5.4 二元一次方程与一次函数 同步练习 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 本同步练习以“基础巩固-能力提升-综合应用”为梯度，覆盖二元一次方程与一次函数核心知识，通过分层设计实现从概念理解到实际建模的进阶，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（选择1-10、填空11-15）|函数图像与点的关系、解析式求解、方程组与交点|直接考查概念，如选择1-2对点在函数图像上的应用，填空11-12强化方程组与函数交点的对应| |提升层（解答16-19）|函数表达式确定、图像变换、新定义问题|结合几何直观，如解答18通过图像求函数表达式及面积，19引入“逆反函数”培养推理能力| |综合层（解答20-23）|实际情境建模（行程、实验、生活问题）|联系现实世界，如21自驾行程、23叠碗高度问题，发展模型意识与应用能力|

· 5.4 二元一次方程与一次函数同步练习 · 2026-2027学年北师大版数学八年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．若点在函数的图象上，则b的值是（   ） A． B．0 C．3 D．4 2．正比例函数的图象经过点，则这个正比例函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 3．已知一次函数（a、b是常数），y与x的部分对应值如表： … … … … 下列说法中，正确的是（   ） A．图象经过第二、三、四象限 B．若，则 C．将函数的图象向左平移2个单位可得到该函数图象 D．该函数图象与x轴的交点是 4．如图，已知一次函数和的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 5．一次函数的图象向下平移3个单位长度后，恰好经过点，则b的值为（     ） A．4 B． C．2 D． 6．若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 7．已知直线与的交点的坐标为，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 8．如图，一次函数经过点，与轴交于点，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（    ） A． B．为的中点 C．方程的解是 D．当时， 9．如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度（单位：m）与下行时间（单位：s）之间的函数关系为，乙离一楼地面的高度（单位：m）与下行时间（单位：s）的函数关系如图2所示．下列选项错误的是（    ） A．二楼离地面的高度为6米 B．乙从二楼沿步行楼梯到地面用时30秒 C．当下行10s，乙离地面的高度比甲离地面的高度大1米 D．乙先到达一楼地面 10．，两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地．甲、乙两人离开地的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则下列结论： ①乙比甲提前出发； ②甲行驶的速度为； ③当时，甲、乙两人相距； ④在内，当甲、乙两人相距时，乙行驶了或． 其中正确的个数为（   ）. A．个 B．个 C．个 D．个 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．已知一次函数与图象的交点坐标是，则关于，的方程组的解为_______． 12．如图，直线与的交点坐标可以看成是二元一次方程组_____的解． 13．若直线：上的任意一点与直线：上的任意一点满足，则称与互为“相伴直线”．直线的“相伴直线”是________． 14．在平面直角坐标系中，直线与相交于点A，直线与y轴相交于点B．若的面积为12，则__________． 15．如图，平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为和，点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当的周长最小时，点C的坐标是______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16．在平面直角坐标系中，已知函数（为实数）的图象经过原点，求的值． 17．已知一次函数，它的图象经过，两点． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)若在该函数图象上，求的值． 18．如图，一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点，且． (1)求这两个函数的表达式； (2)求的面积S． 19．定义：一次函数和一次函数称为“逆反函数”，如和为“逆反函数”． (1)点在的“逆反函数”图象上，则______； (2)若图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，求点B的坐标． (3)在（2）的条件下，记一次函数的“逆反函数”与y轴的交点为C，请在x轴上找一点P，使得的值最小，并求出点P的坐标． 20．近期，由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司（简称）开发的大模型在全球范围内掀起了一股热潮．据悉，训练一个AI模型时，初始数据量为2000条，每增加100条数据，训练时间延长3分钟．假设总数据量为条（），训练时间为分钟． (1)求关于的函数关系式； (2)若训练的总时间为45分钟，求使用的数据总量． 21．甘加草原拥有壮丽的高原风光，蓝天白云下，广阔的草原上牛羊成群，风景如画．夏季是游览甘加草原的最佳季节，此时草原上野花烂漫，景色宜人．暑假期间，王超一家自驾前往该景区游玩，经过服务区时，休息一段时间后继续驶往目的地，如图表示王超离家的距离y（千米）与离开家的时间x（小时）之间的函数关系，请根据图中信息，解答下列问题： (1)王超一家到达服务区之前车速为______千米/小时，在服务区休息时长为______小时； (2)求图中段y与x之间的函数关系式； (3)王超离开家多久，离家的距离恰好为160千米？ 22．在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数与石块下降的高度之间的关系如图所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)当石块下降的高度为时，求此刻该石块所受浮力的大小．（温馨提示：当石块位于水面上方时，；当石块入水后，） 23．小丽在帮妈妈整理厨房时，想把一些规格相同的碗尽可能多地放入内侧高为35cm的柜子里．她把碗按如图那样整齐地叠放成一摞（如图①），但她不知道一摞最多叠放几个碗可以一次性放进柜子里． 【探究发现】小丽测量后发现，按这样叠放，这摞碗的总高度随着碗个数的变化而变化，记录的数据如下表： 碗的个数（个） 1 2 3 4 5 这擦碗的总高度（厘米） 7 10 【建立模型】 （1）建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示碗的个数，纵轴表示这摞碗的总高度，请根据表中信息描出对应点； （2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由； 【结论应用】应用上述发现的规律计算： （3）当碗的个数量为12个时，求这摞碗的总高度． （4）请帮小丽算一算，一摞最多能叠几个碗可以一次性放进柜子里？ 试卷第6页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D C A D A BD D B 11． 【分析】本题主要考查了两条直线的交点坐标与二元一次方程组的解， 方程组中的两个方程分别对应一次函数和，因此方程组的解即为两函数图象的交点坐标． 【详解】解： 由题意，一次函数与的图象交点坐标为， 即同时满足两个函数解析式，故方程组的解为． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，根据题意得到二元一次方程组． 【详解】解：根据题意得直线与的交点坐标可以看成是二元一次方程组的解． 故答案为：． 13． 【分析】根据题中“相伴直线”的定义，设所求直线为，将，代入已知等式，利用等式对任意恒成立，求解参数即可得到结果． 【详解】解：设直线的“相伴直线”为．由题意得，对任意，都满足． 将，代入等式得： 整理得： ∵该等式对任意都成立， ∴． 解得． 因此直线的“相伴直线”为． 14．或． 【分析】本题主要考查了求正比例函数的解析式，掌握图象上点的坐标特征以及利用面积求点的坐标是解题关键． 先求出的长，再根据三角形的面积公式求的长，确定点的坐标，代入正比例函数的解析式，求解即可． 【详解】解：∵直线与y轴相交于点B， ∴，， ∵直线与相交于点A， ∴轴，且点A的纵坐标为6， ∵的面积为12， ∴，即， 解得：， ∴或， 即或， 解得：或， 故答案为：或． 15． 【分析】本题考查的知识点是轴对称-最短路线问题， 坐标与图形性质，解题的关键是熟练的掌握轴对称-最短路线问题， 坐标与图形性质．首先求得关于轴的对称点，然后求得的解析式，然后求得直线与轴的交点即可． 【详解】解：作点A关于y轴的对称点，连接，，，如图所示： 根据轴对称可知：， ∴， ∵为定值，两点之间线段最短， ∴当点C在点处时，最小，即的周长最小， 点关于轴的对称点， 设的解析式是， 则， 解得：， 则一次函数的解析式是， 当时，， ∴此时点的坐标是． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，把代入一次函数解析式解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵函数（为实数）的图象经过原点， ∴时，， 即， ∴． 17．(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数的解析式； （2）将点代入求解即可． 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，以及利用一次函数解析式求点的坐标，掌握待定系数法是解题关键． 【详解】（1）将，代入一次函数得， ， 解得 ∴； （2）∵在该函数图象上， ∴ ∴． 18．(1)， (2) 【分析】本题主要考查一次函数的交点问题，掌握两函数图象的交点坐标满足两函数解析式是解题的关键． （1）把A点坐标代入可先求得直线的解析式，可求得的长，则可求得B点坐标，可求得直线的解析式； （2）由A点坐标可求得A到y轴的距离，根据三角形面积公式可求得S． 【详解】（1）设直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为； ∵， ∴， ∴， ∴B点坐标为， 设直线的解析式为， 把、代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）∵， ∴A点到y轴的距离为3，且， ∴． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据定义得出的“逆反函数”，再将代入求解； （2）根据定义得出的“逆反函数”，再将代入，列二元一次方程组求解； （3）作点关于x轴的对称点，则，当，B，P三点共线时等号成立，因此直线与x轴的交点即为点P． 【详解】（1）解：的“逆反函数”为， 将代入，得：， 解得； （2）解：的“逆反函数”为， 将代入和，得： ， 解得， 点B的坐标为． （3）解：中，令，得， ， 作点关于x轴的对称点，则， ，当，B，P三点共线时等号成立，如图： 设直线的解析式为， 将和代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 令，得， 解得， 点P的坐标为． 20．(1) (2) 【分析】该题考查了一次函数的应用，解题的关键是列出函数关系式． （1）根据每增加100条数据，训练时间延长3分钟求出关于的函数关系式即可； （2）将代入表达式求解即可． 【详解】（1）根据题意得，； （2）当时，， 解得． ∴若训练的总时间为45分钟，使用的数据总量为3500条． 21．(1)100；1 (2) (3)3小时 【分析】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）根据图象获得信息求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据图象，先判断对应的函数关系式，再将代入对应的函数关系式并求出x的值即可． 【详解】（1）解：王超一家到达服务区之前车速为千米/小时， 在服务区休息时长为小时； 故答案为：100；1； （2）解：设段y与x之间的函数关系式为（k、b为常数，且）． 将和分别代入， 得， 解得， ∴段y与x之间的函数关系式为． （3）解：∵， ∴根据图象可知，对应x为， ∴， 解得． 答：王超离开家3小时后，离家的距离恰好为160千米． 22．(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数的函数值，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题． （1）用待定系数法可得所在直线的函数表达式； （2）结合（1），求出石块下降的高度为时，的值，即可得到答案． 【详解】（1）设所在直线的函数表达式为， 将，代入得： 解得 ∴所在直线的函数表达式为； （2）在中，令得， ∵， ∴当石块下降的高度为时，该石块所受浮力为． 23． （1）描点如图所示： （2）它们在同一条直线上；； （3）22厘米； （4）一摞最多能叠20个碗可以一次性放进柜子里 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，画一次函数图象，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）根据表格中数据描点即可； （2）用待定系数法求出函数解析式即可； （3）把代入函数解析式，求出y的值即可； （4）把代入函数解析式，求出x的值，得出答案即可． 【详解】解：（1）略 （2）这些点在一条直线上． 设与之间的函数关系式为． 将点、代入，得： ， 解得：， 与之间的函数关系式为． （3）把代入得：， 当碗的个数为12个时，这摞碗的总高度为22厘米． （4）把代入得：， 解得：， ∴一摞最多能叠20个碗可以一次性放进柜子里． 答案第2页，共9页 答案第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $