第4章一元一次方程典例精讲与强化训练-2026-2027学年苏科版 数学七年级上册

**基本信息** 该同步练习通过“典例精讲+强化训练”分层设计，覆盖一元一次方程的概念、解法及实际应用，梯度从基础运算到综合情境问题，助力单元知识巩固与数学思维发展。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |典例精讲|解方程步骤、分段计费应用、数轴与方程综合|以典型例题示范解题方法，注重步骤规范与多情境应用| |强化训练（单选/填空）|方程定义、解法辨析、简单应用|基础题占比60%，聚焦概念理解与运算准确性，如一元一次方程判定、去分母变形| |强化训练（解答题）|经济问题、工程问题、新定义问题|综合题占比40%，结合实际情境与创新题型，如“友好方程”新定义，培养模型意识与推理能力|

第4章一元一次方程典例精讲与强化训练 典例精讲 1．解下列方程： (1)； (2)． 2．公园门票价格规定如表： 购票张数 张 张 100张以上 每张票的价格 13元 11元 9元 某校七年级（1）（2）两个班共104人去游园，其中（1）班有40多人，不足50人，经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元．问： (1)两班各有多少学生？ (2)如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？ (3)如果七年级（1）班单独组织去游园，作为组织者的你如何购票才最省钱？ 3．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，5．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字1对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度． (1)在图1的数轴上，个长度单位；数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的________； (2)求数轴上点B所对应的数b； (3)在图1的数轴上，点Q是直线上一点，满足，求点Q所表示的数． 强化训练 一、单选题 1．下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 3．下列方程中，解为的方程是（    ） A． B． C． D． 4．下列方程的变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 5．解方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 6．“九宫图”传说源于远古时代洛河中的神龟背甲图案，故又称“龟背图”．数学中的“九宫图”指一个的方格，要求其每行、每列及每条对角线上的三个数字之和均相等．如图所示为一个不完整的“九宫图”，则的值为（     ） A． B． C． D．6 7．现有一个水池，若单独打开甲进水管，1个小时可以注满水池；若单独打开乙进水管，个小时可以注满水池．若甲、乙两管同时打开，几个小时可以注满水池？设若甲、乙两管同时打开，个小时可以注满水池，则（   ） A． B． C． D． 8．一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需40天．甲队先单独做5天，之后两队合作恰好按期完成．设工期为天，可列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．一件衣服在进价的基础上提高标价，再打8折出售仍可获利18元，则这件衣服的进价为______元． 10．已知方程的解比关于x的方程的解小1，则a的值为____． 11．如图，一个数从A出发，按逆时针方向进行计算．若在A处输入x，能使程序进入无限循环，且每次执行运算的结果都相同，则输入的x值为______．（用含m的代数式表示） 12．如图，将一个大正方形分成两个长方形和一个小正方形．已知两个长方形的面积分别为10，6，则大正方形的面积为_________． 13．定义新运算：，其中，，，为有理数，如：．如果，则的值为______________． 14．在数学游艺会上，小宁负责一个游戏项目，他准备了50张同样的卡片，上面分别写有．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下，按逆时针方向围成一圈，放置在桌上（如图），将这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．小宁依次将每张卡片与它逆时针方向每隔一张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是小宁抽取的五张卡片中按游戏规则得到的两张卡片上的数的和． 卡片组合 B，D C，E D，A E，B A，C 两数的和 75 70 65 59 77 则这五张卡片上数字最大的是_____________（填A，B，C，D，E） 三、解答题 15．解下列一元一次方程 (1) (2) 16．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢.”大好春光里，放风筝已成为孩子们的最爱.星星青少年活动中心为孩子们购买了8个大风筝和12个小风筝，共花费了272元．已知大风筝的单价比小风筝的单价高9元，求大风筝的单价． 17．商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台． (1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ (2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ 18．小刚是个爱动脑的学生，他将连续的奇数1，3，5，7，…排成如图所示的形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数．请你仔细观察十字形框架中数字的规律，并解答下列问题． (1)设十字形框架中间的数为，则十字形框架中五个数的和为_______；（用含的代数式表示） (2)若将十字形框架上下左右移动，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于115吗？若能，求出这五个数：若不能，请说明理由． 19．新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程与为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值； (2)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求的值； (3)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为n，求n的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 典例精讲解析 1．(1) (2) 【分析】（1）去括号、移项、合并同类项，据此求出方程的解即可． （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，据此求出方程的解即可． 【详解】（1）解：， 去括号，可得： ， 移项，可得： ， 合并同类项，可得：． （2）解：， 去分母，可得： ， 去括号，可得：， 移项，可得： ， 合并同类项，可得：， 系数化为，可得：． 2．(1)七年级（1）班有48人，七年级（2）班有56人 (2)可省304元 (3)购买51张票最省钱 【分析】（1）设七年级（1）班人数为x，根据人数范围确定两个班对应的门票单价，根据总购票费用列一元一次方程求解即可； （2）计算团体购票的总费用，用原总费用减去团体总费用得到节省的钱数； （3）分别计算七年级（1）班按实际人数购票和购买51张票的费用，比较后得到最省钱的方案． 【详解】（1）解：设七年级（1）班有x名学生，则七年级（2）班有名学生． 由题意得， 因此， 根据总购票费用列方程得： ，解得， 所以． 答：七年级（1）班有48名学生，七年级（2）班有56名学生． （2）解：两班共104人，团体购票每张票9元，总费用为（元）； 节省的费用为（元）． 答：可省304元． （3）解：七年级（1）班共48人， 若按实际人数购票，总费用为（元）； 若购买51张票，总费用为（元）； ∵， ∴购买51张票更省钱． 答：购买51张票最省钱． 3．(1)8；0.7 (2) (3)或 【分析】（1）用右边点表示的数减去左边点表示的数即可得到线段的长度，从尺子上读出线段实际长度除以对应的长度单位，即可求出一个长度单位对应实际的长度． （2）从尺子读出的实际长度，再结合（1）中的结论列方程计算即可． （3）右边点表示的数减去左边点表示的数即可得到线段的长度，结合，列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得，由图2可得， 数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的实际长度； （2）解：依题意有， 解得， 即数轴上点B所对应的数b为； （3）解：设点Q所表示的数是x， ①当Q在延长线上时， ， 解得， ②当Q在之间时， ， 解得， 综上所述点Q表示的数为或． 强化训练解析 1．C 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据“只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，等号两边都是整式的方程是一元一次方程”逐一判断选项即可. 【详解】解： 选项A，未知数的次数为2，不是一元一次方程，选项A不符合题意； 选项B，方程含分式，不是整式方程，不是一元一次方程，选项B不符合题意； 选项C，方程只含有1个未知数，未知数最高次数为1，且等号两边都是整式，是一元一次方程，选项C符合题意； 选项D，方程含有两个未知数，不是一元一次方程，选项D不符合题意． 2．B 【分析】通过移项计算即可得到的值． 【详解】解： ∴移项可得． 3．C 【详解】解：选项A：，移项得，系数化为1得，不符合要求； 选项B：，移项得，系数化为1得，不符合要求； 选项C：，两边同乘3得，移项得，系数化为1得，符合要求； 选项D：，移项得，系数化为1得，不符合要求． 4．A 【分析】本题考查等式的基本性质，利用等式性质逐一判断变形是否正确即可，等式两边同加同减同一个数，同乘或同除以同一个不为0的数，等式仍成立． 【详解】选项A，，等式两边同时减去3，得，变形正确，符合题意； 选项B，，等式两边同时除以7，得，变形错误，不符合题意； 选项C，，等式两边同时乘以2，得，变形错误，不符合题意； 选项D，，等式两边同时加上2，得，即，变形错误，不符合题意． 5．B 【详解】解： 去分母得，． 6．D 【详解】解：由两条对角线上的数字之和相等，可得， ∴. 7．D 【分析】利用工作效率=工作总量工作时间，将水池总量看作单位“1”，求出甲、乙的进水效率，再根据合作效率列方程求解． 【详解】解：将注满水池的总工作量看作单位1， 甲进水管1小时注满水池，因此甲的进水效率为1； 乙进水管b小时注满水池，因此乙的进水效率为； 甲、乙两管同时打开，小时注满水池，根据“工作效率工作时间=工作总量”，可得方程： ， 对式子化简求解： ， ． 8．B 【分析】将总工作量看作单位1，根据“各部分工作量之和等于总工作量1”列方程，确定甲、乙的工作时间即可得到正确方程． 【详解】解：把总工作量看作单位1，可得甲的工作效率为，乙的工作效率为， ∵工期为天，甲先单独做天，之后两队合作， ∴甲先做天的工作量为，两队合作的时间为天，合作中甲的工作量为，合作中乙的工作量为， ∵总工作量为， ∴可列方程： ． 9． 【分析】本题考查了一元一次方程在商品销售问题中的应用，解题的关键是根据利润公式找到等量关系，列出方程求解． 设进价为未知数，先根据进价表示出标价和售价，再根据“利润=售价-进价”列方程求解． 【详解】解：设这件衣服的进价为元， 则标价为元，售价为元． 根据题意，得， 解得． 10． 【分析】先求出方程的解，进而得到方程的解，代入即可求出a的值． 【详解】解：解得， ∵方程的解比关于x的方程的解小1， ∴方程的解为， ∴， 解得：． 11． 【分析】先根据题意列代数式，进而列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：由题意可得：；；：； ∵从A处输入的x值能使程序进入无限循环，且每次执行运算的结果都相同， ∴，整理得：，解得：． 12． 25 【分析】先根据等式的性质说明，然后求出正方形的边长，再求长方形的长，进而求出正方形的边长，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点H， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴长方形的面积=长方形的面积， ∴正方形的面积， ∴正方形的边长， ∴长方形的长， ∴正方形的边长， ∴正方形的面积． 13． 【分析】根据新运算：，得到，求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， 解得． 14．C 【分析】设A，B，C，D，E卡片上对应的数分别为，由题意得到关于的方程组，求出，然后作差表示出即可得结论． 【详解】解：设A，B，C，D，E卡片上对应的数分别为， 则， 由①②③④⑤得， 则， ， ， ， ， ， ， 这五张卡片上数字最大的是C． 15．(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： 16．大风筝的单价为19元 【分析】设大风筝的单价为x元，则小风筝的单价为元，由题意得，进而求解即可． 【详解】解：设大风筝的单价为x元，则小风筝的单价为元，由题意得： ， 解得：， 答：大风筝的单价为19元． 17．(1)选方案一，最少费用为7200元 (2)10台 【分析】（1）根据两个方案的优惠政策，分别求出购买8台所需费用，比较后即可得出结论； （2）根据购买台时，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：设购买型号笔记本电脑台时的费用为元， 当时， 方案一：， 方案二：， ∵， 当时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7200元； （2）解：①若时： 方案一：；方案二：； 此时不相等； ②若时： 方案一：；方案二： 令 解得 答：该公司买了10台． 18．(1) (2)能；13，21，23，25，33 【分析】（）设十字形框架中间的数为，再根据上下的数相差，左右的数相差，就可以求出个数之和； （）设十字形框架中间的数为，根据这五个数的和等于列方程，求出的值，即可判断． 【详解】（1）解：设十字形框架中间的数为，则另外个数分别为：，，，， ∴十字形框架中的五个数的和为； （2）解：能，理由： 设十字形框架中间的数为，则 ， 解得， 所以这五个数的和能等于115， 这五个数为13，21，23，25，33． 19．(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出第一个方程的解，再根据“友好方程”的定义进而即可求出m的值； （2）将两个方程的解表示出来，再根据“友好方程”的定义求解即可； （3）根据“友好方程”的定义分情况讨论两个解差的两种不同情况即可． 【详解】（1）解：， ， 解得， 两个方程是“友好方程”，解互为相反数， 方程的解为， 把代入，得， 解得； （2）解：， ， 解得， ， ， 解得， 两个方程是“友好方程”，解互为相反数， ， ， ； （3）解：两个方程是“友好方程”，其中一个解为， 另一个解为， 由题意得，两个解的差为， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴的值为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $