重难点培优04 含参一元二次不等式解法题型全归纳（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦含参一元二次不等式解法这一高考核心考点，以二次函数与方程、不等式的关系为根基，通过知识重构梳理基础、题型精研归纳5大核心题型、实战检测分层突破，形成“考点梳理-方法指导-真题训练”的系统复习链，助力学生突破分类讨论等难点。 资料突出题型分类精准与分层训练特色，如按根的大小分类时结合函数图像分析，培养学生数学思维中的推理能力和分类讨论意识，通过技巧通法总结与创新能力提升题设计，帮助学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

重难点培优04 含参一元二次不等式解法题型全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 2 题型01 韦达定理和一元二次不等式（★★★★） 2 题型02 按方程的根、的大小分类（★★★★★） 3 题型03 以二次项系数的正负及根、的大小分类（★★★★★） 4 题型04 按判别式的符号分类（★★★★） 4 题型05 整数解问题（★★★） 5 03 实战检测·分层突破验成效 6 重难知识巩固 6 创新能力提升 7 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 二次函数 （）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R 题型精研·技巧通法提能力 题型01 韦达定理和一元二次不等式 【技巧通法·提分快招】 1、一元二次方程求根公式 的根为： 2、韦达定理（根与系数的关系） 的两根为，；则 1．若关于的不等式的解集为，则（   ） A．5 B．1 C．-1 D．-5 2．（2026·重庆渝中·二模）已知不等式的解集为或，则实数的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 4．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（多选题）（2026·西藏林芝·二模）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 6．（多选题）（2026·河南开封·模拟预测）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则的最小值为4 C．关于的不等式的解集为 D．是关于的不等式的一个解 题型02 按方程的根、的大小分类 【技巧通法·提分快招】 函数图象 开口方向 向上 向下 对称轴方程 最值 1．若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 2．若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 3．解关于的不等式：． 4．已知不等式的解集为或. (1)求的值； (2)解关于的不等式. 5．已知函数. (1)当时，求在区间上的最大值； (2)当时，解关于的不等式. 题型03 以二次项系数的正负及根、的大小分类 1．解关于的不等式． 2．解下列关于x的不等式： (1)； (2)； 3．已知集合，关于的不等式的解集记为. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 题型04 按判别式的符号分类 1．已知，解关于的不等式：. 2．解下列关于的不等式. 3．解下列关于的不等式： (1)； (2)． 4．解关于的不等式：． 题型05 整数解问题 1．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．若关于的不等式有5个负整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知关于x的不等式的整数解恰有4个，则m的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 6．若关于的不等式的解集中恰好有3个整数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．关于的不等式组的整数解的集合为，求实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 3．关于x的不等式（其中实数）恰有一个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D．或 4．若关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（多选题）（2025·云南昆明·模拟预测）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的有（    ）． A． B．不等式的解集为 C． D． 6．解关于的不等式. 7．解关于的不等式． 8．解关于的不等式 9．解关于的不等式（为常数且）. 10．已知不等式． (1)若，求该不等式的解集； (2)若，求该不等式的解集． 11．解关于的不等式：. 12．解关于实数的不等式：． 13．解关于x的不等式. 14．已知函数. (1)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； (2)解关于的不等式. 15．已知函数 (1)若不等式的解集为R，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式： 创新能力提升 1．当时，关于x的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 2．已知函数，若关于的不等式的解集中有且只有2个整数，则实数的取值范围为（        ） A． B． C． D． 3．已知函数（m，），若非空集合，，且，则下列说法中正确的是（     ） A．的取值与有关 B．为定值 C． D． 4．若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是________． 5．设函数. (1)对，恒成立，求的取值范围. (2)解不等式. 6．（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若关于的不等式的解集为，求正实数的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优04 含参一元二次不等式解法题型全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 2 题型01 韦达定理和一元二次不等式（★★★★） 2 题型02 按方程的根、的大小分类（★★★★★） 5 题型03 以二次项系数的正负及根、的大小分类（★★★★★） 8 题型04 按判别式的符号分类（★★★★） 11 题型05 整数解问题（★★★） 14 03 实战检测·分层突破验成效 17 重难知识巩固 17 创新能力提升 28 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 二次函数 （）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R 题型精研·技巧通法提能力 题型01 韦达定理和一元二次不等式 【技巧通法·提分快招】 1、一元二次方程求根公式 的根为： 2、韦达定理（根与系数的关系） 的两根为，；则 1．若关于的不等式的解集为，则（   ） A．5 B．1 C．-1 D．-5 【答案】D 【分析】由一元二次不等式的解集与对应的方程的解的关系结合二次方程根与系数的关系求解即可. 【详解】关于的不等式的解集为， 则是方程的两个根， 根据韦达定理可知，解得， 故选：D. 2．（2026·重庆渝中·二模）已知不等式的解集为或，则实数的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据方程的根与不等式的解集之间的关系求解即可. 【详解】易知是方程的根， 即，所以, 当时，不等式为，即,其解集为或. 故实数的值为1. 3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】因关于的不等式的解集为， 则，即， 则，即， 所以，解得或． 4．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系可求得，结合基本不等式可求得最小值. 【详解】，； 不等式的解集为， 方程的两根为和，且， ，解得：， （当且仅当时取等号），的最小值为. 故选：C. 5．（多选题）（2026·西藏林芝·二模）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AD 【分析】由不等式的解集的特征判断A；利用解集可得、、间关系，即可判断B；利用、、间关系，计算即可判断C、D. 【详解】对于选项A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对于选项B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对于选项C：，由，故，即， 所以不等式的解集为，故C错误； 对于选项D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 6．（多选题）（2026·河南开封·模拟预测）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则的最小值为4 C．关于的不等式的解集为 D．是关于的不等式的一个解 【答案】ACD 【详解】选项A，因为方程有两不等实根，所以，解得， 因为，所以，即取，A正确； 选项B，由韦达定理，则，由A选项可知，且，所以， ，当时，单调递增，因此，则，无法取到最小值4，B错误； C选项，令，代入原方程得，即若为原方程两根，则为的两根，又因为， 所以，已知，所以不等式解集为，C正确； D选项，将代入得，因为，因此， 即是不等式的一个解，D正确. 题型02 按方程的根、的大小分类 【技巧通法·提分快招】 函数图象 开口方向 向上 向下 对称轴方程 最值 1．若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：一元二次方程的两个根为， 因为，则， 所以不等式的解集是. 2．若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由不等式的性质化简，然后由相应二次方程根的大小得出不等式的解． 【详解】因为，， 所以， 又不等式对应方程的根为：，且， 所以不等式的解为或， 故选：C． 3．解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】通过，和三种情况讨论即可. 【详解】由方程，可得，两根为：， 又方程所对应抛物线开口向上， 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式无解； 当时，，不等式的解集为； 综上： 时，不等式的解集为； 时，不等式无解； 时，不等式的解集为； 4．已知不等式的解集为或. (1)求的值； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系，结合韦达定理可构造方程组求得的值； （2）根据一元二次不等式的解法，通过对的范围的讨论确定解集. 【详解】（1）不等式的解集为或， 方程的两根为和，且， ，解得：，. （2）由（1）知：； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 5．已知函数. (1)当时，求在区间上的最大值； (2)当时，解关于的不等式. 【答案】(1)6 (2)答案见解析 【分析】（1）将代入可得，分析二次函数的单调区间即可求得在区间上的最大值； （2）结合条件，将不等式等价转化为，再根据的取值分类讨论即可求得其解集. 【详解】（1）当时，，二次函数开口向上，对称轴为， 则有在上单调递减，在上单调递增， 且有，， 所以在区间上的最大值为6. （2）当时，原不等式等价于， ①当，即时，不等式的解或； ②当，即时，不等式的解为； ③当，即时，不等式的解为或， 综上所述： 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 题型03 以二次项系数的正负及根、的大小分类 1．解关于的不等式． 【答案】当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【分析】根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】由已知，得，： 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式等价于， 若，解得，或； 若，解得， 若，解得，或； 当时，不等式等价于，解得. 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 2．解下列关于x的不等式： (1)； (2)； 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）因式分解，分、、三种情况讨论，再结合根的大小和二次函数的图象可得； （2）按照根的大小分类讨论即可. 【详解】（1）可化为， 当时，不等式为，解集为； 当时，不等式可化为，此时解集为； 当时，不等式可化为， 当时，，此时解集为； 当时，，此时解集为； 当时，，此时解集为. 综上所述，时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为 （2）不等式可化为， ①当时，，解集为，或； ②当时，，解集为； ③当时，，解集为，或. 综上所述， 当时，原不等式的解集为，或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为，或. 3．已知集合，关于的不等式的解集记为. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入求出集合和它的补集，再解二次不等式得到集合，最后求并集得到结果； （2）先将 “充分不必要条件” 转化为集合的真包含关系，，再对分情况讨论不等式的解集，最后结合包含关系确定的取值范围. 【详解】（1）当时，有，整理得，解得或， 所以或，所以，又， 所以； （2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以， 不等式可化为， 若，则不等式即，解得，所以， 满足； 当时，不等式即，解得， 若，则，解得； 当时，不等式即，解得或， 满足； 综上，实数的取值范围为. 题型04 按判别式的符号分类 1．已知，解关于的不等式：. 【答案】答案见解析 【分析】分别在、和的情况下，利用一元二次不等式的求法求得对应的解集. 【详解】， 当时，， 方程的两个根分别为 或， 则由，得； 当时，，原不等式化为，得； 当时，，不等式无解， 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 2．解下列关于的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】不等式左侧不能因式分解，相应一元二次方程解的情况不确定，因此需要分别讨论研究时不等式的解集． 【详解】对于一元二次方程，，判别式． 当时，等价于，解得， 故不等式的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为或； 当时，，不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或． 3．解下列关于的不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】三个不等式左侧都不能因式分解，相应一元二次方程解的情况不确定，因此需要分别研究时不等式的解集． 【详解】（1）对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． （2）对于一元二次方程， 当时，，的解集为； 当时，的解集为； 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 4．解关于的不等式：． 【答案】时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为. 【分析】根据一元二次不等式的性质，按分类讨论求解． 【详解】当时，不等式为，其解集为， 当时，， 当时，抛物线开口向下，， 方程的根为，且， 故不等式解集为； 若，抛物线开口向上， 当时，，抛物线与轴无交点，函数值恒大于0，不等式解集为； 当时，，方程的根为， 不等式，则，解集为； 当时，，方程的根为， 则不等式解集为； 综上， 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为． 题型05 整数解问题 1．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知结合二次不等式的求法分别求出各不等式的解集，即可求解. 【详解】由，即， 解得或，由， 即，因为， 不等式的解集为， 结合题意，此时原不等式组的解集为，且仅有一个整数解， 所以. 故选：B. 2．若关于的不等式有5个负整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整理可得，结合题意分析可知不等式解集为，且，运算求解即可. 【详解】因为， 若不等式有5个负整数解， 则不等式解集为，且，解得， 所以的取值范围是. 故选：A. 3．若关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原不等式因式分解后可得，计算即可得. 【详解】化简可得， 由该不等式有且只有两个整数解，可得两个整数解必为1和2， 则有 ，解得. 故选：A. 4．已知关于x的不等式的整数解恰有4个，则m的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先对不等式变形为，再根据不等式）的整数解恰有4个，对进行限制即可得出答案. 【详解】由，得， 因为不等式）的整数解恰有4个， 则或， 所以或． 故选：C． 5．已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】对二次不等式左边进行因式分解，先讨论二次项系数，分析得到不符合题意；再讨论二次项系数得到解集，进而得到解集中的一个整数元素，从而得到不等式，解得的取值范围. 【详解】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即，不等式解集为， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即， 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式没有整数解，不符合题意，故舍去； 当时，，即， 不等式解集为空集，∴不符合题意，故舍去； 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：. 6．若关于的不等式的解集中恰好有3个整数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式恰有3个整数解，分析可得实数的取值范围；或分离参数，构造新函数，分析新函数的单调性，解得实数的取值范围. 【详解】解：原不等式等价于， 由题意，知，解得. 又原不等式的解集为，且， 则为原不等式的整数解，所以，解得所以实数的取值范围为. 方法二：对于不等式， 当时，，不成立，所以0不是不等式的整数解； 当时，. 令，则在上均单调递增，其简图如下： 当时，，所以；当,且取整数时，，所以； 所以不等式的整数解是,即不等式解集中恰有3个整数解是，所以，所以. 所以实数的取值范围为. 故选：D. 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】因为， 所以， 解得， 所以的解集为. 故选：A. 2．关于的不等式组的整数解的集合为，求实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对k分三种情况讨论，逐个分析求出对应x满足的范围，再结合整数解的集合为确定k的范围． 【详解】由，可得或，由，可得， ①若，即时，则由（*），可得，此时原不等式的解集为，显然不符合题意； ②若时，则由（*），x无解，显然不符合题意； ③若时，则由（*），可得，此时要使不等式组的整数解的集合为，须使，即， 综上可得，实数的取值范围． 故选：B． 3．关于x的不等式（其中实数）恰有一个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】整理可得，分、和三种情况解不等式，结合题意列式求解即可. 【详解】因为，即为， 令，解得或，且， 若，不等式的解集为， 由题意可得：； 若，不等式的解集为，不合题意； 若，不等式的解集为， 由题意可得：，解得； 综上所述：实数a的取值范围是或. 故选：B. 4．若关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，分类讨论求解含参数的不等式，进而列式求出的范围. 【详解】不等式， 当时，，解得，不合题意； 当时，，解得，不合题意； 当时，原不等式等价于，解得或，不合题意； 当时，原不等式等价于，解得， 由不等式恰有2个整数解，得，解得； 当时，解得，由不等式恰有2个整数解，得， 解得，所以实数的取值范围是. 故选：A 5．（多选题）（2025·云南昆明·模拟预测）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的有（    ）． A． B．不等式的解集为 C． D． 【答案】AB 【分析】由不等式的解集为两根之间可判断A；由不等式的解集可知对应方程的根，从而得到之间的关系，可判断BCD. 【详解】关于x的不等式的解集为， 由不等式的解集为两根之间，得，故A正确； 由题意可知和4是方程的两根， 可得，解得， 对于B，，所以， 所以不等式的解集为，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误. 故选：AB． 6．解关于的不等式. 【答案】当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为且； 当时，不等式的解集为或； 【分析】将不等式的右边移项到左边，因式分解后可得，接下来分三种情况，解不等式即可. 【详解】因为，所以，即， 令，得， ①时，，不等式的解集为或； ②时，，不等式的解集为且； ③时，，不等式的解集为或； 综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为且； 当时，不等式的解集为或； 7．解关于的不等式． 【答案】当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 【分析】依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】因为，所以， 关于的方程的两根为，， ①当，即时，解得，即不等式的解集为； ②当，即时，解得，即不等式的解集为； ③当，即时，解得，即不等式的解集为． 综上所述： 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 8．解关于的不等式 【答案】答案见解析 【分析】原不等式可变形为，对、的大小关系进行分类讨论，利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】关于的不等式可化为， 当时，即当或时，原不等式即为，解得； 当时，即当或时，解原不等式得或； 当时，即当时，解不等式得或. 综上所述 ，当或时，原不等式的解集为； 当或时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. 9．解关于的不等式（为常数且）. 【答案】答案见解析 【分析】先因式分解，再分，，，四种情况讨论，分别求出不同情况下的不等式的解集即可. 【详解】. 当时，此时，，则不等式的解为； 当0时，此时，，不等式的解为或； 当时，此时，，不等式的解为； 当时，此时，，不等式的解为或. 综上，当时，不等式的解集为； 当0时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 10．已知不等式． (1)若，求该不等式的解集； (2)若，求该不等式的解集． 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）当时，，解不等式，得到答案； （2）因式分解得到，分，，，和五种情况，得到不等式的解集. 【详解】（1）当时，，解得或， 故该不等式的解集为或； （2）， 当时，，解得； 若，则的两根分别为和3， 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，不等式解集为或； 当时，，不等式解集为或； 综上，时，不等式解集为； 时，不等式解集为； 时，不等式解集为或； 时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或； 11．解关于的不等式：. 【答案】答案见解析 【分析】因式分解得，再对合理分类讨论即可. 【详解】，即， 若时，原不等式等价于，解得． 若时，原不等式等价于． ①当时，，解得或． ②当时，，解得或 ③当时，，解，得或． 综上所述，当时，解集为： 当时，解集为： 当时，解集为； 当时，解集为． 12．解关于实数的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】根据一元二次方程根的情况，结合判别式即可分类讨论求解. 【详解】对方程 ， 当时，即时，不等式的解集为 当时，即或时， 的根为， 不等式的解集为； 综上可得，时，不等式的解集为， 或时，不等式的解集为. 13．解关于x的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】根据二次项系数的正负性，结合一元二次不等式的解法分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）当时，由，不等式的解集是. （2）当时，因为， 方程的两根为和，不等式的解集是. （3）当时，因为， 方程的两根为和，不等式的解集是. （4）当时，因为， 方程的两相等根为，不等式的解集是. （5）当时，因为， 方程无实根，所以不等式的解集是. 综上所述： 当时， 不等式的解集是. 当时， 不等式的解集是. 当时，不等式的解集是. 当时，不等式的解集是；. 当时， 不等式的解集是. 14．已知函数. (1)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据含参一元不等式的恒成立，分别讨论，成立的条件，即可得的取值范围； （2）先把二次不等式化为，然后分类讨论解不等式即可. 【详解】（1）由，即对一切实数恒成立， 当时，，有，即，不满足题意； 当时，则满足，即，解得． 综上所述，的取值范围为； （2）由． 得，所以， 若，即，上式可化为，解得； 若，即，上式可化为，解得； 若，即，上式可化为， 当时，，所以或； 当时，，所以； 当时，，所以或； 综上可知： 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 15．已知函数 (1)若不等式的解集为R，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式： 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】将不等式整理得，分和两种情况讨论不等式恒成立即可求得的范围； 根据与0的大小，与0的大小进行分类讨论，可得不等式的解集． 【详解】（1）已知，则不等式， 即，整理得， 当时，不等式化为，解得，其解集不为R，不符合题意； 当时，要使不等式的解集为R， 则二次函数的图象开口向上，且与x轴无交点， 即， 先解， 展开得，即， 因式分解得，解得， 结合，可得， 因此，实数a的取值范围是； （2）由，可知： 当时，原式化为，解得； 当时，， 当，即时，， 对应的二次函数开口向上，且最多与x轴有一个交点， 故恒成立，此时不等式解集为R； 当，即时，有， 若，则，即二次函数开口向上， 此时不等式解集为或； 若，则，即二次函数开口向下， 此时不等式的解集为； 综上，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为R； 当时，不等式解集为或； 当时，不等式的解集为 创新能力提升 1．当时，关于x的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原不等式转换为，在的前提下，比较和的大小即可得解. 【详解】时，， 不等式可化为， 因为，且， 所以，， 解原不等式，得， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 2．已知函数，若关于的不等式的解集中有且只有2个整数，则实数的取值范围为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，转化为，令，转化为的解集中有且只有2个整数，画出函数的图像，结合图像，即可求解. 【详解】由不等式，可得，即， 令， 当时，可得；当时，可得， 可得， 要使得关于的不等式的解集中有且只有2个整数， 只需不等式的解集中有且只有2个整数， 画出函数的图像，如图所示，结合图像，则满足， 即实数的取值范围为. 3．已知函数（m，），若非空集合，，且，则下列说法中正确的是（     ） A．的取值与有关 B．为定值 C． D． 【答案】B 【分析】令，设的两个根为，得到，再由，由求解. 【详解】令， 所以， 设的两个根为，则，即， 所以， 因为，，且， 所以，则，解得， 则，由韦达定理得，则， 即， 又， 所以， 则，解得， 又，即，即， 解得或，综上：. 4．若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】解，得解集为；分类讨论与的大小关系，解不等式，再根据不等式组的解集中所含整数解只有，列式可求出结果． 【详解】由，得，得或， 所以的解集为， 由，得， 当，即时，得， 所以的解集为，此解集中不含，不符合题意； 当，即时，化为， 所以的解集为空集，不符合题意； 当，即时，得， 所以的解集为， 因为不等式组的解集中所含整数解只有， 结合数轴分析可知，得． 5．设函数. (1)对，恒成立，求的取值范围. (2)解不等式. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）分类讨论结合分离参数法、基本不等式计算即可； （2）含参分类讨论解一元二次不等式即可. 【详解】（1）若，显然，符合题意； 若，则， 由，即在上恒成立， 即，， 令， 当且仅当，即时取得最小值，所以， 则的取值范围为； （2）根据题意可知， 若，则， 若， 当，即时，， 当，此时原不等式为，即， 当，此时，令， 此时不等式解集为， 若，此时，不等式解集为， 综上所述：当时，解集为R，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 6．（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若关于的不等式的解集为，求正实数的取值范围． 【答案】（1）或；（2）或. 【分析】（1）根据条件得到，再分和两种情况，当时，直接代入验证即可，时，利用二次函数的性质即可求解； （2）根据条件得到，再由及得，化简得到或，再利用基本不等式和的性质，即可求解． 【详解】（1）由得到， 由得到或， 当时，得到恒成立，所以满足题意， 当时，得到，解得，不合题意， 当时，由题有，解得或， 综上，实数的取值范围为或； （2）由，得到， 由题知的两根为和，则且， 得到，又由，且，得到， 即，解得或， 当时，，所以， 令，易知在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，，此时； 综上所述，正实数的取值范围为或. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $