精品解析：北京市第二中学分校2026—2027学年度第一学期初三年级数学综合练习

北京二中教育集团2026—2027学年度第一学期 初三年级数学综合练习 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 现有一组平面绘图作品，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，的对边分别是，，．下列条件能判定为直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 为迎接“七一”建党节，学校举办“爱党有我”知识竞赛．已知小宝和小安两位同学在备赛环节各自测试40次，测试成绩（满分100分）的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（ ）. A. 小宝同学成绩比小安同学成绩更稳定 B. 小安同学有30次的成绩在80分及以上 C. 小宝同学与小安同学的平均成绩都为90分 D. 小安同学成绩的第一四分位数是 6. 如图，把一个含角的直角三角板和一个正方形摆放在一起，三角板的直角顶点和正方形的顶点重合，点，均在正方形的边上，连接，，点，分别为，的中点，连接，．下列结论错误的是（ ） A. B. 为等边三角形 C. D. 7. 如图，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，得到，点的对应点为，点的对应点为点，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 平分 8. 如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y．定义为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线，将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中． 则下面叙述中正确的是（ ） A. 点A的横坐标有可能大于3 B. 矩形1是正方形时，点A位于区域② C. 当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小 D. 当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 函数中，自变量的取值范围是_____． 10. 将点绕坐标原点顺时针旋转变为点B，则点B的坐标为______． 11. 已知关于的方程的一个根是，则另一个根是_____． 12. 一次函数图象向下平移后经过点，则平移后图象的函数表达式是________． 13. 跳远运动员李阳对训练效果进行测试．6次跳远的成绩如下：7.5，7.7，7.6，7.7，7.9，7.8（单位：）这六次成绩的平均数为，方差为．如果李阳再跳两次，成绩为分别为，．则李阳这8次跳远成绩的方差______（填“变大”、“不变”或“变小”）． 14. 习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校开展师生阅读活动，打造书香校园、据统计，九年级师生第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到196人次．则九年级师生阅读人次的周平均增长率为_______． 15. 如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，对角线与反比例函数的图像相交于点，若点为的中点，则矩形的面积为_____． 16. 现在有三个仓库、，，分别存有7吨、12吨、11吨某原材料；要将这种原材料运往三个加工厂、、，每个加工厂都需要10吨原材料．从每个仓库运送1吨材料到每个加工厂的成本如表所示（单位：元/吨） 1 2 6 0 4 2 3 1 5 现在要让每个仓库清仓、每个加工厂都得到足够的材料， （1）若从运10吨到、运1吨到，从运7吨到，则从需要运________吨到； （2）考虑各种方案，运费最低为________元． 三、解答题（共68分，第17-21题每题5分，第22-23题每题6分，第24题5分，第25题6分，第26-27题每题7分，第28题6分） 17. 解方程：． 18. 解方程：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出与关于原点对称的； （2）画出绕原点逆时针旋转后的，并写出点的坐标． 20. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求的取值范围． 21. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求停车场内车道的宽度？ 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． （1）求一次函数解析式； （2）当时，对于的每一个值，一次函数的值均大于一次函数的值，求的取值范围． 23. 如图，点在的对角线的延长线上，，于点，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求菱形的面积． 24. 某研发小组设计了甲、乙两款AI软件，为测试两款软件的实用性能，先后邀请普通用户和专业人士对甲、乙两款软件体验、评分（百分制）． （1）邀请800个普通用户对甲款软件和1200个普通用户对乙款软件体验、评分（百分制）．从评分中各随机抽取20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲款软件评分： 60 60 70 70 72 75 80 80 80 80 80 80 81 81 81 82 82 85 90 91 b．乙款软件评分频数分布直方图如图． （数据分成五组：，，，，） 其中成绩在的数据如下： 75 75 75 76 78 78 79 79 c．甲、乙两款软件评分的平均数、中位数、众数如下表所示： 软件 平均数 中位数 众数 甲 78 80 m 乙 78 n 75 根据所给信息，解答下列问题： ①______，______； ②估计这1200个普通用户中对乙款软件评分x满足的约为______个； （2）邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下： 软件 维度1 维度2 维度3 维度4 甲 94 k 92 93 乙 91 93 93 92 ①求乙款软件的评分； ②若甲款软件的评分比乙款软件的评分高，求表中k（k为整数）的最小值． 25. 教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于到校接通饮水机电源，记接通电源后第分钟时对应的水温为，水温随时间变化的测量数据如表所示： （分钟） 0 2 5 7 10 14 16 20 … （） 30 50 80 100 70 50 43.75 35 … 请根据上述信息解决下列问题： （1）根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； （2）选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量的取值范围； （3）上午第一节下课时间为，同学们能不能喝到不超过的水？请通过计算说明． 26. 小明根据学习函数（如图1）的经验，自主探究函数的图象与性质． 下面是小明的探究过程，请补充完整． （1）化简函数表达式：当时，________；当时，________； （2）请在图1同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，并回答：的图象可以由的图象向______平移______个单位得到； （3）如图2，矩形的顶点，在轴上，顶点，，当“绝对值函数”（为常数）的图象有部分被矩形覆盖时，被覆盖的部分记作“图象”，点是“图象”上的一个动点． ①当的最大值为3时，求的取值范围； ②已知的最小值为，求满足条件的的值． 27. 已知：在中，，，点是边上一动点，连接． （1）如图1，延长至点且，连接，，求证：； （2）如图2，当点在的延长线上时，将绕点顺时针旋转到，使得，连接交于点，若，猜想，的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于点和直线，作点关于的对称点，点是直线上一点，作线段满足且，如果线段与直线有交点，则称点是点关于直线和点的“垂对点”．如图所示，点是点关于直线和点的“垂对点”． （1）如图1，已知点， ①若点，则点关于轴和点的“垂对点”的坐标为________； ②若点，求点关于轴和点的“垂对点”的坐标； （2）若点、点是直线上的点，点，且满足点是点关于轴和点的“垂对点”，直接写出点的坐标； （3）已知点，，，．点在四边形的边上，直线：，若四边形的边上存在点是点关于直线和点的“垂对点”，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京二中教育集团2026—2027学年度第一学期 初三年级数学综合练习 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 现有一组平面绘图作品，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 2. 在中，，，的对边分别是，，．下列条件能判定为直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，逐一判断各选项，即可得到结论． 【详解】解： A、∵，，， ∴ ，， ∵ ， ∴不是直角三角形，故选项不符合题意； B、∵ ，设 ，，， ∴ ，， ∴ ，符合勾股定理的逆定理， ∴是直角三角形，故选项符合题意； C、∵， ∴设 ， ，， ∴， 解得， ∴ 最大角， ∴不是直角三角形，故选项不符合题意； D、∵，设 ，则，， ∴， 解得， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故选项不符合题意． 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 根据配方法的步骤解答即可 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 4. 已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了比较反比例函数值的大小．反比例函数的图象在一三象限，且在每个象限内，y随x到增大而减小．据此可判断． 【详解】解：反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x增大而减小； A、两点在同一象限时，若，则，原说法错误，本选项不符合题意； B、两点在不同一象限时，若，则，原说法错误，本选项不符合题意； C、反比例函数图象是关于原点的中心对称图形，若，则，正确，本选项符合题意； D、两点在不同一象限时，若，则，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：C． 5. 为迎接“七一”建党节，学校举办“爱党有我”知识竞赛．已知小宝和小安两位同学在备赛环节各自测试40次，测试成绩（满分100分）的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（ ）. A. 小宝同学成绩比小安同学成绩更稳定 B. 小安同学有30次的成绩在80分及以上 C. 小宝同学与小安同学的平均成绩都为90分 D. 小安同学成绩的第一四分位数是 【答案】B 【解析】 【分析】根据箱线图的特征，识别最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值，结合稳定性（极差或四分位距）和频数计算进行判断即可 . 【详解】解：A.小宝同学成绩的极差约为，小安同学成绩的极差为，小宝的极差较大，说明成绩波动大，不如小安稳定，故A错误； B.小安同学成绩的第一四分位数（箱体下边缘）为80，表示有的数据小于，有的数据大于等于， 由 测试总次数为次，则成绩在分及以上的次数为，故B正确； C.箱线图只能直接反映中位数，两人的中位数均为，但无法确定平均成绩是否为，故C错误； D.由图可知小安同学成绩的第三四分位数（箱体上边缘）是，第一四分位数是，故D错误. 6. 如图，把一个含角的直角三角板和一个正方形摆放在一起，三角板的直角顶点和正方形的顶点重合，点，均在正方形的边上，连接，，点，分别为，的中点，连接，．下列结论错误的是（ ） A. B. 为等边三角形 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直角三角形的性质得出，再根据是等腰直角三角形得出，由定理得出，可得 ，，再根据点，分别为，的中点，得出是的中位线，故，，可得，由，可得，根据三角形外角性质可得，由，可得，只能得到是等腰三角形，无法得出是等边三角形，据此即可得出结论． 【详解】四边形是正方形， ，， 点是的中点， ， 是等腰直角三角形， ， ，故A正确； ， ∴， 点，分别为，的中点， 是的中位线， ， ；故C正确 是的中位线， ， ， ， ， 是的外角， ． 又， ， ，故D正确 ， 是等腰三角形，无法得出是等边三角形，故B错误． 7. 如图，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，得到，点的对应点为，点的对应点为点，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】A 【解析】 【分析】由平移可得对应点连线，由旋转可得对应角、，对应边，通过等边对等角得出，结合旋转对应角相等做等量代换，得到，即可证明平分，由此得出B、C、D正确，则不一定正确的是A． 【详解】解：∵将沿射线的方向平移，得到， ∴，故B正确； ∵将绕点逆时针旋转一定角度后，得到， ∴，故C正确； ，， ∴， ∴， ∴平分，故D正确； ∴不一定正确的是A． 8. 如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y．定义为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线，将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中． 则下面叙述中正确的是（ ） A. 点A的横坐标有可能大于3 B. 矩形1是正方形时，点A位于区域② C. 当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小 D. 当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等 【答案】D 【解析】 【分析】由图形可知：当时，，从而可判断A；根据点A是直线与双曲线的交点可判断B；求出可判断C；由点A位于区域①可得，由形2落在区域④中可得，从而可判断D． 【详解】设点（x，y均为正数）， A、设反比例函数解析式为：， 由图形可知：当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即点A的横坐标不可能大于3， 故选项A不正确； B、当矩形1为正方形时，边长为x， ， 则点A是直线与双曲线的交点，如图2，交点A在区域③， 故选项B不正确； C、当一边为x，则另一边为， ∵当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小， ∴矩形1的面积会越来越大， 故选项C不正确； D、当点A位于区域①时， ∵点， ∴，即另一边为：， 矩形2落在区域④中，，即另一边， ∴当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等； 如矩形的两条邻边长分别为0.9，2.9时，两个矩形都符合题意且全等， 故选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象和新定义，理解x和y的意义是关键，并注意用数形结合的思想解决问题． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 10. 将点绕坐标原点顺时针旋转变为点B，则点B的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，核心知识点是点绕坐标原点旋转的坐标变换规律：点绕原点旋转(顺时针或逆时针)后的对应点坐标为，本质是关于原点中心对称． 【详解】解：∵点绕坐标原点顺时针旋转后的对应点坐标为， ∴将点绕坐标原点顺时针旋转，可得点的坐标为； 故答案为：． 11. 已知关于的方程的一个根是，则另一个根是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系得：，据此解题即可． 【详解】设一元二次方程的另一个根为，根据题意得， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 12. 一次函数图象向下平移后经过点，则平移后图象的函数表达式是________． 【答案】 【解析】 【分析】一次函数图象上下平移时，一次项系数保持不变，设出平移后的解析式，代入已知点的坐标即可求解常数项． 【详解】解：∵一次函数图象上下平移时，一次项系数不变，原函数一次项系数为， ∴设平移后函数表达式为， 将点代入得：，解得， ∴平移后图象的函数表达式是． 13. 跳远运动员李阳对训练效果进行测试．6次跳远的成绩如下：7.5，7.7，7.6，7.7，7.9，7.8（单位：）这六次成绩的平均数为，方差为．如果李阳再跳两次，成绩为分别为，．则李阳这8次跳远成绩的方差______（填“变大”、“不变”或“变小”）． 【答案】变小 【解析】 【分析】本题主要考查平均数和方差，掌握平均数和方差的求法是解题的关键． 【详解】解：∵李阳再跳两次，成绩为，， ∴这组数据的平均数是， ∴这7次跳远成绩的方差是： ， ∴方差变小； 故答案为：变小． 14. 习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校开展师生阅读活动，打造书香校园、据统计，九年级师生第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到196人次．则九年级师生阅读人次的周平均增长率为_______． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用． 设周平均增长率为，根据第三周阅读人次是第一周的倍，列出方程求解即可． 【详解】解：设周平均增长率为， 则 （舍去负值） ． 故答案为：40． 15. 如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，对角线与反比例函数的图像相交于点，若点为的中点，则矩形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，中点坐标公式，矩形面积的坐标表示，熟练掌握相关知识点和坐标代入法是解题的关键． 先设的坐标为，根据为的中点，表示出的坐标，代入反比例函数的表达式中可得，根据点的坐标可得出矩形的长和宽，进而表示出矩形的面积为，即可得解． 【详解】解：设矩形顶点的坐标为， 点为的中点， 点的坐标为， 对角线与反比例函数的图像相交于点， 将点代入函数得：， 化简得：， ， 点的坐标为， 点的坐标为， ， ． 故答案为：． 16. 现在有三个仓库、，，分别存有7吨、12吨、11吨某原材料；要将这种原材料运往三个加工厂、、，每个加工厂都需要10吨原材料．从每个仓库运送1吨材料到每个加工厂的成本如表所示（单位：元/吨） 1 2 6 0 4 2 3 1 5 现在要让每个仓库清仓、每个加工厂都得到足够的材料， （1）若从运10吨到、运1吨到，从运7吨到，则从需要运________吨到； （2）考虑各种方案，运费最低为________元． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一问根据的总需求量，减去已运输的量即可得到结果；第二问优先安排单位运价更低的运输，计算总运费得到最小值． 【详解】解：（1）∵总共需要吨原材料，已经从运入吨，从运入吨， ∴需要运往的量为吨； （2）要得到最低运费，优先安排单位运价更低的运输， ∴方案一：的吨全部运往；运吨到，运吨到；运吨到，运吨到； ∴总运费为元， 方案二：运10吨到，运2吨到；运吨到，运吨到；的吨全部运往； ∴总运费为元， 方案三：运10吨到，运2吨到；运3吨到，运8吨到；的吨全部运往； ∴总运费为元， ∵， ∴最低运费为元． 三、解答题（共68分，第17-21题每题5分，第22-23题每题6分，第24题5分，第25题6分，第26-27题每题7分，第28题6分） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： 即 或 ，． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， 移项得：， 则， 故或， 解得：，． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出与关于原点对称的； （2）画出绕原点逆时针旋转后的，并写出点的坐标． 【答案】（1）解： 如图所示； （2） 如图所示，点坐标为． 【解析】 【分析】（1）关于原点对称的两点横纵坐标分别互为相反数，分别求出点，，的坐标依次描点连线即可； （2）根据网格结构找出点、、分别绕点旋转后的对应点，，的位置，顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出的坐标． 【小问1详解】 坐标关于原点对称 ，，，在坐标系中依次找到，连接，，； 【小问2详解】 略． 20. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：关于x的一元二次方程， ∵ ∴此方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证； （2）根据公式法求得方程的解，得出，，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ 解得， ∵方程有一个根小于1 ∴， 解得． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 21. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求停车场内车道的宽度？ 【答案】停车场内车道的宽度为 【解析】 【分析】设停车场内车道的宽度为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为， 由题意可得：， 整理可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴停车场内车道的宽度为． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． （1）求一次函数解析式； （2）当时，对于的每一个值，一次函数的值均大于一次函数的值，求的取值范围． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）先确定，先求出函数恒经过的点A的坐标，再求出当时，的值，即点C的坐标，画出图象，直线刚好经过点A、点C，根据（1）中方法求出直线的解析式；将直线绕点A旋转，旋转过程中，有直线与直线平行、直线经过点C这两个临界点，据此分情况讨论，数形结合即可作答． 【小问1详解】 解：将点和代入，得 ，解得：， 即一次函数解析式为：； 【小问2详解】 解：根据题意有， 对于一次函数， 当时，，即此函数恒过点； 当时，，即得点 如图， 直线刚好经过点、， 根据（1）中方法，可得直线的解析式为：， 第一种情况：当一次函数的图象与一次函数的图象平行时，即时， 一次函数的图象如直线所示， 此时一次函数的图象在一次函数的图象上方， 即无论x取何值都有一次函数的值均大于一次函数的值，满足题意； 第二种情况：当一次函数的图象绕点逆时针往直线的方向旋转时，自变量x的系数m的值将逐渐增大，即时， 此时一次函数的图象将与一次函数的图象在y轴左侧有交点， 则当时，在交点处，两函数的函数值相等，即无法满足一次函数的值均大于一次函数的值， ∴时不符合题意，舍去； 第三种情况：当一次函数的图象绕点顺时针往直线的方向旋转，直至与直线重合时， 自变量x的系数m的值将逐渐减小，即， 由图可知：此过程中，当时，一次函数的图象始终在一次函数的图象上方， 即一次函数的值均大于一次函数的值，满足题意； 第四种情况：当一次函数的图象在直线处，继续绕点顺时针往直线的方向旋转时，自变量x的系数m的值将逐渐减小，即， 此时一次函数的图象将与一次函数的图象在直线左侧有交点，例如图中点B， 则当时，在交点处，两函数的函数值相等，即无法满足一次函数的值均大于一次函数的值， ∴时不符合题意，舍去； 综上：的取值范围为：，． 23. 如图，点在的对角线的延长线上，，于点，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，证明，得出，从而可得四边形是平行四边形，再结合即可得证； （2）设，则，由菱形的性质可得，，，，求出，由平行四边形的性质可得，结合勾股定理求出，最后由菱形的面积公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：设，则， 由（1）可得四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴，， ∴菱形的面积为． 24. 某研发小组设计了甲、乙两款AI软件，为测试两款软件的实用性能，先后邀请普通用户和专业人士对甲、乙两款软件体验、评分（百分制）． （1）邀请800个普通用户对甲款软件和1200个普通用户对乙款软件体验、评分（百分制）．从评分中各随机抽取20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲款软件评分： 60 60 70 70 72 75 80 80 80 80 80 80 81 81 81 82 82 85 90 91 b．乙款软件评分频数分布直方图如图． （数据分成五组：，，，，） 其中成绩在的数据如下： 75 75 75 76 78 78 79 79 c．甲、乙两款软件评分的平均数、中位数、众数如下表所示： 软件 平均数 中位数 众数 甲 78 80 m 乙 78 n 75 根据所给信息，解答下列问题： ①______，______； ②估计这1200个普通用户中对乙款软件评分x满足的约为______个； （2）邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下： 软件 维度1 维度2 维度3 维度4 甲 94 k 92 93 乙 91 93 93 92 ①求乙款软件的评分； ②若甲款软件的评分比乙款软件的评分高，求表中k（k为整数）的最小值． 【答案】（1）①80，77；②180 （2）①乙款软件的评分为92．2分；②k的最小值为91 【解析】 【分析】（1）①观察表格，根据众数、中位数的定义求解即可；②用1200乘以第五组数据在样本中所占的比即可得解． （2）①利用加权平均数的计算方法计算即可；②根据“甲款软件的评分更高”，列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：①甲组20个数据中出现次数最多的是80， ∴甲组数据的众数为80，即； ∵乙组数据的中位数在第3组中，第1、2两组共有6人， ∴第三组的第4、5个数据的平均数为中位数，即． ②∵乙款软件评分在有3人， ∴这1200个普通用户中对乙款软件评分x满足的约为个． 故答案为：①80；77；②180． 【小问2详解】 解：①乙款软件的评分（分）； ②由题意得，解得：． ∴k的最小整数值为91． 故答案为：①；②91． 【点睛】本题主要考查了频数分布直方图、众数、中位数的定义、加权平均数、用样本估计总体等知识点．熟练掌握相关知识是解题的关键． 25. 教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于到校接通饮水机电源，记接通电源后第分钟时对应的水温为，水温随时间变化的测量数据如表所示： （分钟） 0 2 5 7 10 14 16 20 … （） 30 50 80 100 70 50 43.75 35 … 请根据上述信息解决下列问题： （1）根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； （2）选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量的取值范围； （3）上午第一节下课时间为，同学们能不能喝到不超过的水？请通过计算说明． 【答案】（1） （2）第一次加热：；第一次降温： （3）能，计算过程如下： 由题意得，由到，共计时长为1小时25分钟，即85分钟， 对于第一次降温过程的函数解析式， 当时，可得，解得， ∴饮水机一个完整工作周期（加热降温）的时间为分钟， ∴85分钟，可经过3次完整工作循环，且剩余15分钟，此时水温与第15分钟的水温相同， ∴， ∵， ∴同学们能喝到不超过的水． 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：第一次加热：是关于的一次函数，设， 将点代入，可得，解得， ∴第一次加热过程的函数解析式为； 第一次降温：是关于的反比例函数，设， 将点代入，可得，解得， 当时，则，解得， ∴第一次降温过程的函数解析式为； 【小问3详解】 略 26. 小明根据学习函数（如图1）的经验，自主探究函数的图象与性质． 下面是小明的探究过程，请补充完整． （1）化简函数表达式：当时，________；当时，________； （2）请在图1同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，并回答：的图象可以由的图象向______平移______个单位得到； （3）如图2，矩形的顶点，在轴上，顶点，，当“绝对值函数”（为常数）的图象有部分被矩形覆盖时，被覆盖的部分记作“图象”，点是“图象”上的一个动点． ①当的最大值为3时，求的取值范围； ②已知的最小值为，求满足条件的的值． 【答案】（1）； （2）函数的图象如下： 向右，3 （3）①或；② 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的性质求解即可； （2）画出函数图象，根据函数图象平移的性质求解即可； （3）①当时，，分别求出经过点，时对应的k值；当时，，分别求出经过点，时对应的k值；即可得出结论； ②分三种情况讨论：当时；当时；当时，分别根据最小值列方程求解． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，； 【小问2详解】 解：的图象略， 的图象可以由的图象向右平移3个单位长度得到； 【小问3详解】 解：①当时，， 经过点时，，解得， 经过点时，，解得，, ∴； 当时，， 经过点时，，解得， 经过点时，，解得， ∴； 综上所述：或； ②当时，时n的值最小为， ∴， 解得； 当时，n的最小值为0， ∴， 解得（舍）； 当时，时n的值最小为， ∴， 此方程无解； 综上所述：k的值为． 27. 已知：在中，，，点是边上一动点，连接． （1）如图1，延长至点且，连接，，求证：； （2）如图2，当点在的延长线上时，将绕点顺时针旋转到，使得，连接交于点，若，猜想，的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明：∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，作交的延长线于点， 则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）先求出，，再证明，得出，再求出，最后结合，，即可得证； （2）作交的延长线于点，则，先证明，得出，，再证明，得出，从而即可得证． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 28. 在平面直角坐标系中，对于点和直线，作点关于的对称点，点是直线上一点，作线段满足且，如果线段与直线有交点，则称点是点关于直线和点的“垂对点”．如图所示，点是点关于直线和点的“垂对点”． （1）如图1，已知点， ①若点，则点关于轴和点的“垂对点”的坐标为________； ②若点，求点关于轴和点的“垂对点”的坐标； （2）若点、点是直线上的点，点，且满足点是点关于轴和点的“垂对点”，直接写出点的坐标； （3）已知点，，，．点在四边形的边上，直线：，若四边形的边上存在点是点关于直线和点的“垂对点”，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；② （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）①根据“垂对点”定义，结合坐标系，即可求解； ②作关于y轴的对称点，作线段满足且，连接，进而根据“垂对点”定义，结合坐标系，证明，得出P的坐标为，即可求解； （2）当M在x轴上方时，过点M作轴，分别过点P，N作的垂线段，垂足分别为B，A，同（1）可得，得出，根据P在上，代入即可求解，当M在x轴下方时，同法可求； （3）先分析出“垂对点”所在正方形的中心，确定“垂对点”所在正方形的中心轨迹，最后确定临界点情况求出t范围即可． 【小问1详解】 解：①点关于y轴的对称点是，点是y轴上一点，作线段满足且， ∴点M关于y轴和点的“垂对点”P的坐标为：； ②点关于y轴的对称点是，点是y轴上一点，过点作轴，作线段满足且，连接， ∴，， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点P的坐标为； 【小问2详解】 解：如图所示，当M在x轴上方时，过点M作轴，分别过点P，N作的垂线段，垂足分别为B，A， ∵，，， ∴， ∴，， ∵点M、点P是直线上的点，设，则， ∴点， ∴，， ∴，即， 又∵P在上， ∴， 解得， ∴； 当M在x轴下方时，如图所示， ∵点M、点P是直线上的点，设，则， ∵点， ∴，， ∴，，， ∴，即， ∴，即， 又∵P在上， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，M点的坐标为或； 【小问3详解】 解：首先确定正方形图形， 由题干条件可知，点A和点B关于y轴对称，，四边形是正方形， ∵， ∴正方形在x轴上及其上方， 举例1，当，直线，点M在正方形上，正方形关于对称的图形为正方形，此时点在正方形上， 举例2，当，将点N关于正方形上的点旋转得到点P，则点P所在的图形为正方形，边长为， 所以，根据正方形的形状特征，只需要确定“垂对点”所在正方形的中心即可， 点P所在正方形轨迹，将点N绕正方形的中心旋转得到和，再向上、下、左、右四个方向取确定端点， 改变t值，确定“垂对点”所在正方形的中心轨迹， 举例，以及时，点P所在的正方形与正方形都有交点，所以我们可以确定临界情况， 临界一：点P所在的正方形只与交于点A时，如图， ∵点P所在正方形边长为， ∴， ∵， ∴， ∴，此时， ∴， 临界二：点P所在的正方形只与交于点C时，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，此时， ∴， 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $