第二十六章二次函数单元测试卷2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 人教版九年级上册数学《二次函数》单元卷，参照山东省中考结构编制，全面覆盖二次函数定义、图像性质及实际应用，注重抽象能力、运算能力与模型意识的考查，适配单元复习与中考衔接。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义、顶点坐标、图像平移等|第3题平移规律考查抽象能力，第8题函数图像辨析体现推理意识| |填空题|6/18|对称轴、与坐标轴交点、参数取值范围|第15题结合图像对称性考查几何直观，第16题含参最值问题发展运算能力| |解答题|7/72|配方转化、实际应用（利润、拱桥）及综合探究|20题利润问题体现模型意识，23题动点面积与等腰三角形存在性考查创新意识与推理能力|

人教版九年级上册数学 第二十六章《二次函数》单元测试卷 （参照山东省初中学业水平考试统一命题试卷结构编制） 满分120分　考试时间120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求） 1．下列函数中，是二次函数的是（ ） A．　　　B．　　　C．　　　D． 2．抛物线 的顶点坐标是（ ） A．　　　B．　　　C．　　　D． 3．将抛物线 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A．　　　B．　　　C．　　　D． 4．二次函数 的图象如图所示，下列结论正确的是（ ） （第4题图） A．　　　B．　C．当 时， 随 的增大而减小　D． 5．二次函数 的最小值为（ ） A．5　　　B．1　　　C．　　　D．2 6．抛物线 与 轴的交点坐标为（ ） A． 和 　　B． 和 　　C． 和 　　D． 和 7．已知抛物线 上有三点 ，，，则 、、 的大小关系是（ ） A．　　　B．　　　C．　　　D． 8．已知二次函数 与一次函数 （， 为常数，且 ）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） 9．小明在练习投篮，篮球出手后距地面的高度 （m）与水平距离 （m）之间的关系式为 （），则篮球在飞行过程中距地面的最大高度为（ ） （第9题图） A．2 m　　　B．2.5 m　　　C．3 m　　　D．4 m 10．已知二次函数 ，当 时， 的取值范围是（ ） A．　　　B．　　　C．　　　D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．二次函数 的图象的对称轴是________，顶点坐标是________。 12．抛物线 与 轴的交点坐标是________。 13．若二次函数 的图象与 轴有两个交点，则 的取值范围是________。 14．将抛物线 向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为________。 15．如图，抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点坐标为 ，则它与 轴的另一个交点坐标为________，方程 的解为________。 （第15题图） 16．已知二次函数 ，当 时， 的最小值为 ，则 的值为________。 三、解答题（本大题共7小题，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）已知二次函数 。 （1）用配方法将解析式化为 的形式，并写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）在下面的平面直角坐标系中，画出该函数的图象。 （第17题图） 18．（10分）已知一个二次函数的图象经过点 、、。 （1）求这个二次函数的解析式； （2）当 取何值时， 有最大值？最大值是多少？ 19．（10分）已知二次函数 。 （1）用配方法求该函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）求图象与 轴、 轴的交点坐标； （3）当 取何值时， 随 的增大而增大？当 取何值时，？ 20．（10分）某商店销售某种商品，进价为每件40元。当售价为每件60元时，每天可售出300件。市场调查反映：售价每上涨1元，每天销售量减少10件。设售价为每件 元（），每天的销售利润为 元。 （1）求 与 之间的函数关系式； （2）当售价为每件多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 21．（10分）如图，某公园内有一座抛物线形拱桥，当水面宽 为12 m时，拱顶（抛物线的顶点）离水面4 m。 （第21题图） （1）以 的中点 为原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，求该抛物线的解析式； （2）当水面上升1 m后，求此时水面的宽度。 22．（12分）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 。 （第22题图） （1）求点 、、 的坐标； （2）求 △ABC 的面积； （3）将抛物线 向上平移 （）个单位长度，若所得抛物线与 轴只有一个公共点，求 的值。 23．（12分）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，顶点为 。 （第23题图） （1）求点 、、、 的坐标； （2）点 是直线 上方抛物线上的一个动点，连接 、，设 △PBC 的面积为 ，求 的最大值及此时点 的坐标； （3）点 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点 ，使得 △QBC 为等腰三角形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由。 参考答案与解析 一、选择题 1．B（容易）　【解析】选项A是一次函数；选项B符合 （）的形式，是二次函数；选项C右边不是整式，不是二次函数；选项D化简后为 ，是一次函数。故选B。 2．A（容易）　【解析】抛物线的顶点式为 ，顶点坐标为 。在 中，，，所以顶点坐标为 。故选A。 3．A（容易）　【解析】抛物线平移规律为“左加右减、上加下减”。把 向左平移2个单位得 ，再向下平移1个单位得 。故选A。 4．C（中等）　【解析】由图象开口向下，得 ，A错；抛物线与 轴有两个交点，所以 ，B错；对称轴为直线 ，开口向下，因此当 时， 随 的增大而减小，C正确；当 时，图象在 轴上方，所以 ，D错。故选C。 5．B（容易）　【解析】，所以二次函数的最小值为1。故选B。 6．A（容易）　【解析】令 ，则 ，即 ，解得 ，。所以抛物线与 轴的交点坐标为 和 。故选A。 7．B（中等）　【解析】抛物线 的对称轴为直线 ，开口向上。点 、、 到对称轴的距离分别为 ，，。距离对称轴越近，函数值越小，所以 。故选B。 8．D（中等）　【解析】抛物线与直线中的 、 必须符号一致。A中抛物线开口向上（）而直线下降（），矛盾；B中抛物线开口向下（）而直线上升（），矛盾；C中抛物线开口向上（）而直线下降（），矛盾；D中抛物线开口向下、对称轴在 轴左侧，可得 ，，与直线下降且交 轴负半轴一致。故选D。 9．C（中等）　【解析】。因为 ，所以当 时， 取得最大值3。因此篮球在飞行过程中距地面的最大高度为3 m。故选C。 10．A（中等偏难）　【解析】，对称轴为直线 ，开口向上。因为 包含对称轴，所以当 时， 取最小值 ；比较两端点到对称轴的距离， 更远， 为最大值。故 的取值范围是 。故选A。 二、填空题 11．直线 ；（容易）　【解析】。所以对称轴为直线 ，顶点坐标为 。 12．（容易）　【解析】令 ，得 。所以抛物线与 轴的交点坐标为 。 13．（容易）　【解析】二次函数图象与 轴有两个交点，则一元二次方程 有两个不相等的实数根，所以 ，解得 。 14．（中等）　【解析】把 向右平移3个单位得 ，再向上平移2个单位得 。 15．；，（中等）　【解析】抛物线与 轴的两个交点关于对称轴对称。已知一个交点为 ，对称轴为直线 ，则另一个交点的横坐标为 ，所以另一个交点坐标为 。方程 的解为 ，。 （第15题图） 16．（较难）　【解析】二次函数 的图象开口向上，对称轴为直线 。 ① 当 时，在 上 随 的增大而增大，最小值为 。令 ，得 ，与 矛盾，舍去； ② 当 时，在 上 随 的增大而减小，最小值为 。令 ，得 ，与 矛盾，舍去； ③ 当 时，最小值为 。令 ，得 ，所以 或 （舍去）。经检验 在区间 内，符合题意。故 。 三、解答题 17．（容易）　【答案】（1）；开口向上；对称轴为直线 ；顶点坐标为 。 【解析】（1）。因为二次项系数 ，所以开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 。 （2）列表： x -1 0 1 2 3 y 0 -3 -4 -3 0 描点、连线，所得图象如图所示： （第17题解析图） 18．（中等）　【答案】（1）；（2）当 时， 有最大值，最大值为 。 【解析】（1）设二次函数的解析式为 。 因为图象经过点 ，所以 。 把 、 代入，得 ，， 解得 ，。所以二次函数解析式为 。 （2）。因为 ，所以当 时， 有最大值 。 19．（中等）　【答案】（1）对称轴为直线 ，顶点坐标为 ；（2）与 轴交于 和 ，与 轴交于 ；（3）当 时 随 增大而增大；当 时 。 【解析】（1）。所以对称轴为直线 ，顶点坐标为 。 （2）令 ，则 ，即 ，解得 ，。所以与 轴交于 和 。令 ，得 ，所以与 轴交于 。 （3）因为抛物线开口向下，对称轴为直线 ，所以当 时， 随 的增大而增大；结合图象，当 时，抛物线在 轴上方，即 。 20．（中等）　【答案】（1）（）；（2）售价为每件65元时，最大利润为6250元。 【解析】（1）当售价为 元时，每件利润为 元，每天销量为 件。 所以 。 由销量非负知 ，即 ，故自变量取值范围为 。 （2）。 因为 ，且 在 内，所以当 时， 取得最大值 。 答：当售价为每件65元时，每天获得最大利润6250元。 21．（中等）　【答案】（1）；（2）水面宽为 m。 【解析】（1）以 中点 为原点， 所在直线为 轴建立坐标系，则顶点坐标为 ，点 的坐标为 。 设抛物线解析式为 。把 代入，得 ，解得 。 所以抛物线的解析式为 。 （2）水面上升1 m后，水面对应的函数值为 。令 ，得 ，所以 。 此时水面宽度为 （m）。 答：水面上升1 m后，水面宽为 m。 （第21题解析图） 22．（中等）　【答案】（1），，；（2）；（3）。 【解析】（1）令 ，则 ，即 ，解得 ，。所以 ，。令 ，得 ，所以 。 （2），。所以 △ABC 的面积为 。 （3）抛物线向上平移 个单位后，解析式为 。 若所得抛物线与 轴只有一个公共点，则方程 有两个相等的实数根， 所以 ，解得 。 23．（较难）　【答案】（1），，，；（2） 的最大值为 ，此时 ；（3）存在，点 的坐标为 、、、、。 【解析】（1）令 ，则 ，即 ，解得 ，，所以 ，。令 ，得 ，所以 。 又 ，所以顶点 。 （2）设直线 的解析式为 。把 、 代入，得 ，，解得 ，。所以直线 的解析式为 。 如图，设点 的横坐标为 （），则 。过点 作 轴交直线 于点 ，则 。 所以 。 。 因为 ，所以当 时， 取得最大值 。此时 ，所以 。 （第23题解析图） （3）存在。抛物线的对称轴为直线 ，设 。 则 ，，。 ① 若 ，则 ，解得 ，所以 ； ② 若 ，则 ，解得 ，所以 、； ③ 若 ，则 ，即 ，解得 ，所以 、。 综上所述，满足条件的点 共有5个，坐标分别为 、、、、。 第 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $