27.2反比例函数的图象和性质 第2课时 教学设计 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦反比例函数的图象和性质，通过复习回顾环节用表格对比k值正负梳理图象象限与增减性，纠正跨象限增减易错点，承接一次函数与二次函数，搭建完整函数学习体系，为后续综合题型提供工具。 特色在于以数形结合为主线，通过探究新知中定点求解析式、验证点在图象上，应用新知中多方法比较函数值，培养几何直观与推理意识。特色作业“侦探推理”创编赛让学生合作编题推理，发展模型意识与应用意识，助力学生提升数形结合能力，为教师提供分层教学资源与清晰教学逻辑。

第二十七章 反比例函数 27.2反比例函数的图象和性质 第2课时  一、教材分析 本节课为人教版九年级上册反比例函数核心新授课，承接一次函数、二次函数知识，是初中三大基础函数收官内容，搭建“一次函数—二次函数—反比例函数”完整函数学习体系，也是后续函数综合、几何与函数结合题型的重要工具，在初中函数板块具备承上启下的核心地位. 教材教学逻辑链条层层递进：先通过定点求反比例解析式，依托k的正负划分双曲线象限分布，推导每一象限内函数增减性；再设置定点验证例题，讲解判断点是否在双曲线上的通用方法；接着借助单支图象逆向求解参数取值范围，结合自变量大小比较函数值；最后配套分层练习题，从求解析式、判断图象、参数范围、函数值比较四类题型巩固新知.整体遵循“解析式—图象特征—函数性质—应用判定”的认知逻辑，以数形结合为主线，例题由正向求值到逆向求参，难度梯度平缓，习题紧扣例题模型，强化学生用图象分析函数的解题思路，落实函数学习通用探究方法.   二、学情分析 已有基础：九年级学生已完整学习一次函数、二次函数，掌握待定系数法求函数解析式，能通过k判断一次函数增减性，熟悉平面直角坐标系象限、坐标运算；此前初步认识反比例函数定义，会简单求k值，具备“解析式与点坐标互代”的基础运算能力，初步建立数形结合意识. 存在困难：学生易混淆反比例与一次函数增减性，忽略反比例增减性“仅限同一分支”的前提；跨象限两点比较函数值时不会分正负判断；逆向由图象位置求参数范围易漏不等式求解；难以主动结合图象辅助推理，习惯纯代数计算，数形转化不灵活. 认知特点：九年级学生逻辑推理能力稳步提升，具备自主计算、小组讨论能力，具象思维仍占优势，抽象理解双曲线分段增减存在障碍；擅长通过例题模仿解题，但对性质底层逻辑理解浅层，易机械背诵结论，缺少分类讨论、数形转化的主动思维，需要图象、例题分层引导，借助实例突破易错点.   三、教学目标 1.进一步掌握待定系数法求反比例解析式，由 k 值判断图象象限与增减性，能够验证点是否在函数图象上. 2.突破跨分支函数值比较难点，能逆向由图象位置求参数范围，熟练运用数形结合分类讨论. 3.经历“定点求式—观察图象—归纳性质—习题应用”探究流程，提升代数运算与图形转化能力. 4.感受函数图象与解析式内在联系，培养严谨分类讨论习惯，体会数形结合的数学独特魅力.   四、教学重难点 重点：进一步掌握待定系数法求反比例解析式，由 k 值判断图象象限与增减性，能够验证点是否在函数图象上. 难点：突破跨分支函数值比较难点，能逆向由图象位置求参数范围，熟练运用数形结合分类讨论.   五、教学过程 · 复习回顾 问题1：说一说反比例函数 y (k为常数，k≠0)的图象和性质. 答： 师生活动：教师出示表格引导提问，先让学生独立回忆反比例函数图象性质，同桌互说补充；再点名学生对照表格分k>0、k<0梳理图象、象限、增减性，教师纠正“跨象限谈增减”的易错点，最后全班齐读完整性质巩固记忆. 设计意图：快速唤醒旧知，用表格对比清晰区分k正负对应的图象特征，夯实“同一象限内增减性”核心易错点，为本节课反比例函数综合计算铺垫基础. · 探究新知 活动一：探究反比例函数图象和性质的运用 问题2：已知反比例函数的图象经过点A(2，4). (1)这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？ (2)点B(1，8)，C(2，3)，D(2，4)是否在这个函数的图象上？ 师生活动：教师出示例题，先让学生自主完成两小问，小组交流解题思路；指名学生上台板书求k、验证点，教师点评，引出xy=k快速判定技巧，全班练习核验坐标乘积，纠正易错步骤. 答： (1) 反比例函数图象的位置只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限. 因为点 A(2，4)在第二象限，所以这个函数的图象位于第二、第四象限.在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大. (2) 设这个反比例函数的解析式为 y. 因为点 A(2，4)在其图象上，所以点 A 的坐标满足 ， 即 4 解得 k =8. 因此，这个反比例函数的解析式为 y. 因为点 B，C 的坐标都满足 y，点D的坐标不满足 y，所以点 B，C 在函数y的图象上，点D不在这个函数的图象上. 技巧点拨： 判断点是否在反比例函数图象上，用xy=k验证比代入y更简便，避免了分式运算. 具体方法：计算点的横、纵坐标的积，看其是否等于系数k. 若等于系数k，则该点在反比例函数的图象上；若不等于k，则该点不在反比例函数图象上. 设计意图：结合实例巩固反比例函数图象象限、增减性，掌握待定系数法求解析式，简化点是否在函数图象上的判定方法，实现旧知灵活运用，提升计算解题效率. 活动二：探究反比例函数值大小比较综合方法 问题3：图中的曲线是反比例函数y=的图象的一支.根据图象，回答下列问题： (1)图象的另一支位于哪个象限?常数m的取值范围是什么? (2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1，y1)和点B(x2，y2).如果x1>x2，那么y1和y2有怎样的大小关系? 师生活动：教师出示图象与问题，学生先独立观察图象自主思考，小组交流推导m的范围与函数值大小关系；学生口述解题思路，教师结合图象演示讲解，总结口诀，全班齐读加深记忆，纠正忽略“同一支”的易错问题. 分析：(1) 解：(1)因为这个函数的图象的一支位于第一象限， 所以另一支必位于第三象限， 因为这个函数的图象位于第一、第三象限， 所以m5>0，解得m>5. 分析：(2) k > 0，在每一个象限内，y随x的增大而减小. 解：(2)因为m5>0，所以在这个函数图象的任意一支上，y都随x的增大而减小. 因此当 x1>x2时， y1< y2. 巧记口诀： 反比例函数图象是双曲线， k为正，图象在第一、第三象限，k为负，图象在第二、第四象限； 图象在第一、第三象限函数减，图象在第二、第四象限函数增. 设计意图：借助图象数形结合，巩固k符号与象限、增减性的关联，掌握含参反比例函数求参数范围，明确比较函数值必须限定同一象限，强化数形结合思想. · 应用新知 【经典例题】 师生活动：教师出示两道例题，学生独立思考后小组讨论解题思路；学生分享性质法、图象法、赋值法三种解法，教师板书梳理三类比较方法，引导辨析跨象限比较的易错点，全班梳理总结通用解题步骤. 例1 在反比例函数y的图象上有两点A(2，y1)和B(m，y2)，若y2>y1，则m的取值范围是 . 分析：∵反比例函数y中，k=3>0， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小. ∵A(2，y1)、B(m，y2)在反比例函数图象上，A在第三象限，未明确B所在象限， ∴分两种情况讨论：B在第一或第三象限 ① 当m<0时，点B在第三象限，y2<0，∵y2>y1 结合第三象限内y随x增大而减小，可得m<2； ② 当m>0时，点B在第一象限，y2>0，∵y1<0 y2>y1恒成立，即所有m>0都满足条件； 综上，m的取值范围是m<2或m>0． 答：m<−2或m>0 例2 已知点A(x1，y1) , B(x2，y2), C(x3，y3) 都在反比例函数 y= (k<0) 的图象上，且 x1 < x2 <0< x3，则y1，y2，y3的大小关系是( ) A.y2>y1>y3 B.y3>y2>y1 C.y1>y2>y3 D.y3>y1>y2 分析：方法一(性质法) 方法二(图象法) 因为k<0，所以反比例函数y= 的图象位于第二、第四象限，如图所示. 在图中描出符合条件的三个点，观察图象上点的位置高低可知y2>y1>y3. 方法三(特殊值法) 设该反比例函数的解析式为 . 取满足x1 < x2 <0< x3的三个特殊值x12，x21，x3=1， 则y1=1，y2=2，y32， 所以 y2>y1>y3. 答：A 总结：比较反比例函数值大小的方法： 方法一：性质法.当点在双曲线同一分支上时，可以利用函数的增减性，通过比较其横坐标的大小来判断函数值大小；当点在双曲线不同分支上时，可以利用点在x轴上方或下方，进行函数值大小比较. 方法二：图象法.根据条件在坐标系中描出各点，观察点的位置高低，就可以比较函数值大小.(图象法形象直观) 方法三：特殊值法.根据条件取自变量的特殊值，代入解析式求出对应的函数值，就可以直接比较函数值大小.(特殊值法简单直接) 设计意图：突破跨象限比较函数值难点，展示三种解题思路，渗透数形结合与分类讨论思想，归纳标准化解题方法，提升学生综合分析、多角度解题的能力. · 课堂练习 【教材练习】 1.已知一个反比例函数的图象经过点 A(2， 6). (1)这个函数的图象位于哪些象限？在每一个象限内，y 随 x 的增大如何变化？ (2)点B(3，4)，C(，)，D(2， 6)是否在这个函数的图象上？为什么？ 解：(1)因为点A(2，6)在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、第三象限. 在每一个象限内，y随x的增大而减小. (2)设这个反比例函数的解析式为y. 因为点 A(2，6)在其图象上，所以点 A 的坐标满足 ， 即 6. 解得 k =12. 因此，这个反比例函数的解析式为y. 因为点 B，C 的坐标都满足 y，点D的坐标不满足 y，所以点 B，C 在函数y的图象上，点D不在这个函数的图象上. 2. 反比例函数y= 的图象的一支位于第二象限.图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？ 解：因为这个函数的图象的一支位于第二象限， 所以另一支必位于第四象限. 因为这个函数的图象位于第二、第四象限， 则m+2<0，解得 m<2. 3.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在反比例函数y= 的图象上.如果 x1<x2，且 x1，x2 同号，那么 y1，y2 有怎样的大小关系？为什么？ 解：y1>y2.理由如下： 因为k=1>0，所以反比例函数y=的图象位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小. 因为x1，x2同号，所以点A(x1，y1)，B(x2，y2)在该函数图象的同一支上. 又因为x1<x2，所以y1>y2. 师生活动：教师布置三道教材习题，学生独立完成后同桌互查；随机抽取学生口述解题步骤，教师针对参数范围、同象限增减性易错点点拔，规范书面答题逻辑，全班订正错题并梳理基础解题套路. 设计意图：依托教材原题巩固本节课全部基础知识点，落实待定系数法、参数求解、函数值比较核心题型，规范答题步骤，夯实基础，及时检测课堂新知掌握情况. 【限时训练】 1.若反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象一定还经过点(     ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：反比例函数的图象过点， ，即函数图象上所有点的横、纵坐标乘积为， 逐一计算各选项横纵坐标乘积： 选项，符合要求； 选项，不符合； 选项，不符合； 选项，不符合， 故选A. 2.已知反比例函数的图象经过，，中的两点，则反比例函数的解析式为(     ) A. B. C. D. 【答案】B  3.在函数为常数的图象上有三点，，，则函数值，， 的大小关系为(     ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】 解：， 为常数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大， ， 点，在第二象限， ， ， 点在第四象限， ， ． 故选A． 4.已知点在反比例函数的图象上，那么当时，的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  5.已知一个反比例函数的图象经过点． 求该反比例函数的解析式； 若该函数的图象上有两点，，且，则和有怎样的大小关系？ 【答案】(1)设该反比例函数的解析式为（ k≠0）． ∵该反比例函数的图象经过点A（2，－4），∴k＝－4×2＝－8． ∴该反比例函数的解析式为  (2)∵k＝-8＜0， ∴该函数的图象位于第二、第四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大． ∵m＞n＞0，∴a＞b   师生活动：教师出示分层综合练习题，学生独立限时作答；小组交流解题思路，学生分享横纵坐标乘积、跨象限比大小等技巧，教师针对参数符号、自变量范围易错点讲评，规范大题书写逻辑，集体订正错题. 设计意图：分层综合训练覆盖本节课全部重难点，巩固xy=k快速判定含参函数、区间取值等题型，强化数形结合与分类讨论思想，提升学生综合解题与应试答题规范能力. · 课堂总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.反比例函数的图象上点与图象的关系是什么？ 3.如何比较反比例函数值的大小？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. · 特色作业 主题：反比例函数“侦探推理”创编赛 任务：请同学们两人一组分工合作，化身“图象侦探”，完成反比例函数推理探究任务.角色分工：A同学：出题侦探；B同学：破案侦探，由A同学创编一道反比例函数推理分析题，探究对象为反比例函数 (k≠0)，B同学需要依据题目给出的多条线索，推理确定函数解析式，分析函数图象与相关性质.最终两人协作共同完成侦探推理报告. A同学(出题侦探)任务： 1.创设函数：设定一个反比例函数 (k≠0，且k值未知)； 2.设置线索：编写至少 3 条相互关联、逻辑自洽的推理线索，线索可选用如下类型，也可自主创新： 线索类型①：函数图象上点的坐标特征(如“图象上某点到x轴距离为3，到y轴距离为2”)； 线索类型②：函数图象所在象限或增减趋势(如“函数图象位于第一、三象限或在每个象限内，y 随 x 增大而减小”)； 线索类型③：函数值大小关系(如“当 x1 > x2 > 0 时，y1 < y2”)； 线索类型④：几何背景：过图象上一点向坐标轴作垂线，所得矩形、三角形面积等. …… 小提示：创编完成后A同学先自行验算，确保线索无矛盾，能够唯一确定参数k，再将线索与进阶问题交给B同学. B同学(破案侦探)任务： 3.线索推理：依据A同学提供的全部线索，推理出函数解析式，并画出函数图象； 4.进阶追问：完成基础推理后，作答 3 个进阶问题： 进阶问题①：请说明函数图象不与坐标轴相交的缘由； 进阶问题②：若改变解析式中k的符号，请写出新函数，并描述对应的函数图象性质； 进阶问题③：原反比例函数与k变号之后的新函数，二者图象在位置上存在怎样的关系？ 共同产出：侦探推理报告 完成侦探报告：完整撰写侦探推理报告，内容包含：线索整理、解析式推理过程、作图步骤、函数图象性质、拓展问题完整解答. 拓展：共同探究： 若对反比例函数的图象进行上下、左右平移，函数的解析式会发生怎样的变化？请说说平移规律.图象完成平移之后，新函数的图象不会与哪两条直线相交？据此你可以归纳出什么结论？ 学科网（北京）股份有限公司 $