25.2 一元二次方程：解一元二次方程的4种高频考点 专项训练-2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程四种解法的专项训练，以考点为纲，通过例题与变式构建从特殊到一般的知识逻辑链，强化运算能力与解法选择的推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接开平方法|3例+3变式|选择/填空，含平方形式方程|从特殊方程入手，建立直接开方的直观认知| |配方法|3例+3变式|解答题，含二次项系数为1/非1题型|通过配方转化为直接开方形式，体现转化思想| |公式法|3例+3变式|解答题，含一般形式及系数含参题型|基于配方法推导公式，形成普适性解法| |因式分解法|3例+3变式|解答题，含提公因式/十字相乘法题型|利用因式分解降次，体现降维思想|

一元二次方程：解一元二次方程的4种高频考点专项训练 一元二次方程：解一元二次方程的4种高频考点专项训练 考点一 解一元二次方程：直接开平方法 考点目录 解一元二次方程：直接开平方法 解一元二次方程：配方法 解一元二次方程：公式法 解一元二次方程：因式分解法 例1.(25-26九年级上江苏南京期末)方程x2-4=0的解是（) A.=为=2 B.=为=V2 C.x=2,x=-V2 D.X=2,5=-2 例2.(25-26九年级上山西忻州期末)方程25x2-1=0的根为() A B.x=5 Q.5=月 D.x=5,x2=-5 例3。(25-26九年级上上海闵行阶段检测)方程1-2)'-16=0 的解是一。 变式1.(2526九年级上云南昭通阶段检测)方程2(x+-8=0 的解为」 一元二次方程：解一元二次方程的4种高频考点专项训练 变式2.(25-26八年级上上海普陀期末)方程3r-2=6 的根是一· 变式3.(2526九年级上甘肃武威阶段检测)一元二次方程x-1少=0的根是 一元二次方程：解一元二次方程的4种高频考点专项训练 考点二 解一元二次方程：配方法 例1.(25-26九年级上福建莆田阶段检测)用配方法解方程： )r-4x-3=0 2r-2x-5=0 例2.(25-26九年级上四川成都·阶段检测)解方程：x2-4x+1=0. x2-8x+1=0 例3.(25-26九年级上安徽芜湖阶段检测)解方程： 变式1.(25-26九年级上·北京·阶段检测)用配方法解下列方程 a①）r+15=8x 23r2+1=2V5x 一元二次方程：解一元二次方程的4种高频考点专项训练 变式2.(25-26九年级上·黑龙江大庆阶段检测)解方程：（用配方法）： )+4r-2=0 2+30-1)=12 变式3.(25-26九年级上河北唐山阶段检测)用配方法解下列方程： x-8x+13=0 2+5x+7=3x+11 一元二次方程：解一元二次方程的4种高频考点专项训练 考点三 解一元二次方程：公式法 例1.(25-26九年级上江苏扬州阶段检测)用公式法解下列方程： ①2r-4r-1=0 27r+1=r2 3)0.2r2+5= 2 例2.(25-26九年级上江西南昌·阶段检测)用公式法解方程： 、3x2-4x-8=0 (1) 2+2r-4=0 例3。（2526九年级上安徽芜湖阶段检测)用公式法解一元二次方程：3-45x+2=0. 5 一元二次方程：解一元二次方程的4种高频考点专项训练 变式1.(25-26九年级上陕西咸阳期末)解方程：x2-2x=2x-1. 变式2.(25-26九年级上：广东惠州阶段检测)解下列方程： 1)2+3x+2=0 220r-2=7x 变式3.(25-26九年级上湖北十堰期中)解方程： a)2r2-x-15=0 2x-2=(2.x+3}2 6 一元二次方程：解一元二次方程的4种高频考点专项训练 考点四 解一元二次方程：因式分解法 例1.(25-26九年级上山西运城阶段检测)用因式分解法解下列方程： ,、(4x-1)5x+7)=0 ( 包*0r+2)=3x+6 6)2r+3=402x+3) ④20r-3y2=x2-9 例2.(26-27九年级上云南昆明开学考试)解方程： ①x(6x-3)=x-3 22r-7x+3=0 例3.(25-26九年级上广西南宁·阶段检测)用因式分解法解方程： 1)r-2x-8=0 2x+4}°=5(x+4) 个 一元二次方程：解一元二次方程的4种高频考点专项训练 一元二次方程：解一元二次方程的4种高频考点专项训练 变式1.(25-26九年级上新疆哈密期中)解方程： 0)2r+3=7x 2x-3°+2x(x-3)=0 变式2.(25-26九年级上江西九江阶段检测)解方程： +2x+1=0 22(x-3)=3x(x-3) 变式3.(25-26九年级上福建福州·阶段检测)解方程： 0)r-4x=0 (2)r-4r-5=0一元二次方程：解一元二次方程的4种高频考点专项训练 一元二次方程：解一元二次方程的4种高频考点专项训练 考点目录 解一元二次方程：直接开平方法 解一元二次方程：配方法 解一元二次方程：公式法 解一元二次方程：因式分解法 考点一 解一元二次方程：直接开平方法 例1．（25-26九年级上·江苏南京·期末）方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法，可通过移项后利用直接开平方法即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 即 故选：D． 例2．（25-26九年级上·山西忻州·期末）方程的根为（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过直接解一元二次方程，得到两个根，再对比选项即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即，， 故选：C． 例3．（25-26九年级上·上海闵行·阶段检测）方程的解是_____． 【答案】或 【分析】本题考查了直接开平方法，掌握直接开平方法解方程是解题的关键．根据直接开平方法求解方程即可． 【详解】解：， ， 或（舍去）， ， 或． 故答案为：或． 变式1．（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）方程的解为___________． 【答案】， 【分析】运用直接开平方法即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 变式2．（25-26八年级上·上海普陀·期末）方程的根是______． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 即或， 解，得，， 解，得，， ∴方程的根是， 故答案为：． 变式3．（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）一元二次方程的根是___________． 【答案】 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程． 根据直接开平方法计算即可． 【详解】解：， 直接开平方法得：， 故答案为：． 考点二 解一元二次方程：配方法 例1．（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）用配方法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解： 移项，得． 配方，得， ． 由此可得， ，； （2）解： 移项，得． 配方，得， ． 由此可得， ，． 例2．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）解方程：． 【答案】， 【分析】通过移项、配方、两边开平方进行求解即可． 【详解】解：移项，得． 配方，得，即． 两边开平方，得， ，． 例3．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）解方程： 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得． 变式1．（25-26九年级上·北京·阶段检测）用配方法解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程．先将方程整理为标准形式，第二题先将二次项系数化为1，再通过配方将方程化为完全平方等于常数的形式，最后用直接开平方法求解即可． 【详解】（1）解： 移项得 配方，方程两边同时加16得 整理得 开方得 解得，． （2）解： 移项得 二次项系数化为1得 配方，方程两边同时加得 整理得 解得． 变式2．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）解方程：（用配方法）； (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据配方法的步骤解方程即可； （2）先将方程左边展开，再根据配方法的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： ，； （2）解： ，． 变式3．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将原方程整理后利用配方法解方程即可； （2）将原方程整理后利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， 原方程整理得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得：，； （2）解：， 原方程整理得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得：，． 考点三 解一元二次方程：公式法 例1．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)方程无实数根 【分析】（1）根据一元二次方程的一般形式，分别找出二次项系数，一次项系数和常数项，根据判别式的值判断出该方程有两个不相等的实数根，再利用公式法求解即可； （2）先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别找出方程的二次项系数，一次项系数和常数项，根据判别式的值判断出该方程有两个不相等的实数根，再利用公式法求解即可； （3）先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别找出方程的二次项系数，一次项系数和常数项，根据判别式的值判断出该方程无实数根． 【详解】（1）解：， 由方程可得：，，， ∵， ∴， 即，； （2）解： ， 将原方程化为一般形式，得， 由方程一般形式可得：，，， ∵， ∴， 即，； （3）解：， 将原方程化为一般形式，得， 由方程一般形式可得：，，， ∵， ∴该方程无实数根． 例2．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）用公式法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先找出，，并判断的正负，再代入公式求解即可； （2）先找出，，并判断的正负，再代入公式求解即可． 【详解】（1）解：，，，且， ∴，即，． （2）解：∵，，，且， ，即，． 例3．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）用公式法解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】根据公式法求解即可． 【详解】解：一元二次方程为． 其中，，， 则， ∴， 解得， ． 变式1．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，选择适当的方法解方程是解题的关键．利用公式法求解即可． 【详解】解：∵, ∴，其中， ∴ ∴， 解得，． 变式2．（25-26九年级上·广东惠州·阶段检测）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． （1）运用公式法解方程即可； （2）先将方程化成一般形式，然后运用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， ，； （2）解：把方程化成一般形式，得 ， ，，， ， ， ，． 变式3．（25-26九年级上·湖北十堰·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程． （1）本题的一元二次方程不易因式分解，使用公式法计算，本题中，，，先计算判别式，若，则方程的解为，再代入求根公式求解该方程，本题的，所以方程有两个不相等的实数根，代入求根公式即可得出结果； （2）本题的一元二次先进行括号的展开计算并化简，得到，由于该一元二次方程不易因式分解，故使用公式法计算，本题中，，，同样先计算判别式，再代入求根公式计算，本题的说明有两个不相等的实数根，代入求根公式即可得出结果． 【详解】（1）解： ∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 即，． （2）解： ， ， ∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 即，． 考点四 解一元二次方程：因式分解法 例1．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： ∴或， 解得，； （2）解： 或 解得，； （3）解： 则或， 解得，； （4）解： 整理得， 或， 解得，； 例2．（26-27九年级上·云南昆明·开学考试）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）移项后提取公因式分解因式，转化为一元一次方程求解； （2）将方程左边用十字相乘法分解因式，转化为一元一次方程求解． 【详解】（1）解： 或 解得，． （2） 或 解得，． 例3．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）用因式分解法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 ，； （2）解： 或 ，． 变式1．（25-26九年级上·新疆哈密·期中）解方程： (1)． (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：原方程移项得， 因式分解得， 则或， 解得，； （2）解：原方程因式分解得， 整理得， 则或， 解得，． 变式2．（25-26九年级上·江西九江·阶段检测）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) ， 【分析】（1）左边为完全平方式，因式分解后即可得解； （2）移项后，根据因式分解法求一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴， 解得：． （2）解：， 移项得， 提取公因式得， ∴或， 解得，． 变式3．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 因式分解得，， ∴或， 解得：，． （2）解： 因式分解得，， ∴或， 解得：，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $