专题04 一元一次方程压轴应用题（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建三阶训练体系，通过3列表格法提炼等量关系，系统覆盖七类压轴题型，强化模型意识与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心方法|3列表格（对象/数量/费用）梳理数据，定位等量关系|从实际问题抽象数学模型，培养数学眼光| |题型归纳|7类题型（含典例+变式）|加工方案比较费用、阶梯费用求临界点、销售方案算利润等分类解法|从基础应用到含参数问题，层层递进，体现数学思维| |压轴挑战|12道综合题|综合运用分类讨论、动态分析解决复杂情境问题|对接中考高频考点，提升数学语言表达与应用意识|

专题04 一元一次方程压轴应用题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、加工方案问题 题型二、阶梯费用 题型三、销售方案 题型四、税率相关问题 题型五、含参数的实际问题 题型六、门票方案问题 题型七、数轴上的行程问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 读题时别从头看到尾，拿草稿纸画一张3列表格。表头分别是：对象、数量（或速度）、费用（或路程）。把题目给的零散数据填进去，等量关系就藏在表格“合计”或“差值”那一行里。表格列完，方程自然就出来了。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、加工方案问题 典例1 某开发公司要生产若干件新产品，需要精加工后，才能投放市场，现有红星和巨星两个加工厂都想加工这批产品，已知红星厂单独加工这批产品比巨星厂单独加工这批产品多用20天，红星厂每天可加工16件产品，巨星厂每天可加工24件产品，公司需付红星厂每天加工费80元，巨星厂每天加工费120元． (1)这个公司要加工多少件新产品？ (2)在加工过程中，公司需另派一名工程师每天到厂家进行技术指导，并负担每天5元的午餐补助费，公司制定产品加工方案如下：可由一个厂单独加工完成，也可由两厂合作同时完成，请你帮助公司从所有可供选择的方案中选择一种既省钱，又省时间的加工方案． 【答案】(1)这个公司要加工960件新产品． (2)由两厂共同加工时，既省钱，又省时间． 【详解】（1）设这个公司要加工x件新产品， 由题意得：， 解得： (件)， 答：这个公司要加工960件新产品； （2）①由红星厂单独加工：需要耗时为天，需要费用为：元； ②由巨星厂单独加工：需要耗时为天，需要费用为：元； ③由两厂共同加工：需要耗时为天，需要费用为：元． 因为， 所以，由两厂共同加工时，既省钱，又省时间． 题型模版 1.特征：题干中给出多中加工方式“精加工”，“粗加工”等。 2.方法：按不同加工方法分别算出加工费用，比较得出最省钱方案。 变式1-1某开发公司要生产若干件新产品，需要精加工后，才能投放市场，现有红星和巨星两个加工厂都想加工这批产品，已知红星厂单独加工这批产品比巨星厂单独加工这批产品多用20天，红星厂每天可加工16件产品，巨星厂每天可加工24件产品，公司需付红星厂每天加工费80元，巨星厂每天加工费120元． (1)这个公司要加工多少件新产品？ (2)在加工过程中，公司需为该项目派一名工程师进行全程技术指导，并负担每天5元的午餐补助费，公司制定产品加工方案如下：可由一个厂单独加工完成，也可由两厂合作同时完成，请你帮助公司从所有可供选择的方案中选择一种最省钱的加工方案． 【答案】(1)这个公司要加工960件新产品 (2)由两厂合作完成最省钱 【详解】（1）解：设这个公司要加工x件新产品， 由题意得：， 解得： (件)， 答：这个公司要加工960件新产品； （2）解：①由红星厂单独加工：需要耗时为天，需要费用为：元； ②由巨星厂单独加工：需要耗时为天，需要费用为：元； ③由两厂共同加工：需要耗时为天，需要费用为：元． 因为， 所以，由两厂共同加工时，既省钱，又省时间． 变式1-2．某中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件，且单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用20天．在加工过程中，学校需付甲厂每天费用80元、乙厂每天费用120元． (1)求这批校服共有多少件？ (2)为了尽快完成这批校服，若先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了， 而乙工厂每天的生产速度也提高25%，乙工厂单独完成剩余部分，且乙工厂的全部工作时间是 甲工厂工作时间的2倍还多4天，求乙工厂共加工多少天？ (3)经学校研究制定如下方案：方案一：由甲厂单独完成；方案二：由乙厂单独完成；方案三： 按(2)问方式完成；并且每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名工程师进行技术指导，并 由学校提供每天10元的午餐补助费，请你通过计算帮学校选择一种即省时又省钱的加工方案． 【答案】(1)960件 (2)28天 (3)方案三既省时又省钱 【详解】（1）解：设这批校服共有件，由题意得： ， 解得：． 答：这批校服共有960件； （2）解：设甲工厂加工天，则乙工厂共加工天，依题意有 ， 解得， ． 故乙工厂共加工28天； （3）解：①由甲厂单独加工：需要耗时为天，需要费用为：元； ②由乙厂单独加工：需要耗时为天，需要费用为：元； ③由两家工厂共同加工：需要耗时为28天，需要费用为：元． 所以，按方案三方式完成既省钱又省时间． 变式1-3．下雪了，德强学校七年级准备为同学们定制一批冬帽，现有甲、乙两个工厂都想加工这批冬帽，已知甲工厂每天能加工这种冬帽20件，乙工厂每天能加工这种冬帽30件，且单独加工这批冬帽甲厂比乙厂要多用16天，在加工过程中，学校需支付甲厂每天费用70元、支付乙厂每天费用100元． (1)求这批冬帽共有多少件？ (2)为了尽快完成这批冬帽，若先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，由乙工厂单独完成剩余部分，为此乙工厂每天的生产速度也提高．已知乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍还少2天，求乙工厂共加工多少天？ (3)经学校研究制定如下方案： 方案一：由甲厂单独完成； 方案二：由乙厂单独完成； 方案三：按（2）问方式完成，并且每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名设计师进行技术指导，并由学校提供每天20元的午餐补助费，请你通过计算帮学校选择一种即省时又省钱的加工方案． 【答案】(1)这批冬帽共有套 (2)乙工厂共加工22天 (3)学校选择方案三最省钱 【详解】（1）解：设单独加工这批服装乙厂需要x天，则甲厂需要天， 由题意得： ， 解得． ∴这批冬帽共有：（套）． 答：这批冬帽共有套； （2）解：设实际生产中甲厂的工作时间为y天，则乙厂的全部工作时间为天， 由题意得： ， ∴ 解得：． ∴（天）． 答：乙工厂共加工22天； （3）解：由题意得：甲厂单独完成的工作时间为：（天）， 乙厂单独完成的工作时间为：（天）， ∴方案一所付费用为：（元）； 方案二所付费用为：（元）； 方案三所付费用为：（元）． ∵， ∴学校选择方案三最省钱． 题型二、阶梯费用 典例1 下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 0.50 超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.50 超过30吨的部分 3.00 0.50 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用＋污水处理费） 已知小王家2024年7月用水16吨，交水费32元；8月份用水28吨，交水费67元． (1)求a，b的值． (2)如果小王家9月份上交水费115元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费132.59元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 【答案】(1)， (2)42吨 (3)13吨 【详解】（1）解：7月用水16吨，交水费32元， ， 解得； 8月份用水28吨，交水费67元， ， 解得； （2）解：当用水量为30吨时，水费为：（元）， 9月份上交水费115元，， 9月份用水量超过30吨，设为x吨， 则， 解得， 即小王家9月用水42吨； （3）解：设小王家11月份用水y吨，则10月份用水吨， 当时，， 解得， 当时， ， 解得 (不符合题意 舍去)． 综上可得，小王家11月份用水13吨． 题型模版 1.特征：“不超过部分按...，超过部分按...”、“如何选择更省钱？”。 2.方法：先求临界点。设总量为 x，分别写出甲、乙方案的代数式，令两者相等求出“临界值”。 变式1-1为了鼓励居民节约用电，我省实行阶梯电价政策采取分段计费的方法按月计算每户家庭的电费，每两个月用电量与电费的单价如下表： 档次 电量范围 电费单价 第一档电费 340度及以下 元 第二档电费 341度至520度 元 第三档电费 520度以上 元 比如，若某户两个月用电200度，应缴电费元；若某户两个月用电400度，应缴电费元；若某户两个月用电600度，应缴电费元． (1)小明家1、2月份共用电550度，则小明家这两个月应缴电费多少元？ (2)某用户两个月用电量为度，用式子表示： 当两个月用电量不超过340度时，应收电费 元；当两个月用电量超过340度但不足520度时，应收电费 元；当两个月用电量超过520度时，应缴电费 元． (3)小丽家1、2月份应缴电费元，问小丽家这两个月共用电多少度？ 【答案】(1)小明家这两个月应缴电费280.35元 (2)；；； (3)用电640度 【详解】（1）解：根据题意得： （元）． 答：小明家这两个月应缴电费280.35元； （2）解：根据题意得：当两个月用电量不超过340度时，应收电费元； 当两个月用电量超过340度但不足520度时，应收电费元； 当两个月用电量超过520度时，应缴电费元． 故答案为：；；； （3）解：设小丽家这两个月共用电度， ， ． 根据题意得：， 解得：． 答：小丽家这两个月共用电640度． 变式1-2．某市某公司燃气收费标准如表： 表某市某燃气公司收费标准 收费方式 年用气量（立方米） 费用（元/立方米） 第一档 不超过250的部分 3.4 第二档 超过250且不超过360的部分 4.0 第三档 超过360的部分 5.1 针对多人口家庭的用气需求，该市推出“一户多人口”燃气收费普惠政策： 人口超过4人的家庭，每增加1人，每户每档年用气量增加60立方米． 例如，某居民家有6口人，申请政策后，各档年用气量（立方米）范围调整为： 第一档，不超过370的部分； 第二档，超过370且不超过480的部分； 第三档，超过480的部分． (1)居民甲家有4口人， ①若年用气量为230立方米，则应缴燃气费______元． ②已知居民甲家一年的燃气费为1050元，求居民甲家的年用气量． (2)居民乙家有5口人，年用气量为a立方米，其中a超过360且不超过400．若居民乙家申请普惠政策，相比未申请政策前，一年可节省多少燃气费？（用含a的代数式表示） 【答案】(1)①782；②居民甲家的年用气量为300立方米； (2)居民乙家申请普惠政策，相比未申请政策前，一年可节省元燃气费． 【详解】（1）解：①根据题意得：（元）， ∴应缴燃气费782元． 故答案为：782； ②设居民甲家的年用气量为x立方米， ∵（元），（元），， ∴． 根据题意得：， 解得：． 答：居民甲家的年用气量为300立方米； （2）解：根据题意得： 未申请政策前一年的燃气费为 （元）； 申请政策后一年的燃气费为 （元）， ∴（元）． 答：居民乙家申请普惠政策，相比未申请政策前，一年可节省元燃气费． 变式1-3．网约快车是城市便捷的出行交通工具之一，某市网约快车的计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元／千米 0.3元／分钟 0.8元／千米 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分组成．其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时长计算，远途费的收费方式为：行车里程7千米以内（含7千米），不收远途费，超过7千米时，超过的部分每千米加收远途费0.8元． (1)一人乘网约快车20分钟到达目的地，行驶里程为千米，请用含x的代数式表示他应付的费用为___________元； (2)甲、乙两人各自乘网约快车，甲比乙的行车里程多1.5千米，若两人的计费项目完全相同，所付的车费也相同，求乙比甲多乘车几分钟？ 【答案】(1) (2)9分钟或13分钟 【详解】（1）解：由题意知，里程费为元，时长费为（元）， ∵行驶里程超过7千米，而超过部分的里程为千米， ∴该路程含有远途费，单价为0.8元／千米， ∴远途费为元， ∴（元）， 即他应付的费用为元． （2）解：设乙比甲多乘车m分钟，乙行驶里程为y千米时，甲行驶的里程为千米， ∵甲、乙的计费项目完全相同， ∴①当甲、乙行车里程均未超过7千米，即时，，解得， ②当甲、乙行车里程均超过7千米，即时，， 解得， 综合①②得或13， ∴乙比甲多乘车9分钟或13分钟． 题型三、销售方案 典例1 某水果种植园，今年产量丰收，已知水果每千克成本2元，现给宝儿哥所在的学习实践小组布置了两个任务，进行调查研究学习，具体如下： (1)任务一：水果园计划在7天内，销售2000千克该种水果，现有两种销售方案可供选择：方案一：在每千克成本的基础之上提高标价，然后按照9折进行销售，7天内可以全部售出．方案二：在每千克成本的基础之上提高标价销售，按照市场行情前6天可以售出1200千克该种水果，最后一天打5折剩余水果可全部售出．请问哪种方案获利最多？最多利润是多少？ (2)任务二：现将10000千克水果运往外地销售，现有A，B货车共30辆，货车每辆可装200千克，货车每辆可装600千克，运出的水果可以全部卖掉，运输方案如表： 目的地 需要货车数量/辆 每辆型货车运费/元 每辆型货车运费/元 水果当地售价/元每千克 甲地 18 200 500 5 乙地 12 100 300 4 预计利润可达18900元（最终利润水果利润运费），请问A，B两种型号货车分别运往甲乙两地各多少辆？ 【答案】(1)方案二获利最多，最多利润是1760元 (2)A型货车运往甲地11辆，运往乙地9辆；B型货车运往甲地7辆，运往乙地3辆 【详解】（1）解：方案一： （元）， 方案二： （元）， ∵， ∴方案二获利最多，最多利润是1760元； （2）解：设有A型货车x辆，则B型货车辆，根据题意得： ， 解得：， （辆）， 即有A型货车20辆，则B型货车10辆， 设A型货车运往甲地y辆，则B型货车运往甲地辆，A型货车运往乙地辆，B型货车运往乙地辆，根据题意得： ， 解得：， （辆），（辆），（辆）， 答：A型货车运往甲地11辆，运往乙地9辆；B型货车运往甲地7辆，运往乙地3辆． 题型模版 1.特征：题干中出现“获利最多”，“选择方案”等。 2.方法：分别算出各种方案所获利润，销售额等，比较得出最佳方案。 变式1-1某电器商场计划用万元从生产厂家购进台电视机已知该厂家生产种不同型号的电视机，出厂价分别为种每台元，种每台元，种每台元． (1)若该商场只选购、两种电视机，各购买多少台？ (2)若商场销售一台种电视机可获利元，销售一台种电视机可获利元，销售一台种电视机可获利元，除了（1）的方案，该商场还有一种方案，购进种电视机台，种电视机台在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，应选择哪种方案？ 【答案】(1)购进、两种电视机各台 (2)应选择购进种电视机台，种电视机台 【分析】（1）设购进A种电视机台，则B种为台，列方程求解即可； （2）求出两种方案的利润，再比较即可． 【详解】（1）解：设购进种电视机 台，则购进种电视机台， 由题意得，， 解得， 所以， 答：购进、两种电视机各台； （2）解：若购进、两种电视机各台，可获利（元） 若购进种电视机台，种电视机台，可获利（元） 因为， 所以为了获利最多，应选择方购进种电视机台，种电视机台． 变式1-2．商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台． (1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ (2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ 【答案】(1)选方案一，最少费用为7200元 (2)10台 【分析】（1）根据两个方案的优惠政策，分别求出购买8台所需费用，比较后即可得出结论； （2）根据购买台时，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：设购买型号笔记本电脑台时的费用为元， 当时， 方案一：， 方案二：， ∵， 当时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7200元； （2）解：①若时： 方案一：；方案二：； 此时不相等； ②若时： 方案一：；方案二： 令 解得 答：该公司买了10台． 变式1-3．某水果加工厂收购了29吨黄桃，经市场预测，销售方式及利润如下表： 销售方式 直接销售 包装销售 制成罐头销售 每吨利润（万元） 0.05 0.4 0.6 加工能力限制：每天可包装5吨或制成罐头3吨（包装和加工前后质量不变），同一天内两种加工方式不可同时进行． 时间限制：所有黄桃需在7天内销售或加工完毕． 方案一：尽可能多制成罐头，剩余直接销售； 方案二：部分制成罐头，其余进行包装，并恰好7天完成． (1)通过计算比较两种方案，说明哪种方案可使工厂所获利润较多； (2)若采用利润较多的方案，将罐头运输到市场售卖．运输公司费用如下： 运输公司 运输单价 每吨装卸费 甲 每吨每千米5元 50元 乙 每吨每千米6元 30元 已知乙公司总费用比甲公司多243元，求水果加工厂到市场的距离． 【答案】(1) 方案一：（万元）， 方案二：设吨制成罐头，则吨进行包装，， 解得， 有20吨进行包装．经检验，符合题意． 获利：（万元）， ， 方案二可使工厂所获利润较多； (2)47千米 【详解】（1）略 （2）解：设加工厂到市场的距离为千米，， 解得，经检验，符合题意． 答：水果加工厂到市场的距离为47千米． 题型四、税率相关问题 典例1 阅读材料，回答问题． (1)材料1：2018年9月7日，财政部、国家税务总局发布通知，明确纳税人在2018年10月1日后实际取得的工资薪金所得，个税起征点由每月3500元提高至每月5000元，税率级数如下（部分）： 级数 原来（每月）工资薪金 现行（每月）工资薪金 税率 0 3500元 5000元 免税 1 不超过1500元的部分 不超过3000元的部分 2 超过1500元到4500元的部分 超过3000元到12000元的部分 3 超过4500元到9000元的部分 超过12000元到25000元的部分 4 超过9000元到35000元的部分 超过25000元到35000元的部分 根据材料1，完成下列表格填空： 公民 工资薪金（元） 原应纳个税（元） 现应纳个税（元） 小林 7000 60 小陈 15000 1870 (2)材料2：2019年1月1日起正式实施新个税法，在5000元免税的基础上，还可享受多个专项附加扣除免税，部分扣除如下： 子女教育（每个子女） 赡养两位老人 住房贷款 继续教育 租房租金 大病医疗 每月扣除1000元 每月扣除2000元 每月扣除1000元 每月扣除400元或300元 每月扣除1200、1000或800元 每年扣除60000元限额（据实） 根据材料2，小张和妻子都是独生子女，需赡养双方父母，共四位老人，养育两个孩子（都在接受教育），现在已知夫妻双方每月工资薪金共21000元，两人均申报了赡养两位老人的专项附加扣除免税，“养育两个孩子的教育费用”扣除额计算在小张一方，妻子和小张的家庭个税共220元，妻子的税率（算上专项附加扣除免税）达到第1级，请问妻子与小张每月工资薪金各是多少元？ (3)在第（2）问的条件下，若“养育两个孩子的教育费用”扣除额计算在妻子一方，此时家庭个税比之前________（填“多”或“少”）________元． 【答案】(1)245，790 (2)妻子每月工资薪金元，则小张每月工资薪金元； (3)多， 【详解】（1）解：（元）， 则小林原应纳个税（元）， （元）， 则小陈现应纳个税（元）， 表格填空如下： 公民 工资薪金（元） 原应纳个税（元） 现应纳个税（元） 小林 7000 245 60 小陈 15000 1870 790 故答案为：245，790； （2）解：设妻子每月工资薪金元，则小张每月工资薪金元， 根据题意可得妻子个税为：， 当小张个税为1级时； 小张个税为：， 则， 整理得方程无解； 当小张个税为2级时； 小张个税为：， 则， 解得， 则小张每月工资薪金为元， 答：妻子每月工资薪金元，则小张每月工资薪金元； （3）解：若“养育两个孩子的教育费用”扣除额计算在妻子一方， ， 妻子个税为0， 则此时家庭个税为： （元）， （元）， 此时家庭个税比之前多元． 故答案为：多，． 题型模版 1.特征：题干中出现“应纳税所得额”，税率等。 2.方法：按阶梯计费方式列方程解答。 变式1-1．国家规定个人发表文章、出版图书获得稿费的计算方法是： ①稿费不高于800元的不纳税； ②稿费高于800元又不高于4000元的应缴纳超过800元的那部分的的税； ③稿费高于4000元的应缴纳全部稿费的的税； 今得知丁老师获得一笔稿费，并且依法缴纳个人所得税420元，丁老师这笔稿费是多少元？又得知胡老师获得一笔稿费，并且依法缴纳个人所得税550元，胡老师这笔稿费是多少元？ 【答案】丁老师这笔稿费是3800元，胡老师这笔稿费是5000元 【详解】解：如果稿费为4000元，需要支付税费为：（元， 设丁老师这笔稿费是元， ， 解得：， 设胡老师这笔稿费是元， 则：， 解得：， 答：丁老师这笔稿费是3800元，胡老师这笔稿费是5000元． 变式1-2．依法纳税是每个公民应尽的义务．从年9月1日起，新修改后的《中华人民共和国个人所得税法》正式实施，个税起征点将从原来的元提高到元，税率由九级改为七级，为至．公民每月收入不超过元，不需交税；超过元的部分为全月应纳税所得额，都应纳税，且根据超过部分的多少按不同的税率纳税，详细的税率如下表： 现调整后的7级超额累进税率： 级别 全月应纳税所得额 税率(%) 不超过元的 超过元至元的部分 超过元至元的部分 超过元至元的部分 … … … 例：小强的父亲年月的收入为元，问他应交税款多少元？ 解：全月应纳税所得额为：，而， 对应的税率为，应交税款为（元）． (1)若小敏的父亲年月的收入为元，问他应交税款多少元？ (2)若某公司一名职员年月应交税款元，问该月他的收入是多少元？ 【答案】(1)元 (2)元 【详解】（1）解：全月应纳税所得额为：， （元）． 答：他应交税款元． （2）解：当收入为元时，全月应纳税所得额为：， 应交税款为（元）， 设当交税款元时，该月他的收入为元， ， 整理得，解得， 答：该月他的收入是元． 变式1-3．十一届全国人大常委会第二十次会议审议的个人所得税法修正案草案（简称“个税法草案”），拟将现行个人所得税的起征点由每月2000元提高到3000元，并将9级超额累进税率修改为7级，两种征税方法的级税率情况见下表： 税级 现行征税方法 草案征税方法 月应纳税额x 税率 速算扣除数 月应纳税额x 税率 速算扣除数 1 0 0 2 25 75 3 125 4 375 975 5 1375 2725 注：“月应纳税额”为个人每月收入中超出起征点应该纳税部分的金额． “速算扣除数”是为了快捷简便计算个人所得税而设定的一个数． 例如：按现行个人所得税法的规定，某人今年3月的应纳税额为2600元，他应缴税款可以用下面两种方法之一来计算： 方法一：按级超额累进税率计算，即（元）． 方法二：用“月应纳税额适用税率速算扣除数”计算，即（元）． (1)求出表中空缺的“速算扣除数”的值． (2)小童今年12月缴了个人所得税475元，小白今年12月的收入是小童的两倍，若按“个税法草案”计算，则小白应缴税款多少元？ (3)小颖今年12月缴了个人所得税3千多元，若按“个税法草案”计算，她应缴纳的税款恰好不变，那么小颖今年12月所缴税款的具体数额为多少元？ 【答案】(1)525； (2)1275； (3)3025． 【详解】（1）解：对于草案第3级月应纳税额，税率，速算扣除数， 分级计算税款： ， 速算税款：， 令两者相等：， 解得：； （2）解：设小童的月应纳税额为元，由，即， ∴小童这个月的应纳税额， 根据题意得：， 解得：， 小童这个月的应纳税额是元，这个月收入是元， 小白这个月收入是元，这个月的应纳税额是元， 若按“个税法草案”计算，则他应缴税款为： (元)， ∴小白应缴税款元； （3）解：设小颖的月应纳税所得额为元， ∵时，个人所得税范围是个人所得税，即个人所得税， 时，个人所得税范围是个人所得税，即个人所得税， ∴小颖按现行征税方法可能在第3级或第4级，按草案征税方法在第4级， 当时， 根据题意得：， 解得：， 小颖今年12月所缴税款的具体数额为：(元)， 当时， 根据题意得：， 方程无解，故不存在 综上，小颖今年月所缴税款的具体数额为元． 题型五、含参数的实际问题 典例1 列方程（组）解下列问题： 荣昌陶是“中国四大名陶”之一．安陶小镇某陶艺工作室今年四月份分别销售紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯个、个，仅这两种陶瓷茶杯的销售额就达到万元．已知紫精轩的销售单价比瓷青的销售单价多元． (1)求紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯的销售单价各是多少元？ (2)五月份，该工作室对紫精轩、瓷青这两种茶杯进行降价促销，其中紫精轩每个降价元，瓷青每个降价元，该工作室五月份销售这两种茶杯数量比四月份明显增加，其中紫精轩销售数量增加，瓷青多销售个．这样，五月份该工作室这两种茶杯的销售总额就比四月份这两种茶杯的销售总额增长．求的值． 【答案】(1)紫精轩陶瓷茶杯的销售单价为150元，瓷青陶瓷茶杯的销售单价为100元． (2) 【详解】（1）解：设瓷青单价为元，则紫精轩单价为元， 依题意得 解得， 紫精轩陶瓷茶杯的销售单价为元，瓷青陶瓷茶杯的销售单价为元． （2）解：根据题意可知 紫精轩：单价元，销量（个）； 瓷青：单价元，销量个； 五月份总销售额为：元． 依题意得 ， 解得． 题型模版 1.特征：题干给出特点的未知数（参数）. 2.方法：这类题目往往算式比较复杂，先逐步化简方程是解题的关键。 变式1-1为响应国家号召，帮助农副产品走出大山，“村头”电商平台将咸蛋和豆腐乳进行网上销售．咸蛋售价为4元/袋，豆腐乳售价为5元/袋，5月份咸蛋的销量比豆腐乳的销量多1200袋，五月份咸蛋的总销售额为豆腐乳总销售额的两倍． (1)5月份咸蛋和豆腐乳的销售量分别为多少袋？ (2)6月份咸蛋售价比5月份降低了，销量比5月份增加了．豆腐乳的销量比5月份增加了，售价保持不变，结果咸蛋和豆腐乳6月份的总销售额比5月份增加，求a的值． 【答案】(1)5月份咸蛋的销售量为2000袋，豆腐乳的销售量为800袋 (2) 【详解】（1）解：设5月份豆腐乳的销售量为袋，则咸蛋的销售量为， 由题意得：， 解得， 咸蛋的销售量为袋， 答：5月份咸蛋的销售量为2000袋，豆腐乳的销售量为800袋； （2）解：6月份咸蛋售价为，销量为：， 豆腐乳的销量为， 由题意可得：， 解得． 变式1-2．“丰收1号”油菜籽的平均每公顷产量为，含油率为．“丰收2号”油菜籽比“丰收1号”的平均每公顷产量提高了，含油率提高了10个百分点．某村去年种植“丰收1号”油菜，今年改种“丰收2号”油菜，虽然种植面积比去年减少2公顷，但是所产油菜籽的总产油量比去年提高了． (1)这个村去年和今年种植油菜的面积各是多少公顷？ (2)去年和今年该村将所产的油全部制作成压榨菜籽油，然后以每千克15元的价格被批发商收购，批发商去年将菜籽油按收购价提高定价，且全部售出．由于销售火爆，批发商今年每千克再提高2元定价，也全部售出，且今年比去年多盈利63900元，求a的值． 【答案】(1)这个村去年和今年种植油菜的面积分别为20公顷，18公顷 (2)a的值是20 【详解】（1）解：设去年该村种植油菜x公顷，则今年该村种植油菜公顷， 由题意得，， 解得：， 则今年种植面积为：（公顷）， 答：这个村去年和今年种植油菜的面积分别为20公顷，18公顷． （2）解：由题意可知，去年该村所产油菜籽的总产油量为， 今年该村所产油菜籽的总产油量为， 批发商去年每千克盈利（元）， 批发商今年每千克盈利（元）， 则， 解得： ∴a的值是20． 变式1-3．列一元一次方程解应用题 寒潮来袭，某家居店的羊毛被和羽绒被两种御寒商品深受顾客的喜爱，每件羊毛被的进价为500元，利润率为，每件羽绒被的售价为1000元，利润率为25%． (1)若该家居店第一次用47000元购进了羊毛被和羽绒被两种商品，其中羽绒被件数比羊毛被件数的2倍少20件，求购进羊毛被、羽绒被各多少件； (2)该家居店第二次又购进羊毛被和羽绒被两种商品进行销售，与第一次相比，购进羊毛被的件数不变，进价提高了，售价不变并且全部售出；购进羽绒被的件数增加了，进价不变，但每件的售价调整为1200元，销售一段时间后，为了回馈消费者进行打折促销，于是将剩下的12件羽绒被打八折并全部售出，若第二次购进的两种商品共获得利润23820元，求m的值． 【答案】(1)羊毛被30件，羽绒被40件 (2)10 【详解】（1）解：每件羊毛被的售价为：元， 每件羽绒被的进价为：元， 设购进羊毛被x件， ， 解得：， ∴， 所以羊毛被30件，羽绒被40件； （2）解：由（1）得第一次购进羊毛被30件，羽绒被40件， 第二次购进羊毛被的件数不变，进价提高了，则羊毛被的进价为元， 售价为800元，利润为元， 第二次购进羽绒被的件数增加了，则羽绒被的件数为件， 进价为800元，售价为1200元， 利润为元， 由题意可得：， 解得：． 题型六、门票方案问题 典例1 某旅游团名成人和5名学生去景区游玩，已知该景区门票的售价为50元/人，“元旦”期间该景区对游客优惠方案如下（只能选择其中一种方案）： 甲方案：学生免门票，成人门票按七五折收费； 乙方案：学生和成人门票均按七折收费． (1)分别用含的代数式表示该旅游团采用甲、乙两种方案购买门票的费用； (2)当为何值时，该旅游团采用甲、乙两种方案购买门票的费用相同？ 【答案】(1)用甲种方案购买门票的费用为元，用乙种方案购买门票的费用为元 (2) 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型． （1）根据题意给出的方案列出代数式． （2）令列出方程即可求出的值． 【详解】（1）解：该旅游团采用甲种方案购买门票的费用为（元）， 该旅游团采用乙种方案购买门票的费用为（元）． （2）解：根据题意，得， 解得． 所以当时，该旅游团采用甲、乙两种方案购买门票的费用相同． 题型模版 1.特征：题目为哪种方案花费门票最少。 2.方法：按打折方式列出代数式；分两种情况列代数式；根据两种购买方式做差，列出方程求解即可． 变式1-1寒假即将来临，甲、乙两校准备组织航模活动小组的同学到某航模基地进行参观实践活动．甲、乙两校共有102人参加此次活动，其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够100人．经了解，该基地的门票价格如下表： 数量(张) 101张及以上 单价(元／张) 50元 40元 30元 如果两校分别单独购买门票，一共应付4500元． (1)如果甲、乙两校联合起来购买门票，求购买门票花费的钱数比两校单独购买便宜多少元？ (2)求甲、乙两校参加此次活动分别有多少人？ (3)如果甲校有10名同学因寒假档期问题不能参加此次活动，那么你有几种购买方案，通过比较，如何购买门票才能使甲、乙两校总费用最少？ 【答案】(1)联合起来购买门票花费的钱数比两校单独购买便宜1440元 (2)甲校有60人，乙校有42人 (3)应该甲乙两校联合起来选择按30元一次购买101张门票最省钱． 【详解】（1）解：如果甲、乙两校联合起来购买门票需(元) 答：联合起来购买门票花费的钱数比两校单独购买便宜1440元． （2）∵甲、乙两校共有102人参加此次活动，其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够100人， ∴甲校人数在51到100范围内，乙校人数在1到50范围内， 设甲校有学生人参加，则乙校有学生人参加． 依题意得： 解得：． 乙校人数为：人． 答：甲校有60人，乙校有42人 （3）根据题意可知参加活动的学生甲校有50人，乙校有42人， 方案一：各自购买门票需(元) 方案二：联合购买门票需(元) 方案三：联合购买101张门票需(元) 因为． 应该甲乙两校联合起来选择按30元一次购买101张门票最省钱． 变式1-2．暑假期间，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩，甲、乙两单位共人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够人．经了解，该风景区的门票价格如下表： 数量(张) 张及以上 单价(元/张) 元 元 元 如果两单位分别单独购买门票，一共应付元． (1)甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？ (2)如果甲单位有名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购买门票才能最省钱？ 【答案】(1)甲单位有人，乙单位有人 (2)甲乙两单位联合起来选择按元一次购买张门票最省钱 【详解】（1）解：设甲单位有退休职工人，则乙单位有退休职工人． 依题意得：， 解得：． 则乙单位人数为：． 答：甲单位有人，乙单位有人； （2）解：甲单位有名退休职工因身体原因不能外出游玩， 甲单位外出游玩的人数有人， 方案一：各自购买门票需元； 方案二：联合购买门票需元； 方案三：联合购买张门票需元； 综上所述：因为． 故应该甲乙两单位联合起来选择按元一次购买张门票最省钱 变式1-3．暑假期间，七（1）班的小高、丽丽等同学随家长一同到北京十渡风景区游玩，下面是购买门票时，小高与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题： (1)小高他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小高算一算，用哪种方式购票更省钱？请说明理由． 【答案】(1)6个成人，个学生； (2)够买张团体票更省钱，理由见详解 【详解】（1）解：设一共去了x个成人，个学生，由题意可得， ， 解得：， ∴， 答：一共有6个成人，个学生； （2）解：由题意可得， ， ∵， ∴够买张团体票更省钱． 题型七、数轴上的行程问题 典例1 如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示-8，点表示6，点表示12，我们称点和点在“折线数轴”上相距20个单位长度．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，当点到达终点时停止运动；点出发的同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后也立刻恢复原速．当点停止运动时，点也随之停止．设点的运动的时间为秒． (1)动点从点运动至点需要 秒： (2)当时，点在“折线数轴”上所对应的数是 ，P、Q两点在“折线数轴”上相距 个单位长度： (3)当P、Q两点在“折线数轴”上相遇时，求的值； (4)当O、P两点在“折线数轴”上相距的长度小于B、Q两点在“折线数轴”上相距的长度时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3) (4)或 【详解】（1）段：长度，时间秒； 段：长度，时间秒； 段：长度，时间秒； 总时间：秒． （2）对：用秒到达，剩余秒在段运动，走了个单位，对应数为； 对：用秒到达，剩余秒在段运动，走了个单位，对应数为； 距离：； （3）相遇时、路程和为总长，分区间讨论： ①当点在上运动时，且点在上运动，即时， 故无法相遇，舍去； ②当点在上运动时，且点在上运动时，即时， 故无法相遇，舍去； ③当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ∴， 解得； 当时，不再相遇； 故． （4）①当点在上运动时，且点在上运动，即时， ，， ∴， 解得， ∴； ②当点在上运动时，且点在上运动，即时， ，， ， 解得， ∴； ③当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ，， ∴， 解得， ∴； ④当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ，， ∴，恒成立， 故； ⑤当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，或． 题型模版 1.特征：相遇后继续走、到达终点立即返回、两人相距特定距离。 2.方法：列代数式，数轴上两点之间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 变式1-1如图，已知数轴上原点为O，点B表示的数为，A在B的右边，点A表示的数为11，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；同时动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)当时，______，当时，______； (2)点P和点Q相遇时，______； (3)点P与点Q在点C处相遇后，点P再运动多长时间到达的中点； (4)当点P到点O的距离等于点P到点Q距离的时，直接写出此时的t值为______ 【答案】(1) 12；3 (2)5 (3) 秒 (4) 或． 【分析】用来表示，根据题目意思即可构造等量关系求解． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点表示的数为， ∴点表示的数为：，点表示的数为：， ∴， 则当时，， 当时，， （2）解：点P和点Q相遇时， 则， 解得： （3）解：由题可知，的中点为：， 由（2）可知，点P和点Q相遇时，， 则点表示的数为：， 则（秒）． （4）解：由题可知，点P到点O的距离为：， ， ∴， 解得：或． 变式1-2．如图，数轴上两点对应的有理数分别为和，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点同时从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为（秒）． (1)数轴上的点表示的数是______，点表示的数是______（用含的代数式表示）； (2)当时，求的长度； (3)在运动过程中是否存在某一时刻使得，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由； (4)若点一直沿数轴负方向运动，当点运动到点时，立即改变运动方向，沿数轴的负方向运动且速度保持不变，当点与点重合时，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2) (3)存在，4或 (4) 【详解】（1）解：∵点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点同时从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动， ∴运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为； （2）解：当时，点表示的数为，点表示的数为， ∴； （3）解：∵点表示的数为，点表示的数为， ∴，． ∵， ∴， 即或， 解得：或， ∴当时，的值为秒或4秒； （4）解：点运动到点时，， 此时点表示的数为，则此时， 设点运动秒时追上点， 则：，解得：， 即：点运动24秒时追上点． 变式1-3．已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：． (1)求m、n的值； (2)①情境：有一个玩具火车如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为 单位长度； ②应用：当情境①中的火车匀速向右运动时，若火车完全经过点M需要4秒，则火车的速度为 个单位长度/秒； (3)在（2）的条件下，当火车匀速向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为．是否存在常数k使得的值为定值？若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)9，； (2)① 4；② 2； (3)存在，，4． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）设玩具火车的长度为个单位长度． 当点移动到点时，点对应的数为；当点移动到点时，点对应的数为． 分析位置关系：设原的位置为，则原的位置为． 移到时，的新位置为； 移到时，的新位置为． 两式相减得：，即，解得． 火车完全经过点需要秒．由①知火车长个单位，原的位置为，原的位置为，点表示的数为． 火车完全经过时，需要从原位置移动到（因为火车完全经过需车尾离开，到的距离需加上火车长度），所以移动的距离为． 速度（单位长度/秒）． （3）设运动时间为秒． 火车向右运动，速度为，原位置为1，原位置为， 所以的位置为，的位置为， 则． 点从（）向左运动，速度， 所以的位置为． 点从（）向右运动，速度2， 所以的位置为． ． 则． 要使该值为定值，需的系数为0， 即，解得． 此时定值为． 故当时，常数k使得的值与它们的运动时间无关，此时值为4． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．为实现“安全舒适”目标，某电动车商城购进了一批安全头盔和挡风被进行销售，安全头盔的售价是45元/个，挡风被的售价是30元/个，并提供了两种优惠方案（规定顾客一次只能选择一种方案）： 方案一：买一个安全头盔送一个挡风被； 方案二：安全头盔和挡风被都按售价的付款． 小张计划一次性从该商城为自家电动车专卖店采购100个安全头盔和个挡风被． (1)分别用含的代数式表示小张按方案一和方案二购买所需的钱数；（结果化为最简） (2)当小张购买多少个挡风被时，按方案一和方案二所需的钱数相同？ 【答案】(1)方案一：；方案二： (2)350 【分析】本题主要考查列代数式及一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意列出方程． （1）根据题意可直接列出代数式进行求解即可； （2）由（1）可得方程，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： 方案一：购买所需的钱数为元； 方案二：购买所需的钱数为元； （2）解：由（1）可得： ， 解得， 答：当小张购买350个挡风被时，按方案一和方案二所需的钱数相同． 2．为民超市销售东北大米，每包，定价为50元．元旦期间进行促销活动，为满足大众采购需求，超市制定了两种销售方案以供选择： 方案一：六折优惠并且免费送货上门； 方案二：买一送一，但需另付50元运费． (1)假设某食堂需要购买8包东北大米，且需送货上门． 采用方案一购买，需要______元； 采用方案二购买，需要______元． (2)假设某食堂需要购买包东北大米（是偶数），且需送货上门． ①采用方案一购买包东北大米需要______元； 采用方案二购买包东北大米需要______元． ②某次进货时，食堂的采购员嘉淇发现两种采购方案相差20元．请你算一算嘉淇这次采购多少包东北大米？ 【答案】(1)240，250 (2)①；②嘉淇这次采购6包东北大米或14包东北大米 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用，正确的列出代数式和一元一次方程，是解题的关键： （1）根据两种方案，列出算式进行计算即可； （2）①根据两种方案，列出代数式进行计算即可；②根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：方案一需要：（元）； 方案二需要：（元）； （2）解：①（元）； （元）； 故答案为：； ②由题意，或， 解得或； 答：嘉淇这次采购6包东北大米或14包东北大米． 3．综合与实践： 周末小普同学和6名好友租了两辆专车从地一起去地看演出，途中一辆专车在离地还有18千米处发生故障，只得由另一辆专车将大家送达地，但此时距离地的演出开始还剩下50分钟，这时司机提出了如下两种方案： 方案一 先送4人，其余3人原地不动等待专车返回接送 相关数据： 专车行驶的平均速度：60千米/时． 乘客行走的平均速度：5千米/时． 每辆专车限乘5人（含司机）． 方案二 先送4人，其余3人先步行，途中与专车相遇后上车前行 (1)如果按方案一实施，那么他们能否赶上地的演出？并说明理由； (2)通过计算说明方案二能否保证他们在规定的时间到达地的演出现场； (3)小普同学认为方案一和方案二都不是最节省时间的方案，请你帮他设计一个方案并求出从故障地到达地演出现场的最短时间． 【答案】(1) 解：不能赶上， 专车行驶总路程为（千米） 所需时间为（小时）（分钟） ∵， ∴不能赶上； (2)能 (3) 专车先送4人到离故障点千米的点P，此时4人下车步行至B地，专车返回接3人，最后和前面4人同时到达B地； 最短时间为分钟． 【分析】本题考查一元一次方程的应用以及优化方案设计， （1）方案一中，专车需要行驶的总路程为54公里，所需时间54分钟，大于50分钟，因此不能赶上； （2）方案二中，通过建立方程求解步行距离，计算总时间约为48.46分钟，小于50分钟，因此能赶上； （3）通过优化设计，让专车先送4人到离B地一定距离的点，然后返回接3人，使得4人和3人同时到达B地，计算得最短时间为分钟； 【详解】（1）略 （2）解：设其余3人步行了x千米，由题意得： ， 解得：， 总时间分钟数为， 代入，得（分钟）， ， ∴能保证他们在规定的时间到达地的演出现场； （3）解：设专车先送4人到离故障点s千米的点P（），此时4人下车步行至B地，专车返回接3人， 专车送4人到P点时间为小时，4人步行至B地时间：小时， 4人到达B地时间：小时， 专车返回时，3人已步行距离：千米， 专车与3人相对距离：千米， 相对速度：千米/时， 相遇时间：小时， 相遇点离故障点距离：千米， 专车从相遇点至B地时间：小时， 3人到达B地时间：小时， 令， 解得：， 代入得最短时间：小时分钟， ∴最短时间为分钟． 4．某家具厂生产一种办公桌和办公椅，办公桌每张定价为200元，办公椅每把定价为80元，厂家在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： 方案一：每买一张办公桌就赠送一把办公椅； 方案二：办公桌和办公椅都按定价的付款． 某学校计划添置100张办公桌和x把办公椅（x超过100）． (1)当时，求两种方案各自的费用； (2)当x等于多少时，两种方案的费用一样多； (3)如果只能单独享受其中一种优惠方案，请设计一种省钱的方案（直接写出方案）． 【答案】(1)方案一的费用为24000元，方案二的费用为25600元 (2) (3)当时，选择方案一省钱；当时，选择方案一和方案二均可；当时，选择方案二省钱 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值、一元一次方程的应用等知识，正确理解题意是解题关键． （1）根据题意分别用代数式表示方案一和方案二的费用，然后将代入计算即可； （2）根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案； （3）结合（2），分析省钱的方案即可． 【详解】（1）解：根据题意，可知方案一的费用为：， 方案二的费用为：， 当时， 可知方案一的费用为（元）， 方案二的费用为（元）； （2）根据题意，可得， 解得， 即当时，两种方案的费用一样多； （3）如果只能单独享受其中一种优惠方案， 当时，选择方案一省钱； 当时，选择方案一和方案二均可； 当时，选择方案二省钱． 5．年关将至，某商店就两种具有中国传统文化色彩的中国结和红灯笼开展促销活动，活动方案有如下两种（规定顾客每次只能选择其中一种方案）： 商品名称 中国结 红灯笼 标价（单位：元） 50 20 方案一 每件商品销售时的折扣 六折 九折 方案二 所购商品超过100件（不同商品可累计），所有商品按标价的八折出售 (1)甲单位为装扮节日气氛准备一次性购买中国结30个，红灯笼80个，选用哪种方案划算？ (2)乙单位一次性购买中国结和红灯笼共120个，选择两种方案所付金额相同．请你计算乙单位的购买方案． 【答案】(1)方案一划算 (2)乙单位购买中国结20个，红灯笼100个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用总价单价数量，结合该商店给出的两个优惠方案，可求出选择方案一及方案二所需费用，比较后即可得出结论； （2）设乙单位购买个中国结，则购买个红灯笼，根据选择两种方案所付金额相同，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：选择方案一所需费用：（元）， 选择方案二所需费用：（元）， ， 方案一划算； （2）解：设乙单位购买中国结个，则购买红灯笼个， 由题意得： 解得：， （个）， 答：乙单位购买中国结20个，购买红灯笼100个． 6．我市居民生活用气实行阶梯气价，按年度用气量计算，价格如下： 计费档 年用气量x（立方米） 单价（元/立方米） 第一档 第二档 第三档 (1)当时，求出用气总费用（元）与年用气量（立方米）之间的关系式； (2)小明家去年全年用气的总费用为元，求他家去年的总用气量； (3)今年小明家新增加了一台燃气热水器，爸爸发现如果继续按当前习惯用气，他家年末用气量将达到立方米．为了节省气费他考虑了两种方案： 方案：通过行为节约，将全年总用气量控制在立方米整； 方案：安装一个节能设备，可节省的用气量，设备费用为元． 请通过计算，比较方案、方案所需的总支出（气费+设备费），并为小明爸爸选择一个经济的方案． 【答案】(1) (2)立方米 (3)方案更经济， 理由：方案：当时，代入中， 得：（元）， 方案：节省的用气量后，全年得用气量为， 当时，代入中， 得：（元）， 总费用为：（元）， ， 方案更经济． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据总价=单价数量，结合居民生活用气实行阶梯气价表，即可列出关系式； （2）先根据（1）的关系式，分别求出当时、时所需的用气总费用，再判断小明家的总费用属于第二档，将代入第二档关系式中即可求解； （3）先计算方案所需的总费用，然后计算方案全年用气费用加上设备的总费用，进行比较即可求解． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 即：； （2）解：当时，（元）， 当时，（元）， ， 将代入中， 得：， 解得：， 即小明家去年的总用气量为立方米； （3）略 7．某综合实践活动园区的门票价为：成人票60元，学生票40元，为鼓励大家参与，园区开展了优惠促销活动，促销方案如下两种（两个方案不能同时参加）： 方案一：成人票九折，学生票七折； 方案二：参与人数少于100人没有优惠，达到或超过100人，全部八折． 现成人有x人，学生的人数是成人人数的3倍多8人，他们准备进入园区参与活动，请回答以下问题： (1)当x＝23时，求出用方案二购买门票的费用； (2)用含x的代数式分别表示出方案一和方案二的购买门票费用； (3)若分别用两种方案购买门票的费用刚好相差516元，请问参与的学生人数是多少？ 【答案】(1)3568元 (2)方案一购买门票的费用（138x+224）元，方案二购买门票的费用（180x+320）元或（144x+256）元 (3)38人 【分析】 【详解】（1）解：当x=23时，成人人数为23人，学生有23×3+8=77（人）， 总人数为23+77=100（人）， ∴方案二购买门票的费用为： （60×23+40×77）×80%=3568（元）， 答：方案二购买门票的费用3568元； （2）方案一购买门票的费用为60×90%x+40×70%（3x+8）=（138x+224）元， 方案二购买门票的费用分两种情况： ①当总人数少于100人或成人数少于23人时， 购买门票的费用为60x+40（3x+8）=（180x+320）元； ②当总人数大于100人或成人数多于23人时， 购买门票的费用为[60x+40（23x+8）]×80%=（144x+256）元， 答：方案一购买门票的费用（138x+224）元，方案二购买门票的费用（180x+320）元或（144x+256）元； （3）①当总人数少于100人或成人数少于23人时， （180x-320）-（138x+224）=516， 解得：x=10， ∴学生人数为3×10+8=38（人）， ②当总人数大于100人或成人数多于23人时， 144x+256-（138x+224）=516， 解得：x=， ∵x是整数， ∴这种情况不存在， 答：参与的学生人数是38人． 【点睛】本题考查了列代数式和一元一次方程的应用，解决本题的关键是理解题意准确列式． 8．某省公布的居民用电阶梯定价听证方案如下：     第一档电量 第二档电量 第三档电量 月用电量度以下，每度价格元 月用电量度至度，每度比第一档次提价元 月用电量度以上，每度比第一档提价元 例：若某户月用电量度，则需交电费的计算过程如下 元． (1)如果按此方案计算，小华家5月份的电费为元，请你求出小华家5月份的用电量； (2)依此方案，请你用学过的数学方法说明：若小华家某月的电费为元，则小华家该月用电量属于第几档？ 【答案】(1)小华家5月份的用电量是度 (2)当时，小华家该月用电量属于第一档；当时，小华家该月用电量属于第二档；当时，小华家该月用电量属于第三档． 【分析】本题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示用电量在某一档时的电费是解题的关键． （1）先计算出用电度和用电度的电费分别为元和元，可知小华家月份的用电量大于度而小于度，设小华家月份的用电量是度，可列方程，解方程求出的值即可； （2）由（1）可知，，则该月用电量为第一档；，则该月用电量为第二档；，则该月用电量属于第三档，由此即可确定小华家该月用电量属于第几档． 【详解】（1）解：元，元， 用电度和用电度的电费分别为元和元， ， 小华家月份的用电量大于度而小于度， 设小华家月份的用电量是度， 根据题意得， 解得， 答：小华家月份的用电量是度． （2）由（1）可知，当时，小华家该月用电量属于第一档； 当时，小华家该月用电量属于第二档； 当时，小华家该月用电量属于第三档． 9．某杭帮菜品牌店为了吸引顾客，特推出两种优惠方式（不能同时使用）： 方案 优惠内容 方案A：购代金券 购买“90代100”（实付90元获得100元代金券），消费每满100元可使用1张代金券，单桌最多使用3张． 方案B：会员打折 花9.9元购买会员卡，付款时可享受所有菜品、酒水8.5折优惠． 小明第一次到该店消费，请根据以上方案，解决下列问题： (1)若小明在该店消费160元，用方案A购买了一张代金券，求实际付款多少元？ (2)若小明用方案B实际付款210.5元（含会员卡费用），优惠前消费金额为多少元？ (3)若消费金额超过200元，小明发现用方案A比方案B实付金额贵了13元，优惠前消费金额为多少元？（结果精确到个位） 【答案】(1)150元 (2)236元 (3)286元或353元 【分析】（1）1张100元代金券，购买代金券花费90元 ，求出剩余需支付的现金，再加上购买代金券的费用，则可得实际付款总额． （2）设优惠前消费金额为x元 ，根据方案B的优惠方式列方程求出x的值即可． （3）设优惠前消费金额为x元 分两种情况讨论：①当时，可得方程；②当时，可得方程：．求出x的值即可． 本题考查一元一次方程的应用，理解题目中的两个方案的优惠方式是解题关键． 【详解】（1）解：消费160元可使用1张100元代金券，购买代金券花费90元 ， 剩余需支付的现金为：（元）， ∴实际付款总额为：（元）， 答：实际付款150元． （2）解： 设优惠前消费金额为x元 ，方案B中，根据题意得 ， ， 解得． 答：优惠前消费金额为236元． （3）解： 设优惠前消费金额为x元，分两种情况讨论： ①当时 方案A实际付款为： ， 方案B实际付款为： ， 根据题意列方程： ， 解得， 286在范围内，符合条件； ②当时 ， 方案A实际付款为： ， 方案B实际付款为：， 根据题意列方程：， 解得， ，符合条件． 答：优惠前消费金额为286元或353元． 10．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是 ，点P表示的数是 （用含的代数式表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发， 求：①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？此时点P位于数轴上哪个位置？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？此时点P位于数轴上哪个位置？ 【答案】(1)，； (2)①当点运动秒时，点与点相遇，此时点P位于数轴上处；②当点运动秒时，点与点间的距离为8个单位长度，此时点P位于数轴上0处；当点运动秒时，点与点间的距离为8个单位长度，此时点P位于数轴上处 【详解】（1）解：数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点， ， 则， 数轴上点表示的数为； 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动 点运动秒的长度为， 点所表示的数为：， 故答案为：，； （2）解：∵动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，设运动时间为秒． ∴点所表示的数为：，点所表示的数为：， ①设点运动秒时追上点， 根据题意得， 解得， 即当点运动秒时，点与点相遇； ∴此时点所表示的数为：； ②设当点运动秒时，点与点间的距离为8个单位长度， ∵点所表示的数为：，点Q所表示的数为：， 则， ∴， ∴或， 解得或； 当时，点所表示的数为：；或当时，点所表示的数为：； 11．延庆区某中学七年级（1）（2）两个班共104人，要去延庆地质博物馆进行社会大课堂活动，老师指派小明到网上查阅票价信息，小明查得票价如图： 购票张数1~50张 每张票的价格为13元 购票张数51∼100张 每张票的价格为11元 购票张数100张以上 每张票的价格为9元 其中（1）班不足50人，经估算，如果两个班都以班为单位购票，一共应付1240元． (1)两个班各有多少学生？ (2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省多少钱？ (3)如果七年级（1）班单独组织去博物馆参观，你认为如何购票最省钱？ 【答案】(1)七年级（1）班48人，七年级（2）班56人 (2)304元 (3)购买51张票划算些 【分析】（1）设七年级（1）班人，则七年级（2）班人，  根据两个班共付费1240元建立方程求出其解就可以； （2）先求出购团体票的费用，再用1240 元团体票的费用就是节约的钱； （3）先可以计算按照实际人数购票的费用，再计算购买51个人的票的费用， 比较两个费用的大小就可以得出结论． 【详解】（1）解：设七年级（1）班人，则七年级（2）班人， 由题意可得： ， 解得， 则 ． 答：七年级（1）班48人，七年级（2）班56人． （2）解：（元）． （3）解：七年级（1）班按照实际人数购票的费用为： 元， 购51张票的费用为：元． ， ∴购买51张票划算些． 12．保康市场销售某种商品，分为A、B两种款式，已知A款商品每个的进价是50元，售价是80元，B款商品每个的售价是60元，可盈利．提示：利润率×进价=售价−进价． (1)A款商品每个的利润率是 ，B款商品每个的进价是 元． (2)该市场购进A、B两款商品共计200个，总进货款8400元，请你计算一下A、B两款商品各进货多少个？ (3)春节临近，该市场推出如下的优惠促销活动（打折前一次性购物总金额）： ①不超过900元，不优惠 ②超过900元，但不超过1200元，按总售价打九折 ③超过1200元，其中1200元部分八折优惠，超过1200元的部分打六折优惠， 小张按照优惠活动方案在该市场购买A款商品若干个，实际付款金额为1008元，请你通过计算分析，小张在该市场购买了多少个A款商品？ 【答案】(1)，40 (2)购进40个A款商品，160个B款商品 (3)小张在该市场购买了14或16个A款商品 【分析】本题考查了利润率的计算，一元一次方程的应用及根据不同优惠方案进行分类讨论计算． （1）利用利润率公式和售价与进价的关系计算； （2）设未知数，根据进货款列方程求解； （3）依据不同打折规则分类计算并列出方程求购买数量． 【详解】（1）解：A款商品每个的利润率：， B款商品每个的进价：（元）， 故答案为：，40． （2）解：设购进x个A款商品，则购进个B款商品， 根据题意，得， 解得， ∴， 即购进40个A款商品，160个B款商品． （3）解：设A款商品原付款金额为y元， ∵， ∴进行如下分类： ①当时，， 解得，则（个）； ②当时，， 解得，则（个）， 即小张在该市场购买了14或16个A款商品． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一元一次方程压轴应用题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、加工方案问题 题型二、阶梯费用 题型三、销售方案 题型四、税率相关问题 题型五、含参数的实际问题 题型六、门票方案问题 题型七、数轴上的行程问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 读题时别从头看到尾，拿草稿纸画一张3列表格。表头分别是：对象、数量（或速度）、费用（或路程）。把题目给的零散数据填进去，等量关系就藏在表格“合计”或“差值”那一行里。表格列完，方程自然就出来了。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、加工方案问题 典例1 某开发公司要生产若干件新产品，需要精加工后，才能投放市场，现有红星和巨星两个加工厂都想加工这批产品，已知红星厂单独加工这批产品比巨星厂单独加工这批产品多用20天，红星厂每天可加工16件产品，巨星厂每天可加工24件产品，公司需付红星厂每天加工费80元，巨星厂每天加工费120元． (1)这个公司要加工多少件新产品？ (2)在加工过程中，公司需另派一名工程师每天到厂家进行技术指导，并负担每天5元的午餐补助费，公司制定产品加工方案如下：可由一个厂单独加工完成，也可由两厂合作同时完成，请你帮助公司从所有可供选择的方案中选择一种既省钱，又省时间的加工方案． 题型模版 1.特征：题干中给出多中加工方式“精加工”，“粗加工”等。 2.方法：按不同加工方法分别算出加工费用，比较得出最省钱方案。 变式1-1某开发公司要生产若干件新产品，需要精加工后，才能投放市场，现有红星和巨星两个加工厂都想加工这批产品，已知红星厂单独加工这批产品比巨星厂单独加工这批产品多用20天，红星厂每天可加工16件产品，巨星厂每天可加工24件产品，公司需付红星厂每天加工费80元，巨星厂每天加工费120元． (1)这个公司要加工多少件新产品？ (2)在加工过程中，公司需为该项目派一名工程师进行全程技术指导，并负担每天5元的午餐补助费，公司制定产品加工方案如下：可由一个厂单独加工完成，也可由两厂合作同时完成，请你帮助公司从所有可供选择的方案中选择一种最省钱的加工方案． 变式1-2．某中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件，且单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用20天．在加工过程中，学校需付甲厂每天费用80元、乙厂每天费用120元． (1)求这批校服共有多少件？ (2)为了尽快完成这批校服，若先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了， 而乙工厂每天的生产速度也提高25%，乙工厂单独完成剩余部分，且乙工厂的全部工作时间是 甲工厂工作时间的2倍还多4天，求乙工厂共加工多少天？ (3)经学校研究制定如下方案：方案一：由甲厂单独完成；方案二：由乙厂单独完成；方案三： 按(2)问方式完成；并且每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名工程师进行技术指导，并 由学校提供每天10元的午餐补助费，请你通过计算帮学校选择一种即省时又省钱的加工方案． 变式1-3．下雪了，德强学校七年级准备为同学们定制一批冬帽，现有甲、乙两个工厂都想加工这批冬帽，已知甲工厂每天能加工这种冬帽20件，乙工厂每天能加工这种冬帽30件，且单独加工这批冬帽甲厂比乙厂要多用16天，在加工过程中，学校需支付甲厂每天费用70元、支付乙厂每天费用100元． (1)求这批冬帽共有多少件？ (2)为了尽快完成这批冬帽，若先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，由乙工厂单独完成剩余部分，为此乙工厂每天的生产速度也提高．已知乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍还少2天，求乙工厂共加工多少天？ (3)经学校研究制定如下方案： 方案一：由甲厂单独完成； 方案二：由乙厂单独完成； 方案三：按（2）问方式完成，并且每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名设计师进行技术指导，并由学校提供每天20元的午餐补助费，请你通过计算帮学校选择一种即省时又省钱的加工方案． 题型二、阶梯费用 典例1 下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 0.50 超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.50 超过30吨的部分 3.00 0.50 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用＋污水处理费） 已知小王家2024年7月用水16吨，交水费32元；8月份用水28吨，交水费67元． (1)求a，b的值． (2)如果小王家9月份上交水费115元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费132.59元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 题型模版 1.特征：“不超过部分按...，超过部分按...”、“如何选择更省钱？”。 2.方法：先求临界点。设总量为 x，分别写出甲、乙方案的代数式，令两者相等求出“临界值”。 变式1-1为了鼓励居民节约用电，我省实行阶梯电价政策采取分段计费的方法按月计算每户家庭的电费，每两个月用电量与电费的单价如下表： 档次 电量范围 电费单价 第一档电费 340度及以下 元 第二档电费 341度至520度 元 第三档电费 520度以上 元 比如，若某户两个月用电200度，应缴电费元；若某户两个月用电400度，应缴电费元；若某户两个月用电600度，应缴电费元． (1)小明家1、2月份共用电550度，则小明家这两个月应缴电费多少元？ (2)某用户两个月用电量为度，用式子表示： 当两个月用电量不超过340度时，应收电费 元；当两个月用电量超过340度但不足520度时，应收电费 元；当两个月用电量超过520度时，应缴电费 元． (3)小丽家1、2月份应缴电费元，问小丽家这两个月共用电多少度？ 变式1-2．某市某公司燃气收费标准如表： 表某市某燃气公司收费标准 收费方式 年用气量（立方米） 费用（元/立方米） 第一档 不超过250的部分 3.4 第二档 超过250且不超过360的部分 4.0 第三档 超过360的部分 5.1 针对多人口家庭的用气需求，该市推出“一户多人口”燃气收费普惠政策： 人口超过4人的家庭，每增加1人，每户每档年用气量增加60立方米． 例如，某居民家有6口人，申请政策后，各档年用气量（立方米）范围调整为： 第一档，不超过370的部分； 第二档，超过370且不超过480的部分； 第三档，超过480的部分． (1)居民甲家有4口人， ①若年用气量为230立方米，则应缴燃气费______元． ②已知居民甲家一年的燃气费为1050元，求居民甲家的年用气量． (2)居民乙家有5口人，年用气量为a立方米，其中a超过360且不超过400．若居民乙家申请普惠政策，相比未申请政策前，一年可节省多少燃气费？（用含a的代数式表示） 变式1-3．网约快车是城市便捷的出行交通工具之一，某市网约快车的计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元／千米 0.3元／分钟 0.8元／千米 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分组成．其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时长计算，远途费的收费方式为：行车里程7千米以内（含7千米），不收远途费，超过7千米时，超过的部分每千米加收远途费0.8元． (1)一人乘网约快车20分钟到达目的地，行驶里程为千米，请用含x的代数式表示他应付的费用为___________元； (2)甲、乙两人各自乘网约快车，甲比乙的行车里程多1.5千米，若两人的计费项目完全相同，所付的车费也相同，求乙比甲多乘车几分钟？ 题型三、销售方案 典例1 某水果种植园，今年产量丰收，已知水果每千克成本2元，现给宝儿哥所在的学习实践小组布置了两个任务，进行调查研究学习，具体如下： (1)任务一：水果园计划在7天内，销售2000千克该种水果，现有两种销售方案可供选择：方案一：在每千克成本的基础之上提高标价，然后按照9折进行销售，7天内可以全部售出．方案二：在每千克成本的基础之上提高标价销售，按照市场行情前6天可以售出1200千克该种水果，最后一天打5折剩余水果可全部售出．请问哪种方案获利最多？最多利润是多少？ (2)任务二：现将10000千克水果运往外地销售，现有A，B货车共30辆，货车每辆可装200千克，货车每辆可装600千克，运出的水果可以全部卖掉，运输方案如表： 目的地 需要货车数量/辆 每辆型货车运费/元 每辆型货车运费/元 水果当地售价/元每千克 甲地 18 200 500 5 乙地 12 100 300 4 预计利润可达18900元（最终利润水果利润运费），请问A，B两种型号货车分别运往甲乙两地各多少辆？ 题型模版 1.特征：题干中出现“获利最多”，“选择方案”等。 2.方法：分别算出各种方案所获利润，销售额等，比较得出最佳方案。 变式1-1某电器商场计划用万元从生产厂家购进台电视机已知该厂家生产种不同型号的电视机，出厂价分别为种每台元，种每台元，种每台元． (1)若该商场只选购、两种电视机，各购买多少台？ (2)若商场销售一台种电视机可获利元，销售一台种电视机可获利元，销售一台种电视机可获利元，除了（1）的方案，该商场还有一种方案，购进种电视机台，种电视机台在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，应选择哪种方案？ 变式1-2．商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台． (1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ (2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ 变式1-3．某水果加工厂收购了29吨黄桃，经市场预测，销售方式及利润如下表： 销售方式 直接销售 包装销售 制成罐头销售 每吨利润（万元） 0.05 0.4 0.6 加工能力限制：每天可包装5吨或制成罐头3吨（包装和加工前后质量不变），同一天内两种加工方式不可同时进行． 时间限制：所有黄桃需在7天内销售或加工完毕． 方案一：尽可能多制成罐头，剩余直接销售； 方案二：部分制成罐头，其余进行包装，并恰好7天完成． (1)通过计算比较两种方案，说明哪种方案可使工厂所获利润较多； (2)若采用利润较多的方案，将罐头运输到市场售卖．运输公司费用如下： 运输公司 运输单价 每吨装卸费 甲 每吨每千米5元 50元 乙 每吨每千米6元 30元 已知乙公司总费用比甲公司多243元，求水果加工厂到市场的距离． 题型四、税率相关问题 典例1 阅读材料，回答问题． (1)材料1：2018年9月7日，财政部、国家税务总局发布通知，明确纳税人在2018年10月1日后实际取得的工资薪金所得，个税起征点由每月3500元提高至每月5000元，税率级数如下（部分）： 级数 原来（每月）工资薪金 现行（每月）工资薪金 税率 0 3500元 5000元 免税 1 不超过1500元的部分 不超过3000元的部分 2 超过1500元到4500元的部分 超过3000元到12000元的部分 3 超过4500元到9000元的部分 超过12000元到25000元的部分 4 超过9000元到35000元的部分 超过25000元到35000元的部分 根据材料1，完成下列表格填空： 公民 工资薪金（元） 原应纳个税（元） 现应纳个税（元） 小林 7000 60 小陈 15000 1870 (2)材料2：2019年1月1日起正式实施新个税法，在5000元免税的基础上，还可享受多个专项附加扣除免税，部分扣除如下： 子女教育（每个子女） 赡养两位老人 住房贷款 继续教育 租房租金 大病医疗 每月扣除1000元 每月扣除2000元 每月扣除1000元 每月扣除400元或300元 每月扣除1200、1000或800元 每年扣除60000元限额（据实） 根据材料2，小张和妻子都是独生子女，需赡养双方父母，共四位老人，养育两个孩子（都在接受教育），现在已知夫妻双方每月工资薪金共21000元，两人均申报了赡养两位老人的专项附加扣除免税，“养育两个孩子的教育费用”扣除额计算在小张一方，妻子和小张的家庭个税共220元，妻子的税率（算上专项附加扣除免税）达到第1级，请问妻子与小张每月工资薪金各是多少元？ (3)在第（2）问的条件下，若“养育两个孩子的教育费用”扣除额计算在妻子一方，此时家庭个税比之前________（填“多”或“少”）________元． 题型模版 1.特征：题干中出现“应纳税所得额”，税率等。 2.方法：按阶梯计费方式列方程解答。 变式1-1．国家规定个人发表文章、出版图书获得稿费的计算方法是： ①稿费不高于800元的不纳税； ②稿费高于800元又不高于4000元的应缴纳超过800元的那部分的的税； ③稿费高于4000元的应缴纳全部稿费的的税； 今得知丁老师获得一笔稿费，并且依法缴纳个人所得税420元，丁老师这笔稿费是多少元？又得知胡老师获得一笔稿费，并且依法缴纳个人所得税550元，胡老师这笔稿费是多少元？ 变式1-2．依法纳税是每个公民应尽的义务．从年9月1日起，新修改后的《中华人民共和国个人所得税法》正式实施，个税起征点将从原来的元提高到元，税率由九级改为七级，为至．公民每月收入不超过元，不需交税；超过元的部分为全月应纳税所得额，都应纳税，且根据超过部分的多少按不同的税率纳税，详细的税率如下表： 现调整后的7级超额累进税率： 级别 全月应纳税所得额 税率(%) 不超过元的 超过元至元的部分 超过元至元的部分 超过元至元的部分 … … … 例：小强的父亲年月的收入为元，问他应交税款多少元？ 解：全月应纳税所得额为：，而， 对应的税率为，应交税款为（元）． (1)若小敏的父亲年月的收入为元，问他应交税款多少元？ (2)若某公司一名职员年月应交税款元，问该月他的收入是多少元？ 变式1-3．十一届全国人大常委会第二十次会议审议的个人所得税法修正案草案（简称“个税法草案”），拟将现行个人所得税的起征点由每月2000元提高到3000元，并将9级超额累进税率修改为7级，两种征税方法的级税率情况见下表： 税级 现行征税方法 草案征税方法 月应纳税额x 税率 速算扣除数 月应纳税额x 税率 速算扣除数 1 0 0 2 25 75 3 125 4 375 975 5 1375 2725 注：“月应纳税额”为个人每月收入中超出起征点应该纳税部分的金额． “速算扣除数”是为了快捷简便计算个人所得税而设定的一个数． 例如：按现行个人所得税法的规定，某人今年3月的应纳税额为2600元，他应缴税款可以用下面两种方法之一来计算： 方法一：按级超额累进税率计算，即（元）． 方法二：用“月应纳税额适用税率速算扣除数”计算，即（元）． (1)求出表中空缺的“速算扣除数”的值． (2)小童今年12月缴了个人所得税475元，小白今年12月的收入是小童的两倍，若按“个税法草案”计算，则小白应缴税款多少元？ (3)小颖今年12月缴了个人所得税3千多元，若按“个税法草案”计算，她应缴纳的税款恰好不变，那么小颖今年12月所缴税款的具体数额为多少元？ 题型五、含参数的实际问题 典例1 列方程（组）解下列问题： 荣昌陶是“中国四大名陶”之一．安陶小镇某陶艺工作室今年四月份分别销售紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯个、个，仅这两种陶瓷茶杯的销售额就达到万元．已知紫精轩的销售单价比瓷青的销售单价多元． (1)求紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯的销售单价各是多少元？ (2)五月份，该工作室对紫精轩、瓷青这两种茶杯进行降价促销，其中紫精轩每个降价元，瓷青每个降价元，该工作室五月份销售这两种茶杯数量比四月份明显增加，其中紫精轩销售数量增加，瓷青多销售个．这样，五月份该工作室这两种茶杯的销售总额就比四月份这两种茶杯的销售总额增长．求的值． 题型模版 1.特征：题干给出特点的未知数（参数）. 2.方法：这类题目往往算式比较复杂，先逐步化简方程是解题的关键。 变式1-1为响应国家号召，帮助农副产品走出大山，“村头”电商平台将咸蛋和豆腐乳进行网上销售．咸蛋售价为4元/袋，豆腐乳售价为5元/袋，5月份咸蛋的销量比豆腐乳的销量多1200袋，五月份咸蛋的总销售额为豆腐乳总销售额的两倍． (1)5月份咸蛋和豆腐乳的销售量分别为多少袋？ (2)6月份咸蛋售价比5月份降低了，销量比5月份增加了．豆腐乳的销量比5月份增加了，售价保持不变，结果咸蛋和豆腐乳6月份的总销售额比5月份增加，求a的值． 变式1-2．“丰收1号”油菜籽的平均每公顷产量为，含油率为．“丰收2号”油菜籽比“丰收1号”的平均每公顷产量提高了，含油率提高了10个百分点．某村去年种植“丰收1号”油菜，今年改种“丰收2号”油菜，虽然种植面积比去年减少2公顷，但是所产油菜籽的总产油量比去年提高了． (1)这个村去年和今年种植油菜的面积各是多少公顷？ (2)去年和今年该村将所产的油全部制作成压榨菜籽油，然后以每千克15元的价格被批发商收购，批发商去年将菜籽油按收购价提高定价，且全部售出．由于销售火爆，批发商今年每千克再提高2元定价，也全部售出，且今年比去年多盈利63900元，求a的值． 变式1-3．列一元一次方程解应用题 寒潮来袭，某家居店的羊毛被和羽绒被两种御寒商品深受顾客的喜爱，每件羊毛被的进价为500元，利润率为，每件羽绒被的售价为1000元，利润率为25%． (1)若该家居店第一次用47000元购进了羊毛被和羽绒被两种商品，其中羽绒被件数比羊毛被件数的2倍少20件，求购进羊毛被、羽绒被各多少件； (2)该家居店第二次又购进羊毛被和羽绒被两种商品进行销售，与第一次相比，购进羊毛被的件数不变，进价提高了，售价不变并且全部售出；购进羽绒被的件数增加了，进价不变，但每件的售价调整为1200元，销售一段时间后，为了回馈消费者进行打折促销，于是将剩下的12件羽绒被打八折并全部售出，若第二次购进的两种商品共获得利润23820元，求m的值． 题型六、门票方案问题 典例1 某旅游团名成人和5名学生去景区游玩，已知该景区门票的售价为50元/人，“元旦”期间该景区对游客优惠方案如下（只能选择其中一种方案）： 甲方案：学生免门票，成人门票按七五折收费； 乙方案：学生和成人门票均按七折收费． (1)分别用含的代数式表示该旅游团采用甲、乙两种方案购买门票的费用； (2)当为何值时，该旅游团采用甲、乙两种方案购买门票的费用相同？ 题型模版 1.特征：题目为哪种方案花费门票最少。 2.方法：按打折方式列出代数式；分两种情况列代数式；根据两种购买方式做差，列出方程求解即可． 变式1-1寒假即将来临，甲、乙两校准备组织航模活动小组的同学到某航模基地进行参观实践活动．甲、乙两校共有102人参加此次活动，其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够100人．经了解，该基地的门票价格如下表： 数量(张) 101张及以上 单价(元／张) 50元 40元 30元 如果两校分别单独购买门票，一共应付4500元． (1)如果甲、乙两校联合起来购买门票，求购买门票花费的钱数比两校单独购买便宜多少元？ (2)求甲、乙两校参加此次活动分别有多少人？ (3)如果甲校有10名同学因寒假档期问题不能参加此次活动，那么你有几种购买方案，通过比较，如何购买门票才能使甲、乙两校总费用最少？ 变式1-2．暑假期间，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩，甲、乙两单位共人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够人．经了解，该风景区的门票价格如下表： 数量(张) 张及以上 单价(元/张) 元 元 元 如果两单位分别单独购买门票，一共应付元． (1)甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？ (2)如果甲单位有名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购买门票才能最省钱？ 变式1-3．暑假期间，七（1）班的小高、丽丽等同学随家长一同到北京十渡风景区游玩，下面是购买门票时，小高与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题： (1)小高他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小高算一算，用哪种方式购票更省钱？请说明理由． 题型七、数轴上的行程问题 典例1 如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示-8，点表示6，点表示12，我们称点和点在“折线数轴”上相距20个单位长度．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，当点到达终点时停止运动；点出发的同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后也立刻恢复原速．当点停止运动时，点也随之停止．设点的运动的时间为秒． (1)动点从点运动至点需要 秒： (2)当时，点在“折线数轴”上所对应的数是 ，P、Q两点在“折线数轴”上相距 个单位长度： (3)当P、Q两点在“折线数轴”上相遇时，求的值； (4)当O、P两点在“折线数轴”上相距的长度小于B、Q两点在“折线数轴”上相距的长度时，直接写出的取值范围． 题型模版 1.特征：相遇后继续走、到达终点立即返回、两人相距特定距离。 2.方法：列代数式，数轴上两点之间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 变式1-1如图，已知数轴上原点为O，点B表示的数为，A在B的右边，点A表示的数为11，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；同时动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)当时，______，当时，______； (2)点P和点Q相遇时，______； (3)点P与点Q在点C处相遇后，点P再运动多长时间到达的中点； (4)当点P到点O的距离等于点P到点Q距离的时，直接写出此时的t值为______ 变式1-2．如图，数轴上两点对应的有理数分别为和，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点同时从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为（秒）． (1)数轴上的点表示的数是______，点表示的数是______（用含的代数式表示）； (2)当时，求的长度； (3)在运动过程中是否存在某一时刻使得，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由； (4)若点一直沿数轴负方向运动，当点运动到点时，立即改变运动方向，沿数轴的负方向运动且速度保持不变，当点与点重合时，请直接写出的值． 变式1-3．已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：． (1)求m、n的值； (2)①情境：有一个玩具火车如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为 单位长度； ②应用：当情境①中的火车匀速向右运动时，若火车完全经过点M需要4秒，则火车的速度为 个单位长度/秒； (3)在（2）的条件下，当火车匀速向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为．是否存在常数k使得的值为定值？若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．为实现“安全舒适”目标，某电动车商城购进了一批安全头盔和挡风被进行销售，安全头盔的售价是45元/个，挡风被的售价是30元/个，并提供了两种优惠方案（规定顾客一次只能选择一种方案）： 方案一：买一个安全头盔送一个挡风被； 方案二：安全头盔和挡风被都按售价的付款． 小张计划一次性从该商城为自家电动车专卖店采购100个安全头盔和个挡风被． (1)分别用含的代数式表示小张按方案一和方案二购买所需的钱数；（结果化为最简） (2)当小张购买多少个挡风被时，按方案一和方案二所需的钱数相同？ 2．为民超市销售东北大米，每包，定价为50元．元旦期间进行促销活动，为满足大众采购需求，超市制定了两种销售方案以供选择： 方案一：六折优惠并且免费送货上门； 方案二：买一送一，但需另付50元运费． (1)假设某食堂需要购买8包东北大米，且需送货上门． 采用方案一购买，需要______元； 采用方案二购买，需要______元． (2)假设某食堂需要购买包东北大米（是偶数），且需送货上门． ①采用方案一购买包东北大米需要______元； 采用方案二购买包东北大米需要______元． ②某次进货时，食堂的采购员嘉淇发现两种采购方案相差20元．请你算一算嘉淇这次采购多少包东北大米？ 3．综合与实践： 周末小普同学和6名好友租了两辆专车从地一起去地看演出，途中一辆专车在离地还有18千米处发生故障，只得由另一辆专车将大家送达地，但此时距离地的演出开始还剩下50分钟，这时司机提出了如下两种方案： 方案一 先送4人，其余3人原地不动等待专车返回接送 相关数据： 专车行驶的平均速度：60千米/时． 乘客行走的平均速度：5千米/时． 每辆专车限乘5人（含司机）． 方案二 先送4人，其余3人先步行，途中与专车相遇后上车前行 (1)如果按方案一实施，那么他们能否赶上地的演出？并说明理由； (2)通过计算说明方案二能否保证他们在规定的时间到达地的演出现场； (3)小普同学认为方案一和方案二都不是最节省时间的方案，请你帮他设计一个方案并求出从故障地到达地演出现场的最短时间． 4．某家具厂生产一种办公桌和办公椅，办公桌每张定价为200元，办公椅每把定价为80元，厂家在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： 方案一：每买一张办公桌就赠送一把办公椅； 方案二：办公桌和办公椅都按定价的付款． 某学校计划添置100张办公桌和x把办公椅（x超过100）． (1)当时，求两种方案各自的费用； (2)当x等于多少时，两种方案的费用一样多； (3)如果只能单独享受其中一种优惠方案，请设计一种省钱的方案（直接写出方案）． 5．年关将至，某商店就两种具有中国传统文化色彩的中国结和红灯笼开展促销活动，活动方案有如下两种（规定顾客每次只能选择其中一种方案）： 商品名称 中国结 红灯笼 标价（单位：元） 50 20 方案一 每件商品销售时的折扣 六折 九折 方案二 所购商品超过100件（不同商品可累计），所有商品按标价的八折出售 (1)甲单位为装扮节日气氛准备一次性购买中国结30个，红灯笼80个，选用哪种方案划算？ (2)乙单位一次性购买中国结和红灯笼共120个，选择两种方案所付金额相同．请你计算乙单位的购买方案． 6．我市居民生活用气实行阶梯气价，按年度用气量计算，价格如下： 计费档 年用气量x（立方米） 单价（元/立方米） 第一档 第二档 第三档 (1)当时，求出用气总费用（元）与年用气量（立方米）之间的关系式； (2)小明家去年全年用气的总费用为元，求他家去年的总用气量； (3)今年小明家新增加了一台燃气热水器，爸爸发现如果继续按当前习惯用气，他家年末用气量将达到立方米．为了节省气费他考虑了两种方案： 方案：通过行为节约，将全年总用气量控制在立方米整； 方案：安装一个节能设备，可节省的用气量，设备费用为元． 请通过计算，比较方案、方案所需的总支出（气费+设备费），并为小明爸爸选择一个经济的方案． 7．某综合实践活动园区的门票价为：成人票60元，学生票40元，为鼓励大家参与，园区开展了优惠促销活动，促销方案如下两种（两个方案不能同时参加）： 方案一：成人票九折，学生票七折； 方案二：参与人数少于100人没有优惠，达到或超过100人，全部八折． 现成人有x人，学生的人数是成人人数的3倍多8人，他们准备进入园区参与活动，请回答以下问题： (1)当x＝23时，求出用方案二购买门票的费用； (2)用含x的代数式分别表示出方案一和方案二的购买门票费用； (3)若分别用两种方案购买门票的费用刚好相差516元，请问参与的学生人数是多少？ 8．某省公布的居民用电阶梯定价听证方案如下：     第一档电量 第二档电量 第三档电量 月用电量度以下，每度价格元 月用电量度至度，每度比第一档次提价元 月用电量度以上，每度比第一档提价元 例：若某户月用电量度，则需交电费的计算过程如下 元． (1)如果按此方案计算，小华家5月份的电费为元，请你求出小华家5月份的用电量； (2)依此方案，请你用学过的数学方法说明：若小华家某月的电费为元，则小华家该月用电量属于第几档？ 9．某杭帮菜品牌店为了吸引顾客，特推出两种优惠方式（不能同时使用）： 方案 优惠内容 方案A：购代金券 购买“90代100”（实付90元获得100元代金券），消费每满100元可使用1张代金券，单桌最多使用3张． 方案B：会员打折 花9.9元购买会员卡，付款时可享受所有菜品、酒水8.5折优惠． 小明第一次到该店消费，请根据以上方案，解决下列问题： (1)若小明在该店消费160元，用方案A购买了一张代金券，求实际付款多少元？ (2)若小明用方案B实际付款210.5元（含会员卡费用），优惠前消费金额为多少元？ (3)若消费金额超过200元，小明发现用方案A比方案B实付金额贵了13元，优惠前消费金额为多少元？（结果精确到个位） 10．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是 ，点P表示的数是 （用含的代数式表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发， 求：①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？此时点P位于数轴上哪个位置？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？此时点P位于数轴上哪个位置？ 11．延庆区某中学七年级（1）（2）两个班共104人，要去延庆地质博物馆进行社会大课堂活动，老师指派小明到网上查阅票价信息，小明查得票价如图： 购票张数1~50张 每张票的价格为13元 购票张数51∼100张 每张票的价格为11元 购票张数100张以上 每张票的价格为9元 其中（1）班不足50人，经估算，如果两个班都以班为单位购票，一共应付1240元． (1)两个班各有多少学生？ (2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省多少钱？ (3)如果七年级（1）班单独组织去博物馆参观，你认为如何购票最省钱？ 12．保康市场销售某种商品，分为A、B两种款式，已知A款商品每个的进价是50元，售价是80元，B款商品每个的售价是60元，可盈利．提示：利润率×进价=售价−进价． (1)A款商品每个的利润率是 ，B款商品每个的进价是 元． (2)该市场购进A、B两款商品共计200个，总进货款8400元，请你计算一下A、B两款商品各进货多少个？ (3)春节临近，该市场推出如下的优惠促销活动（打折前一次性购物总金额）： ①不超过900元，不优惠 ②超过900元，但不超过1200元，按总售价打九折 ③超过1200元，其中1200元部分八折优惠，超过1200元的部分打六折优惠， 小张按照优惠活动方案在该市场购买A款商品若干个，实际付款金额为1008元，请你通过计算分析，小张在该市场购买了多少个A款商品？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $