重难点专训02 平面向量中的最值（范围）问题（专项训练）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以“形化”“数化”双路径构建方法体系，通过极化恒等式等工具实现向量最值问题的系统性突破，培养几何直观与代数推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|2类核心思路+极化恒等式|“形化”（几何意义转化）、“数化”（坐标运算转化）、极化恒等式（平行四边形/三角形模型）|从向量基本概念（数量积、模、夹角）到最值问题，构建“概念-方法-应用”逻辑链| |题型通法及变式提升|3类题型（数量积/模/夹角），每类含典例+变式|数量积：坐标法/基底法；模：平方转化/三角不等式；夹角：余弦公式转化|题型与方法一一对应，通过变式训练强化方法迁移| |重难专题分层过关练|巩固10题+创新7题|分层设计，覆盖基础应用到综合创新|从基础巩固到创新提升，契合一轮复习梯度需求|

重难点专训02 平面向量中的最值（范围）问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 数量积的最值（范围） 2 题型2 模的最值（范围） 3 题型3 夹角的最值（范围） 3 重难专题分层过关练 4 巩固过关 4 创新提升 5 解题方法及技巧提炼 一、平面向量中的最值（范围）问题 平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，解题思路通常有两种： 一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断； 二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决． 二、极化恒等式 设a，b是平面内的两个向量，则有 证明：，①，② 将两式相减可得，这个等式在数学上我们称为极化恒等式． ①几何解释1（平行四边形模型）以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得． 即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”． ②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得， 该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型． 注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合． 题型通法及变式提升 题型1 数量积的最值（范围） 【典例1-1】（2026·山西忻州·模拟预测）在边长为1的正方形ABCD中，点E在线段CD上，且.设，则________________.若点F在线段BE上运动，点G为AF的中点，则的最小值为________________. 求解数量积最值与范围，常用基底法、坐标法两种思路。坐标法优先，把数量积整理为关于变量的函数，转化二次函数求值域，注意自变量受几何条件约束。基底法可利用进行极化恒等式快速处理。遇到动点问题，结合向量投影几何意义分析最值。天津高考小题常结合平面图形考查，看清动点轨迹。要区分闭区间端点能否取到，规避盲目套用公式。算出结果后回代图形验证，留意向量夹角变化，避免忽略变量限制导致范围扩大或缩小。 【典例1-2】（2026·天津和平·二模）已知边长为3的正方形，F为边上靠近点B的三等分点，E为线段上一点，M为线段上一点，若，则__________；若以为底边作等腰三角形，则当点E在边上运动时，的取值范围为__________. 【变式1-1】（2026·天津红桥·一模）四边形中，，则实数___________；若是线段上的动点，且，则的最小值为___________． 题型2 模的最值（范围） 【典例2-1】（2025·吉林·三模）已知，是单位向量，且．若向量满足，则的最大值是______． 求解向量模的最值与范围，核心手段是平方转化，利用∣m∣2=m⋅m，将模运算转化为数量积运算。若条件适合建系，写出向量坐标，把模表达为函数解析式，借助二次函数求值域，注意自变量的几何约束。遇到动点模型，可结合向量三角不等式∣∣a∣−∣b∣∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣快速判断边界。天津高考小题常结合几何图形命题，可画图借助轨迹直观分析。做题要确认端点是否可以取到，不要直接照搬不等式结论，最后回代检验，防止忽略动点限制造成范围出错。 【典例2-2】（2026·浙江·模拟预测）已知平面内两单位向量，若满足，则的最小值是___________. 【变式2-1】（2026·全国·模拟预测）已知为等边三角形，点G是的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，则__________；与周长之比的取值范围为__________． 题型3 夹角的最值（范围） 【典例3-1】（2026·全国·模拟预测）已知与为相反向量，若，，则，夹角的余弦的最小值为______． 向量夹角范围固定为[0,π]，解题借助公式cosθ=a⋅b/∣a∣∣b∣​，将夹角范围问题转化余弦值的取值问题。余弦函数在[0,π]单调递减，余弦最大对应夹角最小，余弦最小对应夹角最大。可以采用坐标法，把条件转化函数求余弦的范围；遇到动点，结合图形轨迹直观判断夹角边界。注意辨析向量共线情况，夹角为锐角、钝角要剔除共线反向、同向情形。天津高考小题常结合几何图形考查，画图辅助判断向量是否共起点。求解后验证端点能否取到，规避直接套用公式忽略向量位置造成错解。 【典例3-2】（2026·安徽·三模）已知，，求使向量与向量的夹角为锐角的的取值范围______. 【变式3-1】（2026·湖南怀化·三模）若是两个非零向量，且则与的夹角的取值范围是____. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·北京·三模）如图所示，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江西九江·模拟预测）已知的平面内有2个不同的点满足，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 3．（2026·重庆·模拟预测）在坐标系中，，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·重庆·三模）在平面中，，且，若，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 5．（2026·山东滨州·二模）在平行四边形中，为边上的动点，为外接圆的圆心，且.若，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 6．（2026·广东·模拟预测）已知平面内存在，，，，五个点，且满足，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·福建南平·二模）勒洛三角形是一种特殊的曲边三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知的边长为1，P为弧上任意一点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在平面直角坐标系中，已知点、点，动点B满足，点C满足，记的面积为S，则S的最大值为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三·全国·三轮复习）在三角形中，，，点满足，则的最大值为（   ） A．11 B．16 C．18 D．25 10．（2026·山东青岛·二模）过点作一条直线与圆相切于点，且位于第四象限，为的直径，点为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 创新提升 1．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）直角中，斜边，，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广西贵港·三模）已知，点是直线上的任意一点，点在曲线上，点是线段的中点，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 3．（25-26高二下·河南·期中）已知平面内的两个动点连线的中点在圆上，是直线上的一个动点，且，则的最小值为（    ） A．9 B．7 C．-3 D．-1 4．（2026·安徽淮南·二模）在平面上有等腰直角三角形，为直角顶点，，，，，若，到直线的距离分别为和，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知非零向量满足，且，，若与的夹角为， 则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·浙江·二模）如图，已知正三角形的边长为2，以B为圆心的圆与直线相切，若点P是圆B上的动点，则的最大值是（    ）． A． B． C．4 D． 7．（2026·江苏无锡·二模）在平面直角坐标系中，，，，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训02 平面向量中的最值（范围）问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 数量积的最值（范围） 2 题型2 模的最值（范围） 6 题型3 夹角的最值（范围） 9 重难专题分层过关练 11 巩固过关 11 创新提升 18 解题方法及技巧提炼 一、平面向量中的最值（范围）问题 平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，解题思路通常有两种： 一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断； 二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决． 二、极化恒等式 设a，b是平面内的两个向量，则有 证明：，①，② 将两式相减可得，这个等式在数学上我们称为极化恒等式． ①几何解释1（平行四边形模型）以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得． 即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”． ②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得， 该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型． 注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合． 题型通法及变式提升 题型1 数量积的最值（范围） 【典例1-1】（2026·山西忻州·模拟预测）在边长为1的正方形ABCD中，点E在线段CD上，且.设，则________________.若点F在线段BE上运动，点G为AF的中点，则的最小值为________________. 【答案】 / 【分析】①建立平面直角坐标系，写出各点坐标，利用向量相等求；②设在上的参数表示，求出坐标，将数量积表示为二次函数，利用单调性求最小值. 【详解】 ① 以为原点，为轴正方向，为轴正方向建立平面直角坐标系， 则，，，. 由，且在线段上，则. 于是，，. 又，对照可得，，故； ②点在线段上，设，， 则,即， 又为中点，，则得,故， 则， 因，故当时，取得最小值为. 求解数量积最值与范围，常用基底法、坐标法两种思路。坐标法优先，把数量积整理为关于变量的函数，转化二次函数求值域，注意自变量受几何条件约束。基底法可利用进行极化恒等式快速处理。遇到动点问题，结合向量投影几何意义分析最值。天津高考小题常结合平面图形考查，看清动点轨迹。要区分闭区间端点能否取到，规避盲目套用公式。算出结果后回代图形验证，留意向量夹角变化，避免忽略变量限制导致范围扩大或缩小。 【典例1-2】（2026·天津和平·二模）已知边长为3的正方形，F为边上靠近点B的三等分点，E为线段上一点，M为线段上一点，若，则__________；若以为底边作等腰三角形，则当点E在边上运动时，的取值范围为__________. 【答案】 【分析】以为原点建立坐标系，设，由三点共线，，结合列方程组求解即可；根据即可求解． 【详解】解：如图，以为原点建立坐标系， 则，设， 三点共线，则， 又， ，解得， ； 设的中点为， ， ， 又E为线段上一点， ， ． 【变式1-1】（2026·天津红桥·一模）四边形中，，则实数___________；若是线段上的动点，且，则的最小值为___________． 【答案】 / 【分析】（1）根据和向量的数量积定义式计算. （2）建立平面坐标系，设，用表示出，根据二次函数性质得出最小值． 【详解】 因为，所以， 又因为，所以， 所以， 所以； 过作，垂足为， 所以为直角三角形，， 所以，， 由勾股定理可得，， 以为原点，以，所在直线为坐标轴建立平面坐标系如图所示： 由，可知，， 则，设， 由可得：，， 所以，， 所以， 当时，取得最小值. 题型2 模的最值（范围） 【典例2-1】（2025·吉林·三模）已知，是单位向量，且．若向量满足，则的最大值是______． 【答案】/ 【分析】由题意建立平面直角坐标系，设，根据条件确定确定点C在以(1,2)为圆心，1为半径的圆上，结合圆的几何性质，可求得答案. 【详解】由，得， 建立如图所示的平面直角坐标系，则， 设 ，由， 得 ， 所以点C在以Q(1,2)为圆心，1为半径的圆上. 所以 故答案为： 求解向量模的最值与范围，核心手段是平方转化，利用∣m∣2=m⋅m，将模运算转化为数量积运算。若条件适合建系，写出向量坐标，把模表达为函数解析式，借助二次函数求值域，注意自变量的几何约束。遇到动点模型，可结合向量三角不等式∣∣a∣−∣b∣∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣快速判断边界。天津高考小题常结合几何图形命题，可画图借助轨迹直观分析。做题要确认端点是否可以取到，不要直接照搬不等式结论，最后回代检验，防止忽略动点限制造成范围出错。 【典例2-2】（2026·浙江·模拟预测）已知平面内两单位向量，若满足，则的最小值是___________. 【答案】 【分析】设出得到，由不得关系得到，从而得到最小值. 【详解】由题意,可以设， 则由得， 由， 所以，解得： 即的最小值是. 【变式2-1】（2026·全国·模拟预测）已知为等边三角形，点G是的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，则__________；与周长之比的取值范围为__________． 【答案】 3 【分析】连接AG并延长，交BC于F，可得，变形可得，根据D、G、E三点共线，即可得答案；设的边长为1，设与周长之比，可得，根据余弦定理，可求得表达式，代入可得，根据的范围，可得的范围，利用导数，结合的范围，即可得答案. 【详解】连接AG并延长，交BC于F，如图所示 由题意得，F为BC中点， 所以， 又G为重心，所以， 所以，即， 因为D、G、E三点共线， 所以，即. 设的边长为1，设与周长之比， 则， 在中，由余弦定理得， 所以，即， 所以， 由（1）可得，即代入上式，可得 由题意得， 所以， 又，所以， 又，所以， 因为，所以， 令，则， 令，则， 所以在上为增函数， 所以， 所以与周长之比的取值范围为 题型3 夹角的最值（范围） 【典例3-1】（2026·全国·模拟预测）已知与为相反向量，若，，则，夹角的余弦的最小值为______． 【答案】-1 【分析】先根据向量模长相关不等式得到，解出，设，，夹角为，将两边平方，得到，结合，求出，得到答案. 【详解】，故， 因为，所以，又， 所以，解得：， 不妨设，，夹角为，则， 两边平方得：， 即，解得：， 因为，所以， 故，夹角的余弦的最小值为-1. 故答案为：-1 向量夹角范围固定为[0,π]，解题借助公式cosθ=a⋅b/∣a∣∣b∣​，将夹角范围问题转化余弦值的取值问题。余弦函数在[0,π]单调递减，余弦最大对应夹角最小，余弦最小对应夹角最大。可以采用坐标法，把条件转化函数求余弦的范围；遇到动点，结合图形轨迹直观判断夹角边界。注意辨析向量共线情况，夹角为锐角、钝角要剔除共线反向、同向情形。天津高考小题常结合几何图形考查，画图辅助判断向量是否共起点。求解后验证端点能否取到，规避直接套用公式忽略向量位置造成错解。 【典例3-2】（2026·安徽·三模）已知，，求使向量与向量的夹角为锐角的的取值范围______. 【答案】且 【分析】根据向量的夹角为锐角其数量积大于0，且不同向共线，即可得答案； 【详解】，， ，即， 又，不共线，∴， ∴且. 故答案为：且. 【变式3-1】（2026·湖南怀化·三模）若是两个非零向量，且则与的夹角的取值范围是____. 【答案】 【分析】设，则，令，以为邻边作平行四边形，则平行四边形为菱形，得到，得出与的夹角为，在中，由余弦定理求得的范围，得到的范围，进而求得与的夹角的范围，得到答案. 【详解】如图所示，因为， 不妨设，则， 令，以为邻边作平行四边形， 则平行四边形为菱形，所以为等腰三角形， 所以，且， 由题意，可得与的夹角，即为与的夹角，等于， 在中， 由余弦定理可得， 解得， 又由，可得，所以， 因为，所以，即， 所以， 即向量与的夹角的取值范围是. 故答案为：. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·北京·三模）如图所示，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量加法的几何意义得，从而化为求的范围，根据已知及向量数量积的运算律、二次函数的性质求范围. 【详解】因为点是线段的中点，所以向量， 所以，又向量方向相反，且， 所以． 2．（2026·江西九江·模拟预测）已知的平面内有2个不同的点满足，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】D 【分析】设点为的重心，得到，根据向量的运算法则，化简得到，得到 和 ，即点和分别落在以为圆心，半径为和的圆上，结合圆的性质，即可求解. 【详解】设为的重心，根据重心的性质，可得， 因为， 可得 所以 ， 当时， ；当时， ， 所以点在以为圆心，半径为的圆上，点在以为圆心，半径为的圆上， 根据圆的性质，可得 . 3．（2026·重庆·模拟预测）在坐标系中，，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件可得,取，由向量的线性运算，可得,将问题转化为求的最大值，由,可得，从而得点在以点为圆心， 为半径的圆上，作出图象，结合图象求解即可. 【详解】因为， 所以在圆上， 在中，由余弦定理可得， 又因为，所以， 即, 取， 则, 即， 同理可知， 所以 ， 所以点在以点为圆心， 为半径的圆上， 所以点在的延长线与圆的交点位置时，最大， 此时, 且, 所以, 即的最大值为. 4．（2026·重庆·三模）在平面中，，且，若，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】建系，确定轨迹，进而可求解. 【详解】因为 ，即， 以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系： ，，C(0,4)， 由得：点轨迹为以为圆心，半径的圆：， 设，由得： 消去参数， 整理得点轨迹为直线：， 是直线上动点到圆上动点的距离， 其最小值为圆心到直线的距离减去圆半径， 由点到直线距离公式： ， 所以. 5．（2026·山东滨州·二模）在平行四边形中，为边上的动点，为外接圆的圆心，且.若，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据题意确定为直角三角形并求出线段的长，然后以为基底去计算的值即可. 【详解】由可知为的中点，又因为为外接圆的圆心， 所以为直角三角形，，所以， 又因为所以，所以， 又因为E为边上的动点，所以 ， 因为，所以当，的最大值为. 6．（2026·广东·模拟预测）已知平面内存在，，，，五个点，且满足，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据已知条件求得的表达式，并利用基本不等式求得的最小值，进而求得的最小值. 【详解】设，则，，， 以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系， 则，如图，则：，，，， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 7．（2026·福建南平·二模）勒洛三角形是一种特殊的曲边三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知的边长为1，P为弧上任意一点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以为原点建立如图所示坐标系 则，设则，， 所以， 因为P为弧上任意一点，为边长为1的等边三角形，所以， 所以，即的范围为. 8．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在平面直角坐标系中，已知点、点，动点B满足，点C满足，记的面积为S，则S的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出点的轨迹方程和直线的方程，然后根据向量的坐标运算求出点的坐标，的面积为，问题即转化为点到直线距离的最大值，最后利用圆的参数方程以及辅助角公式即可求解. 【详解】设，已知，，因此的轨迹为圆： ， ， 即， 直线的斜率 ，所以直线的方程为 ，即， 点到直线的距离，， 设，， 则 ，， 其中最大值为，因此： . 9．（25-26高三·全国·三轮复习）在三角形中，，，点满足，则的最大值为（   ） A．11 B．16 C．18 D．25 【答案】B 【分析】如下图建立直角坐标系，利用数量积坐标运算结合辅助角公式可得答案. 【详解】如下图，以为原点建立直角坐标系，则，其中. 因，则，其中.又，，则. 则， ，其中. 则，当时取等号. 10．（2026·山东青岛·二模）过点作一条直线与圆相切于点，且位于第四象限，为的直径，点为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，圆的圆心为，半径， 过点作一条直线与圆相切于点， 当轴时，到直线的距离为，所以直线的方程为， 所以，又为的直径，则， 所以，所以直线的方程为：， 设，则， 所以， 又为线段上的动点，所以， 所以， 所以当时，的最小值为. 创新提升 1．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）直角中，斜边，，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以C为坐标中心建立平面直角坐标系，设P坐标为，根据条件建立的关系式求解 【详解】 以C为坐标中心建立平面直角坐标系，设P坐标为， ，，， ， ， ， ， ， 即， 配方得：， 所以在以为圆心以2为半径的圆上， ，， ,其关于x单调递增， 所以取P为圆的最右边的点可取得最大， 此时，代入得. 2．（2026·广西贵港·三模）已知，点是直线上的任意一点，点在曲线上，点是线段的中点，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】由极化恒等式可得，原题转化为求的最小值。先对给定N，研究P点满足方程，求出此时的最小值，再对任意点N，通过导数分析，可进一步求出取得的最小值． 【详解】设C是线段AB的中点，则， 并对任意点，有， 由题易得直线AB的方程为，对于给定上的， 设在直线AB上，则， 消去参数，得，整理后得， 所以对于给定，的最小值为C点到P点所在直线的距离，即， 设（），则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以在处取得最大值， 所以，当且仅当时取等号，即， 故． 3．（25-26高二下·河南·期中）已知平面内的两个动点连线的中点在圆上，是直线上的一个动点，且，则的最小值为（    ） A．9 B．7 C．-3 D．-1 【答案】D 【详解】取的中点，则. 圆心到的距离为，此时取得最小值，且最小值为3， 取得最小值，且最小值为.故的最小值为. 4．（2026·安徽淮南·二模）在平面上有等腰直角三角形，为直角顶点，，，，，若，到直线的距离分别为和，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，由题意可得直线的直线方程为，利用向量的线性运算可求得，求得的中点的轨迹方程，进而可得，进而求得的最大值. 【详解】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系， 因为三角形为等腰直角三角形，且，所以， 所以直线的直线方程为， 因为，所以，所以， 又，所以，解得. 因为，，所以的轨迹方程为和. 记的中点为，则， 所以， 所以，所以的轨迹方程为. 过分别向直线作垂线，垂足分别为， 则，又因为，所以为直角梯形， 又，为的中点，所以. 则的最大值即为的最大值， 又到直线的距离为， 所以的最大值为，所以的最大值即为. 5．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知非零向量满足，且，，若与的夹角为， 则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，进而由求出与的夹角. 【详解】，两边平方得 ， 又， ，， 所以，故， ，即， 设与的夹角为，所以， 所以，解得， 又，所以， 故与的夹角为. 6．（2026·浙江·二模）如图，已知正三角形的边长为2，以B为圆心的圆与直线相切，若点P是圆B上的动点，则的最大值是（    ）． A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】以A为原点，建立平面直角坐标系，设，求出坐标，由数量积的坐标运算结合余弦函数的性质即可得出答案. 【详解】 如图，以A为原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 已知正三角形的边长为2，以B为圆心的圆与直线相切， 则，圆B的半径为， 因为点P是圆B上的动点，设， 则， 则， 因为， 所以，当时，取得最大值为. 7．（2026·江苏无锡·二模）在平面直角坐标系中，，，，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】取中点，可得，利用余弦定理求出后，由模长与数量积关系计算可得，再利用点坐标，可得当、、三点共线时，取最小，即可得最小值. 【详解】取中点，则，则， 由，则， 则， 由，则，则， 当且仅当、、三点共线，且在、之间时，等号成立， 故的最小值为. 8 / 8 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