专题2.7 圆与圆的位置关系（8类必考点）讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦圆与圆的位置关系核心知识点，系统梳理外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系的几何法（圆心距与半径关系）和代数法（方程组解的个数）判断方法，延伸至公切线、公共弦、圆系方程等应用，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 该资料亮点在于知识梳理直观系统，通过表格对比位置关系、关系式、图示及公切线条数，结合几何直观培养空间观念（数学眼光），考点分层设计从位置判断到参数确定、公切线与公共弦问题，强化逻辑推理（数学思维）与应用意识（数学语言）。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升知识综合运用能力。

专题2.7 圆与圆的位置关系 【知识梳理】 1 【考点1：圆与圆的位置关系的判断】 3 【考点2：由圆与圆的位置关系确定参数或范围】 6 【考点3：两圆的公切线长】 9 【考点4：求两圆的公切线方程】 12 【考点5：两圆的公切线条数问题】 16 【考点6：相交圆的公共弦方程】 19 【考点7：相交圆的公共弦长】 21 【知识梳理】 1．圆与圆的位置关系及判断方法 (1)圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切. (2)圆与圆的位置关系的判定方法 ①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)： 设两圆与的圆心距为d，则 ，两圆的位置关系表示如下： 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 d>r1+r2 四条 外切 d=r1+r2 三条 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两条 内切 d=|r1-r2| 一条 内含 0≤d<|r1-r2| 无 ②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当>0时，两圆有两个公共点，相交；当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当<0时， 两圆无公共点，包括内含与外离. 2．两圆的公切线 (1)两圆公切线的定义 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. (2)两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。 (3)求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法， 设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 3．两圆的公共弦问题 (1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. ①设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，① 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，② 若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得 (D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③ 若圆C1与C2相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆C1与圆C2的交点，则点 满足x02＋y02＋D1x0＋E1y0＋F1＝0且x02＋y02＋D2x0＋E2y0＋F2＝0，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆C1与C2交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. (2)求两圆公共弦长的方法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股 定理求出公共弦长. 4．圆系方程及其应用技巧 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程.常见的圆系方程有以下几种： (1)以(a,b)为圆心的同心圆系方程是. (2)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0同心的圆系方程是. (3)过同一定点(a,b)的圆系方程是. (4)过直线Ax+By+C=0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的交点的圆系方程是 . (5)过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程是 ().(其中不含有: x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0,注意检验是否满足题意,以防漏解). ①当时，l: 为两圆公共弦所在的直线方程. ②当两圆相切(内切或外切)时，l为过两圆公共切点的直线方程. 【考点1：圆与圆的位置关系的判断】 1．（25-26高一下·江西上饶·期中）两圆和的位置关系是(　　) A．外切 B．相离 C．内切 D．相交 【答案】A 【分析】把圆的方程化为标准方程，分别找出两圆的圆心坐标和半径R与r，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，由d=R+r得到两圆的位置关系为外切． 【详解】由圆C1：，化为x2+（y﹣4）2＝4，圆心C1（0，4），R＝2 圆C2：（x﹣3）2+y2＝9，圆心C2（3，0），r＝3， ∴两圆心间的距离d5=2+3， ∴圆C1和圆C2的位置关系是外切． 故选A． 【点睛】本题题考查了圆与圆的位置关系及其判定，以及两点间的距离公式．圆与圆位置关系的判定方法为：0≤d＜R﹣r，两圆内含；d＝R﹣r，两圆内切；R﹣r＜d＜R+r时，两圆相交；d＝R+r时，两圆外切；d＞R+r时，两圆相离（d为两圆心间的距离，R和r分别为两圆的半径）． 2．（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】将两圆的一般方程化为标准方程，求得圆心坐标与半径，计算圆心距后与两半径的和、差比较，即可判断两圆位置关系。 【详解】对于圆：，配方得，故圆心，半径； 对于圆：，配方得，故圆心，半径； 显然两圆圆心距， 两半径之差为，两半径之和为， 显然满足，即，因此两圆相交. 3．（25-26高二上·天津西青·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【分析】先求出两圆的圆心坐标和半径，然后根据圆心距与两圆半径之和、半径之差的关系来判断. 【详解】对于圆，可得圆的圆心坐标为，半径. 对于圆，可得圆的圆心坐标为，半径. 可得两圆的圆心距. 因为，而圆心距，所以. 故两圆的位置关系是外切. 故选：D. 4．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知圆，圆，则圆与的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【分析】求出两圆心的距离，与半径的和或差进行比较，可得结果． 【详解】，圆心，半径， ，圆心，半径 ，两圆外切， 故选：D. 【点睛】本题考查两圆的位置关系的判断，是基础题. 5．（25-26高二上·四川眉山·期末）已知圆与圆，则两圆的位置关系是（    ） A．相交 B．内含 C．内切 D．外离 【答案】D 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，从而得到圆心和半径，再计算两圆的圆心距，最后根据圆心距与两圆半径的关系判断两圆的位置关系. 【详解】将圆的方程化为标准方程，即， 所以圆的圆心坐标为，半径. 将圆的方程化为标准方程，即， 所以圆的圆心坐标为，半径， 两圆的圆心距， ，所以，所以两圆的位置关系是外离. 故选：D 【考点2：由圆与圆的位置关系确定参数或范围】 1．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查两圆内切的位置关系，利用两圆内切的充要条件：圆心距等于两圆半径之差的绝对值，建立等量关系即可求解a的值. 【详解】解：由题知： 圆方程可化为：，所以圆心为，半径， 由圆的方程可知，圆心为，半径， 所以圆心距. 因为圆与圆内切，所以圆心距，即，所以或，而，因此. 2．（2026·山东枣庄·二模）在平面直角坐标系中，已知圆，圆，若圆与圆相交，则的值可以为（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 【答案】B 【分析】借助两圆相交的性质计算即可得. 【详解】由题知，两圆圆心分别为， 由圆与圆相交，则， 即，解得， 故选项中B正确，ACD错误. 3．（25-26高二下·湖北襄阳·期中）已知，若两圆和外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得两圆的圆心和半径，再依据两圆外切，即可求得，令，代入上式，化简整理，可得关于m的一元二次方程，根据，结合判别式法即可得答案. 【详解】由题意得圆， 整理得，则圆心为，半径为1， 圆，整理得， 则圆心为，半径为2，由题意得两圆外切，即圆心距等于半径和， 所以，解得，     令，则，代入， 得，展开得， 因为，所以，解得. 所以的最大值为，故D正确. 4．（25-26高三上·黑龙江·期末）已知圆：，圆：，其中，，若两圆外切，则最大值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】方法1：根据两圆相切列出等式，设，进而求出结果；方法2：根据两圆相切列出等式，所以点在圆上，根据直线与圆的位置关系结合图形，求出最大值即可. 【详解】方法1：圆：，则，半径， 圆：，则，半径， 因为两圆外切，所以， 即，即， 所以可设，（）， 则， 因为，所以. 方法2：因为，所以点在圆上， 设，则点在直线上， 所以直线与圆有公共点，如下图所示： 所以圆的圆心到直线距离小于等于半径， 即，解得， 故的最大值为，即最大值为. 故选：C. 5．（25-26高二上·浙江杭州·期末）若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆的位置关系得出，再将问题转化为求圆环内的点到直线的距离的取值范围. 【详解】由题意可知，，，且两圆相交， 则，则， 因为点到直线的距离为， 则圆与圆中间的圆环内的点到直线的距离，即， 则，故的取值范围为. 【考点3：两圆的公切线长】 1．（25-26高二上·湖南·阶段检测）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【答案】D 【分析】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为轴，求公切线的长即可. 【详解】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为： 故选：D 2．（2026年普通高等学校招生全国统一考试�押题卷数学（一））圆与圆的一条公切线长为______（填入一个答案即可）． 【答案】或（填一个即可） 【分析】先判断圆与圆的位置关系，即可得公切线情况，利用几何关系即可求出公切线的长. 【详解】由题意得，，，，，故两圆相离，有四条公切线．如图，    设四条公切线分别为直线、直线、直线、直线，且交于点． 由对称性可知，．连接，过作，垂足为，连接， 则四边形为矩形，所以．连接． 易知，所以．又，所以． 所以在中，，所以． 故两圆的一条公切线长为或． 故答案为：或（填一个即可）. 3．（25-26高二上·全国·期中）圆与圆的公切线长为______. 【答案】4 【分析】先由圆心距与两圆半径和差关系判断两圆位置关系，再由几何性质利用勾股定理求解公切线长. 【详解】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：.    4．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【答案】2 【分析】由圆和圆的圆心和半径确定两圆位置关系，从而得到轴为与的一条公切线，确定与轴相切的点坐标，即可得公切线段的长度. 【详解】圆的圆心为，半径， 则轴为的切线，切点为， 圆的圆心，半径， 则轴为的切线，切点为， 如图所示： 又， 则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线， 公切线段的长度为. 故答案为：2. 5．（2026·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为__________． 【答案】 【分析】利用圆与圆的位置关系，结合图形和几何关系，即可求解. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，由，    所以两圆相交，则. 故答案为： 【考点4：求两圆的公切线方程】 1．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）（多选）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】圆，其圆心，半径， 圆，其圆心，半径， ，所以两圆外切，有3条公切线， 由，其中两条外公切线与直线平行， 又，设外公切线方程为， 则到直线的距离，解得， 所以两条外公切线方程为和； 内公切线过的中点，且与直线垂直，其斜率为， 其方程为，即. 2．（25-26高三上·北京·阶段检测）圆与圆的公切线方程为___________. 【答案】或 【分析】易得公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径列方程组可解得结果即可求解 【详解】圆即，圆心，半径为， 圆即，圆心，半径为， 因为，所以， 所以两圆相交，故公切线有两条， 易得公切线的斜率存在，可设公切线方程为，即， 则可整理得，所以或， 当时，，解得或； 当时，，解得无解； 故两圆的公切线方程为即或即， 故答案为：或 3．（25-26高二上·山西·阶段检测）圆和圆的公切线的方程为________. 【答案】或或 【分析】由两圆的圆心和半径，得两圆相外切，两圆均与直线相切，直线与直线的交点为，设出过的另外一条切线方程，利用圆心到直线距离等于半径，求出方程，过两圆切点的切线与直线垂直，设出切线方程，利用圆心到直线距离等于半径，求出方程. 【详解】圆，圆心坐标，半径， 圆，圆心坐标，半径， 由，则两圆相外切， 由圆心和半径可知，两圆均与直线相切， 直线的方程为，直线与直线的交点为， 设过的另外一条切线为，由点到切线距离为1，故， 解得，或，故另外一条切线为. 因为直线的斜率为，故过两圆切点的切线斜率为， 设过公切点的切线方程为，由点到切线距离为1，则， 所以，故.      故答案为：或或. 4．（25-26高一上·安徽六安·期末）已知圆，圆，则两圆公切线的方程为________. 【答案】 【分析】首先判断两圆的位置关系，根据位置关系再求两圆公切线方程. 【详解】解析圆，圆心为，半径为1； 圆，圆心为，半径为5. 易知两圆内切，切点为，又两圆圆心都在轴上， 所以两圆公切线的方程为，即. 故答案为： 【点睛】本题考查两圆的位置关系，公切线方程，属于基础题型. 5．（25-26高三下·天津南开·阶段检测）设直线，圆，若直线与都相切，则方程为__________． 【答案】 【分析】利用直线与圆相切，得到和，联立方程即可求解出结果． 【详解】因为的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 又直线与均相切， 所以①，②，由①②得到，即有， 两边平方得，即， 又，所以，即， 代入①式得到，解得， 所以方程为． 【考点5：两圆的公切线条数问题】 1．（2026·河北保定·二模）已知关于直线对称， ，则与的公切线的数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】，则，半径， 因为关于直线对称， 所以在上，则有，解得，则， ，则，半径， ，，，故与相交， 则与的公切线的数量为，故选项B正确. 2．（2026·福建泉州·模拟预测）已知圆与恰有一条公切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法一：先根据圆与圆的位置关系得到，令，，结合辅助角公式，正弦函数的性质即可求解． 解法二：先根据圆与圆的位置关系得到，令，从而得到关于的一元二次方程，再结合，求解即可． 解法三：先根据圆与圆的位置关系得到，令，，结合求解即可． 【详解】解法一：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，，（其中为参数）， 则（其中）． 解法二：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，则，代入， 整理得， 由，解得， 所以，所以． 解法三：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，， 又，则， 当且仅当，共线，且时，即，取得最大值． 3．（2026·湖南株洲·三模）若圆与圆有且仅有3条公切线，则的最大值为______． 【答案】 【分析】判断出圆与圆的位置关系，利用三角换元法求得的最大值. 【详解】圆的圆心为，半径. 圆的圆心为，半径. 由于两圆有且仅有3条公切线，所以两圆外切， 所以，即， 设， 所以 ， 其中（为锐角）， 所以， 所以当时，取得最大值为. 4．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知圆与圆的两条公切线互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，结合两圆的位置关系，可得四边形与四边形均为正方形，结合勾股定理，列式求解，即可得答案 【详解】圆C的圆心为，半径，圆O的圆心为， 因为，所以在圆C内部， 因为两圆有两条公切线，且垂直，所以两圆相交， 设圆C与两切线分别交于点A、B，圆O与两切线分别交于点D、E，两切线交于点F， 连接CA、CB、OD、OE、OC，过O作，如图所示， 则四边形与四边形均为正方形， 则四边形为矩形，且，， 在中，，所以， 则，即，解得或（舍）. 5．（25-26高一下·重庆·期中）圆，圆，且，分别为两圆半径，圆和圆有且仅有一条公切线，则直线的方程为__________. 【答案】或 【分析】联立两圆方程，由条件，可得两圆的位置关系，即可得的关系，代入求解，即可得答案. 【详解】联立，①-②得， 由，得， 因为圆和圆有且仅有一条公切线：， 所以圆和圆相内切，故， 即或， 代入公切线方程得， 则直线的方程为或 【考点6：相交圆的公共弦方程】 1．（2026高二上·全国·专题练习）圆和圆交于两点,则直线的方程是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当两圆相交时，直接将两个圆方程作差，即得两圆的公共弦所在的直线方程． 【详解】∵两圆相交于两点，则两点的坐标坐标既满足第一个圆的方程，又满足第二个圆的方程, ∴将两个圆方程：和圆：作差，得直线的方程是：. 故选:A. 【点睛】求两圆公共弦所在直线的方程，一种求法，可将两圆的方程相减即可；另一种方法，可联立两圆的方程，求得两圆的交点坐标，进而再求直线方程，也可根据所求直线与圆心连线垂直，斜率为负倒数，求直线斜率也可. 2．（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得：两圆方程之差即为直线的方程，运算求解即可. 【详解】已知：，：， 则直线的直线方程为：， 整理得：. 3．（25-26高二下·广东东莞·期末）若圆与圆交于，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知圆，即 ① ， 圆 ② ， ①②消去二次项得： ，化简得直线的方程为 ， 因此直线斜率，又 ，由，可得. 4．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两圆方程直接作差，整理可得所求直线方程. 【详解】易知两圆相交，两圆方程作差，， 即， 化简可得直线的方程为. 5．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知两圆和相交于、两点，则相交弦所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两个圆的方程相减可得直线的方程. 【详解】两圆和， 两圆方程相减可得：， 即相交弦所在的直线方程为， 故选：A 【考点7：相交圆的公共弦长】 1．（25-26高二上·江苏南京·期末）若圆与圆的公共弦长为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】圆：，圆：. 两式相减得公共弦所在直线方程：，即 圆圆心，半径，圆心到公共弦的距离 由公共弦长，得弦长一半为，由，即 解得，又，故. 代入圆：.得圆心，半径 圆心距，因为所以 所以两圆相交，存在公共弦，符合条件. 2．（25-26高二下·上海·期中）已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆方程相减，求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式求出到直线AB的距离，根据几何法求弦长即可. 【详解】由两圆方程相减即得， 此为公共弦AB所在的直线方程. 圆的圆心，半径. 到直线AB的距离为， 故公共弦长. 3．（25-26高一下·重庆·期末）已知圆与圆相交于A、B两点，若四边形的面积为，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】设，则为的中点，由四边形的面积为，可得的表达式，利用勾股定理可得出关于的方程，解出的值，即可求得. 【详解】圆，即，则圆心为，半径为1，则， 设，由题意可知，为的中点，，， 故四边形的面积为， 则，故， 所以， 所以， 又因为，所以， 得，解得，因此.    4．（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 【答案】 【分析】将两圆方程作差得到公共弦所在直线的方程，再利用点到直线距离公式和勾股定理求弦长即可. 【详解】将两圆方程作差得公共弦所在直线的方程， 圆，其圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，则两圆的公共弦长为． 5．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 【答案】(1)57 (2)， 【分析】（1）求出两圆的标准方程得到圆心和半径，利用两圆外切的性质进行求解即可； （2）利用两圆的方程作差求出公共弦所在直线的方程，然后利用弦长公式求解即可. 【详解】（1）由圆，即， 则圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心为，半径为，， 因为两圆外切，所以两圆圆心距为， 即，解得. （2）当时，两圆方程相减得：，即， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.7 圆与圆的位置关系 【知识梳理】 1 【考点1：圆与圆的位置关系的判断】 3 【考点2：由圆与圆的位置关系确定参数或范围】 4 【考点3：两圆的公切线长】 5 【考点4：求两圆的公切线方程】 5 【考点5：两圆的公切线条数问题】 6 【考点6：相交圆的公共弦方程】 6 【考点7：相交圆的公共弦长】 7 【知识梳理】 1．圆与圆的位置关系及判断方法 (1)圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切. (2)圆与圆的位置关系的判定方法 ①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)： 设两圆与的圆心距为d，则 ，两圆的位置关系表示如下： 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 d>r1+r2 四条 外切 d=r1+r2 三条 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两条 内切 d=|r1-r2| 一条 内含 0≤d<|r1-r2| 无 ②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当>0时，两圆有两个公共点，相交；当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当<0时， 两圆无公共点，包括内含与外离. 2．两圆的公切线 (1)两圆公切线的定义 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. (2)两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。 (3)求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法， 设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 3．两圆的公共弦问题 (1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. ①设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，① 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，② 若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得 (D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③ 若圆C1与C2相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆C1与圆C2的交点，则点 满足x02＋y02＋D1x0＋E1y0＋F1＝0且x02＋y02＋D2x0＋E2y0＋F2＝0，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆C1与C2交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. (2)求两圆公共弦长的方法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股 定理求出公共弦长. 4．圆系方程及其应用技巧 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程.常见的圆系方程有以下几种： (1)以(a,b)为圆心的同心圆系方程是. (2)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0同心的圆系方程是. (3)过同一定点(a,b)的圆系方程是. (4)过直线Ax+By+C=0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的交点的圆系方程是 . (5)过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程是 ().(其中不含有: x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0,注意检验是否满足题意,以防漏解). ①当时，l: 为两圆公共弦所在的直线方程. ②当两圆相切(内切或外切)时，l为过两圆公共切点的直线方程. 【考点1：圆与圆的位置关系的判断】 1．（25-26高一下·江西上饶·期中）两圆和的位置关系是(　　) A．外切 B．相离 C．内切 D．相交 2．（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 3．（25-26高二上·天津西青·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 4．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知圆，圆，则圆与的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 5．（25-26高二上·四川眉山·期末）已知圆与圆，则两圆的位置关系是（    ） A．相交 B．内含 C．内切 D．外离 【考点2：由圆与圆的位置关系确定参数或范围】 1．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东枣庄·二模）在平面直角坐标系中，已知圆，圆，若圆与圆相交，则的值可以为（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 3．（25-26高二下·湖北襄阳·期中）已知，若两圆和外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·黑龙江·期末）已知圆：，圆：，其中，，若两圆外切，则最大值为（   ） A．2 B．4 C． D． 5．（25-26高二上·浙江杭州·期末）若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【考点3：两圆的公切线长】 1．（25-26高二上·湖南·阶段检测）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 2．（2026年普通高等学校招生全国统一考试�押题卷数学（一））圆与圆的一条公切线长为______（填入一个答案即可）． 3．（25-26高二上·全国·期中）圆与圆的公切线长为______.   4．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 5．（2026·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为__________． 【考点4：求两圆的公切线方程】 1．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）（多选）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·北京·阶段检测）圆与圆的公切线方程为___________. 3．（25-26高二上·山西·阶段检测）圆和圆的公切线的方程为________. 4．（25-26高一上·安徽六安·期末）已知圆，圆，则两圆公切线的方程为________. 5．（25-26高三下·天津南开·阶段检测）设直线，圆，若直线与都相切，则方程为__________． 【考点5：两圆的公切线条数问题】 1．（2026·河北保定·二模）已知关于直线对称， ，则与的公切线的数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·福建泉州·模拟预测）已知圆与恰有一条公切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南株洲·三模）若圆与圆有且仅有3条公切线，则的最大值为______． 4．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知圆与圆的两条公切线互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·重庆·期中）圆，圆，且，分别为两圆半径，圆和圆有且仅有一条公切线，则直线的方程为__________. 【考点6：相交圆的公共弦方程】 1．（2026高二上·全国·专题练习）圆和圆交于两点,则直线的方程是(   ) A． B． C． D． 2．（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·广东东莞·期末）若圆与圆交于，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知两圆和相交于、两点，则相交弦所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【考点7：相交圆的公共弦长】 1．（25-26高二上·江苏南京·期末）若圆与圆的公共弦长为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 2．（25-26高二下·上海·期中）已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·重庆·期末）已知圆与圆相交于A、B两点，若四边形的面积为，则（    ） A．2 B．4 C． D． 4．（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 5．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $