4.1 函数 同步练习2026-2027学年北师大版八年级数学上册 (1)

**基本信息** 聚焦函数核心概念，通过基础巩固-关联应用-综合探究三层设计，实现从概念理解到模型建构的递进，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|函数概念、自变量取值范围、表示方法|单选1（函数定义判断）、填空10-11（概念直接考查），强化抽象能力| |提升层|函数表达式、图象识别、简单应用|单选5-6（温度变化/动点面积图象）、填空13（蟋蟀鸣叫与气温关系），发展几何直观与模型意识| |综合层|实际问题建模、动态过程分析|解答题16（百米赛跑速度曲线）、17（动点面积与路程关系），培养推理能力与应用意识|

4.1 函数 同步练习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列图象中，不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．某游泳池在一次换水前存水，换水的时候打开排水孔匀速放水．设放水时间为，游泳池内的存水量为，关于的函数表达式为，放完游泳池内的水所需要的时间为（   ） A． B． C． D． 3．对于函数，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 4．有x支球队参加篮球比赛，每两个队之间比赛一场，共比赛了y场，则y与x之间的函数关系正确的是（   ） A． B． C． D． 5．将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为（    ） A． B． C． D． 6．如图1，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以的速度匀速运动至点B，图2是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（   ） A．3 B． C． D．9 7．下表为一个图案中红色和白色瓷砖数量的关系．设r和w分别为红色和白色瓷砖的数量，下列函数表达式可以表示w与r之间的关系的是（　　） 红色瓷砖数量（r） 3 4 5 6 7 白色瓷砖数量（w） 6 8 10 12 14 A． B． C． D． 8．如图1，小华家、报亭、羽毛球馆在一条直线上，小华从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小华离家距离与时间之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（    ） A．小华从报亭散步回家用了 B．小华从羽毛球馆到报亭平均每分钟走 C．报亭到小华家的距离是 D．小华打羽毛球的时间是 二、填空题 9．等腰三角形的周长为10，底边长为y，腰长为x，则y与x的函数关系式为______，自变量x的取值范围是______． 10．表示函数的方法一般有____________、__________________、_________________． 11．）变量之间的关系：在某一变化当中，如果有两个变量x和y，当其中一个变量x在一定内取一个数值，另一个变量y也有唯一一个数值与其对应，（简单说变量y随另一个变量x的变化而变化），则把x叫做_________，y叫做_________．（即自变量是先发生变化或主动发生变化的量，而因变量是随着自变量的变化而变化的量．） 12．如图（1），在中，，点P从点A出发沿以的速度匀速运动至点C，图（2）是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的周长为______，面积为______． 13．（关系式的应用）雏鹰小组发现某地蟋蟀叫的次数与气温之间有如下关系：，其中h（）表示当时的气温，t表示蟋蟀每分钟叫的次数，如果蟋蟀每分钟叫次，当时的气温大约是__________，当气温达到时，蟋蟀每分钟大约叫__________次． 三、解答题 14．已知一长方体无盖的水池的体积为，其底部是边长为的正方形，经测得现有水的高度为，现打开进水阀，每小时可注入水． (1)写出水池中水的体积与时间之间的函数关系式不要求写自变量的取值范围； (2)5小时后，水的体积是多少立方米？ (3)多长时间后，水池可以注满水？ 15．小亮想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是小亮测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的几组对应值． 所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 弹簧长度y/cm 18 22 26 30 34 38 (1)由表格可知，弹簧不挂物体时的长度为______cm； (2)请直接写出y与x的关系式______； (3)当弹簧长度为50cm（在弹簧承受范围内）时，求所挂重物的质量．（写出求解过程） 16．根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米～80米为“中途期”，80米～100米为“冲刺期”．市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度与路程之间的观测数据，绘制成曲线如图所示． (1)y是关于x的函数吗？为什么？ (2)“加速期”结束时，小斌的速度为多少？ (3)根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议． 17．如图1，已知中，，，AF为BC边上的高，P是BC上一动点，沿BC由B向C运动，连接AP．在这个变化过程中，设，的面积为S，图2刻画的是S随x的变化而变化的图象，根据图象回答以下问题： (1)的高AF的长为________． (2)写出S与x的关系式________． (3)若的面积是面积的，求此时BP的长． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A C C B B D 1．【答案】C 【知识点】函数的概念 【分析】本题主要考查了函数的定义，在函数的定义中，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应是解题的关键． 根据函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：选项A、B、D，对于每一个x，都有唯一的y值与其对应，故选项A、B、D中y是x的函数，选项C，对于一个x有两个y与之对应，故y不是x的函数． 故选：C． 2．【答案】B 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】本题考查求函数的变量，放完水时存水量，代入函数表达式解方程即可． 【详解】解：∵ 放完水时，且， ∴ ， ∴ ， ∴． 故选：B． 3．【答案】A 【知识点】求自变量的取值范围 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．根据分母不为0，可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ， 故选：A． 4．【答案】C 【知识点】函数解析式 【分析】本题考查了函数关系式的建立，关键在于理解清楚题意，需注意赛制是“单循环形式”，需要两两之间的比赛的总场数除以2． 设有x支球队，每队需与其他队比赛一次，则每个队的比赛次数为，总共有x个队，则总场数为，即可建立函数关系式． 【详解】解：设有x支球队，每队需与其他队比赛一次，每个队的比赛次数为，总共有x个队，则总场数为，即： 故选：． 5．【答案】C 【知识点】函数图象识别 【分析】本题考查了函数图象的识别，理解题意是解决本题的关键． 根据温度计上升到一定的温度后不变，据此可得答案． 【详解】解：将常温中的温度计插入一杯（恒温）的热水中，温度计的温度升高到时温度不变，故C选项图象符合条件， 故选：C． 6．【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理，由图象可知，当时，面积最大值为9，此时当点P运动到点C，得到， 根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由图象可知，当时，面积最大值为9， 由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大， ∴，即， 解得， ∴， 故选：B． 7．【答案】B 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】根据图表，观察发现w的值是r的值的2倍可得w与r之间的表达式． 【详解】根据表格可知，w与r之间的关系式是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了函数的表示方法，列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛． 8．【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数图象，理解函数图像上点的坐标的实际意义，数形结合是解题的关键． 根据函数图象，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 从函数图象可得出，小华从报亭散步回家用了分钟，故该选项正确，不符合题意；     B. （米/分钟），即小华从羽毛球馆到报亭平均每分钟走米，故该选项正确，不符合题意； C. 从函数图象可得出，报亭到小华家的距离是米，故该选项正确，不符合题意； D. 小华打羽毛球的时间是分钟，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 9．【答案】 【知识点】函数解析式、求自变量的取值范围 【分析】根据已知列方程，再根据三角形三边的关系确定义域即可． 【详解】解：①∵， ∴， ②∵即， ∵三角形两边之和大于第三边， ∴，即 ∴， 综上可得． 故答案为：①；②． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系，求函数解析式，根据三角形三边关系求得x的取值范围是解答本题的关键． 10．【答案】 列表法 关系式法 图象法 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】本题主要考查函数的表示方法．根据函数的定义，结合表示函数的方法“列表法、关系式法、图象法”即可求解． 【详解】解：表示函数的方法一般有列表法、关系式法、图象法， 故答案为：①列表法；②关系式法；③图象法． 11．【答案】 自变量 因变量 【知识点】函数的概念 【解析】略 12．【答案】 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，解题关键是能读懂函数图象． 依据题意，由时和，分别求出、，再由，可求得，进而可以计算的周长与面积． 【详解】解：由题意得，当时，面积最大，此时（）；当时，面积为0，此时可得（）． ∵， ∴（）． 的面积为（），周长为（）． 故答案为：，． 13．【答案】 【知识点】求自变量的值或函数值 【详解】把代入， ， 当时的气温大约是 ， 当时，代入， ， 解得：次， 蟋蟀每分钟大约叫次． 14．【答案】(1) (2)550立方米 (3)10小时后，水池可以注满水 【知识点】函数解析式、求自变量的取值范围、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查一次函数的应用，写出与之间的函数关系式是本题的关键． （1）池中水的体积现有水的体积小时注入的水的体积，据此写出与之间的函数关系式即可； （2）根据（1）中求得的与之间的函数关系式，当时，求出的值；若，水的体积是；若，则水的体积是； （3）当时，求出对应的值即可． 【详解】（1）解：， 与时间之间的函数关系式为：． （2）解：当时，， ， 小时后，水的体积是立方米． （3）解：当时， 解得， 小时后，水池可以注满水． 15．【答案】(1)18 (2)y＝4x+18 (3)所挂物体质量为8kg 【知识点】函数的三种表示方法、求自变量的值或函数值 【分析】（1）根据表格可知时弹簧长度即为不挂物体时弹簧长度； （2）利用表格中数据的变化求解； （3）将y＝50代入y与x的函数关系式求解． 【详解】（1）解：（1）根据表格可知，当时，， ∴弹簧不挂物体时的长度为18cm； 故答案为：18． （2）由表格可得所挂物体每增加1千克，弹簧长度增加4cm，不挂物体时，弹簧长度为18cm， 则y与x的关系为y＝4x+18， 故答案为：y＝4x+18． （3）把y＝50代入y＝4x+18得 50＝4x+18， 解得x＝8， ∴所挂物体质量为8kg． 【点睛】本题考查函数的表示方法，解题关键是掌握函数的定义，根据题干中表格信息写出函数表达式． 16．【答案】(1)y是x的函数，在这个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应； (2) (3)根据图象信息，小斌在80米左右时速度下降明显，建议增加耐力训练，提高成绩（答案不唯一） 【知识点】函数的概念、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数的概念，结合图象分析，读出图中的信息是解题的关键． （1）根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，判断即可； （2）根据图象，“加速期”结束时，时，对应的y值为； （3）建议合理即可． 【详解】（1）解：y是x的函数，在这个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应； （2）解：前30米称为“加速期”，根据图象可知，“加速期”结束时，小斌的速度为． （3）解：答案不唯一．例如：根据图象信息，小斌在80米左右时速度下降明显，建议增加耐力训练，提高成绩． 17．【答案】(1)4 (2)S＝12−2x（0≤x＜6） (3)BP的长为或 【知识点】函数解析式、从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象、与三角形的高有关的计算问题 【分析】（1）根据函数图象、三角形的面积公式求出AF； （2）用x表示出PC，再根据三角形的面积公式求出S与x的关系式； （3）分0≤x＜3、3＜x＜6两种情况，根据三角形的面积公式计算． 【详解】（1）解：由图2可知，当BP＝1时，△APC的面积S＝10， 此时，PC＝6−1＝5， ∴×5×AF＝10， 解得：AF＝4， 故答案为：4． （2）解：∵BC＝6，BP＝x， ∴PC＝6−x， ∴△APC的面积：S＝PC•AF＝×（6−x）×4＝12−2x（0≤x≤6）． 故答案为：S＝12−2x（0≤x≤6）． （3）解：∵AB＝AC，AF⊥BC，BC＝6， ∴AF＝FB＝BC＝3， 由题意可知，当0≤x＜3时，PF＝3−x， 当△APF的面积是△APC面积的时，×（3−x）×4＝×（12−2x）， 解得：x＝； 当3＜x＜6时，PF＝x−3， 当△APF的面积是△APC面积的时，×（x−3）×4＝×（12−2x）， 解得：x＝； 综上所述，△APF的面积是△APC面积的时，BP的长为或． 【点睛】本题考查的是三角形的面积计算、函数图象，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $