26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象和性质，通过复习y＝2x²与y＝2(x－1)²等已学函数的图象关系，引导学生思考新函数y＝2(x－1)²＋1的联系，搭建前后知识学习支架。 以配方法为核心，结合几何画板直观演示，让学生自主配方并观察图象归纳性质，培养几何直观与推理能力。典例精析通过图象分析系数关系，发展模型意识，帮助学生深化理解，也为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

26.2.3　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 教学设计 课题 26.2.3 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 授课人 教学目标 1.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为 y=a(x−h)2+k 的形式，并能得到图象的顶点坐标、开口方向、对称轴. 2.（2022新课标）能画二次函数 y=ax2+bx+c 的图象. 3.（2022新课标）会求二次函数的最大值或最小值. 4.理解并掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c的有关性质. 5.在教学中渗透数形结合的数学思想方法，会用数学的语言表达现实世界. 教学重点 用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方法确定抛物线的对称轴、顶点坐标. 教学难点 理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质以及它的图象的对称轴和顶点坐标公式. 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 情境导入 （1）函数y＝2x2＋1的图象与函数y＝2x2的图象之间有什么关系？ （2）函数y＝2（x－1）2的图象与函数y＝2x2的图象之间有什么关系？ 问题：函数y＝2（x－1）2＋1的图象与函数y＝2（x－1）2的图象之间有什么关系？函数y＝2（x－1）2＋1有哪些性质？ 学生自主解答问题，教师根据学生的回答做好总结，从而引入新课. 通过创设情境，以问题形式引导学生复习已学内容，为后面学习新课做好铺垫 探究新知 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象 1.问题：如何画二次函数y＝x2－6x＋21的图象？ （1）对于形如y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的二次函数，大家会画它的图象吗？ （2）这种函数在形式上有什么特点？ （3）你能把二次函数y＝x2－6x＋21化成y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的形式吗？ （4）画出二次函数y＝＋3的图象，并指出它是由抛物线y＝x2通过怎样的平移得到的. 师生活动：给予学生充分的时间和空间，让学生尝试配方. 2.学生根据图象说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，教师利用几何画板来引导，由学生交流、讨论，归纳出二次函数的增减性. 总结：抛物线开口向上，对称轴是直线x＝6，顶点坐标是（6，3）.当x<6时，y随x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大. 练习：结合图象，说出抛物线y＝－－1的开口方向、对称轴、顶点坐标及函数的增减性. 师生活动：学生口答，教师点评. 3.求抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴和顶点坐标. 师生活动：教师指导，学生写解析过程步骤及做法，得到公式. 抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－，顶点坐标是. 如果a>0，当x<－时，y随x的增大而减小；当x>－时，y随x的增大而增大. 如果a<0，当x<－时，y随x的增大而增大；当x>－时，y随x的增大而减小. 通过具体例子，让学生观察函数图象，启发学生思考，归纳出二次函数的图象和性质，让学生在实践中感悟，提高学生利用数形结合思想解决问题的能力. 典例精析 【例】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2．其中正确的个数是（　　） A．1　　　B．2　　　C．3　　　　D．4 【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得c＞0，则abc＞0，故①正确； 由对称轴x＞－1可得2a－b＜0，故②正确； 由图象上横坐标为x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确； 由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得a－b＋c＞0，则 (a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0， 可得(a＋c)2＜b2，故④正确． 【方法总结】 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与系数的关系 ①a决定开口方向：a＞0⇔开口向上；a＜0⇔开口向下； ②a，b同号对称轴在y轴的左侧；a，b异号对称轴在y轴的右侧； ③c＝0⇔经过原点；c＞0⇔与y轴的交点位于x轴的上方； c＜0⇔与y轴的交点位于x轴的下方； ④当x＝1时，y的值为a＋b＋c，当x＝－1时，y的值为a－b＋c． ⑤当对称轴x＝1时，x＝＝1，∴－b＝2a，此时2a＋b＝0； 当对称轴x＝－1时，x＝＝－1，∴b＝2a，此时2a－b＝0． 因此，判断2a＋b的符号，需判断对称轴x＝与1的大小，若对称轴在直线x＝1的左边，则<1，再根据a的符号即可得出结果；判断2a－b的符号，同理需判断对称轴与－1的大小． 师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答． 本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流，注重类比是帮助学生正确理解概念的有效方法。 随堂检测 1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中x，y的部分对应值如下表： x －1 0 1 2 3 y 5 1 －1 －1 1 则该二次函数图象的对称轴为（　　） A．y轴　　　 B．直线x＝ C．直线x＝2　　　D．直线x＝ 答案：D. 2．已知二次函数y＝－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（　　） A．b≥－1　　B．b≤－1　　C．b≥1　　D．b≤1 解析：∵二次项系数－1＜0， ∴抛物线开口向下，对称轴为x=-=b. 由于当x＞1时，y的值随x值的增大而减小， ∴抛物线的对称轴应在直线x＝1处或其左侧． ∴b≤1，如图所示．故选D． 3.将y=x2－2x－3用配方法化为y=a(x－h)2+k的形式，并指 出图象的对称轴、顶点坐标及图象与x轴、y轴的交点坐标． 解：y=x2－2 x－3= x 2－2 x +1－1－3=(x－1)2－4，所以图象 的对称轴是x =1，顶点坐标是(1，－4)； 当x =0时，y =－3，所以图象与y轴的交点坐标为(0，－ 3)，当y =0时，x =3或x =－1，所以图象与x轴的交点坐标为(3，0)，(－1，0)． 4．已知抛物线y＝2x2－12x＋13． （1）当x为何值时，y有最小值？最小值是多少？ （2）当x为何值时，y随x的增大而减小？ （3）将该抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，请直接写出新抛物线的解析式． 解：∵y＝2x2－12x＋13＝2(x－3)2－5， ∴抛物线开口向上，顶点为(3，－5)，对称轴为直线x＝3． （1）当x＝3时，y有最小值，最小值为－5． （2）当x＜3时，y随x的增大而减小． （3）新抛物线的解析式为y＝2(x－5)2－3． 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况. 课堂小结 【课堂小结】 引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？ 1. 方法层面 学习了二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质，紧扣数形结合、配方转化的核心思想，通过配方法将一般式化为顶点式，借助顶点式的研究思路推导一般式的性质，体会化未知为已知、化繁为简的转化思想，理清二次函数一般式与顶点式的内在联系，掌握完整的函数性质推导与应用方法. 2. 知识内容层面 掌握二次函数一般式的图象特征、配方转化、核心性质以及参数a,b,c的作用. 3. 概念联系与区别 联系：y＝ax2＋bx＋c是二次函数的一般式，y=a(x-h)2+k是二次函数的顶点式，二者可以通过配方相互转化，图象形状、开口规律、增减性、最值的核心逻辑完全一致，本质是同一类函数的不同表达形式。 区别：顶点式可直接看出对称轴、顶点坐标和平移规律，便于研究图象位置；一般式直接展现各项系数，便于代入数值计算、求解函数解析式，适用场景不同. 核心易错点：记错对称轴公式，漏掉负号；混淆顶点纵坐标的公式；搞反对称轴两侧的增减性；误将b,c当作开口大小的决定因素；忽略c对应y轴交点的作用. 【知识网络】 教学说明：教师提问并引导学生总结归纳二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质． 巩固所学知识，加深对二次函数的图象和性质 相关概念的理解. 作业布置 板书设计 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 1.图象 2.性质. 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $