25.2.4一元二次方程的根与系数的关系同步练习2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学九年级上册第25章“一元二次方程的根与系数的关系”同步练习，以“基础夯实·思维提升”分层，通过从直接应用到综合探究的梯度设计，系统巩固根与系数关系，培养运算能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础夯实|根与系数关系直接应用、代数式简单变形|如选择1直接求x₁+x₂、x₁x₂，填空9-12基础计算，强化概念理解| |思维提升|综合应用（看错系数问题）、参数讨论、几何情境建模|如解答19结合等腰三角形勾股定理，需建立方程与几何的联系，发展模型意识|

25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 · 同步练习 x² 人教版 · 九年级数学上册 第 25 章 · 一元二次方程 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 同 步 练 习 · 满分：100 分 | 建议用时：45 分钟 | 基础夯实 · 思维提升 一、选择题（共 8 题，每题 3 分，共 24 分） 1．若方程 3x²−4x−2=0 的两根为 x₁，x₂，则 x₁+x₂，x₁x₂ 分别为（ ） A．，− B．−，− C．， D．−， 2．若 α，β 是方程 x²−5x+3=0 的两个根，则 (α+2)(β+2) 的值为（ ） A．7 B．12 C．17 D．21 3．若 x₁，x₂ 是方程 x²−4x+1=0 的两个根，则以 x₁+1，x₂+1 为两根的一元二次方程是（ ） A．x²−4x+2=0 B．x²−6x+6=0 C．x²−6x+2=0 D．x²−4x+6=0 4．若 2 是方程 x²+(m−1)x−6=0 的一个根，则该方程的另一个根是（ ） A．−3 B．−2 C．2 D．3 5．小强解方程 x²+px+q=0 时看错了常数项，得到两根为 1，4；小华解同一方程时看错了一次项系数，得到两根为 −2，3。原方程是（ ） A．x²−5x−6=0 B．x²−5x+6=0 C．x²+x−6=0 D．x²+x+6=0 6．关于 x 的方程 2x²+(m+1)x+m−2=0 的两个实数根异号，则 m 的取值范围是（ ） A．m<−1 B．m<2 C．m>−1 D．m>2 7．若 α，β 是方程 2x²−x−3=0 的两个根，则 α²+β² 的值为（ ） A． B． C． D． 8．已知 a，b 是不相等的实数，且 a²−3a−1=0，b²−3b−1=0，则 a+b 的值为（ ） A．−3 B．−1 C．1 D．3 二、填空题（共 6 题，每题 3 分，共 18 分） 9．方程 5x²+2x−1=0 的两根为 x₁，x₂，则 x₁+x₂=________，x₁x₂=________。 10．若 α，β 是方程 2x²−5x+2=0 的两根，则 ＋=________。 11．若 x₁，x₂ 是方程 x²−8x+12=0 的两根，则 |x₁−x₂|=________。 12．若 p，q 是方程 x²−6x+2=0 的两根，则 (p−1)(q−1)=________。 13．若 x₁，x₂ 是方程 x²−3x−2=0 的两根，则以 2x₁，2x₂ 为两根、二次项系数为 1 的一元二次方程是________________________。 14．关于 x 的方程 x²−(m+1)x+m−2=0 的两个根互为倒数，则 m=________。 三、解答题（共 5 题，共 58 分） 15．（10 分） 已知 α，β 是方程 3x²−7x+1=0 的两个根。 （1）求 α+β，αβ；（4 分） （2）求 (α−β)²＋ 的值。（6 分） 16．（10 分） 小明和小红在解同一个二次项系数为 1 的一元二次方程 x²+px+q=0。小明看错了常数项，得到方程的两个根为 2，5；小红看错了一次项系数，得到方程的两个根为 −1，6。求原方程。 17．（10 分） 关于 x 的方程 x²−(m+2)x+2m=0 的两个根为 x₁，x₂，且其中一个根是另一个根的 2 倍。 （1）求 m 的值；（6 分） （2）求该方程的两个根。（4 分） 18．（14 分） 阅读材料：若一元二次方程的两个根为 x₁，x₂，许多关于两根的式子都可先转化为 x₁+x₂ 与 x₁x₂，再利用根与系数的关系求值；若把原来的两个根作同样的变换，还可以由新根的和与积构造新的方程。 已知 x₁，x₂ 是方程 x²−5x+1=0 的两个根。 （1）求 x₁²+x₂² 的值；（4 分） （2）求 ＋ 的值；（4 分） （3）求以 x₁+1，x₂+1 为两根、二次项系数为 1 的一元二次方程。（6 分） 19．（14 分） 如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC=a，底边 BC=b，AD⊥BC 于点 D，AD=4。已知 a，b 恰好是关于 x 的方程 x²−11x+k=0 的两个正根。 （1）写出 a+b 与 ab 的值（用含 k 的式子表示）；（4 分） （2）求 a，b 的值；（5 分） （3）求 k 的值及 △ABC 的面积。（5 分） 参考答案与详细解答 逐题复核 · 步骤完整 · 易错点明确 一、选择题（详细解析） 答案速查：1．A　2．C　3．B　4．A　5．A　6．B　7．D　8．D 1．答案：A　解析：由根与系数的关系，x₁+x₂=，x₁x₂=−。故选 A。 2．答案：C　解析：α+β=5，αβ=3，所以 (α+2)(β+2)=αβ+2(α+β)+4=3+10+4=17。故选 C。 3．答案：B　解析：设新方程的两根为 y₁=x₁+1，y₂=x₂+1。由 x₁+x₂=4，x₁x₂=1，得 y₁+y₂=6，y₁y₂=x₁x₂+(x₁+x₂)+1=6。因此新方程为 y²−6y+6=0。故选 B。 4．答案：A　解析：原方程两根的积为 −6。已知一个根为 2，设另一根为 r，则 2r=−6，所以 r=−3。故选 A。 5．答案：A　解析：小强只看错常数项，所以一次项系数 p 没看错。由他得到的两根 1，4，可知 −p=1+4=5，故 p=−5。小红只看错一次项系数，所以常数项 q 没看错。由她得到的两根 −1，6，可知 q=(−1)×6=−6。因此原方程为 x²−5x−6=0。故选 A。 6．答案：B　解析：两个实数根异号，则两根之积小于 0。由根与系数的关系，x₁x₂=<0，所以 m<2。此时两根之积为负，方程必有两个异号实根。故选 B。 7．答案：D　解析：α+β=，αβ=−。所以 α²+β²=(α+β)²−2αβ=+3=。故选 D。 8．答案：D　解析：a，b 是不相等的实数，且都满足 t²−3t−1=0，因此 a，b 正是该方程的两个实数根。由根与系数的关系，a+b=3。故选 D。 二、填空题（详细解析） 9．答案：−，−　解析：x₁+x₂=−，x₁x₂=−。 10．答案：　解析：α+β=，αβ=1。先求 α²+β²=(α+β)²−2αβ=−2=，再除以 αβ=1，故所求值为 。 11．答案：4　解析：x₁+x₂=8，x₁x₂=12，所以 (x₁−x₂)²=(x₁+x₂)²−4x₁x₂=64−48=16，故 |x₁−x₂|=4。 12．答案：−3　解析：(p−1)(q−1)=pq−(p+q)+1=2−6+1=−3。 13．答案：y²−6y−8=0　解析：新根之和为 2(x₁+x₂)=2×3=6，新根之积为 4x₁x₂=4×(−2)=−8，所以所求方程为 y²−6y−8=0。 14．答案：3　解析：两根互为倒数，所以两根之积为 1。由 x₁x₂=m−2=1，得 m=3。 三、解答题（详细解答） 15．解： （1）由 3x²−7x+1=0，得 α+β=，αβ=。 （2）(α−β)²=(α+β)²−4αβ=−=。 又 =3，所以 (α−β)²＋=+3=。 方法点拨：看到“根的差的平方”时，可先用 (α−β)²=(α+β)²−4αβ 转化；含倒数时先确认 αβ≠0。 16．解： 小明只看错常数项，所以原方程的一次项系数 p 与他所解方程相同。由他得到的两根 2，5，得 −p=2+5=7，所以 p=−7。 小红只看错一次项系数，所以原方程的常数项 q 与她所解方程相同。由她得到的两根 −1，6，得 q=(−1)×6=−6。 因此原方程为 x²−7x−6=0。 检验：原方程二次项系数为 1；由两次误抄分别只能确定未看错的一个系数，信息恰好可以还原 p，q。 17．解： （1）不妨设两个根为 t，2t。由根与系数的关系，3t=m+2，2t²=2m，所以 m=t²。 代入 3t=m+2，得 3t=t²+2，即 t²−3t+2=0，解得 t=1 或 t=2。 所以 m=1 或 m=4。 （2）当 m=1 时，两个根为 1，2；当 m=4 时，两个根为 2，4。 方法点拨：已知两根存在倍数关系时，可设较小（或其中一个）根为 t，把“两根之和、两根之积”同时与参数联系起来。 18．解： 由 x²−5x+1=0，得 x₁+x₂=5，x₁x₂=1。 （1）x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²−2x₁x₂=25−2=23。 （2）＋===5。 （3）设新根为 y₁=x₁+1，y₂=x₂+1。 则 y₁+y₂=(x₁+x₂)+2=7，y₁y₂=x₁x₂+(x₁+x₂)+1=1+5+1=7。 所以所求方程为 y²−7y+7=0。 方法点拨：构造“平移后的根”的方程时，不必求出原方程的具体根，只需求出新根的和与积。 19．解： （1）因为 a，b 是方程 x²−11x+k=0 的两个根，所以 a+b=11，ab=k。 （2）在等腰三角形 ABC 中，AD⊥BC，所以 D 为 BC 的中点，BD=CD=。 在 Rt△ABD 中，由勾股定理得 a²=AD²+BD²=16＋。 又 a=11−b，代入上式： (11−b)²=16＋。 整理得 3b²−88b+420=0，即 (b−6)(3b−70)=0。 解得 b=6 或 b=。当 b= 时，a=11−b<0，不符合边长为正，舍去。故 b=6，a=5。 （3）k=ab=5×6=30。 S△ABC=×BC×AD=×6×4=12。 所以 k=30，△ABC 的面积为 12。 方法点拨：本题把“方程两根的和、积”与等腰三角形的边长关系结合起来；根与系数的关系负责代数联系，勾股定理负责几何联系。 九年级数学同步练习 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $