专题02 数轴 同步讲义 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

本讲义聚焦数轴核心知识点，系统梳理其定义（三要素：原点、正方向、单位长度）、画法步骤、数与点对应关系、相反数概念及大小比较规律，作为数形结合基础工具，为后续有理数大小比较和绝对值学习搭建关键支架。 资料亮点在于题型丰富（涵盖11种，如动点问题、规律探究），通过数轴上点的平移、圆环绕数轴等实例，培养学生几何直观（数学眼光）和推理意识（数学思维），课中助力教师系统授课，课后可通过课堂小练和题型精讲帮助学生巩固知识、弥补盲点。

专题02 数轴 同步培优讲义 ✺知识框架 1.数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 2.数轴的画法：画直线、定原点、选正方向、取单位长度。 3.数与点的对应：任何一个有理数都可以用数轴上的点表示。 4.相反数：只有符号不同的两个数；在数轴上位于原点两侧，到原点距离相等。 5.位置与大小:数轴上右边的点表示的数总比左边的大。 ✅数轴是 "数形结合" 的基本工具，三要素缺一不可；借助数轴可以把有理数与点对应起来，直观认识相反数及数的大小关系，为后续比较有理数大小、学习绝对值打下基础。 ✺学习目标 1.理解数轴的概念，掌握数轴的三要素，会画数轴。 2.会用数轴上的点表示有理数，能根据数轴上的点读出所表示的数。 3.理解相反数的概念，知道 0的相反数是 0，能借助数轴说明互为相反数的两个点的位置关系。 4.能借助数轴理解 "右边的点表示的数总比左边的大"，初步体会数形结合思想。 ✺题型归纳 题型1.数轴的三要素及其画法 题型2.用数轴上的点表示有理数 题型3.数轴上两点之间的距离 题型4.数轴上点的平移（动点问题） 题型5.相反数的定义 题型6.数轴上找原点 题型7.数轴上整点覆盖问题 题型8.数轴上的规律探究 题型9.化简多重符号 题型10.相反数的应用 题型11.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、数轴的概念与三要素　 ▲规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 ▲原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可。通常规定向右为正方向。 知识点二、数轴的画法　 ▲画数轴分四步： 第一步：画水平直线，绘制一条平整的横向直线，线条平直规范，作为数轴的基础载体，切忌倾斜、弯折。 第二步：定原点、标数字，在直线居中合适位置选取一点作为原点，必须清晰标注数字 0，原点是正负数的唯一分界点，位置居中美观、不偏移。 第三步：定正方向、画箭头，统一规定向右为正方向，在直线最右端绘制标准箭头，箭头清晰醒目，不可缺失、倒置或画在左侧。 第四步：统一单位、标刻度，以原点为中心，向左右两侧截取长度完全相等、间距均匀的单位线段，依次标注对应整数刻度。 知识点三、有理数与数轴上的点　 1.任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示：正数用原点右侧的点表示，负数用原点左侧的点表示，0用原点表示。 ▲ 反过来，数轴上的点表示的数不一定是有理数。 2.数轴两点距离计算 ▲同一数轴上，任意两点距离计算公式：右侧大数 -左侧小数。数轴距离恒为正数，是后续学习绝对值几何意义的重要铺垫。 示例：数轴上-4和3两点的距离：3-(-4)=7，即两点相隔7个单位长度。 原点右侧为正数，原点左侧为负数；大小关系：正数＞0＞负数，正数永远大于负数。 3.数轴上点的移动规律 核心口诀：右加左减。点向右移动，数值增大，做加法运算；点向左移动，数值减小，做减法运算，移动的单位长度即为加减的数值。 示例：表示-2的点向右移动3个单位：-2+3=1；向左移动2个单位：-2-2=-4。 知识点四、相反数　 ▲只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0 的相反数是0，数a的相反数是−a。 几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个数（0 除外）的点位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。 【提示】：画数轴易错点：三要素缺一不可，单位长度必须均匀一致，正方向用箭头标出。 利用数轴求距离：数轴上两点间的距离，等于这两点之间单位长度的个数。如表示 −3 与 2 的两点之间间隔 5 个单位长度，故距离为 5。 相反数的判断：抓住 "只有符号不同"；0 的相反数是 0，互为相反数的两个数到原点的距离相等。 ✺题型精讲 题型1.数轴的三要素及其画法 1．关于规范的数轴，下列说法正确的是（    ） A．无原点 B．无正方向 C．有原点、正方向、单位长度一致 D．正负标反 【答案】C 【分析】数轴的三要素为原点、正方向、统一的单位长度，只有同时满足三要素才是规范的数轴，据此判断各选项即可． 【详解】解：A．缺少原点，不符合要求，故A错误； B．缺少正方向，不符合要求，故B错误； C．具备原点、正方向，且单位长度一致，符合数轴定义，故C正确； D．正负方向标错，不符合要求，故D错误． 2．我们把规定了______________、______________、______________的直线叫做数轴，这条直线上的任意一个点表示一个数，原点左边的点表示的数都是______________数，原点右边的点表示的数都是______________数．在实际问题中，1个单位长度可表示一定的数量，如1米，1千米，400千克等． 【答案】 原点 正方向 单位长度 负 正 【分析】根据数轴的定义即可求解． 【详解】我们把规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，这条直线上的任意一个点表示一个数，原点左边的点表示的数都是负数，原点右边的点表示的数都是正数． 故答案为：原点，正方向，单位长度，负，正． 【点睛】本题考查了数轴的定义，能熟记数轴的定义是解此题的关键． 3．判断下面所画数轴是否正确，并说明理由 【答案】1、错误；2、错误；3、错误；4、错误；5、错误；6、错误；7、错误；8、正确 【分析】根据数轴的概念，即可求解． 【详解】解：1、不是直线，故所画错误； 2、不是直线，故所画错误； 3、无原点，故所画错误； 4、无单位长度，故所画错误； 5、无正方向，故所画错误； 6、数轴只有一个正方向，故所画错误； 7、数轴上右边的数总是大于左边的数，正数在原点的右侧，负数在原点的左侧，故所画错误； 8、原点、正方向、长度单位都有，故所画正确． 【点睛】本题主要考查了数轴的概念，熟练掌握规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴．原点，正方向，单位长度是数轴的三要素是解题的关键． 题型2.用数轴上的点表示有理数 1．如图，“”所指的位置表示的数可能是（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】根据图示，数轴上的一个小格表示2，箭头所指的位置，在10到20之间，第3个格，可知箭头表示的数是16． 【详解】解：根据图示，数轴上的一个小格表示2，则箭头表示的数是16． 2．下面直线上点A表示的数是( )，点B用分数表示是( )． 【答案】 【详解】解：由图可知，向右为正方向，向左为负方向， 点位于左侧个单位长度处，即与的中点， 点表示的数为； 点位于与之间，该区间被平均分成3份，每份长度为，点位于右侧第2个分点处， 点表示的数为． 3．在数轴上，表示下列各数的点分别位于原点的哪边？与原点距离多少个单位长度？ ，，，． 【答案】表示的点位于原点左边，与原点距离3个单位长度； 表示的点位于原点右边，与原点距离4.2个单位长度； 表示的点位于原点左边，与原点距离1个单位长度； 表示的点位于原点右边，与原点距离个单位长度． 【分析】根据数轴上点的特点，原点左边的数为负数，原点右边的数为正数，进行解答即可． 【详解】解：∵，，，， ∴表示的点位于原点左边，与原点距离个单位长度； 表示的点位于原点右边，与原点距离个单位长度； 表示的点位于原点左边，与原点距离个单位长度； 表示的点位于原点右边，与原点距离个单位长度． 题型3.数轴上两点之间的距离 1．若数轴上点A表示的数是2，则与点A相距5个单位长度的点所表示的数是（    ） A．7 B． C．7或 D．或3 【答案】C 【分析】分所求点在点A的左侧和右侧两种情况讨论，分别计算即可得到结果，注意不要漏解． 【详解】解：∵点A表示的数是2，所求点与点A相距5个单位长度， ∴分两种情况讨论： 当所求点在点A的左侧时，该点表示的数为； 当所求点在点A的右侧时，该点表示的数为． ∴所求点表示的数为或． 2．已知数轴上点表示有理数，点与点的距离为，则点表示的有理数为______． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，设点表示的有理数为，则，解得或，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设点表示的有理数为，则， 解得或， 故答案为：或． 3．（）在数轴上表示出下列各点． A．        B．        C．       D． （）点和点之间相差___________个单位长度． 【答案】 （）如图所示 （） 【分析】先将各数在数轴上表示出来，然后可得出点和点之间的距离． 【详解】解：（）略 （）由图可得：点和点之间相差个单位长度． 题型4.数轴上点的平移（动点问题） 1．在数轴上，点表示的数是，将点A沿数轴向右移动个单位长度得到点，则点表示的数是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查数轴上点的平移． 根据数轴上点的移动规则，向右移动时数值增加，向左移动时数值减少，即可得点表示的数． 【详解】解：∵点表示的数是，将点A沿数轴向右移动个单位长度得到点， ∴点表示的数是． 故选：D． 2．点A在数轴上表示的数是，从A点出发先向右平移7个单位长度，再向左平移3个单位长度到达点B，则点B表示的数是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上点的平移规律，熟练掌握“向右平移对应数加，向左平移对应数减”是解题的关键． 根据数轴上点的平移规律“向右平移数加，向左平移数减”，先对起始点进行向右平移操作，再进行向左平移操作，计算最终点表示的数． 【详解】解：∵点表示的数是，向右平移个单位长度， ∴平移后表示的数为， 又∵再向左平移个单位长度， ∴最终点表示的数为， 故答案为：． 3．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了个单位长度到达点，再向右爬了个单位长度到达点，然后又向左爬了个单位长度到达点． (1)画出数轴，标出三点在数轴上的位置； (2)根据点在数轴上的位置，点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的？ (3)若蚂蚁从点出发，先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点表示的数． 【答案】(1)点三点在数轴上的位置如图所示， (2)向左爬了4个单位长度 (3) 【分析】本题主要考查了数轴的表示及数轴上的点与数的对应关系、有理数的加减运算，熟练掌握数轴上点的移动规律（右移加、左移减）是解题的关键． （1）根据蚂蚁的移动方向和单位长度，确定、、三点对应的数，再在数轴上标出位置． （2）先计算点对应的数，再根据数的正负判断移动方向和单位长度． （3）逆向分析蚂蚁的移动过程，通过运算求出点表示的数． 【详解】（1）解：略． （2）解：点可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬了个单位长度到达的； （3）解：由题意可知蚂蚁先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，即可以看作向右爬了个单位长度， 故点表示的数为． 题型5.相反数的定义 1．的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：的相反数是． 2．填空： （1）2.5的相反数是________； （2）________是的相反数； （3）是________的相反数； （4）________的相反数是； （5）8.2和________互为相反数． 【答案】 【详解】略 3.利用所学的知识解决下列问题： (1)已知两数，判断与是否互为相反数，并说明理由； (2)如果是任意两个不等于0的有理数，且互为相反数，那么与有什么关系？请说明理由． 【答案】(1) 解：与互为相反数， 理由如下： ， 与互为相反数； (2) 解：与互为相反数， 理由如下： 是任意两个不等于0的有理数，且互为相反数， ， 即， ， 则与互为相反数． 【分析】本题考查相反数的定义，熟记相反数定义是解决问题的关键． （1）由相反数定义直接验证即可得到答案； （2）由相反数定义直接验证即可得到答案． 【详解】（1）略 （2） 略 题型6.数轴上找原点 1．有理数，在一条隐藏原点的数轴上，对应点，的位置如图所示，且，下列推断正确的是（     ）． A．原点一定在点左侧 B．不能确定原点的位置 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【答案】D 【分析】根据越在数轴的右边数越大，运用，得，则原点一定在中点右侧，即可作答． 【详解】解：∵有理数，在数轴上的对应点，的位置，且， ∴， ∴， ∴的中点位置是小于的， ∴原点一定在中点右侧． 2．如图，如果有理数的绝对值是的绝对值的3倍，那么点中______可能是数轴的原点． 【答案】C或D 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，分当原点在数b右侧时，原点在数a和数b之间，根据和，据此建立关于b的方程，解方程求出b，进而求出a，再结合数轴即可得到答案． 【详解】解：∵有理数的绝对值是的绝对值的3倍，且两个数之间的距离为， ∴当原点在数b右侧时，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴a表示的数为，b表示的数为， 此时点D是数轴的原点， 当原点在数a和数b之间，，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴a表示的数为，b表示的数为1， 此时点C是数轴的原点， 当原点在数a左侧时，，不符合题意， 综上所述：、可能是数轴的原点． 故答案为：C或． 3．如图，点表示，点表示． (1)在数轴上标出原点； (2)点表示的数是多少？ (3)若两点到原点的距离相等，且两点在原点的两侧，则点表示的数是多少？ 【答案】(1) 如图： (2)点表示的数为3 (3)点表示的数为 【分析】本题考查数轴的定义，掌握数轴的特征是解题关键． （1）首先正确作出数轴，根据表示在原点的左侧，到原点的距离是个单位长度的点表示的数，即可表示出原点； （2）根据点的位置得出点表示出的数； （3）点到原点的距离与点到原点的距离相等，则原点是线段的中点，据此即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：点在原点的右侧，距离原点3个单位长度，因此点表示的数为3． （3）解：因为点到原点的距离为3个单位长度，，两点到原点的距离相等，且两点在原点的两侧，所以点表示的数为． 题型7.数轴上整点覆盖问题 1．如图，在数轴上，注明了四段的范围，若某段上有两个整数，则这段是（   ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【分析】本题考查用数轴表示数的应用，熟练掌握有理数在数轴上的排列规律是解题关键． 把每段的整数写出来即可得到答案． 【详解】解：由数轴每段的端点可以得到： 段①的整数为， 段②的整数为，， 段③的整数为， 段④的整数为， 故选B． 2．小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，墨迹盖住部分的整数有___________个． 【答案】7 【分析】本题主要考查了数轴和整数的概念，根据数轴上墨迹覆盖的范围确定其中整数个数是解题的关键． 分别找出数轴上两处墨迹盖住部分的整数，再统计其总数即可． 【详解】解：根据数轴可得：墨迹盖住的整数共有，共7个． 故答案为7． 3．如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 【答案】9个，它们对应的数是 【分析】本题考查了数轴，是基础题，知道数轴上的点是连续的是解题的关键．根据数轴上的点是连续的特点，写出被墨水盖住的整数即可． 【详解】解：根据数轴的特点，到之间的整数有、、、、共5个， 0到之间的整数有1、2、3、4共4个， 所以被墨迹盖住的整数有（个）． 它们对应的数是． 题型8.数轴上的规律探究 1．如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字 的点重合．（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了图形类规律探究，发现循环规律，并正确计算循环后处于第几组的第几个数是解题的关键． 每4个数为一组，分别与3、2、1、0重合，计算，看余数是几，即可求解． 【详解】解：由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，分别与3、2、1、0重合， ∵， ∴数轴上表示的点与圆周上表示的数字0重合． 故选：A． 2．如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么的值是__________． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上点的移动规律及绝对值的应用，关键是分奇偶次移动总结点表示的数的通项公式，再结合距离条件求解． 【详解】解：点初始表示的数为2，根据移动规则分析： 第1次点向左移动2个单位长度至点，表示的数是， 第2次从点向右移动4个单位长度至点，表示的数是， 第3次从点向左移动6个单位长度至点，表示的数是， 第4次从点向右移动8个单位长度至点，表示的数是， …… 可以归纳出，当为偶数时，第次移动后，点表示的数为；当为奇数时，第次移动后，点表示的数为． 已知点与原点的距离为，即， ①若为偶数，则，解得(舍去负值)； ②若为奇数，则，即，解得(舍去负值)． 故答案为：或． 3．已知，等边（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示． (1)将从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是___________； (2)将从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2018表示的点与点___________重合； (3)将从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：． ①第___________次滚动后，点A离原点最远； ②当结束滚动时，点表示的数是___________． 【答案】(1) (2) (3)三； 【分析】本题考查了数轴的概念、正负数的意义，周期性规律的探究等，解决问题的关键是据题意得到等边滚动一周，等边的顶点移动3个单位． （1）根据等边滚动1周后点A的位置得出点A对应的数； （2）根据等边滚动的规律，即可得出答案； （3）①先判断每次滚动后点A的位置，即可得出点A离原点最远是第几次； ②根据等边结束运动时，点A表示的数即可得出点表示的数． 【详解】（1）解：由题意得：， 所以将等边从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈，A表示的数是； 故答案为：； （2）解：因为， 所以将等边从如图所示位置沿数轴向右滚动，数2018表示的点与点重合； 故答案为：； （3）解：因为五次运动后，点A对应的数依次为： ； ； ； ； ； 所以第三次滚动后，点A离原点最远；     由知，运动结束后A点对应的是，所以点对应的数是． 故答案为：三；． 题型9.化简多重符号 1．计算：（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 2．化简符号：___________． 【答案】 【详解】解：． 3．按要求完成下列各题。 (1)化简下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥． (2)若前面有2026个负号，则化简后的结果是多少？若前面有2025个负号，则化简后的结果是多少？你能总结出什么规律？ 【答案】(1)①2；②；③；④3.5；⑤5；⑥． (2)当前面有2026个负号时，化简后的结果是5．当前面有2025个负号时，化简后的结果是5． 总结规律：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数，有偶数个负号时，化简后的结果等于它本身． 【分析】（1）根据多重符号化简规则，数负号个数，偶数个负号结果为原数，奇数个负号结果为原数相反数； （2）用奇偶判断多负号化简结果，归纳通用规律． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥ （2）解：当前面有2026个负号时，化简后的结果是5．当前面有2025个负号时，化简后的结果是5． 总结规律略 题型10.相反数的应用 1．互为相反数的两个数（都不为零）的商为（　　） A． B．1 C．0 D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查相反数，掌握知识点是解题的关键． 根据相反数的定义，两个互为相反数的数之和为0，其中一个数为a，另一个数为．计算它们的商即可得出结果． 【详解】解：设这两个数分别为a和（a≠0），则它们的商为： ， 无论以哪一个数作为被除数，结果均为−1． 因此，互为相反数的两个非零数的商恒为−1． 故选A． 2．用“”，“”定义新运算：对于任意有理数，都有和．例如，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，相反数的定义，根据新定义可得，，进而即可求解，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， 故答案为：． 3．如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题：    (1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？ (2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是正数还是负数？ 【答案】(1) (2)正数 【分析】（1）根据互为相反数的定义确定出点的位置，再根据数轴写出点表示的数即可； （2）根据互为相反数的定义确定出点的位置，再根据数轴写出点表示的数即可． 【详解】（1）点表示的数是；    （2）点表示的数是0.5为正数．    【点睛】本题考查了相反数，数轴，熟练掌握相反数的定义并确定出原点的位置是解题的关键． ✺课堂小练 一、单选题 1．下列选项中所画的数轴正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数轴的定义要求必须同时具备三个要素：原点、正方向、统一的单位长度； 【详解】解：选项A：没有画出正方向，不符合要求，错误； 选项B：没有标出原点，不符合要求，错误； 选项C：到0的单位长度和0到1、1到2的单位长度不一致，单位长度不统一，错误； 选项D：同时满足原点、正方向、统一单位长度三个要求，是正确的数轴． 2．在数轴上，点表示2026，点表示2026的相反数，则点与点的距离是（     ） A．2026 B． C．4052 D． 【答案】C 【分析】先根据相反数的定义得到点表示的数，再利用数轴上两点间距离的计算方法求解即可． 【详解】解：∵点表示的数为，的相反数为 ∴点表示的数为 ∵数轴上两点间的距离等于两点表示数的差的绝对值 ∴点与点的距离为． 3．已知与3互为相反数，则是（     ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据相反数的定义即可直接求解. 【详解】解：∵与互为相反数， ∴． 4．下列各对数中互为相反数的有（   ） （1）与        （2）与 （3）与        （4）与 （5）与    （6）与 A．对 B．对 C．对 D．对 【答案】B 【分析】先根据去括号法则化简每组中的两个数，再根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，逐一判断，统计符合条件的对数即可． 【详解】解：（）与只有符号不同，互为相反数； （），与互为相反数，即：与互为相反数； （），，与互为相反数，即：与互为相反数； （），，两数相等，即：与不是互为相反数； （），，与互为相反数，即：与互为相反数； （），，与互为相反数，即：与互为相反数； 综上，共有对互为相反数． 5．在数轴上任取一条长度为的线段，则这条线段最多能覆盖的整数点有（     ）个 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：求一条长度为的线段最多能覆盖的整数点个数，分两种情况： 情况一：当线段的两个端点与数轴上的整数点重合时，设线段左端点对应整数为，则右端点对应整数为，此时覆盖的整数点为，，，，，总个数为 ； 情况二：当线段的两个端点不与数轴上的整数点重合时，设线段左端点位于整数为和之间，则右端点位于整数为和之间，此时覆盖的整数点为，，，，总个数为； 所以，对比两种情况的覆盖个数，，因此最多能覆盖个整数点． 二、填空题 6．直线下面的方框里填整数或小数，上面的方框里填分数．方框里从左往右依次填写________、________、________、________． 【答案】 【分析】根据数轴上对应点的位置可得答案． 【详解】解：如图，各位置表示的数如下： 7．该数轴的原点为，向右为正方向．若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 【答案】6 【分析】先求出点A、C在直尺上的距离，再根据点、C表示的数互为相反数，得到点O是线段的中点，进而可解答． 【详解】解：∵直尺上点对应刻度2，点C对应刻度10， ∴点A、C在直尺上的距离为， ∵点、C表示的数互为相反数， ∴原点是线段的中点，即到原点的距离为， 又∵数轴向右为正方向， ∴原点对应直尺上的刻度为． 8．正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；…按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是______． 【答案】D 【分析】本题考查数轴，掌握数轴表示数的方法以及正六边形翻滚时所对应数的变化规律是正确解答的关键．根据翻滚规律以及各个顶点所对应的数即可得出答案． 【详解】解：由题意得，点A，点B，点C，点D，点E，点F所对应的数分别为1，2，3，4，5，6， ∵， ∴数轴上数2026所对应的顶点是点D． 故答案为：D． 9．已知的相反数是x，的相反数是y，z的相反数是0，则的相反数是___． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数，直接利用相反数的定义得出的值，进而得出答案． 【详解】解：∵，它的相反数是， ∴； ∵，它的相反数是3， ∴； ∵0的相反数是0， ∴， ∴， ∴的相反数是． 故答案为：． 三、解答题 10．解答下列各题 (1)如图，数轴上点A，B，C，D分别表示什么数？ (2)画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： ，，0，5，，，3，． 【答案】(1)数轴上点A，B，C，D分别表示； (2)数轴上的点表示各数，如图： 【详解】（1）略 （2）略 11．如图，在长方形中，，，且边在数轴上，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上，记为；继续翻滚，点第二次落回到数轴上，记为；……；以此类推． (1)若点与原点重合，点表示的数为_____． (2)若点表示的数为，点表示的数为_____， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，点第一次落回到数轴上时向右滚动的距离为长方形的周长，则可得到，从而得到答案； （2）长方形向右每滚动12个单位长度，点A就会回到数轴上，用点A表示的数加上滚动的距离即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，若点与原点重合，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上时，，即点表示的数为； （2）解：由题意可得，长方形向右每滚动12个单位长度，点A就会回到数轴上， ∴若点表示的数为，点表示的数为． 12．有理数a，b在数轴上的位置如图所示： (1)在数轴上分别用A，B两点表示，； (2)若数b与表示的点相距20个单位长度，则b与表示的数分别是什么？ (3)在（2）的条件下，若数a表示的点与数b表示的点相距15个单位，则a与表示的数是多少？ 【答案】(1) 如图， (2)b表示的数是，表示的数是10 (3)a表示的数是5，则表示的数是 【分析】本题考查数轴、相反数的几何意义、数轴上两点间的距离，属于基础题，理解相反数的几何意义：数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等是解答的关键． （1）根据相反数的几何意义求解即可； （2）根据相反数的几何意义可求得b和对应的点到原点的距离为10求解即可； （3）根据数轴上a、b的位置可求得a表示的数，进而可得表示的数． 【详解】（1）略 （2）解：∵数b与表示的点相距20个单位长度， ∴b和对应的点到原点的距离为10， ∴b表示的数是，表示的数是10； （3）解：∵数a表示的点与数b表示的点相距15个单位，b表示的数是， ∴a表示的数是5，则表示的数是． 13．在1.2有理数（2）中，一只蚂蚁从数轴的原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C． (1)在数轴上点A所表示的数的相反数是多少？是哪一个点？ (2)如果蚂蚁从点C出发要爬到点D，且点D和点B所表示的两数互为相反数，那么它应该往哪个方向爬几个单位长度？ (3)如果蚂蚁从点C出发要爬到点E，且点E到原点的距离为5个单位长度，那么它应该怎样爬到点E？ 【答案】(1)在数轴上点A所表示的数的相反数是，是点C (2)它应该往左爬2个单位长度 (3)当E在C的右侧时，C应该向右爬行9个单位，当E在C的左侧时，C应该向左爬行1个单位 【分析】（1）先根据运动方向和单位长度依次确定A、B、C三点所表示的数，再找出点A表示数的相反数对应的点即可； （2）由相反数定义确定点D表示的数，再比较点C与点D在数轴上的左右位置及距离，判断爬行方向与长度即可； （3）根据点E到原点距离为5个单位长度，分点E在原点左侧和右侧两种情况，分别确定点E表示的数，再计算其与点C的距离和相对位置，得出爬行方案． 【详解】（1）解：因为蚂蚁从数轴的原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A， 所以点A表示的数为， 从点A向右爬了2个单位长度到达点B，所以点B表示的数为， 又从点B向左爬了10个单位长度到达点C，所以点C表示的数为， 所以数轴上点A所表示的数的相反数是，即点C． （2）解：因为点D和点B所表示的两数互为相反数，所以点D表示的数为， 在左边，距离两个单位，所以蚂蚁从点C出发要爬到点D，它应该往左爬2个单位长度． （3）点E到原点的距离为5个单位长度，当E在原点的右侧时，点E表示的数为，在C的右侧，与点C距离为个单位，所以C应该向右爬行9个单位； 当E在原点的左侧时，点E表示的数为，在C的左侧，与点C距离为个单位，所以C应该向左爬行个单位； 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数轴 同步培优讲义 ✺知识框架 1.数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 2.数轴的画法：画直线、定原点、选正方向、取单位长度。 3.数与点的对应：任何一个有理数都可以用数轴上的点表示。 4.相反数：只有符号不同的两个数；在数轴上位于原点两侧，到原点距离相等。 5.位置与大小:数轴上右边的点表示的数总比左边的大。 ✅数轴是 "数形结合" 的基本工具，三要素缺一不可；借助数轴可以把有理数与点对应起来，直观认识相反数及数的大小关系，为后续比较有理数大小、学习绝对值打下基础。 ✺学习目标 1.理解数轴的概念，掌握数轴的三要素，会画数轴。 2.会用数轴上的点表示有理数，能根据数轴上的点读出所表示的数。 3.理解相反数的概念，知道 0的相反数是 0，能借助数轴说明互为相反数的两个点的位置关系。 4.能借助数轴理解 "右边的点表示的数总比左边的大"，初步体会数形结合思想。 ✺题型归纳 题型1.数轴的三要素及其画法 题型2.用数轴上的点表示有理数 题型3.数轴上两点之间的距离 题型4.数轴上点的平移（动点问题） 题型5.相反数的定义 题型6.数轴上找原点 题型7.数轴上整点覆盖问题 题型8.数轴上的规律探究 题型9.化简多重符号 题型10.相反数的应用 题型11.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、数轴的概念与三要素　 ▲规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 ▲原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可。通常规定向右为正方向。 知识点二、数轴的画法　 ▲画数轴分四步： 第一步：画水平直线，绘制一条平整的横向直线，线条平直规范，作为数轴的基础载体，切忌倾斜、弯折。 第二步：定原点、标数字，在直线居中合适位置选取一点作为原点，必须清晰标注数字 0，原点是正负数的唯一分界点，位置居中美观、不偏移。 第三步：定正方向、画箭头，统一规定向右为正方向，在直线最右端绘制标准箭头，箭头清晰醒目，不可缺失、倒置或画在左侧。 第四步：统一单位、标刻度，以原点为中心，向左右两侧截取长度完全相等、间距均匀的单位线段，依次标注对应整数刻度。 知识点三、有理数与数轴上的点　 1.任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示：正数用原点右侧的点表示，负数用原点左侧的点表示，0用原点表示。 ▲ 反过来，数轴上的点表示的数不一定是有理数。 2.数轴两点距离计算 ▲同一数轴上，任意两点距离计算公式：右侧大数 -左侧小数。数轴距离恒为正数，是后续学习绝对值几何意义的重要铺垫。 示例：数轴上-4和3两点的距离：3-(-4)=7，即两点相隔7个单位长度。 原点右侧为正数，原点左侧为负数；大小关系：正数＞0＞负数，正数永远大于负数。 3.数轴上点的移动规律 核心口诀：右加左减。点向右移动，数值增大，做加法运算；点向左移动，数值减小，做减法运算，移动的单位长度即为加减的数值。 示例：表示-2的点向右移动3个单位：-2+3=1；向左移动2个单位：-2-2=-4。 知识点四、相反数　 ▲只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0 的相反数是0，数a的相反数是−a。 几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个数（0 除外）的点位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。 【提示】：画数轴易错点：三要素缺一不可，单位长度必须均匀一致，正方向用箭头标出。 利用数轴求距离：数轴上两点间的距离，等于这两点之间单位长度的个数。如表示 −3 与 2 的两点之间间隔 5 个单位长度，故距离为 5。 相反数的判断：抓住 "只有符号不同"；0 的相反数是 0，互为相反数的两个数到原点的距离相等。 ✺题型精讲 题型1.数轴的三要素及其画法 1．关于规范的数轴，下列说法正确的是（    ） A．无原点 B．无正方向 C．有原点、正方向、单位长度一致 D．正负标反 2．我们把规定了______________、______________、______________的直线叫做数轴，这条直线上的任意一个点表示一个数，原点左边的点表示的数都是______________数，原点右边的点表示的数都是______________数．在实际问题中，1个单位长度可表示一定的数量，如1米，1千米，400千克等． 3．判断下面所画数轴是否正确，并说明理由 题型2.用数轴上的点表示有理数 1．如图，“”所指的位置表示的数可能是（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 2．下面直线上点A表示的数是( )，点B用分数表示是( )． 3．在数轴上，表示下列各数的点分别位于原点的哪边？与原点距离多少个单位长度？ ，，，． 题型3.数轴上两点之间的距离 1．若数轴上点A表示的数是2，则与点A相距5个单位长度的点所表示的数是（    ） A．7 B． C．7或 D．或3 2．已知数轴上点表示有理数，点与点的距离为，则点表示的有理数为______． 3．（）在数轴上表示出下列各点． A．        B．        C．       D． （）点和点之间相差___________个单位长度． 题型4.数轴上点的平移（动点问题） 1．在数轴上，点表示的数是，将点A沿数轴向右移动个单位长度得到点，则点表示的数是（   ） A． B． C．2 D．3 2．点A在数轴上表示的数是，从A点出发先向右平移7个单位长度，再向左平移3个单位长度到达点B，则点B表示的数是_____． 3．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了个单位长度到达点，再向右爬了个单位长度到达点，然后又向左爬了个单位长度到达点． (1)画出数轴，标出三点在数轴上的位置； (2)根据点在数轴上的位置，点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的？ (3)若蚂蚁从点出发，先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点表示的数． 题型5.相反数的定义 1．的相反数是（     ） A． B． C． D． 2．填空： （1）2.5的相反数是________； （2）________是的相反数； （3）是________的相反数； （4）________的相反数是； （5）8.2和________互为相反数． 3.利用所学的知识解决下列问题： (1)已知两数，判断与是否互为相反数，并说明理由； (2)如果是任意两个不等于0的有理数，且互为相反数，那么与有什么关系？请说明理由． 题型6.数轴上找原点 1．有理数，在一条隐藏原点的数轴上，对应点，的位置如图所示，且，下列推断正确的是（     ）． A．原点一定在点左侧 B．不能确定原点的位置 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 2．如图，如果有理数的绝对值是的绝对值的3倍，那么点中______可能是数轴的原点． 3．如图，点表示，点表示． (1)在数轴上标出原点； (2)点表示的数是多少？ (3)若两点到原点的距离相等，且两点在原点的两侧，则点表示的数是多少？ 题型7.数轴上整点覆盖问题 1．如图，在数轴上，注明了四段的范围，若某段上有两个整数，则这段是（   ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 2．小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，墨迹盖住部分的整数有___________个． 3．如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 题型8.数轴上的规律探究 1．如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字 的点重合．（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么的值是__________． 3．已知，等边（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示． (1)将从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是___________； (2)将从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2018表示的点与点___________重合； (3)将从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：． ①第___________次滚动后，点A离原点最远； ②当结束滚动时，点表示的数是___________． 题型9.化简多重符号 1．计算：（ ） A． B． C． D． 2．化简符号：___________． 3．按要求完成下列各题。 (1)化简下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥． (2)若前面有2026个负号，则化简后的结果是多少？若前面有2025个负号，则化简后的结果是多少？你能总结出什么规律？ 题型10.相反数的应用 1．互为相反数的两个数（都不为零）的商为（　　） A． B．1 C．0 D．不确定 2．用“”，“”定义新运算：对于任意有理数，都有和．例如，，，则______． 3．如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题：    (1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？ (2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是正数还是负数？ ✺课堂小练 一、单选题 1．下列选项中所画的数轴正确的是（     ） A． B． C． D． 2．在数轴上，点表示2026，点表示2026的相反数，则点与点的距离是（     ） A．2026 B． C．4052 D． 3．已知与3互为相反数，则是（     ） A． B． C．3 D． 4．下列各对数中互为相反数的有（   ） （1）与        （2）与 （3）与        （4）与 （5）与    （6）与 A．对 B．对 C．对 D．对 5．在数轴上任取一条长度为的线段，则这条线段最多能覆盖的整数点有（     ）个 A． B． C． D． 二、填空题 6．直线下面的方框里填整数或小数，上面的方框里填分数．方框里从左往右依次填写________、________、________、________． 7．该数轴的原点为，向右为正方向．若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 8．正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；…按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是______． 9．已知的相反数是x，的相反数是y，z的相反数是0，则的相反数是___． 三、解答题 10．解答下列各题 (1)如图，数轴上点A，B，C，D分别表示什么数？ (2)画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： ，，0，5，，，3，． 11．如图，在长方形中，，，且边在数轴上，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上，记为；继续翻滚，点第二次落回到数轴上，记为；……；以此类推． (1)若点与原点重合，点表示的数为_____． (2)若点表示的数为，点表示的数为_____， 12．有理数a，b在数轴上的位置如图所示： (1)在数轴上分别用A，B两点表示，； (2)若数b与表示的点相距20个单位长度，则b与表示的数分别是什么？ (3)在（2）的条件下，若数a表示的点与数b表示的点相距15个单位，则a与表示的数是多少？ 13．在1.2有理数（2）中，一只蚂蚁从数轴的原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C． (1)在数轴上点A所表示的数的相反数是多少？是哪一个点？ (2)如果蚂蚁从点C出发要爬到点D，且点D和点B所表示的两数互为相反数，那么它应该往哪个方向爬几个单位长度？ (3)如果蚂蚁从点C出发要爬到点E，且点E到原点的距离为5个单位长度，那么它应该怎样爬到点E？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $