4.2 认识一次函数 同步练习 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦一次函数概念理解与应用，分层设计从基础定义到综合建模，适配新授课巩固需求，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|正比例/一次函数定义、参数取值|单选1-5题辨析定义，填空9-10题分类识别，夯实概念理解| |中档|函数值计算、实际情境建模|单选6-8题结合“乌鸦喝水”等情境列解析式，解答14-16题用几何/经济问题培养模型意识| |提升|函数与几何综合、复杂建模|填空13题等腰直角三角形与函数结合，解答17-18题多情境函数关系构建，发展推理能力|

4.2 认识一次函数 同步练习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列函数中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中，是一次函数的是（　　） A． B． C． D． （m，n是常数） 3．已知函数是一次函数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数关系的是（   ） A．圆的周长C随半径r的变化而变化 B．用长的绳子围成一个矩形，其中一边长y随它邻边x的变化而变化 C．正方形的面积S随边长a的变化而变化 D．汽车油箱中有汽油，行驶过程中油箱中的油量Q随行驶路程s的变化而变化 5．若点在直线上，则（    ） A．15 B．9 C．5 D． 6．我们都知道“乌鸦喝水”的故事．杯中有一定量的水，假设乌鸦向杯中投放完全相同的石子，在水面高度到达杯口边缘之前，每枚石子都浸没水中，从投放第一枚石子开始记数，水面高度与投入的石子个数之间满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．其他函数关系 7．，是一次函数图象上的不同的两点，则（    ） A． B． C． D．的符号无法判断 8．新定义：为一次函数（a，b为常数，且）关联数．若关联数所对应的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若关于x的函数是正比例函数，则该函数的表达式为________． 10．在下列函数中，是自变量，是因变量，则一次函数有___，正比例函数有___．（将代号填上即可）①；②；③；④；⑤． 11．体育节学校购买跳绳和钢笔共100个奖品，跳绳每个4元，钢笔每支5元，若跳绳购买x个，总费用y（元）与x（个）之间的函数关系式为________．（不用写出自变量x的取值范围） 12．在平面直角坐标系中，点在函数的图像上，且，则代数式的值为_____． 13．如图，直线和轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，，则点的坐标为__________． 三、解答题 14．已知y与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当时，求x的值． 15．如图，在中，，，，点为边上一动点，当动点沿从点向点运动时，的面积发生了变化．设长为，的面积为． (1)求与的关系式； (2)当点运动到的中点时，的面积是多少？ (3)若的面积为，则的长为多少？ 16．已知矩形ABCD的周长为20cm．若设AB=xcm，BC=ycm．请写出y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围． 17．写出下列各题中与之间的关系式，并判断是否为的一次函数，是否为的正比例函数． ①等边三角形的周长与边长之间的关系； ②汽车行驶前，油箱中有油65升，已知汽车每行驶10千米耗油2升，油箱的余油量（升）与已行驶的距离（千米）之间的关系； ③今年某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下，行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步价5元，超过3千米后，每多行驶1千米加收1.8元，另外每辆车加收3元的燃油附加费，求乘车费用（元）与乘车距离（千米）（）之间的函数关系； ④设一长方体盒子高为，底面是正方形，求这个长方体的体积（）与底面边长（）之间的关系． 18．用8cm长的细铁丝围成一个等腰三角形，腰长为xcm，底边长为ycm． （1）求y关于x的函数解析式； （2）在如图的平面直角坐标系中画出该函数的图象． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B A A C B A C 1．【答案】B 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的定义为形如（为常数且）的函数，据此判断各选项是否符合定义． 【详解】解：∵正比例函数的形式为（）， A、，可写为，含项，不符合形式，不符合题意； B、，即形式，且，符合定义，符合题意； C、，含常数项，不符合形式，不符合题意； D、，含常数项，不符合形式，不符合题意； 故选：B． 2．【答案】B 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，形如（，、为常数）的函数是一次函数，逐一判断各选项，即可作答． 【详解】解：A、不是一次函数，故该选项不符合题意； B、是一次函数，故该选项符合题意； C、不是一次函数，故该选项不符合题意； D、当中的时，才是一次函数，原说法未说明，故不一定是一次函数，故该选项不符合题意； 故选：B 3．【答案】A 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】根据一次函数的定义进行解答． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的定义，解题关键是熟练掌握一次函数的定义． 4．【答案】A 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟知形如（是常数，）的函数叫做正比例函数是解题的关键．分别写出各选项的解析式，逐一判断即可． 【详解】解：A. ，C与r成正比，故选项符合题意； B. ，不是正比例函数关系，故选项不符合题意； C. ，S与a不是正比例函数关系，故选项不符合题意； D. （为常数，即单位路程耗油量），不是正比例函数关系，故选项不符合题意． 故选：A． 5．【答案】C 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数的性质，将点代入，得到关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， 解得：， 故选：C． 6．【答案】B 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】本题考查函数关系的识别，根据题意设水面原来高度为b，每枚石子可以使水面上升高度为k，可以得到，即可得出结论． 【详解】解：设水面原来高度为b，每枚石子可以使水面上升高度为k，投放x枚石子后水面高度为y，则，符合一次函数解析式， 故选B． 7．【答案】A 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】将点坐标代入函数解析式，化简后判断乘积的符号． 【详解】解：∵，是一次函数图象上不同的两点， ∴，， ∴， ∴， ∵A、B是不同两点， ∴， ∴， ∴， 即． 8．【答案】C 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、正比例函数的定义、根据一次函数的定义求参数 【分析】先依据题意得到函数关系式，然后依据正比例函数的定义求得m的值，最后解一元一次方程即可． 【详解】解：∵[a，b]为一次函数y=ax+b（a，b为实数，且a≠0）的关联数， ∴关联数[1，m+2]所对应的一次函数是y=x+m+2． 又∵该函数为正比例函数， ∴m+2=0，解得m=-2． ∴方程可变形为：， 解得：x=1， ∴方程的解为x=1． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是正比例函数的定义，解一元一次方程，求得m的值是解题的关键． 9．【答案】 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的定义，由定义得函数形式应为（），因此常数项必须为0，且一次项系数不为0，据此即可求解． 【详解】解：由题意得 ，且， 解得， ． 故答案为：． 10．【答案】 ①③④ ③ 【知识点】正比例函数的定义、识别一次函数 【分析】根据一次函数及正比例函数的定义，即可一一判定． 【详解】解：①是一次函数，不是正比例函数； ②不是一次函数； ③是正比例函数，因为正比例函数一定是一次函数，所以还是一次函数； ④是一次函数； ⑤既不是正比例函数也不是一次函数． 故答案为：①③④，③． 【点睛】本题考查了一次函数及正比例函数的定义，熟知正比例函数是一次函数的特例是解决本题的关键． 11．【答案】 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】本题考查了一次函数的应用，找准等量关系是解题关键．先求出钢笔为支，再根据总费用跳绳的单价跳绳的个数钢笔的单价钢笔的个数，由此即可得． 【详解】解：由题意得：购买钢笔的支数为支， 则， 故答案为：． 12．【答案】 8 【知识点】运用平方差公式进行运算、根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征和代数式求值。通过代入点坐标求得 ，再利用平方差公式计算即可。 【详解】解：∵点 在函数 的图像上， ∴ ， ∴ ， 又 ∵ ， ∴ ， 故答案为：8. 13．【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】根据一次函数解析式得出，，利用角的和差关系得出，即可证明，得出，，，即可得答案． 【详解】解：如图，过点作轴于， ∵直线和轴、轴分别交于点、点， ∴当时，，当时，， ∴，，即，， ∵以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 14．【答案】(1) (2) 【知识点】求自变量的值或函数值、正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的定义，求自变量的值；掌握正比例函数定义是关键． （1）由题意设，把x与y的值代入即可求得k的值，从而求得函数解析式； （2）把代入所求函数式中，即可求得自变量的值． 【详解】（1）解：∵y与成正比例， ∴设， 当时，，则， 即， ∴， 即； （2）解：当时，即， 解得：． 15．【答案】(1) (2)点运动到的中点时，的面积为 (3)当的面积为时，的长为 【知识点】动点问题的函数图象、求一次函数自变量或函数值、列一次函数解析式并求值 【分析】对于（1），根据三角形的面积公式用含有x的代数式表示y即可； 对于（2），将代入关系式计算即可； 对于（3），将代入关系式求出x即可． 【详解】（1），所以与的关系式为； （2）当时，， 所以点运动到的中点时，的面积为； （3）当时，，解得， 所以当的面积为时，的长为． 【点睛】本题主要考查了求函数关系式，求自变量，求函数值等，准确的计算是解题的关键． 16．【答案】y=10-x； 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】根据长方形周长公式列式即可，由长宽均大于0可得x的取值范围． 【详解】解：根据题意得，y==10﹣x，即y=10﹣x， ∵x＞0且10﹣x＞0， ∴0＜x＜10． 【点睛】本题主要考查根据实际问题列一次函数解析式的能力，熟知长方形周长公式是解题根本，由长宽为正可得自变量取值范围． 17．【答案】 解：①，是一次函数，也是正比例函数． ②，是一次函数，不是正比例函数． ③是一次函数，不是正比例函数． ④，既不是一次函数，也不是正比例函数． 【知识点】正比例函数的定义、识别一次函数 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的定义，熟练掌握一次函数与正比例函数的定义是解此题的关键． 根据三角形周长公式表示出与之间的关系式即可；②根据余油量耗油量原油量表示出与之间的关系式即可；③根据乘车费起步价燃油附加费加收的乘车费表示出与之间的关系式即可；④根据长方体的体积底面积高表示出与之间的关系式即可． 【详解】略 18．【答案】（1）； （2）画图如下： 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】（1）由周长定义可得y关于x的函数解析式，求自变量x的取值范围，要注意三角形的特点，两边之和大于第三边． （2）由（1）的结论，在平面直角坐标系中描点，连线即可． 【详解】解：（1）由题意，得2x+y＝8， ， 由，得， 又， ， 故， ； （2）略 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，准确计算是解题的关键． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $