第2章 重点突破3 与圆有关的最值问题-【金版新学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦直线与圆、圆与圆位置关系的最值问题，涵盖距离、面积及代数式几何意义三类题型，通过典例导入，结合圆的方程基础，构建从概念到应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于融合数学眼光（几何直观）、数学思维（逻辑推理、数学运算）与数学语言（模型观念），如将代数式转化为斜率、距离等几何意义，通过规律方法总结和对点练，培养学生用数学思维分析问题，随堂评价助力巩固。对学生提升解题能力，对教师提供系统教学资源，提升教学效率。

重点突破3 与圆有关的最值问题 　 第二章 直线和圆的方程 单元学习九 直线与圆、圆与圆的位置关系 题型一　与距离有关的最值问题 1 题型二　与面积有关的最值问题 2 题型三　与代数式的几何意义有关的最值问题 3 内容索引 随堂评价 4 学习目标 1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理，培 养数学抽象的核心素养.　 2.会用分类加法计数原理、分步乘法计数原理分析和解决一些 简单的实际计数问题，培养数学建模、逻辑推理及数学运算 的核心素养. 题型一　与距离有关的最值问题 返回 (1)已知点P是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0上一点，点Q(－1，5)，则线段PQ长度的最大值为 A．3 B．5 C．7 D．9 典例 1 √ 圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝4，则圆心C(2，1)，半径为2.由点Q(－1，5)，则＝＝5＞2，即点Q在圆外，则＝＋r＝5＋2＝7.故选C． (2)(2025·安徽宣城期末调研)已知点A，B在直线l：x－y－2＝0上运动，且＝2，点C在圆(x＋2)2＋y2＝2上，则△ABC面积的最大值为 A．6 B．5 C．4 D．3 √ 圆(x＋2)2＋y2＝2的圆心为，半径为r＝，则圆心到直线l的距离为d＝＝2，则点C到直线l的最大距离为d＋r＝3，则△ABC面积的最大值为×2×3＝6.故选A． (3)过圆Q：＋y2＝1外一直线l：y＝x＋2上一动点P作圆Q的切线， 则切线长最小值为_______. 如图所示：过直线l：y＝x＋2上任意一点P作圆Q：＋y2＝1的切线，设切点为R，由题意圆Q：＋y2＝1的圆心坐标为Q， 半径为r＝1，则切线长＝＝＝.若要切线长最小，则只需最小即可，而的最小值即为点Q到直线l：y＝x＋2的距离.因此的最小值为d＝＝， 从而切线长＝＝＝. 规律方法 与距离有关的最值问题 类型 最值 图示 圆外一点到圆上任意一点距离 最小值＝d－r， 最大值＝d＋r 直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离 最小值＝d－r， 最大值＝d＋r 规律方法 与距离有关的最值问题 类型 最值 图示 过圆内一定点的直线被圆截得的弦长 最小值＝2，最大值＝2r 直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线 切线长的最小值＝ 对点练1.(1)点M在圆(x－5)2＋(y－3)2＝9上，则点M到直线3x＋4y－2＝0的最短距离为 A．2 B．5 C．8 D．9 √ 圆心(5，3)到直线3x＋4y－2＝0的距离为d＝＝5.又r＝3，则点M到直线的最短距离为5－3＝2.故选A． (2)直线(2m＋1)x＋(3m－2)y＋1－5m＝0被圆x2＋y2＝16所截得的弦长的最小值为__________. 2 直线(2m＋1)x＋(3m－2)y＋1－5m＝0可化为x－2y＋1＋m(2x＋3y－5)＝0. 由即直线(2m＋1)x＋(3m－2)y＋1－5m＝0过定点P(1，1).而圆x2＋y2＝16的圆心为O(0，0)，半径r＝4，所以根据圆的几何性质，可知当直线(2m＋1)x＋(3m－2)y＋1－5m＝0与OP垂直时，直线被圆所截得的弦长最小，即2＝2＝2. 返回 题型二　与面积有关的最值问题 返回 (1)已知点O(0，0)，A(0，2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则△OAM面积的最小值为____. 典例 2 1 根据题意，得圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(3，－1)，半径r＝2，O(0，0)，A(0，2)，OA所在的直线是y轴，如图所示.当M到直线AO的距离最小时，△OAM的面积最小，则M到直线AO的距离的最小值d＝3－2＝1，则△OAM的面积最小值S＝×｜OA｜×d＝1. (2)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k＝____. 2 圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为C(0，1)，半径r＝1.由圆的性质可知，四边形PACB的面积S＝2S△PBC，如图所示. 又四边形PACB的最小面积是2，则S△PBC的最小值S＝1＝r｜PB｜min＝｜PB｜min，则｜PB｜min＝2.因为｜PB｜＝＝，所以当｜PC｜取最小值时，｜PB｜最小，｜PC｜min＝.又点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0上的动点，当CP垂直于直线kx＋y＋4＝0时，｜PC｜最小，即为圆心C(0，1)到直线的距离，所以＝，解得k＝±2，因为k＞0，所以k＝2. 规律方法 　　求圆有关的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解. 对点练2.(1)直线y＝kx＋3与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则△ABO面积的最大值为 A． B． C． D．1 √ 设圆心到直线的距离为d(0＜d＜1)，则｜AB｜＝2，所以S△ABO＝·2·d＝.由基本不等式，可得S△ABO＝ ≤＝，当且仅当1－d2＝d2，即d＝时，等号成立.故选C． (2)过直线l：3x＋4y－1＝0上一点P作圆M：x2＋(y－4)2＝1的两条切线，切点分别是A，B，则四边形MAPB的面积最小值为 A．1 B． C．2 D．2 √ 由题意，圆M：x2＋(y－4)2＝1的圆心M到直线l：3x＋4y－1＝0的距离d＝＝3，故的最小值是3.又因为＝1，则＝≥2，故△AMP的面积的最小值是S＝×1×2＝，故四边形MAPB的面积的最小值为2.故选D． 返回 题型三　与代数式的几何意义有关的最值问题 返回 已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上. (1)求的最大值和最小值； 解：方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4. 表示圆上的点P与原点连线所在直线的斜率，如图①所示，显然PO(O为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小. 典例 3 设切线方程为y＝kx(由题意知，斜率一定存在)，即kx－y＝0， 由圆心C(3，3)到切线的距离等于半径2，可得＝2，解得k＝， 所以，最小值为. (2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值； 解：方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4. x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，它表示圆上的点P到点E(－1，0)的距离的平方再加2， 所以当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，如图②所示. 显然点E在圆C的外部， 所以点P与点E距离的最大值｜P1E｜＝｜CE｜＋2， 点P与点E距离的最小值｜P2E｜＝｜CE｜－2. 又｜CE｜＝＝5， 所以x2＋y2＋2x＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11. (3)求x＋y的最大值与最小值. 解：方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4. 设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，如图③所示. 显然当动直线y＝－x＋b与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4相切时，b取得最大值或最小值，此时圆心C(3，3)到切线x＋y＝b的距离等于圆的半径2，则＝2，即｜b－6｜＝2，解得b＝6±2， 所以x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2. 规律方法 1.(1)形如t＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线的斜率的最值问题. (2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题. (3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题. 2.求解策略一般是根据所求最值的几何意义找圆心和半径，将数与形结合起来，用平面几何的性质求解. 对点练3.已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求 (1)的最值； 解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆. 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设＝k，即y＝kx， 当直线y＝kx与圆相切时，如图①所示，斜率k取最 大值或最小值，此时＝，解得k＝±. 所以，最小值为－. (2)y－x的最值； 解：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距.如图②所示. 当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±， 所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－. (3)x2＋y2的最值. 解：x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方. 由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值. 又圆心到原点的距离为2， 所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4. 返回 随堂评价 返回 1.圆x2＋y2＝4上的点到直线4x－3y＋25＝0的距离的取值范围是 A．[3，7] B．[1，9] C．[0，5] D．[0，3] √ x2＋y2＝4，圆心(0，0)，半径r＝2，圆心到直线4x－3y＋25＝0的距离d＝＝5，所以圆上的点到直线的距离的最小值为5－2＝3，最大值为5＋2＝7，所以圆上的点到直线的距离的取值范围为[3，7].故选A． 2.已知O为坐标原点，点P在单位圆上，过点P作圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切线，切点为Q，则｜PQ｜的最小值为 A． B．2 C．2 D．4 √ 根据题意，圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4，其圆心C(4，3)，半径r＝2.过点P作圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切线，切点为Q，则｜PQ｜＝，当｜PC｜最小时，｜PQ｜最小.又由点P在单位圆上，则｜PC｜的最小值为｜OC｜－1＝－1＝4，则｜PQ｜的最小值为＝2.故选B． 3.(2025·广东梅州期末考试)已知x，y满足x2＋y2－6x＋2y＋9＝0，则的最 小值为______. － 由x2＋y2－6x＋2y＋9＝0可得(x－3)2＋(y＋1)2＝1，即点M(x，y)的轨迹为以C(3，－1)为圆心，半径为1的圆，而＝可理解为原点与圆C上的点M的直线的斜率k，如图.由图知，当直线OM与圆C相切时，取得最值，易得此时直线OM的方程可设为y＝kx，由圆心C(3，－1)到直线kx－y＝0的距离为＝1，解得k＝0或k＝－，故的最小值为 －. 4.已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y＝0，动点P在圆C2：x2＋y2－4x－12＝0上，则△PC1C2面积的最大值为_____. 4 因为C1(－2，2)，r1＝2，C2(2，0)，r2＝4，所以｜C1C2｜＝＝2，当PC2⊥C1C2时，△PC1C2的面积最大，其最大值为×2×4＝4. 返回 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 直 线 和 圆 的 方 程 返回 $