4.2 认识一次函数 课后同步练习 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册“认识一次函数”新授课同步练，以“基础巩固-性质应用-综合拓展”分层设计，通过概念辨析、实际建模与推理运算，培养抽象能力、模型意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|正比例/一次函数定义、简单计算|单选题1-5直接考查定义辨析，填空题9-10强化概念表述，夯实抽象能力| |中档|函数性质、坐标应用|单选题6-8结合函数值变化与实际情境（如行程问题），填空题11-12通过坐标计算与生活模型（鞋码）培养模型意识| |提升|综合应用与跨知识整合|填空题13结合旋转与一次函数，解答题16-18通过动点问题、表格数据推理，发展推理能力与综合应用能力|

4.2 认识一次函数 课后同步练习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列函数表达式中，关于是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．若点在直线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，y是x的一次函数的是（　　） A． B． C． D． 4．函数是一次函数，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．下列两个变量之间的关系式，是正比例函数的是（    ） A．正方形的面积与边长之间的关系 B．等腰三角形的周长为，底边长与腰长之间的关系 C．铅笔每支2元，购买铅笔的总价（元）与购买的数量（支）之间的关系 D．小明进行100m短跑训练，跑完全程所需时间与速度之间的关系 6．小明画某一次函数图象，在列表时他将其中一个函数值算错了，试在下表中找出这个算错的函数值（　　） A． B． C． D． 7．汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 二、填空题 9．若函数是关于的正比例函数，且图象过点，则________． 10．若两个变量x，y间的对应关系可以表示成__________的形式，则称y是x的一次函数．特别地，当b＝0时，称y是x的__________函数，即y＝kx（k≠0）． 11．如图，在平面直角坐标系中，P为直线上一点，点P 的横坐标为， 则的长是_______． 12．鞋码代表鞋子的大小，中国鞋码与脚长之间呈现一定的规律．在网购时，人们可以根据自己的脚长对照中国鞋码，从而选择合脚的鞋子．脚长（单位：）与中国鞋码的部分对照如下表： 脚长 … 23 23.5 24 24.5 … 中国鞋码 … 36 37 38 39 … 小陈的脚长为，则他在网购时选择的中国鞋码为________（用含的代数式表示）． 13．在直角坐标系中，点A的坐标是，点B在坐标轴上，点B绕点A顺时针旋转落在直线上，则点B的坐标是______． 三、解答题 14．已知y是关于z的正比例函数，比例系数是2；z是关于x的反比例函数，比例系数是． (1)写出此正比例函数和反比例函数的表达式． (2)求当时，x，y的值． (3)求y关于x的函数表达式，这个函数是反比例函数吗？ 15．写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)正方形的面积与它的边长x（）之间的关系； (2)某地居民用电收费标准是0.53元/（），应缴电费y（元）与用电量x（）之间的关系； (3)汽车从离A站的B地出发，以的速度沿射线方向匀速行驶，汽车到A站的距离y（）与匀速行驶的时间x（h）之间的关系． 16．如图，在中，，，，点为边上一动点，当动点沿从点向点运动时，的面积发生了变化．设长为，的面积为． (1)求与的关系式； (2)当点运动到的中点时，的面积是多少？ (3)若的面积为，则的长为多少？ 17．甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离． （1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； （2）当x=0.5时，求y的值． 18．下表中，是的一次函数，写出该函数表达式，并补全下表． －3 －2 －1 0 1 6 4 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C D C A A A 1．【答案】B 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数． 根据正比例函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A选项不符合的形式，不符合正比例函数定义； B选项符合（）的形式，是正比例函数； C选项不符合的形式，不符合正比例函数定义； D选项不符合的形式，不符合正比例函数定义； 故选：B． 2．【答案】A 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，把点的横坐标代入解析式计算即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， 故选：． 3．【答案】C 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查一次函数的定义及其识别．一次函数的标准形式为：（其中为常数），自变量的次数必须是1，且不能出现在分母或根号中,因此需要逐个分析选项是否符合该形式，排除二次函数、反比例函数、根式函数等非一次函数类型． 【详解】∵一次函数的标准形式为， 选项A：，的次数为2，不是一次函数； 选项B：，分母中有字母，不是一次函数； 选项C：，满足，是一次函数； 选项D：，含有根号，的次数不为1，不是一次函数． 故选：C． 4．【答案】D 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】根据一次函数定义可得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1． 5．【答案】C 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查正比例函数的定义，写出两个变量之间的函数关系式，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是正比例函数，不符合题意； B、，不是正比例函数，不符合题意； C、，是正比例函数，符合题意； D、，不是正比例函数，不符合题意； 故选C． 6．【答案】A 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的函数值变化是均匀的即可判断求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由表格数据可知，后三对数据中，的值每增加，函数值增加，而第一对到第二对数据，的值增加，函数值增加， ∵一次函数的函数值变化是均匀的， ∴这个算错的函数值是第一组， 故选：． 7．【答案】A 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】根据汽车距天津的距离＝总路程−已行驶路程列函数关系式，再根据总路程判断出t的取值范围即可． 【详解】解：∵汽车行驶的路程为：， ∴汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系为：， ∵， ∴自变量t的取值范围是， 故选：A． 【点睛】本题考查了列一次函数关系式，解决本题的关键是理解剩余路程的等量关系． 8．【答案】A 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，理解一次函数的增减性是解决本题的关键．根据一次函数表达式及已知条件，结合点坐标代入得到，结合即可推导参数关系，进而判断选项． 【详解】解：点在函数图象上，代入得： ∵， ∴，即， ∵，即， ∴ ∴，． 故选：A ． 9．【答案】 【知识点】正比例函数的定义 【分析】此题主要考查了利用待定系数法求正比例函数解析式，根据正比例函数的定义，常数项，求出；再将点代入函数求，最后计算． 【详解】解：因为函数是正比例函数， 所以，解得． 此时函数为． 将点代入，得，即， 解得．所以． 故答案为：． 10．【答案】 y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0) 正比例 【知识点】正比例函数的定义、识别一次函数 【解析】略 11．【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理求两点间的距离，先求出点的坐标，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵P为直线上一点，点P 的横坐标为， ∴点的坐标为， ∴， 故答案为：． 12．【答案】/ 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】本题考查了从实际数据中识别规律并建立代数模型的能力，以及求一次函数解析式；解题的关键是观察表格中脚长与鞋码的对应关系，发现两者呈线性变化，并通过代入已知点求解线性表达式；取两点，用待定系数法，求解析式，即可得解． 【详解】解：设脚长为，鞋码为；取点， 设， 解得 故 当脚长为时，鞋码为． 故答案为． 13．【答案】或 【知识点】根据一次函数的定义求参数、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数上点的坐标，分为点B在x轴上和点B在y轴上两种情况，画图证明，，求出点M的坐标，代入直线解析式即可解题． 【详解】解：令点B旋转后的对应点为 当点B在x轴上时， 令点B坐标为， 则 由旋转可知， ，， 所以点M坐标可表示为 将点M坐标代入得， ， 解得， 所以点B的坐标为， 当点B在y轴上时，过点M作x轴的垂线，垂足为N， 令点B坐标为， 由旋转可知， ， 所以， 所以 在和中， ， 所以 ， 所以， 因为点A坐标为，点B坐标为， 所以，， 所以， 则点M坐标为， 将点M坐标代入得， ， 解得， 所以点B的坐标为 综上所述：点B的坐标为或， 故答案为：或． 14．【答案】(1)，； (2)x，； (3)，这个函数是反比例函数． 【知识点】正比例函数的定义、求反比例函数解析式 【分析】本题考查的是正比例函数与反比例函数的定义，求解自变量或函数值，理解题意是关键． （1）根据定义直接写出函数解析式即可； （2）利用函数解析式分别求解即可； （3）消去变量即可得到函数解析式，再进一步解答即可； 【详解】（1）解：∵y是关于z的正比例函数，比例系数是2；z是关于x的反比例函数，比例系数是， ∴，； （2）解：当时，则， 解得x， ； （3）解：∵，； ∴，这个函数是反比例函数． 15．【答案】(1)不是的一次函数，也不是的正比例函数 (2)，是的一次函数，也是的正比例函数 (3)，是的一次函数，但不是的正比例函数 【知识点】正比例函数的定义、识别一次函数、用关系式表示变量间的关系 【分析】此题考查了一次函数和正比例函数的定义，根据题意正确列出函数解析式是关键． （1）根据正方形的面积是边长 x（）的平方列出函数解析式，再判断即可； （2）根据应缴电费y（元）是收费标准是0.53元/（）与用电量x（）的乘积，列出函数解析式，再判断即可； （3）根据汽车到A站的距离y（）是原来的距离加上汽车行驶距离列出函数解析式，再判断即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 不是的一次函数，也不是的正比例函数； （2）解：根据题意可得， ，是的一次函数，也是的正比例函数； （3）解：根据题意可得， ，是的一次函数，但不是的正比例函数 16．【答案】(1) (2)点运动到的中点时，的面积为 (3)当的面积为时，的长为 【知识点】动点问题的函数图象、求一次函数自变量或函数值、列一次函数解析式并求值 【分析】对于（1），根据三角形的面积公式用含有x的代数式表示y即可； 对于（2），将代入关系式计算即可； 对于（3），将代入关系式求出x即可． 【详解】（1），所以与的关系式为； （2）当时，， 所以点运动到的中点时，的面积为； （3）当时，，解得， 所以当的面积为时，的长为． 【点睛】本题主要考查了求函数关系式，求自变量，求函数值等，准确的计算是解题的关键． 17．【答案】（1），y是x的一次函数；（2） 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案； （2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km） ∵甲、乙两地相距120km ∴火车与甲地的距离表示为：（km），即； 当火车到达甲地时，即 ∴，即火车行驶1.5h到达甲地 ∴ y是x的一次函数； （2）根据（1）的结论，得：． 【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解． 18．【答案】，3个空依次填写2，0，－2． 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】因为y是x的一次函数，可设y=kx+b，由图表可知，x=-3时y=6，x=-2时y=4，然后可得到关于k、b的方程组，进而可求出解析式；把x=-1，0，1代入求出相应的y值． 【详解】解：∵y是x的一次函数， ∴设y=kx+b， 又∵由图表可知，x=-3时y=6，x=-2时y=4 ∴ 解得： ∴所求的一次函数的解析式为y=-2x； ∴当x=-1时，y=-2×（-1）=2； 当x=0时，y=-2×0=0； 当x=1时，y=-2×1=-2； ∴一次函数的解析式为y=-2x，三个空依次填写2，0，－2． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $