25.2.4一元二次方程的根与系数的关系同步练习2026-2027学年人教版九年级数学上册

 

25.2.4  一元二次方程的根与系数的关系

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满分：100 分    |    建议用时：45 分钟    |    基础夯实 · 思维提升

一、选择题（共 8 题，每题 3 分，共 24 分）

1．若方程 3x²−4x−2=0 的两根为 x₁，x₂，则 x₁+x₂，x₁x₂ 分别为（    ）

A．，− B．−，− C．， D．−，

 

2．若 α，β 是方程 x²−5x+3=0 的两个根，则 (α+2)(β+2) 的值为（    ）

A．7 B．12 C．17 D．21

 

3．若 x₁，x₂ 是方程 x²−4x+1=0 的两个根，则以 x₁+1，x₂+1 为两根的一元二次方程是（    ）

A．x²−4x+2=0 B．x²−6x+6=0 C．x²−6x+2=0 D．x²−4x+6=0

 

4．若 2 是方程 x²+(m−1)x−6=0 的一个根，则该方程的另一个根是（    ）

A．−3 B．−2 C．2 D．3

 

5．小强解方程 x²+px+q=0 时看错了常数项，得到两根为 1，4；小华解同一方程时看错了一次项系数，得到两根为 −2，3。原方程是（    ）

A．x²−5x−6=0 B．x²−5x+6=0 C．x²+x−6=0 D．x²+x+6=0

 

6．关于 x 的方程 2x²+(m+1)x+m−2=0 的两个实数根异号，则 m 的取值范围是（    ）

A．m<−1 B．m<2 C．m>−1 D．m>2

 

7．若 α，β 是方程 2x²−x−3=0 的两个根，则 α²+β² 的值为（    ）

A． B． C． D．

 

8．已知 a，b 是不相等的实数，且 a²−3a−1=0，b²−3b−1=0，则 a+b 的值为（    ）

A．−3 B．−1 C．1 D．3

二、填空题（共 6 题，每题 3 分，共 18 分）

9．方程 5x²+2x−1=0 的两根为 x₁，x₂，则 x₁+x₂=________，x₁x₂=________。

 

10．若 α，β 是方程 2x²−5x+2=0 的两根，则 ＋=________。

 

11．若 x₁，x₂ 是方程 x²−8x+12=0 的两根，则 |x₁−x₂|=________。

 

12．若 p，q 是方程 x²−6x+2=0 的两根，则 (p−1)(q−1)=________。

 

13．若 x₁，x₂ 是方程 x²−3x−2=0 的两根，则以 2x₁，2x₂ 为两根、二次项系数为 1 的一元二次方程是________________________。

 

14．关于 x 的方程 x²−(m+1)x+m−2=0 的两个根互为倒数，则 m=________。

三、解答题（共 5 题，共 58 分）

15．（10 分）

已知 α，β 是方程 3x²−7x+1=0 的两个根。

（1）求 α+β，αβ；（4 分）

（2）求 (α−β)²＋ 的值。（6 分）

 

 

 

 

 

16．（10 分）

小明和小红在解同一个二次项系数为 1 的一元二次方程 x²+px+q=0。小明看错了常数项，得到方程的两个根为 2，5；小红看错了一次项系数，得到方程的两个根为 −1，6。求原方程。

 

 

 

 

 

17．（10 分）

关于 x 的方程 x²−(m+2)x+2m=0 的两个根为 x₁，x₂，且其中一个根是另一个根的 2 倍。

（1）求 m 的值；（6 分）

（2）求该方程的两个根。（4 分）

 

 

 

 

 

 

18．（14 分）

阅读材料：若一元二次方程的两个根为 x₁，x₂，许多关于两根的式子都可先转化为 x₁+x₂ 与 x₁x₂，再利用根与系数的关系求值；若把原来的两个根作同样的变换，还可以由新根的和与积构造新的方程。

已知 x₁，x₂ 是方程 x²−5x+1=0 的两个根。

（1）求 x₁²+x₂² 的值；（4 分）

（2）求 ＋ 的值；（4 分）

（3）求以 x₁+1，x₂+1 为两根、二次项系数为 1 的一元二次方程。（6 分）

 

 

 

 

 

19．（14 分）

如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC=a，底边 BC=b，AD⊥BC 于点 D，AD=4。已知 a，b 恰好是关于 x 的方程 x²−11x+k=0 的两个正根。

（1）写出 a+b 与 ab 的值（用含 k 的式子表示）；（4 分）

（2）求 a，b 的值；（5 分）

（3）求 k 的值及 △ABC 的面积。（5 分）