精品解析：西安市汇知中学2025-2026学年度第二学期期中检测八年级数学试题

2025~2026学年度第二学期期中检测 八年级数学 （满分：120分 时间：100分钟） 一．选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下面各图标中，是中心对称的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据定义判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．是中心对称图形，符合题意． 2. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是理解因式分解的定义．把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可． 【详解】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； D．符合定义，故选项正确，符合题意． 故选：D． 3. 如图是某景区一段索道示意图，点A、B之间的距离为30米，，则缆车从点A到点B的过程中竖直上升的高度（的长）为（ ） A. 60米 B. 45米 C. 30米 D. 15米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，根据 30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】解：在中，，米， 则米， 故选：D． 4. 若，且，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，且， ∴， 只有C选项中的是负数，符合题意． 5. 如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点恰好落在边上，，则的长为（ ） A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】解：是由旋转得到的， ， , ， ， 即， ． 6. 已知一次函数（，为常数，且）的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数图象可知，一次函数中随的增大而减小，且时，，所以不等式的解集为． 【详解】解：由函数图象可知，一次函数中随的增大而减小， 时，， 时，， 不等式的解集为． 7. 若多项式可以用平方差公式进行因式分解，则表示的单项式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方差公式的定义进行判断即可． 【详解】解：A、，不能用平方差公式分解，不符合题意； B、，不能用平方差公式分解，不符合题意； C、 ，能用平方差公式分解，符合题意； D、，不能用平方差公式分解，不符合题意． 8. 如图，在中，平分，于点D，，延长相交于点E，若，则的长为（ ） A. 8 B. 10 C. 13 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据余角的性质可得，从而得到，再由等腰三角形的性质可得，然后根据，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 二．填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：______________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 如图，点、在线段上，，，，连接、，若要根据“”直接证明，则还需要添加的一个条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】“”需要一组直角边、一组斜边分别相等，题目已经给出一组直角边相等，因此只需补充斜边相等的条件． 【详解】解：∵，， ∴， ∴和都是直角三角形， ∵，且、是和的一组对应直角边， 根据“”定理，在已知一组直角边相等的情况下，还需要两个直角三角形的斜边对应相等， ∵在中，是斜边，在中，是斜边， ∴需要添加的一个条件是． 11. 在中，于点D，若，则的周长是__________． 【答案】20 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质与判定分别求得，进而求得的周长． 【详解】∵在中，， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵于点D， ∴． ∵， ∴的周长． 故答案为：20 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 12. 如图，点A、C的坐标分别为、，将沿x轴向右平移，得到，点O的对应点D在线段上，若，则点A的对应点B的坐标为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，从而得出，即，进而得出平移方式，由此即可得出结果． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， ∵点O的对应点D在线段上，且， ∴， ∴， ∴将沿x轴向右平移个单位长度，得到， ∵点A的坐标为， ∴点B的坐标为，即． 13. 关于x的不等式组有且只有3个整数解，则m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解．先对不等式组进行求解，再根据不等式组有且只有3个整数解确定m的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式可得，； ∴该不等式组的解集为． ∵不等式组有且只有3个整数解，即3，2，1， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，线段在轴上运动（点在点的上方），且，连接、，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题为将军饮马变式，轴上有定长动线段，先平移线段，把转化为，再作点关于轴的对称点，将转化为，依据两点之间线段最短，的最小值等于线段的长，最后利用勾股定理求出线段长度． 【详解】解：如图：将线段向下平移1个单位长度，得到线段，作点关于轴的对称点，过点作轴交轴于点，连接，， 则，， ∴， ∵， 当点，C，E三点共线时，有最小值是，即的最小值是， ∵点、的坐标分别为、， ∴点、的坐标分别为、， ∵轴，且点在轴上， ∴点的坐标为，， ∴在中，，， ∴， ∴的最小值是． 三．解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】分别求解一元一次不等式的解，由此求解解集即可． 【详解】解：不等式组：， 解不等式，则有，解得， 解不等式，则有，解得， ∴该不等式组的解集为． 16. 因式分解： ． 【答案】 【解析】 【分析】首先提取公因式m−n，进而利用平方差公式分解因式得出即可． 【详解】解： = =． 【点睛】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练应用平方差公式是解题关键． 17. 若一个正多边形的内角和加上它的外角和等于900°，求这个正多边形的边数． 【答案】5 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式与外角和定理列式求解即可．本题考查了多边形的内角和与外角和定理，熟记多边形的内角和公式以及外角和定理是解题的关键． 【详解】设这个多边形的边数是， 则， 解得． ∴这个正多边形的边数是5． 18. 如图，在中，，请你用尺规作图法在的边上求作一点，使得点到的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【解析】 【分析】以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、，分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点，则是的平分线，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点到的距离等于，点即为所求． 【详解】略 19. 如图，在四边形中，，过点作交于点，．求证：是等边三角形． 【答案】证明：， ． 又， ． ∴， ， 是等边三角形． 【解析】 【分析】根据平行线的性质和等角对等边，得出，然后根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可解答． 【详解】略 20. 如图，在 中，，点 D是的延长线上一点，是线段的垂直平分线，交于点 F． 求证：点 E在线段的垂直平分线上． 【答案】 证明：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴点E在的垂直平分线上． 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质及判定，平行线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，，等量代换得到，根据等角对等边得，根据线段的垂直平分线的判定定理即可得到结论． 【详解】略 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）将先向下平移个单位，再向左平移个单位，得到，请画出；（点、、的对应点分别为点、、） （2）将绕原点顺时针旋转，得到，请画出．（点、、的对应点分别为点、、） 【答案】（1）如图，即为所求． （2）如图，即为所求． 【解析】 【小问1详解】 解：根据平移规律，点平移后为，点平移后为，点平移后为． 在坐标系中描出点、、，并顺次连接． 【小问2详解】 解：根据旋转规律，点旋转后为，点旋转后为，点旋转后为． 在坐标系中描出点、、，并顺次连接． 22. 《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某商家购进甲、乙两款玩偶进行销售，甲款玩偶的进货单价为70元，乙款玩偶的进货单价为40元，该商家购进甲、乙两款玩偶共100件，若每件甲款玩偶的售价为110元，每件乙款玩偶的售价为70元，且销售完这100件玩偶所获得的利润不低于3700元，则商家最少需购进甲款玩偶多少件？ 【答案】70 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，熟练掌握根据不等关系列不等式并求解是解题的关键．设购进甲款玩偶的数量为未知数，根据总利润=甲款利润+乙款利润，结合利润不低于3700元的条件，列不等式求解． 【详解】解：设商家购进甲款玩偶件，则购进乙款玩偶件．由题意可得 ， ， ， ， ， ， 答：商家最少需购进甲款玩偶件． 23. 阅读材料并解决问题：分解因式，细心观察这个式子就会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为： 这种分解因式的方法叫做分组分解法．利用这种方法解决问题： （1）分解因式： （2）已知的三边长a，b，c满足，试判断的形状． 【答案】（1） （2）等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用．熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）应用分组分解法直接分解因式即可； （2）首先应用分组分解法，把分解因式，然后得到，从得到是等腰三角形． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ∵， ∴ ∴ ∵ ， ∴． ∴是等腰三角形． 24. 如图，在中，，点在的右侧，连接、，平分，过点作交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）9 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的性质证即可； （2）根据等角的余角相等，结合等角对等边得到，即可得出结果． 【小问1详解】 证明：， ， 平分， ， ， 是等腰三角形． 【小问2详解】 解：， ，， ， ，， ， ． 25. 某展厅举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，假期期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，该展厅制定了两种优惠方案，两种优惠方案只能选择其中一种．方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的付款 某校有4名老师与x名学生去该展厅听音乐会． （1）设方案1中的付款总金额为（元），方案2中的付款总金额为（元），分别求出、与x之间的函数关系式； （2）请帮助该校师生确定出最节省费用的购票方案． 【答案】（1）， （2）当学生人数为24人时，两种优惠方案付款一样多；学生人数小于人时，优惠方案1付款较少；学生人数大于人时，优惠方案2付款较少 【解析】 【分析】（1）根据题干所给的优惠方式，分别计算出、与x之间的函数关系式即可； （2）分三种情况：当时，当时，当时，分别计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，当学生人数为24人时，两种优惠方案付款一样多；学生人数小于人时，优惠方案1付款较少；学生人数大于人时，优惠方案2付款较少． 26. 【问题提出】 （1）如图，点在等边的边上，连接，将线段绕点顺时针旋转一定角度得到线段，连接、，过点作交于点，若，，，求线段的长； 【拓展应用】 （2）如图，在校园文化广场的景观改造项目中，设计团队搭建了一个桁架主体造型为等边的艺术桁架，为地面固定基座，、、为桁架的固定节点，设计师在基座上设置了可滑动的活动节点（点在线段上，且不与端点重合），连接主支撑杆，将绕点顺时针旋转得到可活动的副支撑杆，同时连接形成造型调节臂，点为的中点，连接、作为结构稳定杆，求证：无论活动节点在上如何滑动，始终有． 【答案】（1） （2）证明：如图，延长到点，使得，连接、， ∵点为线段的中点， ， 在和中，，，， ， ，， 由旋转性质得， ． ， ． 在和中，，，， ， ． ， ，即， ∴无论活动节点在上如何滑动，始终有． 【解析】 【分析】（1）先利用等边三角形以及，求出、、、的长度，得到，结合旋转性质，再由得到两个直角三角形，通过证明，对应边相等求出长． （2）采用倍长中线法，延长至使，先证得到边和角的等量关系，结合旋转角度推导出，再证得，利用等腰三角形三线合一证出． 【小问1详解】 解：， ， 是等边三角形，，， ，， ，， ， ，， ， 由旋转性质得． ， ． 在和中，，， ， ． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期中检测 八年级数学 （满分：120分 时间：100分钟） 一．选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下面各图标中，是中心对称的图形是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是某景区一段索道示意图，点A、B之间的距离为30米，，则缆车从点A到点B的过程中竖直上升的高度（的长）为（ ） A. 60米 B. 45米 C. 30米 D. 15米 4. 若，且，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点恰好落在边上，，则的长为（ ） A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 6. 已知一次函数（，为常数，且）的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 若多项式可以用平方差公式进行因式分解，则表示的单项式可以是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，平分，于点D，，延长相交于点E，若，则的长为（ ） A. 8 B. 10 C. 13 D. 15 二．填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：______________． 10. 如图，点、在线段上，，，，连接、，若要根据“”直接证明，则还需要添加的一个条件是________． 11. 在中，于点D，若，则的周长是__________． 12. 如图，点A、C的坐标分别为、，将沿x轴向右平移，得到，点O的对应点D在线段上，若，则点A的对应点B的坐标为 ________． 13. 关于x的不等式组有且只有3个整数解，则m的取值范围为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，线段在轴上运动（点在点的上方），且，连接、，则的最小值是________． 三．解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解不等式组： 16. 因式分解： ． 17. 若一个正多边形的内角和加上它的外角和等于900°，求这个正多边形的边数． 18. 如图，在中，，请你用尺规作图法在的边上求作一点，使得点到的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在四边形中，，过点作交于点，．求证：是等边三角形． 20. 如图，在 中，，点 D是的延长线上一点，是线段的垂直平分线，交于点 F． 求证：点 E在线段的垂直平分线上． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）将先向下平移个单位，再向左平移个单位，得到，请画出；（点、、的对应点分别为点、、） （2）将绕原点顺时针旋转，得到，请画出．（点、、的对应点分别为点、、） 22. 《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某商家购进甲、乙两款玩偶进行销售，甲款玩偶的进货单价为70元，乙款玩偶的进货单价为40元，该商家购进甲、乙两款玩偶共100件，若每件甲款玩偶的售价为110元，每件乙款玩偶的售价为70元，且销售完这100件玩偶所获得的利润不低于3700元，则商家最少需购进甲款玩偶多少件？ 23. 阅读材料并解决问题：分解因式，细心观察这个式子就会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为： 这种分解因式的方法叫做分组分解法．利用这种方法解决问题： （1）分解因式： （2）已知的三边长a，b，c满足，试判断的形状． 24. 如图，在中，，点在的右侧，连接、，平分，过点作交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的长． 25. 某展厅举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，假期期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，该展厅制定了两种优惠方案，两种优惠方案只能选择其中一种．方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的付款 某校有4名老师与x名学生去该展厅听音乐会． （1）设方案1中的付款总金额为（元），方案2中的付款总金额为（元），分别求出、与x之间的函数关系式； （2）请帮助该校师生确定出最节省费用的购票方案． 26. 【问题提出】 （1）如图，点在等边的边上，连接，将线段绕点顺时针旋转一定角度得到线段，连接、，过点作交于点，若，，，求线段的长； 【拓展应用】 （2）如图，在校园文化广场的景观改造项目中，设计团队搭建了一个桁架主体造型为等边的艺术桁架，为地面固定基座，、、为桁架的固定节点，设计师在基座上设置了可滑动的活动节点（点在线段上，且不与端点重合），连接主支撑杆，将绕点顺时针旋转得到可活动的副支撑杆，同时连接形成造型调节臂，点为的中点，连接、作为结构稳定杆，求证：无论活动节点在上如何滑动，始终有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $