27.2反比例函数的图象和性质 第1课时教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦反比例函数的图象和性质，通过复习反比例函数定义及三种表达式，衔接一次、二次函数“画图—析性质”的研究方法，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生探究双曲线特征及k值对图象象限、增减性的影响。 资料以类比迁移和动手探究为特色，学生通过列表描点连线自主绘制k>0与k<0的函数图象，结合信息技术动态演示k值变化，培养几何直观与推理意识。分层练习强化k值符号与性质的关联，提升应用意识，既帮助学生深化数形结合理解，也为教师提供结构化教学流程，提高课堂效率。

第二十七章 反比例函数 27.2 反比例函数的图象和性质 第1课时  一、教材分析 本节《反比例函数的图象和性质》是人教版反比例函数单元核心课时，承接上一节反比例函数定义，衔接一次、二次函数图象研究方法，是初中函数体系的关键一环. 它首次引入双曲线图象，完善学生函数图象认知类型，数形结合思想在此集中落地；同时为后续反比例函数实际应用、反比例函数与一次函数综合题型铺垫基础，是中考必考核心内容，起到承上启下的枢纽作用. 教材遵循类比迁移—特殊探究—归纳一般—巩固练习的完整逻辑：1.类比一次、二次函数“画图—析性质”研究思路，引出反比例函数探究方法；2.取k>0具体函数y=、y=，通过列表、描点、连线三步作图，直观观察图象象限与增减规律；3.类比k>0探究流程，自主推导k<0时图象特征；4.汇总归纳双曲线完整图象性质，区分k正负两类情况；5.配套基础练习题，即时巩固图象象限、增减性核心知识点，实现知识闭环.   二、学情分析 已有基础：学生此前已掌握反比例函数定义、三种表达式与待定系数法；完整学习一次函数、二次函数，熟练掌握列表、描点、连线的作图步骤，初步建立“由图象研究函数性质”的数形结合思维；具备简单分类讨论能力，能区分代数式参数正负带来的变化，可顺利完成本节课类比迁移学习. 存在困难：1.易忽略增减性“在每个象限内”的限定条件，跨象限比较增减易出错；2.双曲线为间断曲线，学生易误将两支曲线连接，作图规范不足；3.无法自主结合解析式解释图象变化规律，数形转化能力薄弱；4.分类讨论意识不足，易遗漏k>0、k<0两种完整情况. 认知特点：初中学生以具象思维为主，抽象逻辑正在发展，依赖图象直观感知数学规律，适合动手描图、自主观察的探究式学习；乐于类比旧知推导新知，但严谨性欠缺，容易遗漏概念限制条件；对图形变化类探究活动兴趣较高，可借助图象观察突破抽象函数性质难点.   三、教学目标 1.掌握反比例函数双曲线作图步骤，熟记k正负对应的图象象限、增减性质，能依据图象快速判断参数范围. 2.准确理解增减性“同一象限内”的限定条件，能结合解析式推导图象特征，规避跨象限比较大小的典型易错点. 3.类比一次函数探究思路，经历列表描点连线全过程，体会分类讨论、数形结合研究函数的通用数学方法. 4.自主探究双曲线图象规律，感受数形转化的数学美感，养成严谨作图、完整分类、有理有据分析的学习习惯.   四、教学重难点 重点：掌握反比例函数双曲线作图步骤，熟记k正负对应的图象象限、增减性质，能依据图象快速判断参数范围. 难点：准确理解增减性“同一象限内”的限定条件，能结合解析式推导图象特征，规避跨象限比较大小的典型易错点.   五、教学过程 · 复习回顾 问题1：什么是反比例函数？ 答：一般地，形如 (k为常数，k≠0)的函数，叫作反比例函数. 其中 x 是自变量，y 是 x 的函数. 问题2：反比例函数有哪些表示方式？ 答：①分式型 (k≠0) ②乘积型 xy=k (k≠0) ③负指数型 y=kx1 (k≠0) 提示：要注意(k≠0)这个条件. 师生活动：教师依次抛出两个复习问题，先留时间让学生独立回忆、举手口述定义与三种表达式；学生说完后教师板书三种形式，着重圈出k≠0，请学生说明该限制的必要性，再结合上道例题，让学生对照负指数式说出反比例函数需满足系数非零、指数为-1两个条件，师生共同梳理核心要点. 设计意图：唤醒旧知，完整梳理反比例函数三种等价形式，强化k≠0关键限制，为含参数反比例函数求值题铺垫理论依据，搭建新旧习题的知识桥. · 探究新知 活动一：探究反比例函数图象的画法 问题3：回顾一次函数、二次函数的图象和性质的研究过程，如何研究反比例函数的图象和性质？ 师生活动：教师引导学生类比一次、二次函数研究思路，小组讨论反比例函数探究步骤；抛出解析式问题，学生自主分析取值范围、增减规律；师生共同完成列表填空，教师示范描点、连线步骤，学生动手绘制函数草图，对比y与y图象特征. 答： 与研究一次函数、二次函数的图象和性质类似，我们类比上述函数图象和性质的研究方法，研究反比例函数的图象和性质. 与对一次函数的研究一样，需要对反比例函数解析式(k为常数，k≠0)中的k分情况讨论，即分k>0，k<0两种情况. 先研究k>0时的情况.我们从具体的反比例函数开始. 问题4：对于反比例函数y与y，结合它们的解析式，分析自变量的取值范围，以及 y 随 x 的变化而变化的规律，你能想象一下它们图象的位置和形状吗？ 答：反比例函数y与y自变量的取值范围均是x≠0. 图象是位于第一、第三象限的两条曲线，在每一个象限内，y随x的增大而减小. 问题5：你能画出y与y图象的示意图吗？ 函数图象画法→描点法 列表 → 描点 → 连线 解：①列表.写出几组x与y的对应值 (填空)： 答： ②描点：以表中各组对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点. ③连线：用平滑的曲线顺次连接描出的点，就得到了函数的图象. 设计意图：渗透类比探究思想，让学生掌握“解析式—描点画图—归纳性质”通用流程；通过动手作图直观感知k>0时反比例函数图象与增减规律，落实数形结合思想. 活动二：探究反比例函数图象特征及性质 问题6：观察y与y的图象，图象在向下、向上延伸时，会与x轴、y轴相交吗？为什么？ 师生活动：教师出示图象，分层设问，学生观察图象自主作答；再利用信息技术工具改变k值，全班同步观察图象变化，交流验证猜想；师生共同归纳k>0时反比例函数图象与增减性质，着重强调增减性仅限同一象限. 答：不会.因为x≠0，所以函数图象由两支曲线组成.(图象与x轴、y轴都不相交). 问题7：观察这两个函数图象，回答问题： (1)每个函数图象分别位于哪些象限？ (2)在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？ 答：(1)函数y与y的图象分别位于第一、三象限. (2)在每一个象限内，y随x的增大而减小. 理由：在每一个象限内，当x的取值逐渐增大时，由解析式计算出来的y的值逐渐减小. 问题8：利用信息技术工具，画反比例函数y=(k>0)的k取不同值时的图象，考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？ 答： 总结：一般地，当k>0时，对于反比例函数y，结合函数图象与解析式，可以发现： 图象位置：函数图象的两支分别位于第一、第三象限； 变化趋势：在每一个象限内，y随x的增大而减小. 特征：图象是双曲线，无限接近坐标轴，且不与坐标轴相交. 注意：增减性的前提是“在每一个象限内”，跨象限比较不成立. 设计意图：借助图象与动态演示直观突破难点，引导学生自主归纳规律，明确双曲线不与坐标轴相交、增减性有限制条件，深化数形结合思想. 问题9：回顾上述过程，我们从特殊到一般、数形结合地研究了反比例函数y (k>0)的图象和性质，请你用类似的方法探究k<0时反比例函数y 与y的图象和性质. 师生活动：教师引导学生类比k>0的探究方法，自主列表、描点画图，填表归纳图象特征；借助信息技术动态演示k<0图象，师生总结完整性质. 答：①列表.写出几组x与y的对应值(填空)： ②描点：以表中各组对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点. ③连线：用平滑的曲线顺次连接描出的点，就得到了函数的图象. 问题10：观察绘制的函数图象，回答： 答： 问题11：利用信息技术工具，画反比例函数y=(k<0)的k取不同值时的图象，你能得出更一般的结论吗？ 答： 总结：一般地，当k<0时，对于反比例函数y，结合函数图象与解析式，可以发现： 图象位置：函数图象的两支分别位于第二、第四象限； 变化趋势：在每一个象限内，y随x的增大而增大. 特征：图象是双曲线，无限接近坐标轴，且不与坐标轴相交. 总结：反比例函数y的图象特征和性质如下： (1)反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线. (2)当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小； 当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大. k的符号、双曲线位置、函数的增减性三者相互依存，知一推二. 设计意图：运用类比推理完成k<0的探究，完善反比例函数完整性质，动态演示直观验证结论，挖掘图象特征，构建完整知识体系，强化数形结合. · 应用新知 【经典例题】 师生活动：教师出示两道反比例函数基础题，先引导学生回忆反比例函数定义与增减性，学生独立列式求解后上台板书，师生共同核对方程组与不等式的解题步骤. 例1 若反比例函数y=(a1)的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则a的值是　　.  分析：∵反比例函数y=(a1)的图象在每个象限内，y随x的增大而增大， ∴解得a=2. 答：2 例2 已知反比例函数y=，分别根据下列条件求出字母k的取值范围. (1)函数图象位于第二、四象限； (2)在每个象限内，y随着x的增大而减小. 解：(1)∵函数图象位于第二、四象限， ∴4k<0，解得k>4. (2)∵在每一象限内，y随x的增大而减小. ∴4k>0，解得k<4. 设计意图：巩固反比例函数次数为-1、系数符号决定图象象限与增减性的核心知识点，训练分类列式求解能力，强化数形结合思想. · 课堂练习 【教材练习】 1.如图所示的图象对应的函数解析式为( ). (A) y=5x (B) y=2x+3 (C) y= (D)y= 答：C 2.反比例函数y= 的图象如图所示，则k___0；在每个象限内，y随x的增大而_____. 答：＜；增大 师生活动：教师出示两道课堂练习题，学生独立完成作答，之后指名学生汇报答案. 教师针对错题点评，引导学生结合图象判断k的符号，回顾反比例函数图象位置与增减性的对应关系，及时纠正理解偏差. 设计意图：当堂检测学生对反比例函数图象与性质的掌握情况，巩固k符号与图象、增减性的联系，快速反馈课堂学习效果，夯实基础. 【限时训练】 1.对于函数，下列结论中错误的是    ． A. 当时，随的增大而增大 B. 当时，随的增大而减小 C. 时的函数值小于时的函数值 D. 在函数图象所在的每个象限内，随的增大而增大 【答案】B  【解析】解：  当时，随的增大而增大，正确；   B. 当时，随的增大而减小 ，错误； C. 当时的函数值小于时的函数值，正确； D. 在函数图象所在的象限内，随的增大而增大 ，正确； 故选B  2.在一次函数为常数且中，随的增大而增大，那么反比例函数的图象分布在  (     ) A. 第二、四象限 B. 第一、二象限 C. 第三、四象限 D. 第一、三象限 【答案】D  【解析】解：函数为常数且中，随的增大而增大， ， 函数的图象经过第一、三象限． 故选：． 3.在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，且在轴左侧，随的增大而减小，则点在(     ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A  【解析】解：反比例函数的图象，在轴左侧，随的增大而减小， ，反比例函数的图象在第一、三象限， 点的横坐标大于， 点在第一象限． 故选：． 4.在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数 的图象大致是(    ) A. B.   C. D. 【答案】A  【解析】分和两种情况讨论：当时，反比例函数的图象经过第一、三象限， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，没有符合题意的选项；当时，反比例函数的图象经过第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选 A． 5.如图，在同一平面直角坐标系中，画出反比例函数的图象与的 图象，并指出的图象与的图象之间的关系． 【答案】解：两个函数的图象关于轴对称    师生活动：教师出示梯度习题，学生独立完成选择、作图题，同桌互对答案；针对函数图象综合题，师生分类讨论k的正负，上台展示作图结果并总结对称规律. 设计意图：分层巩固反比例函数增减性、象限特征，结合一次函数综合辨析，通过作图直观感受图象对称，强化数形结合解题思维. · 课堂总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.反比例函数的图象特征是什么？ 3.反比例函数图象有什么性质？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. · 特色作业 主题：两种研学场景下的反比例函数对比探究 任务： 学科网（北京）股份有限公司 $