29.3 弧长和扇形面积 同步练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本练习围绕弧长和扇形面积，通过基础、进阶、提高三层设计，覆盖公式直接应用到综合几何问题，强化运算能力与几何直观，适配新授课基础巩固与适度提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|弧长/扇形面积公式直接应用|单选1、3及填空9、10，纯公式计算，夯实概念理解| |进阶层|公式与简单图形结合|单选2（管道展直）、6（阴影面积比较），需关联图形分析| |提高层|多知识点综合应用|单选4（旋转弧长关系）、5（圆锥侧面与底面），培养推理与空间观念|

29.3 弧长和扇形面积 一、单选题（共32分） 1．（本题4分）已知圆心角度数为60°，半径为30，则这个圆心角所对的弧长为（　　） A．20π B．15π C．10π D．5π 2．（本题4分）制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”才能下料，如图所示的管道展直长度是（   ）． A． B． C． D． 3．（本题4分）若扇形的弧长为，，则扇形的半径为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 4．（本题4分）如图，半圆的直径为4，等边三角形，点和点在圆上，连接，相交于点，将等边三角形从与重合的位置开始，绕点顺时针旋转（）．下列结论正确的是（    ） 结论Ⅰ：的长与的长之和为定值； 结论Ⅱ：当时，点到的距离是； 结论Ⅲ：使得的值有两个． A．Ⅰ和Ⅱ B．Ⅱ和Ⅲ C．Ⅰ和Ⅲ D．Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ 5．（本题4分）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．（本题4分）甲乙两幅图中，正方形边长都相等，则甲乙阴影部分的面积（　　） A．甲图阴影大 B．乙图阴影大 C．一样大 D．无法确定 7．（本题4分）如图，是的弦，半径，则阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 8．（本题4分）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转α（）得到，使点B、C，恰好在同一直线上，则在旋转过程中，边扫过的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共28分） 9．（本题4分）已知扇形的圆心角为，扇形的面积，则这个扇形的半径______． 10．（本题4分）一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是______度． 11．（本题4分）如图，为的直径，过圆心O作，交于点C，以C为圆心，为半径作，若，则________ ． 12．（本题4分）长方形中，以点为圆心的长为半径画弧交于点，以为直径的半圆与相切，切点为，已知，则图中阴影部分的面积为 ______ ．（结果保留） 13．（本题4分）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为, 扇形的圆心角的度数是120°，则圆锥的侧面积为_________（结果保留）．    14．（本题4分）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，以点A为圆心，AD长为半径作，交AB于点E，以AB为直径的半圆恰好与DC相切，则图中阴影部分的面积为_____． 15．（本题4分）如图，在中，，，以为直径的半圆，交于点，以点为圆心，为半径作弧，交于点．则图中阴影部分的面积为______． 三、解答题（共40分） 16．（本题20分）如图，的顶点坐标分别为． (1)画出绕点A逆时针旋转后得到的，并写出的坐标； (2)求出旋转过程中点B经过的路径长度． 17．（本题20分）如图，是的直径，点，在上，，是的切线，，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求扇形的面积． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】根据弧长公式求出答案即可． 【详解】解：圆心角是60°，半径为30的扇形的弧长是＝10π． 故选：C 【点睛】本题主要考查了求弧长，熟练掌握弧长公式 （其中 分别为圆心角，半径）是解题的关键． 2．D 【分析】本题考查了弧长的计算，根据弧长公式直接计算即可． 【详解】解：管道展直长度是， 故选：D． 3．B 【分析】本题考查了弧长公式，弧长公式为，分别是圆心角，半径，据此列式代数进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设扇形的半径为， ∵扇形的弧长为，， 则 ∴ 解得， 故选：B 4．A 【分析】由等边三角形的性质和平角的定义可得，则可推出的长与的长之和等于圆心角是，半径为的扇形弧长，据此可判断Ⅰ；连接，可证明，，则由圆周角定理可证明，得到，则，解直角三角形求出的长即可判断Ⅱ；由圆周角定理可证明，则由三角形内角和定理可得，据此可判断Ⅲ． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ∴的长与的长之和等于圆心角是，半径为的扇形弧长， ∴的长与的长之和为定值，故结论Ⅰ正确； 当时，连接，如图所示， 则， 是等边三角形， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点O为的中点， ∴，， ∴， ∴点到的距离是，故结论Ⅱ正确； 是等边三角形， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴使得的值有无数个，故结论Ⅲ错误， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的性质，求弧长，解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，灵活运用所学知识是解题的关键． 5．C 【分析】本题考查了正方形性质，弧长公式，圆锥展开图特点，解题的关键在于理解圆锥侧面弧长等于底面圆的周长．设的长为，进而得到，根据圆锥侧面弧长等于底面圆的周长建立等式求解，即可解题． 【详解】解：设的长为， 四边形为正方形， 则，， ， ， 扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面， ， 解得， 故选：C． 6．C 【分析】设正方形的边长为，根据正方形的面积公式和扇形的面积公式计算即可． 【详解】设正方形的边长为， 甲图阴影部分的面积， 乙图阴影部分的面积， 甲乙阴影部分的面积一样大． 7．A 【分析】过点O作于C，延长交于D，求出，得，由计算即得． 【详解】解：过点O作于C，延长交于D． 则． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题考查了弓形面积计算．熟练掌握垂径定理，勾股定理，余弦定义，30度的三角函数值，含30度的直角三角形性质，扇形面积和三角形面积公式，是解题的关键． 8．B 【分析】根据题意得到，证明是等腰三角形，求出，利用扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转的性质可得， ∵点B、C，恰好在同一直线上， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴边扫过的面积． 9． 【分析】本题考查了扇形的面积公式，熟练运用扇形的面积公式进行计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查的是弧长的计算，设扇形的圆心角为，根据弧长公式列式计算即可． 【详解】解：设扇形的圆心角为， 由题意得：， 解得：， 故答案为：． 11．6 【分析】本题考查了三角形的面积，勾股定理，垂径定理，扇形面积的计算，解题的关键在于正确表示阴影部分的面积． 设的半径为r，根据，可求出，然后代入求面积即可． 【详解】解：由题意知，， 设的半径为r，则， ∴， ∵，， 即， 解得：， ∴． 故答案为：6． 12．/ 【分析】本题考查了切线的性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，扇形面积的计算，取中点，连接，由切线的性质得到，由矩形的性质推出，又，推出四边形是正方形，得到阴影的面积扇形的面积扇形的面积正方形的面积，即可求出阴影的面积，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，取中点，连接， ∵以为直径的半圆与相切，切点为， ∴， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴阴影的面积扇形的面积扇形的面积正方形的面积， ∵， ∴正方形的边长是， ∴阴影的面积， 故答案为：． 13．． 【分析】由题意可知圆锥展开后的侧面扇形的弧长为，设扇形的半径为r，根据扇形的弧长公式可得，即圆锥的母线为15；最后根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面圆周长为， ∴圆锥展开后的侧面扇形的弧长为 设扇形的半径为r， 由题意可得：，解得：； 则扇形的面积为：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键． 14． 【分析】如图，连接，，可知△AEG是等边三角形，有， ，，有，，利用扇形面积公式计算求解即可． 【详解】解：如图，连接 ∵ ∴△AEG是等边三角形 ∴ ∵ ， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的面积．解题的关键在于表示出阴影部分的面积． 15． 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质与扇形面积公式的综合应用，关键是将阴影部分转化为半圆的面积与空白部分的面积差，而空白部分的面积为的面积减去扇形的面积． 根据等腰直角三角形的性质求出相关角度和线段长度，再分别计算两部分阴影的面积，最后相加得到结果． 【详解】解：在中，，， ，，． 以为圆心，为半径的扇形，圆心角，半径， ， 空白部分的面积为； 以为直径的半圆，半径， ， 该部分阴影面积为； 故答案为：． 16．(1) 如图： (2) 【分析】此题考查旋转作图，勾股定理，弧长公式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据点的旋转规律，确定点绕点逆时针旋转后的对应点的坐标，再同理确定点的对应点的坐标，最后顺次连接、、得到旋转后的三角形； （2）利用勾股定理计算出线段的长度，再结合旋转角为，代入弧长公式进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴点B经过的路径为：． 17．(1) (2) 【分析】（1）连接，推导出，得到，继而推导出，得到为等边三角形，求出，即可解答； （2）过点O作，垂足为，推导出，得到四边形为矩形，则，继而求出，最后根据扇形的面积公式求出扇形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 是的切线，切点为C， ． ， ． ， ， ． ， ． ， 为等边三角形， ， ； （2）解：如图，过点O作，垂足为．则， ∵，， ， 四边形为矩形， ， 在中，，， 则， ． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $