第2章 重点突破2 对称与最值问题-【金版新学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书Word（人教A版）

本高中数学讲义聚焦对称问题，系统梳理中心对称（点点、点线）、轴对称（点线、线线）及对称最值（反射、距离和差）核心内容，构建从基础对称类型到应用的递进学习支架，助力学生掌握对称问题的解决方法。 资料通过一题多解（如直线对称三种求法）、解题策略总结（对称类型及方法）、对点练与随堂评价，培养学生直观想象、数学运算和逻辑推理素养。典例与练习结合，课中辅助教师高效教学，课后帮助学生巩固知识，查漏补缺。

学习目标 1.学会解决点点、点线、线线对称问题． 2.会应用对称问题解决最值问题． 3.通过点点、点线、线线对称的学习，提升直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养． 题型一　中心对称问题 (1)求点(3，－1)关于点(2，4)的对称点； (2)(一题多解)求直线3x－y－4＝0关于点(2，－1)的对称直线l的方程． 解：(1)设所求点为(x0，y0)， 由中点坐标公式得 即对称点为(1，9)． (2)法一：设直线l上任意一点M的坐标为(x，y)，则此点关于点(2，－1)的对称点为M1(4－x，－2－y)， 且M1在直线3x－y－4＝0上， 所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0， 即3x－y－10＝0. 所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 法二：在直线3x－y－4＝0上取两点A(0，－4)， B(1，－1)， 则点A(0，－4)关于点(2，－1)的对称点为A1(4，2)，点B(1，－1)关于点(2，－1)的对称点为B1(3，－1)． 可得直线A1B1的方程为3x－y－10＝0， 即所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 法三：由平面几何知识易知所求直线l与直线3x－y－4＝0平行， 则可设l的方程为3x－y＋c＝0(c≠－4)． 在直线3x－y－4＝0上取一点(0，－4)， 则点(0，－4)关于点(2，－1)的对称点(4，2)在直线3x－y＋c＝0上． 因为3×4－2＋c＝0，所以c＝－10. 所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 中心对称的常见类型及解题策略 1.点关于点对称 点P(x0，y0)关于点A(m，n)的对称点P′(x′，y′)，本质是中点问题，所以可利用中点坐标公式求得，即由 2.直线关于点对称 直线l关于点P对称的直线l′满足：(1)直线l′与直线l平行．(2)直线l上的任意一点关于点P的对称点在直线l′上．直线l关于点P(x0，y0)的对称直线l′的方程的三种求法：①设直线l′上任意一点N(x，y)，则其关于点P(x0，y0)的对称点M的坐标为(2x0－x，2y0－y)，且点M在直线l上，将点M的坐标代入直线l的方程，化简即可得直线l′的方程．②求出直线l上的两个特殊点M，N关于点P的对称点M′，N′的坐标，则直线M′N′的方程即为所求直线l′的方程．③若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，点P(x0，y0)，可设直线l′的方程为Ax＋By＋C′＝0(C′≠C)．由点P到直线l和l′的距离相等，可列方程求解，进而可得直线l′的方程． 对点练1.(1)已知不同的两点P(a，－b)与Q(b＋1，a－1)关于点(3，4)对称，则ab＝(　　 ) A．－5　　 B．5　　 C．－14　　 D．14 (2)与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是(　　 ) A．3x－2y＋2＝0　　 B．2x＋3y＋7＝0 C．3x－2y－12＝0　　 D．2x＋3y＋8＝0 答案：(1)C　(2)D 解析：(1)由题意知故ab＝7×(－2)＝－14.故选C． (2)由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x＋3y－6＝0平行，则可设所求直线方程为2x＋3y＋C＝0(C≠－6)．在直线2x＋3y－6＝0上任取一点(3，0)，则点(3，0)关于点(1，－1)的对称点(－1，－2)必在所求直线上，所以2×(－1)＋3×(－2)＋C＝0，解得C＝8.所以所求直线方程是2x＋3y＋8＝0.故选D． 题型二　轴对称问题 已知P(－1，2)，M(1，3)，直线l：y＝2x＋1. (1)求点P关于直线l的对称点R的坐标； (2)求直线PM关于直线l对称的直线方程． 解：(1)设点P关于直线l的对称点R的坐标为(x，y)， 则有 ． (2)因为M(1，3)的坐标满足直线l的方程， 又点P关于直线l的对称点为R， 则直线MR即为所求的直线， 由两点式得所求直线方程为11x＋2y－17＝0. 学生用书⬇第76页 轴对称的常见类型及解题策略 1.点关于直线对称 (1)基本方法：设点P(x0，y0)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点为P'(x'，y')，则线段PP'的中点在已知直线上且直线PP'与已知直线垂直.即解此方程组可得x'，y'，即得点P'的坐标. (2)常见结论： 点P(x0，y0)关于x轴的对称点为P′(x0，－y0)； 点P(x0，y0)关于y轴的对称点为P′(－x0，y0)； 点P(x0，y0)关于直线x＝a的对称点为P′(2a－x0，y0)； 点P(x0，y0)关于直线y＝b的对称点为P′(x0，2b－y0)； 点P(x0，y0)关于直线y＝x的对称点为P′(y0，x0)； 点P(x0，y0)关于直线y＝－x的对称点为P′(－y0，－x0)； 点P(x0，y0)关于直线y＝x＋b的对称点为P′(y0－b，x0＋b)； 点P(x0，y0)关于直线y＝－x＋b的对称点为P′(－y0＋b，－x0＋b)． 2.直线关于直线对称 (1)若已知直线l1与已知对称轴相交，则交点必在与直线l1对称的直线l2上，然后求出直线l1上任意一点(除交点外)关于对称轴对称的点，由两点式写出直线l2的方程． (2)若已知直线l1与已知对称轴平行，则直线l1关于对称轴对称的直线l2与直线l1平行，可以利用直线l1与对称轴间的距离等于直线l2与对称轴间的距离求解；也可以求出直线l1上任意一点关于对称轴对称的点，利用点斜式写出直线l2的方程． (3)常见结论： 与直线Ax＋By＋C＝0关于x轴对称的直线的方程为Ax－By＋C＝0； 与直线Ax＋By＋C＝0关于y轴对称的直线的方程为－Ax＋By＋C＝0； 与直线Ax＋By＋C＝0关于直线y＝x对称的直线的方程为Ay＋Bx＋C＝0； 与直线Ax＋By＋C＝0关于直线y＝－x对称的直线的方程为－Ay－Bx＋C＝0. 对点练2.已知点A(3，1)，B(－1，2)．若∠ACB的平分线所在直线的方程为y＝x＋1，则BC所在直线的方程为(　　) A．2x－y＋4＝0　　 B．2x－y－6＝0 C．x－2y－1＝0　　 D．3x＋y＋1＝0 答案：A 解析：设点A关于直线y＝x＋1的对称点为A′(x0，y0)，则即A′(0，4)．所以直线A′B的方程为y－4＝x，即2x－y＋4＝0.易知A′，B，C三点共线，所以直线BC的方程为2x－y＋4＝0.故选A． 题型三　与对称有关的最值(范围)问题 角度1　利用对称解决有关反射问题 一束光线从原点O(0，0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4，3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程． 解：如图，设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)， 由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得 所以A的坐标为(4，3)． 因为反射光线的反向延长线过A(4，3)， 又由反射光线过P(－4，3)，A，P两点纵坐标相等，故反射光线所在直线的方程为y＝3. 联立， 由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y＝3． 由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|， 由A(4，3)，P(－4，3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，即光线从O点到达P点所走过的路程为8. 1.根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线所在的直线关于法线对称，即入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的．利用点的对称可进行求解． 2.在解决这类问题时，要充分探索出题目的内涵及图形的几何特征，用光学的知识去求解，往往使问题的求解变得非常简便． 对点练3.已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为　　　　　　　　． 答案：6x－y－6＝0 解析：设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以即M′(1，0)．又反射光线经过点N(2，6)，所以所求直线的方程为，即6x－y－6＝0. 学生用书⬇第77页 角度2　利用对称解决有关最值问题 已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4，1)，B(0，4)，C(2，0)． (1)试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小，并求这个最小值； (2)试在l上求一点Q，使||AQ|－|BQ||最大，并求这个最大值． 解：(1)设C关于直线l的对称点C′的坐标为(a，b)，如图所示． 则即C′(－1，1)， 则AC′的直线方程为y＝1，联立 解得， 此时|AP|＋|CP|最小，最小值为|AC′|＝＝4＋1＝5. (2)设B关于直线l的对称点B′的坐标为(m，n)， 如图所示． 则得B′(3，3)， 直线AB′的方程为，即2x＋y－9＝0. 联立即Q(2，5)． 由对称性知，如图所示， |BQ|＝|B′Q|，|AQ|－|BQ|＝|AQ|－|B′Q|≤|AB′|(当且仅当Q，B′，A三点共线时取“＝”)， 所以l上的点Q(2，5)，是使||AQ|－|BQ||最大的点． 此时最大值为|AB′|＝． 利用对称性求距离的最值问题 　　由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则 先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解． 对点练4.在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q．使得： (1)P到A(4，1)与B(0，4)的距离之差最大； (2)Q到A(4，1)与C(3，0)的距离之和最小． 解：(1)如图所示，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，连接BB′，则kBB′·kl＝－1，即×1＝－1， 所以a＋b－4＝0①， 因为BB′的中点在直线l上， 所以－1＝0，即a－b－6＝0②． 由①②得 所以点B′的坐标为(5，－1)． 于是AB′所在直线的方程为，即2x＋y－9＝0. 易知||PB|－|PA||＝||PB′|－|PA||，当且仅当P，B′，A三点共线时，||PB′|－|PA||最大． 所以联立直线l与AB′的方程，解得x＝， 即直线l与AB′的交点坐标为． 故点P的坐标为． (2)如图所示，设点C关于l的对称点为C′，可求得C′的坐标为(1，2)， 所以AC′所在直线的方程为x＋3y－7＝0. 易知|QA|＋|QC|＝|QA|＋|QC′|，当且仅当Q，A，C′三点共线时，|QA|＋|QC′|最小． 所以联立直线AC′与l的方程，解得x＝， 即直线AC′与l的交点坐标为． 故点Q的坐标为． 1.点(3，9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标是(　　 ) A．(－1，－3)　　 B．(17，－9) C．(－1，3)　　 D．(－17，9) 答案：A 解析：设点(3，9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标为(a，b)，则由所以该点的坐标为(－1，－3).故选A. 2.(多选)下列选项中两点关于(1，2)对称的是(　　 ) A．(1，3)和(1，1)　　 B．(2，－5)和(3，2) C．(6，－2)和(－4，6)　　 D．(3，2)和(－1，5) 答案：AC 解析：易验证A、C选项以(1，2)为中点． 3.直线x－2y＋1＝0 关于直线x＝1对称的直线方程是(　　 ) A．x＋2y－1＝0　　 B．2x＋y－1＝0 C．2x＋y－3＝0　　 D．x＋2y－3＝0 答案：D 解析：在直线 x－2y＋1＝0上任取两点，不妨取点(1，1)，，这两点关于直线x＝1对称的点分别为 (1，1)，，两对称点所在直线的方程为 y－1＝－(x－1)，即 x＋2y－3＝0.故选D． 4.已知点A(3，－1)，B(5，－2)，且点P在直线x＋y＝0上，若使|PA|＋|PB|取最小值，则点P的坐标是　　　　． 答案： 解析：点A(3，－1)关于直线x＋y＝0的对称点为A′(1，－3)，直线A′B与直线x＋y＝0的交点即为所求的点．直线A′B的方程为，即y＝x－，与x＋y＝0联立解得x＝，y＝－，所以点P． 学生用书⬇第78页 学科网（北京）股份有限公司 $