 21．(1) (2)①不能过网，理由见详解；②的值为 【分析】本题主要考查二次函数，一次函数的综合运用，掌握待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据表格信息，设抛物线的解析式为，把，，代入，运用待定系数法即可求解； （2）①根据表格信息可得，当时，，即，代入一次函数解析式即可得到解析式，再根据球网高，与发球点的水平距离为，把代入计算即可求解；②根据题意可得，刚好过网时球与网接触的点为，运用待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把，，代入得， ， 解得，， ∴与满足的函数关系式为； （2）解：①不能过网，理由如下， 根据表格信息可得，当时，，即， ∵， ∴一次函数解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴一次函数解析式为：， ∵球网高，与发球点的水平距离为， ∴当时，， ∵， ∴小胜回击的球不能过网； ②，球网高，与发球点的水平距离为，小胜回击的球刚好过网， ∴刚好过网时球与网接触的点为， ∴， 解得，， ∴的值为． 22．(1) (2)成立（答案不唯一） (3) 【分析】（）根据得到，关于对称轴对称，从而得到抛物线的对称轴； （）根据抛物线的解析式得到其对称轴和开口方向，结合函数图象自左到右的随的增大而增大的变化趋势，得到结果； （）根据点与对称轴的位置不同，分类讨论，结合函数图象的变化趋势，得到结果；本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，是抛物线上的两点，， ∴，关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线，即， 故答案为：； （2）解：∵抛物线 ， ∴对称轴为，抛物线图象的开口向上， ∴函数图象在对称轴的右侧，随的增大而增大， ∵当时，则对称轴为， ∴点关于的对称点为， ∵， ∴， 故成立（答案不唯一）； （3）解：∵二次函数解析式为， ∴函数图象开口向上，对称轴为， 当时， ∴点，，均在对称轴右侧， ∴由二次函数性质，必有，不符题意舍去； 当时， ∵点在对称轴左侧， 设点关于的对称点为，则， 则点的横坐标为， ∵点，，在对称轴右侧，且， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； 当 时， ∵点和在对称轴左侧，由函数性质，有， ∵点，在对称轴右侧，且， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； 当时， ∴点，，均在对称轴左侧， ∴由二次函数性质，必有不符题意舍去； 由可知：． 23．(1) (2)①7②或 【分析】（1）根据抛物线方程，配方即可求得顶点坐标； （2）①根据抛物线的对称轴方程，结合的取值范围，可确定在对称轴处取得最小值，代入即可求解；②根据题意，先表示出，结合的取值范围，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为； （2）①由（1）知， 抛物线开口向上，其对称轴为， ， 当时，取得最小值为， 又的最小值是， ， ， 抛物线表达式为， 又， ； ②因为点在抛物线上， 所以， 因为对于，都有， 所以 ， 或， 当时， ， ， 又， ， ； ， ， 又， ， ， ， 即； 当时， ， ， 又， ， ； ， ， 又， ， ， ， 即； 综上所述，t的取值范围是或． 24．(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换． （1）把抛物线解析式化成顶点式即可求解； （2）根据二次函数开口向上时点到对称轴的距离越远值越大可得的取值范围； （3）根据题意先求出点、、的坐标，然后再根据抛物线G与线段恰有一个公共点分情况讨论计算即可求的取值范围． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点为； （2）解：抛物线的顶点为， 抛物线的对称轴为直线， ∵开口向上， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越远值越大， ∵在抛物线G上有两点，，且， ∴，即， 当时，，则，解得，此时； 当时，，则，解得，此时； 的取值范围是或； （3）解：抛物线的对称轴为直线，且对称轴与轴交于点， 点的坐标为． 点与点关于轴对称， 点的坐标为． 点右移3个单位得到点， 点的坐标为． ∵抛物线与线段恰有一个公共点， ∴当抛物线与直线只有一个交点时，则，解得，此时交点刚好是点，在线段上； 当抛物线与直线有两个交点分别为点，（点在点右边），，解得， 当只有点在线段上时，如图， ∴当时，， 当时，， 解得； 当只有点在线段上时，如图， ∴当时，， 当时，， 不等式组无解； 把点代入，可得，此时与轴另一个交点为，也在线段上，即抛物线与线段有两个交点； 把点代入，可得，此时与轴另一个交点为，不在线段上，抛物线与线段有一个公共点； 综上所述，抛物线与线段恰有一个公共点时可得：或． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．抛物线的顶点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了的性质．根据二次函数的顶点为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 2．抛物线的开口方向和顶点坐标是（ ） A．开口向上， B．开口向下， C．开口向上， D．开口向下， 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据顶点式的顶点坐标公式，以及的符号，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为； 故选C． 3．二次函数的图象向左平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，掌握二次函数图象的平移规律“上加下减、左加右减”成为解题的关键． 根据平移规律“上加下减、左加右减”解答即可． 【详解】解：二次函数的图象向左平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为． 故选：D． 4．将抛物线向上平移5个单位长度得到的抛物线是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数解析式在平移中的变化规律，掌握规律“左加右减，上加下减．”是解题的关键． 【详解】解：二次函数向上平移个单位， 得到二次函数， 故选：A． 5．已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示：则当时，的取值范围是 … … … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由表格数据可得抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，进而根据二次函数的图象和性质解答即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】∵时，；时，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵时，随的增大而减小， ∴抛物线开口向上， ∵， ∴当时，的值最小，最小值为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴和时，函数值相等， ∴， ∴的取值范围是， 故选：． 6．如图，抛物线与x轴交点为，且，有下列结论：①；②；③；④若图象上有两点，，当时，总有，则n的取值范围为．其中，正确的结论有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，根据函数图象确定，，的符号，由，且确定对称轴，再逐个推理判断即可． 【详解】解：抛物线过，且，抛物线开口向下， ，，， ∴根据左同右异，，故①正确； 由和可得，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵在对称轴左侧，随的增大而增大， ∴当都在对称轴左侧时，随的增大而增大，此时总有， ∵， ∴，即，故④错误， 综上，可得正确结论的序号是：①②③． 故选：B． 7．如图，抛物线与轴交于点，交y轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴与点，则下列结论：①；②；③（为任意实数）；④一元二次方程有两个不相等的实数根；⑤若点为对称轴上的动点，则有最大值，最大值为．其中正确的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象和性质，根据已知点的特点可求对称轴为直线，则；由函数的图象可知，，再由可知；当时，函数有最大值得；由图象得一元二次方程有两个不相等的实数根；根据三角形三连关系可得． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点， ∴对称轴为直线， ∴，即 ∴，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， ∵抛物线交y轴的正半轴， ∴， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线，开口向下， ∴时，y有最大值，最大值为， ∴（m为任意实数）， 即，故③错误； ∵抛物线开口向下，抛物线与轴交于点， 所以抛物线与直线有两个交点，如图， 所以，一元二次方程有两个不相等的实数根，故④正确； ∵对称轴交y轴的正半轴于点C， ∴， 由对称性可知， ∴，故⑤不正确； 综上，正确的结论是①②④，共3个， 故选：B． 8．将抛物线向上平移个单位后得到的抛物线恰好与轴有一个交点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律解答． 【详解】解：向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与轴有一个交点， ∴解析式为， ∴a=2. 故选D． 9．在平面直角坐标系中，点，将抛物线向上平移个单位，使得平移后的抛物线与线段有公共点，则的取值范围为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】将抛物线向上平移个单位长度，得到抛物线为（）．当平移后抛物线的顶点在线段上时，抛物线开始与线段有交点，此时抛物线顶点的纵坐标等于点A，点B的纵坐标，据此可求得m的值．将抛物线向上继续平移，抛物线与线段有交点，而当抛物线经过点B时，抛物线最后与线段有交点，把点代入函数，可求得m的值．将抛物线向上继续平移，抛物线与线段没有交点．综上可得的取值范围． 【详解】将抛物线向上平移个单位长度，得到抛物线为（）， 如下图，当平移后抛物线的顶点在线段上时，抛物线开始与线段有交点，    ∵抛物线的顶点坐标为，且， ∴，解得； 将抛物线向上继续平移，即时，抛物线与线段有交点，如下图    抛物线经过点B时，抛物线最后与线段有交点，如下图，    把点代入函数，得 ，解得， 将抛物线向上继续平移，即时，抛物线与线段没有交点． 综上所述，平移后的抛物线与线段有公共点，则的取值范围为． 故选：D 10．如图，抛物线与轴交于，两点，且．点在抛物线上，的面积为4．将该抛物线向右平移4个单位，再向下平移2个单位后，点的对应点为，抛物线与轴交于，两点，则的面积是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象平移的性质，掌握函数图象平移规律，求根公式计算出两根，系数的关系，二次函数与轴两交点的距离是解题的关键． 根据，可得，由，令，用求根公式得到两个交点横坐标的值，由此可得，则，再根据平移的性质可得，即点到轴的距离为2，根据函数图象平移得到平移后的二次函数，令，可得，由此可得，结合图形面积公式计算，由此即可求解． 【详解】解：已知．点在抛物线上，的面积为4， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∵点在二次函数图象上， ∴，则， ∴二次函数解析式为：， ∵二次函数与轴有两个交点， ∴，设， ∴，则， ∴， 整理得，， ∵将该抛物线向右平移4个单位，再向下平移2个单位后，点的对应点为， ∴， ∴设平移后的二次函数解析式为， ∴， 设平移后二次函数与轴的两个交点为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D ． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．抛物线的顶点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质等知识点，直接将二次函数解析式化成顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可，熟知二次函数的性质是解答此题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 12．已知，点，为二次函数的图象上的两个点，则__________（填“＞”或“＜”）． 【答案】＜ 【分析】本题主要考查了二次函数图象性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键． 根据点P、Q的横坐标以及二次函数的性质即可解答． 【详解】解：∵二次函数， ∴该抛物线的开口方向向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵点，为二次函数的图象上的两个点，且， ∴． 故答案为：． 13．把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______． 【答案】 【分析】此题考查了抛物线平移的规律：左加右减，上加下减．根据规律直接得到答案． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位， 则平移后抛物线的解析式为， 故答案为：． 14．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．由题意知，对称轴为直线，再结合已知进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴， 故答案为：． 15．若二次函数的部分图象如图所示，以下四个结论：①；②；③；④关于x的不等式的解集是．其中正确结论的序号的是__________． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了利用二次函数的性质等判断式子的符号，待定系数法，图象法解一元二次不等式等；①由图象得，即可判断；②由图象得，即可判断； ③由函数的对称性得与轴的另一个交点为，可得当时，，当时，即可判断； ④由交点式得可设，求出、、，即可判断；能熟练利用二次函数的性质等判断式子的符号是解题的关键． 【详解】解：①由图象得：， 故此项错误； ②由图象得： ， ； 故此项正确； ③由图象得：， 与轴的另一个交点为， 当时，， 当时， ； 故此项正确； ④抛物线与轴的交点坐标为，， 可设， 经过， ， 解得：， ， ，， ， 的解集为是； 故此项正确； 故答案：②③④． 16．已知函数（是常数，），（是常数，），在同一平面直角坐标系中，若无论为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围是______． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，分类讨论、数形结合是解题的关键． 求得函数(是常数，的图象过定点，函数是常数，与轴的交点为，然后分两种情况讨论即可求得的取值． 【详解】解：∵， ∴函数(是常数，)的图象过定点 ∵， ∴函数是常数，与轴的交点为， 当时，无论为何值，函数和的图象总有公共点， ∴满足题意； 当时， ∵无论为何值，函数和的图象总有公共点， ∴时，，即， 解得， ∴满足题意； ∴无论为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围是或． 故答案为：或． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）在二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 -1 0 3 … (1)求这个二次函数的解析式； (2)画出函数图象，结合图象直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1) (2)图像见解析； 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）根据表格中的数据利用待定系数法即可求得这个二次函数的解析式； （2）根据表格中的数据，利用描点法即可画出函数图象；观察图象，当时，函数的最大值为3，最小值为，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意将，，代入二次函数中，得 解得： 所以这个二次函数的解析式为：． （2）解：利用描点法画出函数图象如下，即为所求， 观察图像可知，当时，函数的最大值为3，最小值为， 所以当时，的取值范围为． 18．（8分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点． (1)该抛物线的顶点坐标为__________； (2)求该抛物线的表达式； (3)将该抛物线向上平移__________个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数顶点式的图像和性质，熟练掌握二次函数顶点式的图像和性质是解题的关键． （1）根据顶点式写出顶点坐标即可； （2）将点代入即可求出抛物线的表达式； （3）根据顶点式函数解析式进行平移即可； 【详解】（1）解：抛物线解析式为， 故该抛物线的顶点坐标为， 故答案为：； （2）解：将点代入，得： 解得， 故函数解析式为：； （3）解：将该抛物线向上平移个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点． 故答案为：． 19．（8分）如图，已知二次函数经过点和点， (1)求的值和点的坐标； (2)若一次函数经过、两点，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数与不等式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先把点和的坐标分别代入中得到方程组，解之即可得到、的值，从而得到抛物线解析式，然后解方程可得B点坐标； （2）结合函数图象，写出直线在抛物线上方所对应的自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：二次函数经过点和点 解得： 二次函数解析式为 当时， 解得：， 的值为；点的坐标为． （2）解：观察图象可知，当时， 不等式的解集为． 20．（8分）一年一度的红窗汇，是课程学习成果的展示、交流、分享和变现的平台，是十一系的学子们期待的盛会．某社团设计了一款文创产品，想要在红窗汇售卖，为了解同学们的购买意向，社团成员提前进行了市场调研．经过统计，该产品的制作成本为每件30元，当售价定为每件50元时，预计可以销售80件，售价每下降1元，预计可多销售5件． 设该产品的售价下降x元，预计销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）； (2)该产品的售价定为多少元时，预计可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)该产品的售价为48元时，可获得最大利润，最大利润为1620元 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题是解题的关键； （1）由题意可得销售量为件，然后可得函数解析式； （2）根据（1）中函数解析式及二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： ， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：由（1）可知： ， ∵， ∴当时，即售价为元时，可获得最大利润，最大利润为1620元； 答：该产品的售价为48元时，可获得最大利润，最大利润为1620元． 21．（10分）小德与小胜是两名羽毛球爱好者，他们经常运用数学知识对羽毛球的飞行轨迹进行技术分析．以小德发球点正下方为原点建立平面直角坐标系，记羽毛球与发球点的水平距离为（单位：），距地面的垂直高度为（单位：）．他们采用图象测距技术，获得了羽毛球的某次飞行数据，下表是其中部分数据．经分析发现，此次飞行中，从发球点到某一点的飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，此点之后，球的飞行路线开始偏离抛物线．若在偏离前能达到的最大高度为，根据上述信息，回答下列问题． 水平距离 … 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 … 垂直高度 … 2.75 3 3.15 3.2 3.15 2.85 2.5 2 … (1)求羽毛球按抛物线飞行时，与满足的函数关系式（不必写出自变量取值范围）； (2)已知球网高，与发球点的水平距离为．小胜在球网的另一侧，准备在羽毛球与发球点水平距离为的点处，以向下扣球的方式回击该球．扣球时，羽毛球距地面的垂直高度（单位：）与它距发球点的水平距离（单位：）近似满足一次函数关系； ①若，请通过计算说明小胜回击的球能否过网； ②如果小胜回击的球刚好过网，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)①不能过网，理由见详解；②的值为 【分析】本题主要考查二次函数，一次函数的综合运用，掌握待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据表格信息，设抛物线的解析式为，把，，代入，运用待定系数法即可求解； （2）①根据表格信息可得，当时，，即，代入一次函数解析式即可得到解析式，再根据球网高，与发球点的水平距离为，把代入计算即可求解；②根据题意可得，刚好过网时球与网接触的点为，运用待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把，，代入得， ， 解得，， ∴与满足的函数关系式为； （2）解：①不能过网，理由如下， 根据表格信息可得，当时，，即， ∵， ∴一次函数解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴一次函数解析式为：， ∵球网高，与发球点的水平距离为， ∴当时，， ∵， ∴小胜回击的球不能过网； ②，球网高，与发球点的水平距离为，小胜回击的球刚好过网， ∴刚好过网时球与网接触的点为， ∴， 解得，， ∴的值为． 22．（10分）在平面直角坐标系中，，是抛物线上的两点． (1)当时，抛物线的对称轴为____________； (2)直接写出一个的值，使得成立； (3)是抛物线上不同于，的点，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)成立（答案不唯一） (3) 【分析】（）根据得到，关于对称轴对称，从而得到抛物线的对称轴； （）根据抛物线的解析式得到其对称轴和开口方向，结合函数图象自左到右的随的增大而增大的变化趋势，得到结果； （）根据点与对称轴的位置不同，分类讨论，结合函数图象的变化趋势，得到结果；本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，是抛物线上的两点，， ∴，关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线，即， 故答案为：； （2）解：∵抛物线 ， ∴对称轴为，抛物线图象的开口向上， ∴函数图象在对称轴的右侧，随的增大而增大， ∵当时，则对称轴为， ∴点关于的对称点为， ∵， ∴， 故成立（答案不唯一）； （3）解：∵二次函数解析式为， ∴函数图象开口向上，对称轴为， 当时， ∴点，，均在对称轴右侧， ∴由二次函数性质，必有，不符题意舍去； 当时， ∵点在对称轴左侧， 设点关于的对称点为，则， 则点的横坐标为， ∵点，，在对称轴右侧，且， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； 当 时， ∵点和在对称轴左侧，由函数性质，有， ∵点，在对称轴右侧，且， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； 当时， ∴点，，均在对称轴左侧， ∴由二次函数性质，必有不符题意舍去； 由可知：． 23．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）； (2)点在抛物线上，其中． ①若的最小值是，求的值； ②若对于，都有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)①7  ②或 【分析】（1）根据抛物线方程，配方即可求得顶点坐标； （2）①根据抛物线的对称轴方程，结合的取值范围，可确定在对称轴处取得最小值，代入即可求解；②根据题意，先表示出，结合的取值范围，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为； （2）①由（1）知， 抛物线开口向上，其对称轴为， ， 当时，取得最小值为， 又的最小值是， ， ， 抛物线表达式为， 又， ； ②因为点在抛物线上， 所以， 因为对于，都有， 所以 ， 或， 当时， ， ， 又， ， ； ， ， 又， ， ， ， 即； 当时， ， ， 又， ， ； ， ， 又， ， ， ， 即； 综上所述，t的取值范围是或． 24．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线G：． (1)直接写出抛物线G的顶点坐标； (2)若在抛物线G上有两点，，且，直接写出n的取值范围； (3)抛物线G的对称轴与x轴交于点M，点M与点A关于y轴对称，将点M向右平移3个单位得到点B，若抛物线G与线段恰有一个公共点，结合图象，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换． （1）把抛物线解析式化成顶点式即可求解； （2）根据二次函数开口向上时点到对称轴的距离越远值越大可得的取值范围； （3）根据题意先求出点、、的坐标，然后再根据抛物线G与线段恰有一个公共点分情况讨论计算即可求的取值范围． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点为； （2）解：抛物线的顶点为， 抛物线的对称轴为直线， ∵开口向上， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越远值越大， ∵在抛物线G上有两点，，且， ∴，即， 当时，，则，解得，此时； 当时，，则，解得，此时； 的取值范围是或； （3）解：抛物线的对称轴为直线，且对称轴与轴交于点， 点的坐标为． 点与点关于轴对称， 点的坐标为． 点右移3个单位得到点， 点的坐标为． ∵抛物线与线段恰有一个公共点， ∴当抛物线与直线只有一个交点时，则，解得，此时交点刚好是点，在线段上； 当抛物线与直线有两个交点分别为点，（点在点右边），，解得， 当只有点在线段上时，如图， ∴当时，， 当时，， 解得； 当只有点在线段上时，如图， ∴当时，， 当时，， 不等式组无解； 把点代入，可得，此时与轴另一个交点为，也在线段上，即抛物线与线段有两个交点； 把点代入，可得，此时与轴另一个交点为，不在线段上，抛物线与线段有一个公共点； 综上所述，抛物线与线段恰有一个公共点时可得：或． 2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $