5.4 二元一次方程与一次函数 课后巩固卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学北师大版八年级上册5.4二元一次方程与一次函数同步练，通过三级分层设计实现从概念理解到综合应用的递进，培养数学抽象与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|一次函数解析式、坐标轴交点|单选1-6/填空11-13，直接应用概念，强化运算能力| |中档|两直线交点与方程组、图形面积|单选7-9/填空14-15，结合几何直观，发展推理意识| |综合|实际情境建模与数据分析|解答19-20，联系生活问题，培养应用意识与数据观念|

5.4 二元一次方程与一次函数 课后巩固卷2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．某山山脚气温为，海拔每升高，气温下降℃，则山上气温（）与该处距山脚垂直高度（）之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，的面积是（   ） A．2 B．5 C．10 D．8 3．直线与直线的图象如图所示，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 4．已知两个一次函数y＝kx+5和y＝2x+1的图象交于A（m，3），则一次函数y＝kx+5的图象所在的象限为（　　） A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．一、三、四象限 D．二、三、四象限 5．在平面直角坐标系中，直线与x轴的交点坐标为，则该直线与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 6．已知点在正比例函数的图象上，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．已知直线与直线，且．若两直线与轴围成的三角形面积为9，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D．3 8．平面直角坐标系中，4个一次函数依次为：、、、．若、相交于点，那么、的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 9．已知直线：与直线都经过，直线交y轴于点，交x轴于点A，直线交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接，有以下说法： ①方程组的解为； ②直线：的； ③； ④当的值最小时，点P的坐标为． 其中正确的说法是（    ）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 10．全世界大部分国家都采用摄氏温标表示温度，但也有部分国家采用华氏温标．因此，一般温度计上都同时标注了摄氏温度和华氏温度（如图）．小明观察温度计，发现华氏温度y（单位：）是摄氏温度x（单位：）的一次函数，并据此列出了表格．同桌小亮发现下表中有一个函数值写错了，这个错误的函数值是（   ） 20 25 30 35 67 77 86 95 A．20 B．67 C．77 D．86 二、填空题 11．若一次函数的图象与直线平行，且与轴交于，则该一次函数的解析式为___________． 12．如图，直线：与直线：相交于点，直线与y轴相交于点A，直线与y轴交于点B，则的面积等于____． 13．如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是________． 14．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随x的增大而增大；②；③当时，；④关于x，y的方程组的解为，⑤，正确的有______．（填序号） 15．如图，用表示中的实数，表示中与对应的实数，且与满足一次函数（，为常数），是中的实数，则中与之对应的实数是______． 三、解答题 16．利用一次函数的图象解二元一次方程组：． 17．已知一次函数，当时，．    (1)求这个函数的表达式； (2)画出这个函数的图象． 18．如图，已知直线与直线交于点，且直线分别与轴，轴交于点，点． (1)求点的坐标． (2)若点在直线上，且，求点的横坐标． 19．综合实践小组模拟“刻漏”原理，用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了简易计时装置如图所示，现需要在甲容器外壁标记刻度，以便通过刻度直接读取时间． 为此，综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 记录时间 8:00 8:10 8:20 8:30 流水时间 0 10 20 30 水面高度（观察值） 30 29 28.1 27 其中“，”是初始状态下的准确数据，后续数据测量可能存在误差． (1)任务1：利用“，；，”这两组数据求水面高度与流水时间的函数解析式． (2)任务2：利用任务1所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？ 20．阅读下列材料，根据材料回答下列问题 材料一 夏欢全家端午期间从井冈山出发自驾游匀速行驶返回深圳(中途在一个服务区停留)，右图是汽车行驶过程中距离深圳的路程y(千米)与汽车行驶的时间x(小时)之间的关系图． 材料二 课本67面排碳计算公式 家居用电的二氧化碳排放量耗电量 开私家车的二氧化碳排放量耗油量 耗油量 1 2 4 n 10 11 私家车二氧化碳排放量 m 27 材料三 一般情况下，新能源电动汽车的百公里耗电量左右 一般情况下，燃油汽车的百公里耗油量左右 根据以上材料解决下列问题 (1)井冈山与深圳之间的距离为 千米，返回途中在服务区逗留了 小时． (2)表格中 ， ； (3)若同样行驶x(百公里)，记新能源电动汽车的二氧化碳排放量为 (千克)、燃油汽车的二氧化碳排放量为 (千克)，直接写出与x(百公里)之间的关系式： ， ． (4)从井冈山驾车返回深圳时，新能源电动汽车比燃油车少减排 千克碳排放． (备注：新能源电动汽车的碳排放量计算公式可参照材料二家居用电的二氧化碳排放量) 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A B D D B B B B 1．【答案】D 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的数量关系列出函数关系式是解题的关键．根据山脚气温、海拔升高与气温下降的关系，找出气温和高度的数量关系，从而确定函数关系式． 【详解】解：根据题意，海拔每升高，气温下降， 山脚气温为，则 故选：D． 2．【答案】B 【知识点】求直线围成的图形面积 【分析】本题主要考查了求直线与坐标轴围成的三角形面积，熟练掌握该知识点是关键． 由图像可知：，，然后根据三角形面积公式求出三角形的面积即可． 【详解】解：由图形可知：，， 所以的面积为：. 故选：B. 3．【答案】A 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），解题的关键是熟练函数图象交点的横纵坐标为二元一次方程组的解． 先求出两直线的交点坐标，从而即可得出答案． 【详解】解：将代入得，， ∴直线与直线的交点为， 由与可得，、， ∴方程组的解为， 故选：A． 4．【答案】B 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、求一次函数解析式 【分析】根据一次函数的性质，将A（m，3）代入直线y=2x+1，求出m的值，再将A点坐标代入y=kx+5，求出k的值，即可得答案． 【详解】解：∵直线y=2x+1经过点A(m，3)， ∴3=2m+1， ∴m=1， ∴A(1，3)， 把点A代入y=kx+5得，3=k+5，解得k=-2， ∵k=-2＜0，b=5>0， ∴一次函数y=kx+5的图象经过一、二、四象限， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，掌握点在图像上满足解析式，做题的关键是求出k的值． 5．【答案】D 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点，利用待定系数法求出直线解析式，再令求出其函数值，即可解题． 【详解】解：直线与x轴的交点坐标为， ，解得， 直线解析式为， 当时，， 该直线与y轴的交点坐标为， 故选：D． 6．【答案】D 【知识点】求一次函数解析式 【分析】把坐标代入解析式即可求得的值． 【详解】解：∵点在正比例函数的图象上， ∴得， 解得． 7．【答案】B 【知识点】求直线围成的图形面积 【分析】联立两直线解析式可求得两直线交点的横坐标为，再求出两直线与轴的交点坐标，算出两交点间的距离为，以此可得，以此计算即可求解． 【详解】解：联立两直线解析式得：， 解得两直线交点的横坐标为， 直线与轴的交点坐标为， 直线与轴的交点坐标为， 两交点的距离为， 两直线与轴围成的三角形面积为9， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征、直线与坐标轴围成图形的面积，联立两直线解析式得到两直线交点的横坐标为是解题关键． 8．【答案】B 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征、两直线的交点问题，解题的关键是掌握一次函数的交点和二元一次方程组的关系． 将点代入、得，联立、得出，然后代入求纵坐标即可． 【详解】解：将点代入、得， ， 整理得， 联立 整理得， 则， ∴、的交点坐标为， 故选：B． 9．【答案】B 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解、两点之间线段最短、线段问题(轴对称综合题) 【分析】①根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；②利用待定系数法求得k的值；③求得和的长，根据三角形面积计算公式，即可得到的面积；④根据轴对称的性质以及两点之间线段最短，即可得到当的值最小时，点P的坐标为． 【详解】解：①∵直线与直线都经过， ∴方程组的解为，故①正确，符合题意； ②把，代入直线，可得，解得， ∴故②正确，符合题意； ③把代入直线，可得， 中，令，则， ∴， ∴， 在直线中，令，则， ∴， ∴， ∴，故③错误，不符合题意； ④点A关于y轴对称的点为，连接， 由点C、的坐标得，直线的表达式为：， 由对称知，,, 当点共线，即点P位于点D处时，,最小， ∴当的值最小时，点P的坐标为，故④正确，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题为一次函数综合题，主要考查了一次函数图象与性质，三角形面积以及最短距离问题，运用轴对称知识作线段的等量转换是解题的关键． 10．【答案】B 【知识点】求自变量的值或函数值、求一次函数解析式 【分析】根据表格中的数据，设函数解析式，再根据表格中的数据，求出函数解析式，结合题意求解即可． 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，由自变量的值求函数值，求出函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：设函数的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故解析式为， 当时，， 点在直线上； 当时，， 此时得到67这个数据是错误的． 故选：B． 11．【答案】 【知识点】求一次函数解析式 【分析】根据两直线平行得到，与轴交于得到． 【详解】解：一次函数的图象与直线平行，且与轴交于， ，， 该一次函数的解析式为． 12．【答案】9 【知识点】求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】此题主要考查了两条直线相交问题，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．先根据题意求出，得出P点坐标为，再求出，得出，求出点A的坐标为，点B的坐标为，然后可求出的面积即可． 【详解】解：直线：与直线：相交于点， ， 解得：， ∴P点坐标为， 把代入得， 解得：， ∴， 把代入得：， 把代入得：， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， 的面积为：， 故答案为：9． 13．【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组），解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．由两条直线的交点坐标，先求出m，再求出方程组的解即可． 【详解】解：∵经过， ∴， ∴， ∴直线与直线相交于点， ∴方程组的解是． 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】判断一次函数的图象、两直线的交点与二元一次方程组的解、比较一次函数值的大小、判断一次函数的增减性 【分析】根据一次函数的图象即可判断结论①；根据一次函数与轴的交点在一次函数的图象与轴的交点的下方即可判断结论②；由函数图象可知，当时，一次函数的图象位于一次函数的图象的下方，据此即可判断结论③；根据两个一次函数的交点坐标即可判断结论④；将两个一次函数的交点坐标代入函数解析式，即可判断结论⑤；综上，即可得出所有正确的结论． 【详解】解：由一次函数的图象可知，随的增大而增大，故结论①正确； ∵一次函数与轴的交点在一次函数的图象与轴的交点的下方， ∴，故结论②正确； 由函数图象可知，当时，一次函数的图象位于一次函数的图象的下方， ∴此时，故结论③错误； 由函数图象可知，两个一次函数的交点坐标为， ∴关于，的方程组，即方程组的解为，故结论④正确； 将点代入两个一次函数的解析式，得：， ∴，故结论⑤正确； 综上，正确的结论有：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了判断一次函数的增减性，一次函数的图象，比较一次函数值的大小，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 15．【答案】 【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数，解题的关键是用待定系数法求出一次函数解析式．把，代入一次函数中，利用待定系数法解出一次函数解析式，把代入求值即可． 【详解】解：把，代入一次函数中得： ，解得， ， 当时，，即中与之对应的实数是． 故答案为：． 16．【答案】 【知识点】画一次函数图象、图象法解二元一次方程组 【分析】此题考查一次函数与二元一次方程组的联系，在同一平面直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点，一定是相应的两个一次函数的图象的交点． 先把两个方程化成一次函数的形式，然后在同一坐标系中画出它们的图象，交点的坐标就是方程组的解． 【详解】解：如图， 两个一次函数y与的交点坐标为； 因此方程组的解． 17．【答案】(1) (2)见解答 【知识点】求一次函数解析式、画一次函数图象 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）将x与y的值代入中求出a的值，即可确定出一次函数解析式； （2）作出函数图象即可． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：， ∴这个函数的表达式为； （2）解：把代入得：， 把代入得：， 解得：， ∴直线与x轴的交点为，与y轴的交点为， 画函数的图象，如图：    18．【答案】(1)，, (2)点的横坐标为或． 【知识点】求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了直线与坐标轴交点问题，两直线交点问题； （1）联立直线解析式求得的坐标，分别令，得出的坐标； （2）设，根据，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ∴， ∵直线分别与轴，轴交于点，点． 当时，，当时，， ∴,； （2）解：设， ∵， ∴， 即， 解得：或， ∴点的横坐标为或． 19．【答案】(1) (2)当甲容器中的水面高度为时是 【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）观察实验数据知，水面高度与流水时间的函数符合一次函数的特征，用待定系数法求出函数解析式即可； （2）由（1）所求函数解析式，计算当时的自变量值，即可求解． 【详解】（1）解：由表中数据可得：每过10分钟，水面高度h减少约，所以水面高度h是流水时间t的一次函数， 设，把，；，代入得：， 解得， ∴， 答：水面高度与流水时间的函数解析式为； （2）解：当时，， 解得， 而，，即10时30分， 答：当甲容器中的水面高度为时是． 20．【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)． 【知识点】求一次函数解析式、从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，等定系数法求一次函数解析式，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）先由图象计算出汽车行驶的速度，现算出前两小时行驶的路程即可求解； （2）根据材料二给出的信息可直接求解； （3）由材料二和三给出的信息即可得到与x(百公里)之间的关系式； （4）由井冈山与深圳之间的距离为千米，得到，即可求解； 【详解】（1）解：∵由材料一可知，夏欢全家端午期间从井冈山出发自驾游匀速行驶返回深圳， ∴汽车行驶的速度为：， ∴汽车前两小时行驶的路程为：（千米）， ∴井冈山与深圳之间的距离为：（千米）， 返回途中在服务区逗留的时间为：（小时）， 故答案为：，； （2）解：由材料二可知，（千克）， ， 故答案为：，； （3）解：由材料二和三可知，家居用电的二氧化碳排放量耗电量， 新能源电动汽车的百公里耗电量左右， ∴， ∵开私家车的二氧化碳排放量耗油量，燃油汽车的百公里耗油量左右， ∴， 故答案为：，； （4）解：∵井冈山与深圳之间的距离为千米，即， ∴（千克）， （千克）， ∴新能源电动汽车比燃油车少减排：（千克）， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $