25.1一元二次方程的概念（分层作业·练题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到综合应用，衔接中考，培养抽象能力与推理意识 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|一元二次方程定义、一般形式、解的判断及参数求解|基础题型对应核心考点，如选择、填空巩固概念理解| |B组能力进阶|参数综合、根的性质探究|结合情境与创新题型，如表格分析、定义新运算| |C组思维拔高|跨知识点综合应用|拓展逆向思维，如构造方程、根与系数关系| |拓展链接中考|中考真题再现|衔接中考考点，如根的意义应用、综合解答题|

分层作业 25.1一元二次方程的概念 目 录 A组 巩固过关 题型01一元二次方程的定义 题型02化成一元二次方程的一般形式 题型03判断一元二次方程的解 题型04由一元二次方程的定义求参数 题型05由一元二次方程的解求参数 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 一元二次方程的定义题型01 1．（26-27九年级·全国·暑假作业）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，逐个验证选项即可． 【详解】解：∵选项A：中未知数的最高次数为1，是一元一次方程，∴A不符合要求； ∵选项B：未说明，当时，方程不是一元二次方程，∴B不符合要求； ∵选项C：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，∴C符合要求； ∵选项D：含有两个未知数，是二元一次方程，∴D不符合要求． 2．（25-26八年级下·湖南长沙·阶段检测）在下列方程中，属于一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A中方程含有和两个未知数，不符合一元二次方程定义，所以A不符合题意； 选项B中方程整理为，只含一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程定义，所以B符合题意； 选项C中方程含，分母含有未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，所以C不符合题意； 选项D中方程展开化简得，即，是一元一次方程，不符合一元二次方程定义，所以D不符合题意． 3．（26-27九年级·江苏·暑假作业）下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 【答案】①④/④① 【详解】解：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程． ①，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； ②，含有和两个未知数，不符合一元二次方程的定义； ③，分母中含有未知数，不符合一元二次方程的定义； ④，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； 综上所述，是一元二次方程的有①④． 化成一元二次方程的一般形式题型02 4．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程的一般形式为，只需展开原式，移项合并同类项即可得到结果 【详解】解：原方程为， ∵展开方程左边，得， 合并同类项得， 移项整理为一般形式，两边同乘得 5．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）将一元二次方程化为一般形式是(        ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对原方程依次进行去括号、移项、合并同类项，整理得到符合要求的一般形式即可． 【详解】解：∵原方程为 先去括号，可得 将所有项移到等号左侧，移项变号得 合并同类项得． 6．（25-26八年级下·广西梧州·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的知识，先将一元二次方程整理为一般形式，一元二次方程的一般形式为 （），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项.排除二次项系数为的错误选项，即可得到结果． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式：原方程为 移项得 ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 判断一元二次方程的解题型03 7．（2026·广东珠海·一模）下列选项中是一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将题中的一元二次方程通过因式分解得到或，解得x的值，再对应选项中的值即可． 【详解】解：， 或， 解得：，． 故选：C． 8．（26-27九年级·江苏·暑假作业）下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； B、未知数最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，将代入方程左边得：左边右边，是的根，符合题意； D、即，不是一元二次方程，不符合题意． 9．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）如下表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（　　） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义． 观察表格可得，当或时，，据此即可求解． 【详解】解：由表格可得，当或时，， ∴关于的方程的实数根是，． 故选：B． 由一元二次方程的定义求参数题型04 10．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】 【详解】解：关于的方程是一元二次方程 未知数的最高次数为，可得 解得，此时二次项系数为，符合一元二次方程的定义． 11．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 1 【分析】根据方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是，二次项系数不为，像这样的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ，且 ， 解得． 由一元二次方程的定义求参数题型05 12．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如果a是方程的一个实数根，则的值为________． 【答案】2027 【分析】根据方程根的定义可推出，然后整体代入式子即可解答． 【详解】解：∵a是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26八年级下·安徽六安·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据方程根的定义，方程的根满足原方程，将代入原方程变形即可得到所求代数式的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 移项得， ∴代数式的值为． 14．（24-25八年级下·浙江台州·期中）关于的一元二次方程的一个解为1，则________． 【答案】2 【分析】将已知解代入原方程得到关于的方程，求解后结合一元二次方程二次项系数不为的条件，确定的值． 【详解】解：把代入，得 ， 整理得，因式分解得 ， 解得，， 原方程为一元二次方程， 二次项系数 ，即， ． 15．（26-27九年级·浙江·暑假作业）若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，得到“”是含的二次项，进行判断即可. 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴“”是含的二次项， ∴“”可以是，其他选项均不能构成一元二次方程. 16．（26-27九年级·江苏·暑假作业）已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键．根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵一元二次方程，，，满足，， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是，． 故选：D． 17．（26-27九年级·江苏·暑假作业）在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 【答案】 【分析】将代入方程求解判断即可． 【详解】解：将代入得，， 此方程必有一根为． 18．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的含义，将已知根代入原方程即可求解的值． 【详解】把代入原方程得：， 整理得， 即， 解得． 19．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）请你写出其中一个解为的一个一元二次方程______ 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是理解一元二次方程的解的定义，即能使方程左右两边相等的未知数的值． 根据一元二次方程解的定义，构造一个含有因式的一元二次方程即可． 【详解】解：因为一元二次方程的一个解为， 所以方程可以构造为（为常数）的形式． 例如，取，则方程为，即． 验证：当时，左边，右边，左边等于右边，所以是该方程的解． 故答案为：（答案不唯一） 20．（26-27九年级·全国·暑假作业）对于一元二次方程，下列判断正确的是（    ） A．若是该方程的一个根，则一定有成立； B．若，则方程有一根为； C．若该方程的解为和x，则方程的解是或 D．当，，时，方程一定有实数根； 【答案】D 【分析】A．将代入方程判断即可； B．将变为，将代入方程可得，即方程有一根为； C．根据解为和可将原方程化为，展开后可知，，代入求解即可； D．根据不等式的性质得到，则，判断判别式的正负即可． 【详解】解：对选项A：∵是方程的根，代入方程得，整理得，∴或，并非一定满足，故A错误． 对选项B：∵，移项得，将代入方程得，∴方程有一根为，不是，故B错误． 对选项C：∵原方程的解为和，则原方程可写为，展开得，即，，代入新方程得：，，整理得，解得或，与选项结论不符，故C错误． 对选项D：∵，，∴，可得，又∵，∴，方程判别式，∴方程一定有实数根，故D正确． 21．（2022·山东枣庄·模拟预测）已知a是方程的一个根，则的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据a是方程的一个根，得出，从而得出，再将变形，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 22．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为________． 【答案】/ 【分析】根据一元二次方程的根满足方程得到，进而整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴． 23．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知关于的方程（、、为常数，）的解是，，那么方程的解为_______． 【答案】， 【分析】将所求方程变形后，利用整体换元思想，结合已知原方程的解得到关于x的一次方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的解是，， ∴或， 解得，． 24．（25-26八年级下·全国·课后作业）在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 【答案】 【详解】解：依题意，当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 所以这个方程的根为，． 25．（2026·黑龙江绥化·三模）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为______． 【答案】3 【分析】本题主要考查一元二次方程根的定义，掌握方程的根满足原方程是解题的关键，先利用根的定义对所求代数式中的部分式子进行变形，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴由方程根的定义可得， ，即 ， 同理可得，， 将代入方程左边，得 ，因此， 将两边同时除以，得 ，整理得 ， 因此 ， 故答案为． 26．（2026·广东广州·三模）已知 ． (1)化简； (2)若为方程的解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）根据方程的解的定义得到，再根据计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵为方程的解， ∴， ∴， ∴． 27．（26-27九年级·江苏·暑假作业）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】（1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解：由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵m是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 28．（2026·河南·中考真题）已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于参数的一元一次方程，解出即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 整理得， 移项得， 两边同除以，得． 29．（2026·广东·中考真题）已知方程的一个根是1，则_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解: 因为是方程的根， 将代入方程得：， 整理得， 移项得． 30．（2026·甘肃天水·中考真题）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，再变形所求代数式代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 试卷第2页，共12页 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 25.1一元二次方程的概念 目 录 A组 巩固过关 题型01一元二次方程的定义 题型02化成一元二次方程的一般形式 题型03判断一元二次方程的解 题型04由一元二次方程的定义求参数 题型05由一元二次方程的解求参数 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 一元二次方程的定义题型01 1．（26-27九年级·全国·暑假作业）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·湖南长沙·阶段检测）在下列方程中，属于一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 3．（26-27九年级·江苏·暑假作业）下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 化成一元二次方程的一般形式题型02 4．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）将一元二次方程化为一般形式是(        ) A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·广西梧州·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 判断一元二次方程的解题型03 7．（2026·广东珠海·一模）下列选项中是一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 8．（26-27九年级·江苏·暑假作业）下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）如下表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（　　） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 由一元二次方程的定义求参数题型04 10．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则______． 11．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 由一元二次方程的定义求参数题型05 12．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如果a是方程的一个实数根，则的值为________． 13．（25-26八年级下·安徽六安·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．或 14．（24-25八年级下·浙江台州·期中）关于的一元二次方程的一个解为1，则________． 15．（26-27九年级·浙江·暑假作业）若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（    ） A． B． C． D． 16．（26-27九年级·江苏·暑假作业）已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 17．（26-27九年级·江苏·暑假作业）在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 18．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为____． 19．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）请你写出其中一个解为的一个一元二次方程______ 20．（26-27九年级·全国·暑假作业）对于一元二次方程，下列判断正确的是（    ） A．若是该方程的一个根，则一定有成立； B．若，则方程有一根为； C．若该方程的解为和x，则方程的解是或 D．当，，时，方程一定有实数根； 21．（2022·山东枣庄·模拟预测）已知a是方程的一个根，则的值是（    ） A． B． C． D．1 22．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为________． 23．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知关于的方程（、、为常数，）的解是，，那么方程的解为_______． 24．（25-26八年级下·全国·课后作业）在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 25．（2026·黑龙江绥化·三模）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为______． 26．（2026·广东广州·三模）已知 ． (1)化简； (2)若为方程的解，求的值． 27．（26-27九年级·江苏·暑假作业）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 28．（2026·河南·中考真题）已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 29．（2026·广东·中考真题）已知方程的一个根是1，则_____． 30．（2026·甘肃天水·中考真题）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 试卷第2页，共12页 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 25.1一元二次方程的概念 ● A组 巩固过关 颗型01 元二次方程的定义 1.C 2.B 3.④① 颗型02 化成一元二次方程的一般形式 4.C 5.c 6.D 颗型03 判断一元二次方程的解 7.C 8.C 9.B 颗型04 由一元二次方程的定义求参数 10.1 11. 颗型05 由一元二次方程的定义求参数 12.2027 13.A 14.2 1/3 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B组 能力进阶 15.B 16.D 17.-2 18.6 19.x2-2x=0(答案不唯一) C组 思维拔高 20.D 21.D 2.1+V5 3 23.5=0,6=-2 24.5=-2,5=3 25.3 26.(1)解：A=(2x+-(x+3)(x-3)+2x =4x2+4x+1-(x2-9）+2x =4x2+4x+1-x2+9+2x =3x2+6x+10 (2)解：，x为方程x2+2x-3=0的解， x2+2x-3=0, .x2+2x=3, :4=3x2+6r+10=3(:+2x)+10=3×3+10=9+10=19 2/3 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 27.【详解】(1)解：根据新定义，方程-4x2+3x+1=0的倒方程是：x2+3x-4=0: (2)解：由题知，方程x2-2x+c=0的倒方程为c2-2x+1=0, 将x=-1代入此方程得，c+2+1=0, 解得c=-3: (3)解：由题知，一元二次方程6x2+x+1=0的倒方程是x2+x-6=0, 是此方程的一个实数根， .∴.m2+m-6=0, .m3+m2-6m=0, .m3+m2-6m+2025=0+2025=2025, 拓展 链接中考 28.D 29.-4 30.6 3/3