重难点培优04 常见函数及函数的新定义问题（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦常见函数及函数新定义问题核心考点，涵盖反函数、对勾函数、高斯函数等八大函数类型，按定义性质、题型应用逻辑架构知识体系，通过知识重构固根基、题型精研提能力、实战检测验成效三环节，帮助学生系统突破函数难点。 讲义以高考命题规律为导向，创新采用“技巧通法+分层训练”模式，如反函数利用对称性转化、对勾函数结合基本不等式求最值，培养学生数学思维与创新意识，分层练习适配不同学情，助力高效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

重难点培优04 常见函数及函数的新定义问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 4 题型01 反函数（★★★★） 4 题型02 对勾函数（★★★★★） 5 题型03 最值函数（★★★） 5 题型04 高斯函数（★★★★） 6 题型05 狄利克雷函数（★★★） 7 题型06 黎曼函数（★★★） 9 题型07 倍值、倍缩函数（★★★） 10 题型08 函数新定义问题（★★★★★） 11 03 实战检测·分层突破验成效 14 重难知识巩固 14 创新能力提升 17 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 反函数 （1）定义：一般地，函数，设它的值域为，根据这个函数中的关系，用把表示出来，得到．如果在中的任何取值，通过，在中都有唯一值和它对应，则就表示是关于自变量的函数．这样的函数叫做的反函数，记作． 例如，对数函数(,且)是指数函数(,且)的反函数 （2）性质 ①互为反函数的两个函数的图象关于直线对称； ②若函数的图象上有一点，则点必在其反函数的图象上，反之也成立； ③互为反函数的两个函数的单调性相同； ④反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域； ⑤单调函数必有反函数． 知识点02 对勾函数 解析式 图像 定义域 渐近线 值域 奇偶性 奇函数 单调性 在上是增函数，在是减函数 在上是增函数，在是减函数 知识点03 最值函数 设min{a，b}＝max{a，b}＝ 直观上来说min{a，b}的作用就是求a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样，max{a，b}用来表示a，b的最大值，称作最大值函数. 知识点04 高斯函数 1、高斯函数 （1）定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数y＝[x]称为高斯函数，又称取整函数. （2）性质 ①定义域：R；值域：Z. ②不具有单调性、奇偶性、周期性. （3）图象 知识点05 狄利克雷函数 1、狄利克雷函数 （1）定义域R；值域{0，1}. （2）奇偶性：偶函数. （3）周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期. （4）无法画出函数的图象，但其图象客观存在. 知识点06 倍值函数 1、倍值函数 对于函数的定义域为，若存在区间，当时，的值域为，则称函数为倍值函数，区间称为函数的“倍值区间”。特别地，当时，函数称为保值函数。此类问题可转化为对应“不动点”、“稳定点”问题，也可以转化为方程同解问题，考察分类讨论、等价转化、属性结合、函数与方程等重要思想方法，综合能力要求较高，属难题。 知识点07 函数中的新定义问题 1、函数中的新定义问题 （1）常见题型 ①利用函数中的新定义及相关知识求参数取值范围； ②利用函数中的新定义及相关知识探究问题是否成立. （2）解决方案 联系所学函数的相关知识和方法解决问题函数中的新定义型问题 （3）常用方法 ①理解函数的新定义；②将新定义问题转化为已知问题；③利用函数的性质. （4）失误与防范 ①注意函数的定义域；②注意对结果的检验；③利用方程思想. 题型精研·技巧通法提能力 题型01 反函数 【技巧通法·提分快招】 互为反函数的两个函数的图象关于直线对称； 1．若函数是函数的反函数，则的值为（    ） A．16 B．0 C．1 D．2 2．（2026·广东广州·二模）若函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A． B． C． D．9 3．已知点M与点N分别在函数与图象上，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 4．若，设函数的零点为，的零点为，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知函数和的图象上存在点关于直线对称，则实数a的取值范围为________． 6．（2026·湖南郴州·模拟预测）已知函数与函数互为反函数，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为________. 题型02 对勾函数 【技巧通法·提分快招】 基本不等式，当且仅当时取到最小值，即时， 1．已知函数，下面有关结论错误的有（    ） A．定义域为 B．值域为 C．在上单调递减 D．图象关于原点对称 2．（24-25高三上·山东济南·阶段检测）已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（2025·山西·二模）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．函数在上的最小值是_____． 5．（25-26高三上·上海普陀·阶段检测）定义在区间上的函数的值域为_____. 6．已知方程有两个不相等的正根，，且，则的取值范围是___ 题型03 最值函数 1．定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 2．定义 ，若，则的最大值为（    ） A．1 B．8 C．9 D．10 3．定义：表示中的较小者.若函数在区间上的取值范围为，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．定义一种运算，设（为常数，且，则使函数的最大值为4的的值可以是（    ） A．或4 B．6 C．4或6 D． 5．（24-25高三上·四川成都·阶段检测）定义表示中的最小值.已知实数满足，则（    ） A．的最大值是2 B．的最大值是 C．的最小值是2 D．的最小值是 6．（多选题）定义，若函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若直线与的图象有个交点，则 D．在区间上的值域为，则的最大值为 7．定义为a，b中较大者，则函数（）的最小值为__________；若，，则的最小值为__________. 题型04 高斯函数 【技巧通法·提分快招】 高斯函数的性质 （1）定义域：R； （2）值域：Z. （3）不具有单调性、奇偶性、周期性. 1．（24-25高三上·湖南常德·开学考试）高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东东营·模拟预测）对于一切实数x，表示不超过实数x的最大整数，函数称为高斯函数或取整函数．若，，数列的前n项和为，则（     ） A．284 B．280 C．274 D．270 3．（2026·北京海淀·三模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是（    ） A．2 B． C．4 D．6 4．（多选题）（2026高三下·湖南衡阳·专题练习）记表示不超过x的最大整数．若，，则（   ） A．为奇函数 B．为偶函数 C． D． 5．（多选题）已知函数，其中表示不超过的最大整数，如，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为1 C．为周期函数 D．不等式的解集为 6．（2026·河北衡水·一模）设表示不超过的最大整数，则不等式的解集为______. 7．记表示不超过的最大整数，比如，，．已知函数，则_____，函数的值域为_____． 题型05 狄利克雷函数 【技巧通法·提分快招】 狄利克雷函数的性质 （1）定义域R；值域{0，1}. （2）奇偶性：偶函数. （3）周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期. （4）无法画出函数的图象，但其图象客观存在. 1．（2026·浙江宁波·二模）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet），狄利克雷在1829年给出了著名函数：（其中为有理数集，为无理数集）.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：（其中，且），以下对说法错误的是（    ） A．定义域为 B．当时，的值域为 C．为偶函数 D．在实数集上不具有单调性 3．（多选题）狄利克雷是德国数学家，他在数学领域做出了卓越的贡献.狄利克雷先在德国受教育后来到法国向很多著名的数学家学习，其首篇论文是费马大定理的情况，后来亦证明了的情况.迪利克雷函数是以他的名字命名的特殊函数：，有关该函数的图像，下列判断不正确的是（    ） A．图象是连续的 B．图象是折线段 C．图象关于y轴对称 D．图象能画出 4．（多选题）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（    ） A．的值域为 B．的定义域为 C． D．存在是无理数， 5．（多选题）19世纪德国数学家狄利克雷提出了一个有趣的函数，设，则（   ） A． B． C．是偶函数 D．的解集为空集 6．（24-25高三上·上海宝山·阶段检测）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著， 他是数学史上第一位重视概念的人， 并且有意识地 “以概念代替直觉”，以其名命名的函数狄利克雷函数 ，现定义一个与狄利克雷函数类似的函数 “ 函数” ，则关于狄利克雷函数和 函数有以下四个结论: （1） ； （2）函数 是偶函数； （3） 函数图像上存在四个点 ，使得四边形 为平行四边形； （4） 函数图像上存在三个点 ，使得 为等边三角形. 其中所有正确结论的序号是_____. 题型06 黎曼函数 1．（多选题）黎曼函数（Riemann function）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出，其基本定义是：（注：分子与分母是互质数的分数，称为既约分数），则下列结论正确的是（    ） A． B．黎曼函数的定义域为 C．黎曼函数的最大值为 D．若是奇函数，且，当时，，则 2．（多选题）波恩哈德·黎曼（1866.07.20~1926.09.17）是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是（   ） A． B．，， C．的值域为 D．为偶函数 3．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家黎曼发现并提出，在高等数学中被广泛应用．其定义为：，则______；若函数是定义在上的奇函数，且对任意都有，当时，，则______． 4．波恩哈德・黎曼(1826~1866)是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为:，下列关于黎曼函数的说法正确的是_____. ①； ②关于的不等式的解集为； ③； ④. 题型07 倍值、倍缩函数 1．函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足：在上是单调递增函数，且在上的值域为（），则称区间为的“倍值区间”．如下四个函数，存在“2倍值区间”的是（    ） A．， B． C． D． 2．（24-25高三下·安徽·开学考试）设函数 的定义域为 ，若函数 满足条件： 存在 ，使 在 上的最小值为 ，最大值为 ，其中 为正整数，则称 为“ 倍缩函数”. 若函数 为“4 倍缩函数”，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．对于函数，若存在区间，当时，的值域为，则称为倍值函数．若是倍值函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）已知函数的定义域为D，若存在区间，使得同时满足下列条件： ①在上是单调函数；②在上的值域是. 则称区间为函数的“倍值区间”． 下列函数中存在“倍值区间”的有（    ） A． B． C． D． 5．对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当的定义域是时，的值域是，则称是该函数的“倍值区间”.若函数存在“倍值区间”，则的取值范围是___________. 6．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是________. 7．已知函数的定义域为D，对于给定的正整数k，若存在，使得函数满足：函数在上是单调函数且的最小值为ka，最大值为kb，则称函数是“倍缩函数”，区间是函数的“k倍值区间”． (1)判断函数是否是“倍缩函数”？（只需直接写出结果） (2)证明：函数存在“2倍值区间”； (3)设函数，，若函数存在“k倍值区间”，求k的值． 8．（24-25高三上·云南·阶段检测）对于定义域的函数，若存在区间，使得当时，函数的值域恰为，则称函数是上的 “倍值函数”，区间叫做“倍值区间”. (1)已知函数是上的“倍值函数”，求的值； (2)若函数是“倍值函数”且在“倍值区间”单调，求的取值范围； (3)设函数是“倍值函数”，且存在唯一的“倍值区间”，求的值. 题型08 函数新定义问题 【技巧通法·提分快招】 （1）尝试用自己的话复述新信息的核心要点，清晰流畅的表述是理解透彻的标志 （2）探索新信息与现有知识体系的联系，通过对比分析来把握新知识的内在属性和运作规律 1．对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔（英语：L.E.J.Brouwer）.布劳威尔不动点定理说明：对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，则称该函数为“不动点函数”.下列四个函数中，“不动点函数”的个数为（    ） ①， ②， ③， ④. A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高三上·江西·阶段检测）设函数的导函数为，若函数在区间D上是减函数，且函数在区间D上是增函数，称在区间D上是“缓减函数”，区间D称为的“缓减区间”，若，下列区间不是的“缓减区间”的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·福建宁德·二模）设是定义在上的函数，若，当时，，称函数具有性质，则下列函数具有性质的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选题）（25-26高三上·山东淄博·期中）定义在上的函数，如果对任意，都有，且等号仅在时成立，则称函数为“下凹函数”.下列函数是下凹函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）（25-26高三上·湖北黄冈·期中）在工程技术中，常用到双曲正弦函数（）和双曲余弦函数（），它们的很多性质与正弦函数和余弦函数类似.记，，下面关于这两支函数的说法正确的有（    ） A．，在定义域上均为增函数 B． C． D．与均为偶函数 7．（2026·湖南长沙·一模）若存在且，对任意的，均有恒成立，则称函数具有性质.请写出一个满足性质的函数是________. 8．（25-26高三上·上海·期中）若函数和的图象均连续不断，和均在任意的区间上不恒为0，的定义域为的定义域为，存在非空区间，满足：对任意的，均有，则称区间为和的“区间”． (1)写出和在上的一个“区间”（无需证明）； (2)若是和的“区间”，证明：不是偶函数； (3)若，是和的“区间”，证明：在区间上存在零点． 9．（2026·湖南邵阳·一模）若函数对任意，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶和函数”．特别地，当时，称为区间上的“阶和函数”． (1)判断函数是否为区间上的“3阶和函数”； (2)若函数是在区间上的“2阶和函数”，求实数的取值范围； (3)若函数为区间上的“2阶和函数”，当时，函数有两个零点，证明：． 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（25-26高三上·广东江门·阶段检测）函数的反函数是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数则（    ）． A．，1是的一个周期 B．，1不是的一个周期 C．，1是的一个周期 D．，1不是的一个周期 3．已知，用表示中的最大者，记为，则（ ） A． B． C． D． 4．定义运算则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·江苏扬州·期中）表示不超过的最大整数，十八世纪，函数被高斯采用，因此得名高斯函数，例如：.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·上海闵行·期中）设函数和的定义域为D，若存在非零实数，使得，则称函数和在D上具有性质P．现有三组函数：①，；②，；③，．其中具有性质P的组数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（25-26高三上·山东潍坊·期中）若函数的定义域内存在，使得成立，则称为“互补函数”．下列函数为“互补函数”的是（　　） A． B． C． D． 8．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·黑龙江·期末）对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：①在是单调的；②当定义域是时，的值域是，则称是该函数的“倍值区间”.若函数存在“倍值区间”，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·河北·一模）函数在上的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 11．已知，分别是关于的方程，的根，则下面为定值2023的是（    ） A． B． C． D． E．均不是 12．（多选题）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，该函数解析式为，则下列关于函数的命题中，是真命题的为（   ） A．是偶函数 B．任意非零有理数都是的周期 C．， D．若，则 13．（多选题）（24-25高三下·贵州贵阳·阶段检测）函数的函数值表示不超过的最大整数，十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，例如：，．则下列命题中正确的是（    ） A．， B．对任意整数，有 C．存在正实数，使得对所有成立 D．函数有2个零点 14．（多选题）德国数学家狄利克雷（P．G．L．Dirichlet，1805-1859）在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，而不需管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示．例如，，下列说法正确的是（   ） A． B．为偶函数 C．的值域为 D．是函数的一条对称轴 15．（多选题）（25-26高三上·广东·阶段检测）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为高斯函数，其中，用表示不超过的最大整数，例如.已知，则下列说法错误的是（    ） A． B．为奇函数 C．为上的增函数 D．与图象所有交点的横坐标之和为2 16．（多选题）定义若函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若直线与的图象有3个交点，则 D．在区间上的值域为，则的最大值为 17．（多选题）伯恩哈德•黎曼是德国著名数学家，他在数学分析和微分几何领域贡献卓著，开创的黎曼几何为广义相对论奠定了数学基础.他提出的黎曼函数是分析学中的经典函数，其定义域为，解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是（    ） A． B．关于的不等式的解集为 C． D．若，是内的有理数，则有 18．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知函数与满足对任意的，总存在，使得成立，则称是在区间D上的“m阶自伴函数”，当时，称为区间D上的“m阶自伴函数”. (1)若函数为区间上的“243阶自伴函数”，求实数b的值; (2)若是在区间上的“2阶自伴函数”，求实数a的取值范围. 19．（24-25高三上·山东青岛·期末）若函数满足：对于任意，，都有，则称具有性质． (1)设，，分别判断函数，是否具有性质？并说明理由； (2)（ⅰ）已知奇函数是上的增函数，证明：具有性质； （ⅱ）设函数具有性质，求的范围． 创新能力提升 1．历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet），他在1829年定义了一个“奇怪的函数”：，其中为实数集，为有理数集．则关于函数的如下四个命题中，不正确的是（   ） A．，都有 B．，都有 C．，都有 D．，都有 2．波恩哈德·黎曼（1866.07.20~1926.09.17）是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法不正确的是（   ） A． B．关于的不等式的解集为 C． D． 3．对于函数，常数，若自变量在区间上变化时，函数值的取值范围恰为，则称区间是函数的倍值区间，区间长度为.已知定义域为的函数的表达式为，给出下列结论： ① 函数恰有2个1倍值区间； ② 函数的所有倍区间长度之和为. 下列说法正确的是（    ） A．结论①成立，结论②不成立 B．结论①不成立，结论②成立 C．两个结论都成立 D．两个结论都不成立 4．（多选题）对于任意的，表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是（   ） A．函数，的图象关于原点对称 B．函数，的值域为 C．对于任意的，不等式恒成立 D．不等式的解集为 5．（多选题）已知函数，并定义函数，若函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．在区间上单调递减 C．若关于的方程有2个实数根，则 D．若在区间上的值域为，则的最大值为，最小值为 6．已知实数满足，，则__________. 7．（2026·山东青岛·二模）已知函数的定义域为.对于正实数，定义集合. (1)若，求集合； (2)若，且集合中有3个元素，求实数的取值范围； (3)是否存在非常数函数，使得？若存在，写出一个符合要求的函数，并给出证明；若不存在，说明理由. 8．（2025·河南周口·二模）已知函数，，，若存在区间I，对，恒成立，则称在I上具有性质． (1)若，，且，，求k的值； (2)若，，，判断在区间上是否具有性质； (3)若，，，证明，是在上具有性质的必要条件． 9．（2026·上海浦东新·三模）对于定义在区间上的函数，若对一切恒成立，则称直线是的一个“函数”． (1)若，分别判断和是否为的函数并说明理由； (2)设，．若是的一个函数，求的取值范围； (3)设为无穷实数列．令．已知与其函数的图象有公共点，其公共点的横坐标为．是否存在，使得为非常数的无穷等比数列？证明你的结论． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优04 常见函数及函数的新定义问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 4 题型01 反函数（★★★★） 4 题型02 对勾函数（★★★★★） 7 题型03 最值函数（★★★） 10 题型04 高斯函数（★★★★） 14 题型05 狄利克雷函数（★★★） 18 题型06 黎曼函数（★★★） 21 题型07 倍值、倍缩函数（★★★） 26 题型08 函数新定义问题（★★★★★） 34 03 实战检测·分层突破验成效 45 重难知识巩固 45 创新能力提升 59 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 反函数 （1）定义：一般地，函数，设它的值域为，根据这个函数中的关系，用把表示出来，得到．如果在中的任何取值，通过，在中都有唯一值和它对应，则就表示是关于自变量的函数．这样的函数叫做的反函数，记作． 例如，对数函数(,且)是指数函数(,且)的反函数 （2）性质 ①互为反函数的两个函数的图象关于直线对称； ②若函数的图象上有一点，则点必在其反函数的图象上，反之也成立； ③互为反函数的两个函数的单调性相同； ④反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域； ⑤单调函数必有反函数． 知识点02 对勾函数 解析式 图像 定义域 渐近线 值域 奇偶性 奇函数 单调性 在上是增函数，在是减函数 在上是增函数，在是减函数 知识点03 最值函数 设min{a，b}＝max{a，b}＝ 直观上来说min{a，b}的作用就是求a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样，max{a，b}用来表示a，b的最大值，称作最大值函数. 知识点04 高斯函数 1、高斯函数 （1）定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数y＝[x]称为高斯函数，又称取整函数. （2）性质 ①定义域：R；值域：Z. ②不具有单调性、奇偶性、周期性. （3）图象 知识点05 狄利克雷函数 1、狄利克雷函数 （1）定义域R；值域{0，1}. （2）奇偶性：偶函数. （3）周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期. （4）无法画出函数的图象，但其图象客观存在. 知识点06 倍值函数 1、倍值函数 对于函数的定义域为，若存在区间，当时，的值域为，则称函数为倍值函数，区间称为函数的“倍值区间”。特别地，当时，函数称为保值函数。此类问题可转化为对应“不动点”、“稳定点”问题，也可以转化为方程同解问题，考察分类讨论、等价转化、属性结合、函数与方程等重要思想方法，综合能力要求较高，属难题。 知识点07 函数中的新定义问题 1、函数中的新定义问题 （1）常见题型 ①利用函数中的新定义及相关知识求参数取值范围； ②利用函数中的新定义及相关知识探究问题是否成立. （2）解决方案 联系所学函数的相关知识和方法解决问题函数中的新定义型问题 （3）常用方法 ①理解函数的新定义；②将新定义问题转化为已知问题；③利用函数的性质. （4）失误与防范 ①注意函数的定义域；②注意对结果的检验；③利用方程思想. 题型精研·技巧通法提能力 题型01 反函数 【技巧通法·提分快招】 互为反函数的两个函数的图象关于直线对称； 1．若函数是函数的反函数，则的值为（    ） A．16 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】运用反函数概念求反函数解析式，结合对数函数性质计算即可. 【详解】函数是函数的反函数， 则，所以. 2．（2026·广东广州·二模）若函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】根据两个函数图象关于直线对称，得出它们互为反函数，进一步求出反函数表达式，并作为的解析式，最后根据题意得到关于的方程，求解. 【详解】因为两个函数图象关于直线对称， 所以是的反函数， 对整理得：，， 交换可得反函数：， 又因为，所以 ， 化简可得：，即， 两边取以3为底的对数，则. 3．已知点M与点N分别在函数与图象上，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据函数的图象与函数的图象关于直线对称，结合图象得出最小值时的条件，求出的坐标即可求解. 【详解】根据反函数的性质，函数的图象与函数的图象关于直线对称， 结合图象可知，当直线与直线垂直，且处两函数图象的切线均与直线平行时，最小.设，，因为，， 所以，，则有，所以，即点， ，所以，即点，此时，即的最小值为. 故选：C. 4．若，设函数的零点为，的零点为，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数的零点是与图象交点的横坐标，函数的零点是与图象交点的横坐标，数形结合可得出，再将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的取值范围. 【详解】函数的零点是与图象交点的横坐标， 函数的零点是与图象交点的横坐标， 由于与互为反函数，其图象关于直线对称， 直线与直线垂直， 故直线与直线的交点即是的中点， ，， 当且仅当时等号成立，故， 故所求的取值范围是． 故选：B． 5．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知函数和的图象上存在点关于直线对称，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】将问题转化为与有交点，分离参数构造函数，结合导数研究函数的单调性以及最值即可求解. 【详解】关于的对称函数为， 则函数和的图象上存在点关于直线对称时，与有交点， 则有解，即有解， 令，则时有，时，，单调递增， 时，，单调递减， 则，且，，，， 所以，则． 6．（2026·湖南郴州·模拟预测）已知函数与函数互为反函数，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为________. 【答案】 【分析】利用反函数图像关于对称的性质，将两点间最小距离转化为函数图像到的最小距离的两倍. 【详解】由题可得，的反函数为，互为反函数的两函数图像关于对称， 所以P，Q两点最小距离等于其中一个函数图像到直线最小距离的两倍. 设上与平行的切线的切点为，，所以, 则切点为， 题型02 对勾函数 【技巧通法·提分快招】 基本不等式，当且仅当时取到最小值，即时， 1．已知函数，下面有关结论错误的有（    ） A．定义域为 B．值域为 C．在上单调递减 D．图象关于原点对称 【答案】C 【分析】利用函数的定义域、对勾函数的性质一一分析选项即可. 【详解】对于A，显然的定义域为，故A正确； 对于B、D，易知函数， 即为奇函数，图象关于原点对称， 且，当且仅当时取得等号， 故值域为，故BD正确； 对于C，函数的单调区间不能用并集表示，且的单调递减区间为，故C错误. 故选：C 2．（24-25高三上·山东济南·阶段检测）已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】换元，利用对勾函数的单调性求出最小值. 【详解】令，则， 而函数在上单调递增， 所以当，即时，取得最小值. 故选：D 3．（2025·山西·二模）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对勾函数的单调性，即可求解. 【详解】当时，为单调递增函数，不符合题意， 当时，均为单调递增函数，故为单调递增函数，不符合题意， 当时，在单调递增，在单调递减， 故在上单调递减，则， 故选：C 4．函数在上的最小值是_____． 【答案】/ 【分析】根据对勾函数的单调性得出最小值. 【详解】因为函数在上单调递减，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以. 故答案为：. 5．（25-26高三上·上海普陀·阶段检测）定义在区间上的函数的值域为_____. 【答案】 【分析】借助基本不等式求得函数最值即可得出结果. 【详解】由于定义域为，对于任意 ，则， 所以，因此， 当且仅当时，即时，等号成立， 即函数最大值为， 无最小值. 所以，在区间上的函数的值域为. 故答案为： 6．已知方程有两个不相等的正根，，且，则的取值范围是___ 【答案】 【分析】利用韦达定理可得，整理可得，结合图象可得，，，构造，结合对勾函数单调性分析求解. 【详解】因为方程有两个不相等的正根， 则，即，可得， 由，可得， 可知与在内有2个交点，如图所示： 则，，， 构造，可知在内单调递减， 则，即， 所以的取值范围是. 题型03 最值函数 1．定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求解. 【详解】画出，，的图像，观察图像可知， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的最大值在时取得为，故B正确． 2．定义 ，若，则的最大值为（    ） A．1 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】求的解析式，根据解析式求的最大值. 【详解】由. 所以. 所以：当时，； 当时，； 当时，. 综上可知：的最大值为9，当时取“”. 故选：C 3．定义：表示中的较小者.若函数在区间上的取值范围为，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先作出的图象，然后分析时的取值，根据值域结合图象确定出的最大值. 【详解】在平面直角坐标系中作出的图象如图所示， 令，解得或，所以， 令，解得，所以， 由题可知，当在区间上的取值范围为时， 当且仅当时取得最大值，且最大值为， 故选：B. 4．定义一种运算，设（为常数，且，则使函数的最大值为4的的值可以是（    ） A．或4 B．6 C．4或6 D． 【答案】A 【分析】根据定义，先计算在上的最大值，然后利用条件函数最大值为，确定的取值即可． 【详解】在上的最大值为， 所以由，解得或， 所以时，， 所以要使函数最大值为4，则根据定义可知， 当时，即时，，此时解得，符合题意； 当时，即时，，此时解得，符合题意； 故或. 故选：A 5．（24-25高三上·四川成都·阶段检测）定义表示中的最小值.已知实数满足，则（    ） A．的最大值是2 B．的最大值是 C．的最小值是2 D．的最小值是 【答案】C 【分析】由题先分析出实数，，一正两负，然后利用基本不等式放缩求出最大值的最小值即可. 【详解】因为，， 所以在，，中，2个为负数，1个为正数， 不妨设，则． 因为，所以，因为，， 所以，，则， 故的最小值是2，无最大值． 故选：C. 6．（多选题）定义，若函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若直线与的图象有个交点，则 D．在区间上的值域为，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】化简函数解析式，代值计算可判断AB选项；作出函数的图象，数形结合可判断CD选项. 【详解】当时，， 由于，由可得，由可得， 当时，， 由于时，由可得，由可得， 所以，， 作出函数的图象如下图所示： 对于A选项，，A正确； 对于B选项，因为，则，B正确； 对于C选项，若直线与的图象有个交点，则或，C错误； 对于D选项，当时，由得，解得， 当时，由可得，解得， 当时，由得，解得. 如图所示，当在区间上的值域为， 且当取最大值时，，故的最大值为，D正确. 故选：ABD. 7．定义为a，b中较大者，则函数（）的最小值为__________；若，，则的最小值为__________. 【答案】 1 【分析】令，利用函数单调性，可求得的最小值；利用分类讨论，结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】令，显然在上单调递增， 又， 当时，，所以，， 当时，，所以，， 所以函数（）的最小值为； 若时，即， 所以， 当且仅当，即时取等号， 若时，即时，， 若时，即，所以， 所以， 综上所述：则的最小值为. 故答案为：①1；②. 题型04 高斯函数 【技巧通法·提分快招】 高斯函数的性质 （1）定义域：R； （2）值域：Z. （3）不具有单调性、奇偶性、周期性. 1．（24-25高三上·湖南常德·开学考试）高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离常数，求出函数的值域，再根据高斯函数的定义即可得出答案. 【详解】， ，则，即， 当时，；当时，； 当时，；当时，， 综上，函数的值域为. 故选：C. 2．（2026·山东东营·模拟预测）对于一切实数x，表示不超过实数x的最大整数，函数称为高斯函数或取整函数．若，，数列的前n项和为，则（     ） A．284 B．280 C．274 D．270 【答案】A 【分析】利用取整函数的特性，将n按照的幂次区间进行分组后求和即可. 【详解】当时，即，此时共2项， 此部分的和为， 当时，即，此时共6项， 此部分的和为， 当时，即，此时共18项， 此部分的和为， 当时，即，此时共54项， 此部分的和为， 当时，即，此时， 由题意只需要计算第81项到第100项，即20项， 此部分的和为， 综上，. 3．（2026·北京海淀·三模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是（    ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据集合的描述及已知函数新定义有或，进而作出点集表示的对应区域，即可得答案. 【详解】由可得或， 即或或或， 即或或或， 上述不等式组表示的平面区域如图示： 由图可知平面区域由4个边长为1的正方形组成， 所以点集所表示的平面区域的面积是. 4．（多选题）（2026高三下·湖南衡阳·专题练习）记表示不超过x的最大整数．若，，则（   ） A．为奇函数 B．为偶函数 C． D． 【答案】BC 【分析】利用奇函数性质结合特殊值验证可以判断A；利用偶函数定义判断B；代入比较函数值大小，可以判断C，D； 【详解】对于A：取，则．A错误； 对于B：，即为偶函数．B正确； 对于C：显然．C正确； 对于D：显然．D错误． 5．（多选题）已知函数，其中表示不超过的最大整数，如，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为1 C．为周期函数 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，所以，A正确； 对于B，根据定义，是不超过的最大整数，因此，即的值域是，B错误； 对于C，对任意实数，有，因此是周期函数且周期为．C正确； 对于D，因为，即，解得，所以， 当时，，当时，，所以原不等式的解集为，D正确． 6．（2026·河北衡水·一模）设表示不超过的最大整数，则不等式的解集为______. 【答案】 【详解】因为，所以，则解得. 7．记表示不超过的最大整数，比如，，．已知函数，则_____，函数的值域为_____． 【答案】 0 【分析】根据函数解析式求出的值可得，先根据解析式特点求出的范围，根据范围可求值域. 【详解】因为，所以，所以； 因为，所以，， 当时，； 当时，； 当时，； 所以函数的值域为. 故答案为： 题型05 狄利克雷函数 【技巧通法·提分快招】 狄利克雷函数的性质 （1）定义域R；值域{0，1}. （2）奇偶性：偶函数. （3）周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期. （4）无法画出函数的图象，但其图象客观存在. 1．（2026·浙江宁波·二模）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】， ， ， ， 故“”是“”的必要条件， 当，假设时，， 此时，则， 故“”是“”的不充分条件， 综上： “”是“”的必要不充分条件． 2．历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet），狄利克雷在1829年给出了著名函数：（其中为有理数集，为无理数集）.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：（其中，且），以下对说法错误的是（    ） A．定义域为 B．当时，的值域为 C．为偶函数 D．在实数集上不具有单调性 【答案】B 【分析】选项A，根据函数的定义域可判断；选项B，根据函数的值域可判断；选项C，根据函数的奇偶性可判断；选项D，根据函数的单调性可判断. 【详解】选项A，因为（其中，且），而， 所以的定义域为，所以A的说法正确； 选项B，根据函数的对应法则，是有理数时，是无理数时， 所以的值域为，所以B的说法错误； 选项C，若，则，；若，则， ，综合可得，所以为偶函数，所以C的说法正确； 选项D，由于实数具有稠密性，任何两个有理数之间都有无理数，任何两个无理数之间也都有理数，其函数值在和之间无间隙转换， 所以在实数集上不具有单调性，所以D的说法正确. 故选：B. 3．（多选题）狄利克雷是德国数学家，他在数学领域做出了卓越的贡献.狄利克雷先在德国受教育后来到法国向很多著名的数学家学习，其首篇论文是费马大定理的情况，后来亦证明了的情况.迪利克雷函数是以他的名字命名的特殊函数：，有关该函数的图像，下列判断不正确的是（    ） A．图象是连续的 B．图象是折线段 C．图象关于y轴对称 D．图象能画出 【答案】ABD 【分析】对于ABD：根据函数的定义分析判断即可；对于C：根据偶函数的定义分析判断. 【详解】根据实数的性质可知：图象是不连续的，图象为两条不完整的直线， 由于实数x可以取无线小或无限大或无限不循环小数，图象是不能画出的，故ABD错误； 又因为的定义域为， 若是有理数，则也是有理数，可得； 若是无理数，则也是无理数，可得； 综上所述：， 可知为偶函数，图象关于y轴对称，故C正确； 故选：ABD. 4．（多选题）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（    ） A．的值域为 B．的定义域为 C． D．存在是无理数， 【答案】BCD 【分析】根据函数解析式即可得值域、定义域，即可判断AB；可知，代入运算即可判断C；举反例判断D即可. 【详解】因为函数， 所以的定义域为，值城为，故A错误；B正确； 因为，所以，故C正确； 例如取，则，故D正确； 故选：BCD. 5．（多选题）19世纪德国数学家狄利克雷提出了一个有趣的函数，设，则（   ） A． B． C．是偶函数 D．的解集为空集 【答案】BCD 【分析】根据所给函数，结合奇偶性的定义，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：因为，所以，故A错误； 选项B：，故B正确； 选项C：当时，，所以， 所以， 当时，，所以， 所以， 综上，对于任意，是偶函数，故C正确； 选项D：当时，，解得，故不成立，无解； 当时，，解得，故不成立，无解； 综上，的解集为空集，故D正确. 故选：BCD 6．（24-25高三上·上海宝山·阶段检测）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著， 他是数学史上第一位重视概念的人， 并且有意识地 “以概念代替直觉”，以其名命名的函数狄利克雷函数 ，现定义一个与狄利克雷函数类似的函数 “ 函数” ，则关于狄利克雷函数和 函数有以下四个结论: （1） ； （2）函数 是偶函数； （3） 函数图像上存在四个点 ，使得四边形 为平行四边形； （4） 函数图像上存在三个点 ，使得 为等边三角形. 其中所有正确结论的序号是_____. 【答案】（1）（3）（4） 【分析】根据狄利克雷函数和 函数的定义，结合奇偶性，可判定（1）（2）；直接取点说明（3）（4）正确； 【详解】由狄利克雷函数的定义，可得，所以（1）正确； 由，可得，不满足， 所以函数不是偶函数，所以（2）错误； 若取函数图象上四个点，，，， 因为，且，即，互相平分， 所以函数图象上四个点，使得四边形为矩形，故（3）正确； 函数图象上三个点，，， 即，，，因为， 所以为等边三角形，故（4）正确． 故答案为：（1）（3）（4） 题型06 黎曼函数 1．（多选题）黎曼函数（Riemann function）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出，其基本定义是：（注：分子与分母是互质数的分数，称为既约分数），则下列结论正确的是（    ） A． B．黎曼函数的定义域为 C．黎曼函数的最大值为 D．若是奇函数，且，当时，，则 【答案】BC 【分析】根据函数的定义计算特殊值判断A选项，根据定义域判断B选项，根据值域判断C选项，结合对称性及周期性判断D选项. 【详解】，错误. 因为是既约真分数，或上的无理数，所以黎曼函数的定义域为正确. 又为既约真分数，所以的最大值为正确. 因为，所以.所以. 因为是奇函数，所以，所以， 即是以2为周期的周期函数， ， 所以错误. 故选:. 2．（多选题）波恩哈德·黎曼（1866.07.20~1926.09.17）是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是（   ） A． B．，， C．的值域为 D．为偶函数 【答案】ABD 【分析】根据函数的定义，代入自变量的值计算函数值求解，注意根据题目所给条件对自变量的值进行分类讨论. 【详解】通过题目信息可知对于有理数和无理数具有不同的取值，且当为无理数时，： 对于A选项，代入验证易知其正确； 对于B选项，不妨设，根据的性质可得的最小值为， 当时，，当时，， 当时，若和中有无理数，则， 若和均为有理数，不妨设，其中，，，均为正整数，则，， 若与互质，则， 若与有大于的公约数，则， 综上可得，B选项正确； 对于C选项，计算可知的函数值只能是有理数，C选项错误； 对于D选项，的定义域为，，， 对于任意的，当为无理数时，和均为无理数，， 当为有理数时，可令,其中和是互质的正整数且， 则，， 综上可知对于任意的都有，是偶函数，D正确. 故选：ABD 3．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家黎曼发现并提出，在高等数学中被广泛应用．其定义为：，则______；若函数是定义在上的奇函数，且对任意都有，当时，，则______． 【答案】 【分析】第一空，根据黎曼函数定义直接得到；第二空，根据函数的奇偶性和对称性，得到的一个周期为2，故． 【详解】 ，． 是定义在上的奇函数，且对任意都有， ，． 故的一个周期为2， 当时，， 故． 故答案为：； 4．波恩哈德・黎曼(1826~1866)是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为:，下列关于黎曼函数的说法正确的是_____. ①； ②关于的不等式的解集为； ③； ④. 【答案】①②④ 【分析】根据黎曼函数的定义域分类对函数进行分析，再对每一个说法逐一分析判断，即可求出结果. 【详解】对①：当时，，当时，，而， 当时，，若是无理数，则是无理数， 有， 若是有理数，则是有理数，当（、为正整数，为最简真分数）， 则（、为正整数，为最简真分数）， 此时， 综上，时，故①正确； 对②：若或或内的无理数， 此时，显然不成立， 当（、为正整数，为最简真分数）， 由，得到， 整理得到，又、为正整数，为最简真分数， 所以或均满足， 所以，关于的不等式的解集为，故②正确； 对③：取，，则， 而，故③错误； 对④：若或，则，因为，所以不等式成立； 若且，当，（、、、是正整数，、是最简真分数）时， ，，故， 当，时，，有， 当，时，，，有， 当为无理数，时，，有， 综上，故④正确. 故答案为：①②④. 题型07 倍值、倍缩函数 1．函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足：在上是单调递增函数，且在上的值域为（），则称区间为的“倍值区间”．如下四个函数，存在“2倍值区间”的是（    ） A．， B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给定义得到方程组，再根据图像判断或构造函数利用导数说明函数的单调性，即可判断函数的零点，从而得解. 【详解】对于A:，函数在上单调递增， 若函数存在“倍值区间”，则， 令，，则， 所以在上单调递减，故在上不可能存在两个零点， 所以函数不存在“2倍值区间”，故A错误； 对于B:为增函数，若函数存在“2倍值区间”，则， 令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，即有两个根，所以存在2倍值区间，故B正确； 对于C:在上单调递增， 若函数存在“2倍值区间”，则， 所以，解得. 所以函数不存在“2倍值区间”，故C错误； 对于D：为增函数， 若存在“2倍值区间”，则， 结合及的图象知，方程无解， 故不存在“2倍值区间”，D错误； 故选：B 2．（24-25高三下·安徽·开学考试）设函数 的定义域为 ，若函数 满足条件： 存在 ，使 在 上的最小值为 ，最大值为 ，其中 为正整数，则称 为“ 倍缩函数”. 若函数 为“4 倍缩函数”，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性列方程，进而可得是方程的两个根，利用换元法以及二次方程根的分布即可求解. 【详解】由于为单调递增函数，故为增函数， 则，即， 所以是方程的两个根． 设，则，关于的方程为有两个不等的正实根， 所以，解得， 故选：B． 【点睛】关键点点睛：根据函数单调性求解最值得到是方程的两个根，换元得有两个不等的正实根求解. 3．对于函数，若存在区间，当时，的值域为，则称为倍值函数．若是倍值函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意有方程有两个不同的实数根，则，令，求导得函数的单调性与极值，由此可求出结论． 【详解】解：∵，定义域为， 函数在上为增函数， ∴由题意有，，， 即方程有两个不同的实数根， ∴， 令，则， 由得，由得， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴函数在处取得极大值， 又当时，，当时，， ∴， ∴当时，直线与函数的图象有两个不同的交点， 此时方程有两个不同的解， ∴的取值范围为， 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，本题的关键在于分离参数法得方程有两个不同的解，构造函数，利用导数研究其单调性与极值，注意讨论当和时函数值的情况．本题考查了数学运算能力，考查了转化与化归思想，属于中档题． 4．（多选题）已知函数的定义域为D，若存在区间，使得同时满足下列条件： ①在上是单调函数；②在上的值域是. 则称区间为函数的“倍值区间”． 下列函数中存在“倍值区间”的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据定义分别讨论是否同时满足“倍值区间”的两个条件，即可得出结论. 【详解】依题意，函数存在“倍值区间”，则满足在上是单调函数，且或， 对于A，，在区间上是增函数，且值域为，则区间是函数的“倍值区间”，A正确； 对于B，在区间上是减函数，且值域为，则区间是函数的“倍值区间”，B正确； 对于C，在上单调递减，在上单调递增， 假定函数存在倍值区间，若在上单调递增，则， 即有，而或，无解， 若在上单调递减，则，即，两式相减得， 而，则两式相加得，矛盾，不存在倍值区间，C错误； 对于D，当时，，函数在上单调递减， 于是在上单调递增，且值域为，因此区间是函数的“倍值区间”，D正确. 故选：ABD 5．对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当的定义域是时，的值域是，则称是该函数的“倍值区间”.若函数存在“倍值区间”，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】根据函数新定义及的单调性质，存在，使得，应用换元法，问题化为二次函数在上有两个零点，进而求参数范围. 【详解】由函数单调递增，且函数存在“倍值区间”， 存在，使得， 设,则，且，所以， 因此二次函数在上有两个零点，且， 则，解得， 故答案为：. 6．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据倍缩函数的定义，构造出方程组，得到，是方程的两个不等实根，结合等量代换化为一元二次方程，利用方程有两个不等实根且均大于0求解即可. 【详解】因为在上单调递增，所以单调递增， 又在上单调递增，所以在定义域内单调递增. 因为函数为“倍缩函数”， 所以，即， 所以，是方程的两个不等实根. 设，，则方程有两个不等的正实根， 所以，解得. 所以满足条件的实数的取值范围为. 故答案为： 7．已知函数的定义域为D，对于给定的正整数k，若存在，使得函数满足：函数在上是单调函数且的最小值为ka，最大值为kb，则称函数是“倍缩函数”，区间是函数的“k倍值区间”． (1)判断函数是否是“倍缩函数”？（只需直接写出结果） (2)证明：函数存在“2倍值区间”； (3)设函数，，若函数存在“k倍值区间”，求k的值． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【分析】（1）取，结合题意分析说明； （2）根据题意分析可得至少有两个不相等的实根，构建函数结合零点存在性定理分析证明； （3）先根据单调性的定义证明在上单调递增，根据题意分析可得在内至少有两个不相等的实根，根据函数零点分析运算即可得结果. 【详解】（1）取， ∵在上单调递增， ∴在上的最小值为，最大值为，且， 故函数是“倍缩函数”. （2）取，∵函数在上单调递增， 若函数存在“2倍值区间”，等价于存在，使得成立， 等价于至少有两个不相等的实根， 等价于至少有两个零点， ∵，且在定义内连续不断， ∴在区间内均存在零点， 故函数存在“2倍值区间”. （3）对，且，则， ∵，则， ∴，即， 故函数在上单调递增， 若函数存在“k倍值区间”，即存在，使得成立， 即在内至少有两个不相等的实根， ∵是方程的根，则在内有实根， 若，则，即，且， ∴，即. 【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法 （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解． （2）分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解． （3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解． 8．（24-25高三上·云南·阶段检测）对于定义域的函数，若存在区间，使得当时，函数的值域恰为，则称函数是上的 “倍值函数”，区间叫做“倍值区间”. (1)已知函数是上的“倍值函数”，求的值； (2)若函数是“倍值函数”且在“倍值区间”单调，求的取值范围； (3)设函数是“倍值函数”，且存在唯一的“倍值区间”，求的值. 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）求出在上的值域，再根据“倍值函数”的定义即可列方程求解； （2）易知对称轴为，分、讨论即可； （3）根据“倍值函数”，且存在唯一的“倍值区间”分类讨论即可. 【详解】（1）因为函数在上单调递增，且是 “倍值函数”. 所以，，其值域为. 则，又，解得. （2）函数，对称轴为. 设的 “倍值区间” 为. 若，在上单调递减， 则，两式相减得： ，，. 所以，所以， 即， 同理可得， 所以方程在上有两个不等的实跟， 所以，解得； 若，在上单调递增， 则， 即有两个不同的大于的根. 令，则， 解得或， 解得，解得，此时无解. 综上，的取值范围是. （3）因为函数是 “倍值函数”， “倍值区间”为开口向下，对称轴为. 若，在上单调递减， 则，两式相减得: ，，， 代入得， ，，无解. 若，在上单调递增， 则，所以， 当，，则“倍值区间”的端点必须均为负数，此时“倍值区间”唯一，符合题意； 所以，且，则，得且. 又，， 消去得（无解），或者，解得或（舍去）； 所以. 题型08 函数新定义问题 【技巧通法·提分快招】 （1）尝试用自己的话复述新信息的核心要点，清晰流畅的表述是理解透彻的标志 （2）探索新信息与现有知识体系的联系，通过对比分析来把握新知识的内在属性和运作规律 1．对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整理可得，分和两种情况，解不等式结合对数函数单调性运算求解即可. 【详解】因为， 令，则，解得， 此时，且，可得， 可知函数在内的值域为； 令，则，解得， 此时，可知函数在内的值域为； 综上所述：函数的值域为. 2．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔（英语：L.E.J.Brouwer）.布劳威尔不动点定理说明：对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，则称该函数为“不动点函数”.下列四个函数中，“不动点函数”的个数为（    ） ①， ②， ③， ④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意判断方程是否有解即可﹒ 【详解】①对于函数，令，即， 因为，所以函数不是“不动点函数”. ②对于函数，令，此时存在满足方程， 所以函数是“不动点函数”. ③对于函数，令，此时存在满足方程， 所以函数是“不动点函数”. ④对于函数，令，当时，，此时方程无解， 当时，，此时存在满足方程， 所以函数是“不动点函数”. 故选：C. 3．（25-26高三上·江西·阶段检测）设函数的导函数为，若函数在区间D上是减函数，且函数在区间D上是增函数，称在区间D上是“缓减函数”，区间D称为的“缓减区间”，若，下列区间不是的“缓减区间”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用导数法求得的单调递减区间为，再利用导数法求得函数的单调递增区间为，进而利用“缓减区间”的定义得的“缓减区间”为，逐项判断即可． 【详解】由题意得， 又，由，得，解得， 即的单调递减区间为． 设， 则. 由得，即， 又，则，解得， 即的单调递增区间为． 由“缓减区间”的定义可得的“缓减区间”为， 而是的子集，是“缓减区间”； 不是的子集，不是“缓减区间”； 是的子集，是“缓减区间”； 是的子集，是“缓减区间”． 故选：B 4．（2026·福建宁德·二模）设是定义在上的函数，若，当时，，称函数具有性质，则下列函数具有性质的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于ABD：举反例说明即可；对于C：分析可知为偶函数，在内单调递增，进而分析判断. 【详解】对于选项A：例如，， 即，但，故A错误； 对于选项B：例如，， 即，但，故B错误； 对于选项C：令，则的定义域为， 且， 即，可知为奇函数， 又因为在定义域内单调递增，则在定义域内单调递减，且， 当时，；当时，； 则，可知为偶函数，则， 当时，在内单调递增， 若，即，则，可得，故C正确； 对于选项D：，， 即，但，故D错误. 5．（多选题）（25-26高三上·山东淄博·期中）定义在上的函数，如果对任意，都有，且等号仅在时成立，则称函数为“下凹函数”.下列函数是下凹函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用下凹函数的图象特征，通过数形结合来判断即可. 【详解】    根据下凹函数定义，我们知道下凹函数的图象特征， 对于A，作图：    不满足下凹函数的图象特征，故A错误； 对于B，作图：    满足下凹函数的图象特征，故B正确； 对于C，作图：    不满足下凹函数的图象特征，故C错误； 对于D，作图：    满足下凹函数的图象特征，故D正确； 故选：BD. 6．（多选题）（25-26高三上·湖北黄冈·期中）在工程技术中，常用到双曲正弦函数（）和双曲余弦函数（），它们的很多性质与正弦函数和余弦函数类似.记，，下面关于这两支函数的说法正确的有（    ） A．，在定义域上均为增函数 B． C． D．与均为偶函数 【答案】BCD 【分析】利用导数得到在定义域上不是增函数判断A，结合题意与指数运算判断B，C，利用函数奇偶性的定义判断D即可. 【详解】由题意得，， 对于A，可得，且， 令，则， 得到在上单调递增，即当时，， 可得在定义域上不是增函数， 则，在定义域上不可能均为增函数，故A错误， 对于B，由题意得， ， 可得，故B正确， 对于C，由题意得， ， 可得，故C正确， 对于D，因为，所以是奇函数， 因为，所以是偶函数， 则，可得是偶函数， 则， 可得是偶函数，故D正确. 故选：BCD 7．（2026·湖南长沙·一模）若存在且，对任意的，均有恒成立，则称函数具有性质.请写出一个满足性质的函数是________. 【答案】（答案不唯一） 【详解】，理由如下， 取，则，所以满足题意. 8．（25-26高三上·上海·期中）若函数和的图象均连续不断，和均在任意的区间上不恒为0，的定义域为的定义域为，存在非空区间，满足：对任意的，均有，则称区间为和的“区间”． (1)写出和在上的一个“区间”（无需证明）； (2)若是和的“区间”，证明：不是偶函数； (3)若，是和的“区间”，证明：在区间上存在零点． 【答案】(1)在区间上的一个“区间”可以是及其非空子集； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据正余弦函数的性质及区间的定义确定和在上的一个“区间”； （2）根据定义有时，时，进而得到使，即可证； （3）应用导数研究函数的单调性，再由区间的定义及零点存在性定理，即可证. 【详解】（1）由题意和的定义域是， 当时，满足“区间”的定义， 故在区间上的一个“区间”可以是及其非空子集； （2）由题意，当时，，故， 当时，，故， 在任意区间上不恒为0，故，使得， 又，显然，故不是偶函数； （3）当时，， 因为，即， 所以在上单调递增， 当时， 故且唯一，使， 且当时，，当时，， 当时，，故且存在，使得， 当时，，故且存在，使得， 由零点存在性定理知，，使， 故在区间上存在零点. 9．（2026·湖南邵阳·一模）若函数对任意，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶和函数”．特别地，当时，称为区间上的“阶和函数”． (1)判断函数是否为区间上的“3阶和函数”； (2)若函数是在区间上的“2阶和函数”，求实数的取值范围； (3)若函数为区间上的“2阶和函数”，当时，函数有两个零点，证明：． 【答案】(1)不是“3阶自和函数”. (2) (3)见解析 【分析】（1）根据“3阶和函数”的定义，举反例说明函数不是区间上的“3阶和函数”. （2）根据“2阶和函数”的概念，求实数的取值范围. （3）先根据“2阶和函数”的概念求的值，再利用“极值点偏移”证明 ； 设，分析函数极值，可得，结合，可得当时，，当 时，，进而得，整理可证. 【详解】（1）对于，有. 如果存在，使得． 则必有， 令，则， 所以不是“3阶和函数”. （2）函数在区间上的值域为． 因为是在区间上的“2阶和函数”． 所以对任意，总存在唯一的，使得成立， 所以， 所以在上的值域必定包含区间，且当时，方程的解在上是唯一的. 又因为函数的图象开口向上，对称轴为 ， 当时，在上单调递增，则必有，解得． 当 时，在上单调递减，则必有，解得． 当 时，在上单调递减，在上单调递增， 则必有，解之得：； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则必有，解之得：. 综上所述，的取值范围为. （3）对，有． 如果存在，使得，则必有， 因为为区间上的“2阶和函数”， 所以，即，解得. 所以当时，函数， 所以函数的定义域为，且． 设， 则， 因为，所以 ． 所以在上单调递增，即在上单调递增，而． 所以当时， ，单调递减，当 时， ，单调递增． 而，当且时，． 所以. 设，则， 所以，又 ， 所以，所以． 因为且在上单调递增， 所以，即 . 设，则， 所以当时，，单调递减， 当 时，单调递增． 所以，则． 因为， 所以当时，，当 时，. 所以， 整理得 由①②得，， 因为，所以，所以． 综上得证. 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（25-26高三上·广东江门·阶段检测）函数的反函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由反函数的定义求解即可. 【详解】由题意令，解得. 故选：C. 2．已知函数则（    ）． A．，1是的一个周期 B．，1不是的一个周期 C．，1是的一个周期 D．，1不是的一个周期 【答案】A 【分析】根据定义，结合函数值之间的关系以及函数周期性的定义进行判断即可． 【详解】因为函数的值域为，而0和1都是有理数， 所以，故． 若为有理数，则也为有理数；反之，若为无理数，则也为无理数． 故对任意的，恒有． 故选：A． 3．已知，用表示中的最大者，记为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意代入中较大值计算比较即可. 【详解】，A正确. ， 则故B，C，D错误. 4．定义运算则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据定义写出的解析式，再由周期性转化为研究一个周期上的值域，先分段求出每段上函数的值域，再求并集即可. 【详解】由题：， 因为都是以为周期的函数，所以也是以为周期的函数， 取研究： 当时，； 当时，； 所以函数的值域为. 故选：B. 5．（25-26高三上·江苏扬州·期中）表示不超过的最大整数，十八世纪，函数被高斯采用，因此得名高斯函数，例如：.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据一元二次不等式得出解集，结合高斯函数的定义求解范围. 【详解】因为，则， 根据高斯函数定义可得实数. 故选：C. 6．（25-26高三上·上海闵行·期中）设函数和的定义域为D，若存在非零实数，使得，则称函数和在D上具有性质P．现有三组函数：①，；②，；③，．其中具有性质P的组数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据性质P逐组判断. 【详解】对于①：显然存在，满足，具有性质P； 对于②：若存在，使得，则， 所以，解得，不具有性质P； 对于③令，则（当且仅当时取等号）恒成立， 所以在上单调递增有唯一零点，又，所以这组函数不具有性质； 故具有性质的只有①组. 故选：B. 7．（25-26高三上·山东潍坊·期中）若函数的定义域内存在，使得成立，则称为“互补函数”．下列函数为“互补函数”的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐项计算定义域内是否存在，使得成立即可得. 【详解】对A：令，则，若，则，矛盾， 故不是“互补函数”，故A错误； 对B：令，则，存在如，使其成立， 故是“互补函数”，故B正确； 对C：令，则，由， 则时，，矛盾，故不是“互补函数”，故C错误； 对D：令，则，由， 则，矛盾，故不是“互补函数”，故D错误. 故选：B. 8．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“倍缩函数”的定义，构造出方程组，结合一元二次方程有两个不等的正实根求解即得. 【详解】由函数为“倍缩函数”，得存在，使在上的值域是， 显然函数在上单调递增，而函数在上单调递增，因此在上是增函数， 则，即， 于是是方程的两个不等实根，设，有， 则方程有两个不等的正实根，因此，解得， 所以满足条件的取值范围是. 故选：B 【点睛】思路点睛：正确理解“倍缩函数”的定义，结合单调性，构建出方程组，借助一元二次方程实根分布求解. 9．（25-26高三上·黑龙江·期末）对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：①在是单调的；②当定义域是时，的值域是，则称是该函数的“倍值区间”.若函数存在“倍值区间”，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】函数在其定义域内是单调递增的，结合定义可知，，可得故，是方程的两个实数根，由此构造函数，求导分析出满足条件的的取值范围． 【详解】因为函数在单调递增， 若函数存在“倍值区间”， 则，且， 故，是方程的两个不等的实数根， 即在上有两个不等的实根， 令，则， 令，则， 当时，，当时，， 故当时，取最小值， 又因为当时，，且， 所以若在上有两个不等的实根，则， 故选：D. 10．（2025·河北·一模）函数在上的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先结合“勾函数”的性质求出的取值范围，再结合正弦函数的图象求零点个数. 【详解】令函数，根据“勾函数”的性质可知：函数在上单调递减，在上单调递增， 且，. 所以当时，， 由，. 只有当时，的值分别对应. 又因为在上各有2个解， 所以在上有6个零点. 故选：C 11．已知，分别是关于的方程，的根，则下面为定值2023的是（    ） A． B． C． D． E．均不是 【答案】C 【分析】由与关于直线对称，关于直线对称可得与为同一点即可求得结果. 【详解】由已知条件可知，，， 令，，， 如图所示， 曲线与曲线关于直线对称，曲线关于直线对称， 设曲线分别与曲线，交于点， ， 则点，关于直线对称， 而点关于直线对称的点为，即为点， 则，即. 故选：C. 12．（多选题）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，该函数解析式为，则下列关于函数的命题中，是真命题的为（   ） A．是偶函数 B．任意非零有理数都是的周期 C．， D．若，则 【答案】ABC 【分析】选项A根据偶函数的定义可判断；选项B根据周期函数的定义可得；选项C根据函数解析式分类代入可得；选项D举反例若，，可判断. 【详解】选项A：当为有理数时，则也是有理数，则， 当为无理数时，则也是无理数，则， 故当时，，故A正确； 选项B：，当为有理数时，则也是有理数，， 当为无理数时，则也是无理数，，故B正确 选项C：当为有理数时，，， 当为无理数时，，，故C正确； 选项D：若，，则，但，故D错误， 故选：ABC 13．（多选题）（24-25高三下·贵州贵阳·阶段检测）函数的函数值表示不超过的最大整数，十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，例如：，．则下列命题中正确的是（    ） A．， B．对任意整数，有 C．存在正实数，使得对所有成立 D．函数有2个零点 【答案】ABD 【分析】由高斯函数的定义，可判断A；整数不影响小数部分可判断B；由的图象可判断C；由，求解可判断D. 【详解】对于A，由高斯函数的定义，是不超过的最大整数，故，A正确； 对于B，整数不影响小数部分，故，B正确； 对于C，由的图象易知C错误；    对于D，由，可得，所以， 若函数要有零点，则，得，因为要为0， 必须也为整数，在这个范围内，只有，两个点，所以D正确. 故选：ABD． 14．（多选题）德国数学家狄利克雷（P．G．L．Dirichlet，1805-1859）在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，而不需管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示．例如，，下列说法正确的是（   ） A． B．为偶函数 C．的值域为 D．是函数的一条对称轴 【答案】ABD 【分析】根据给定的分段函数，结合奇偶性、对称性逐项分析判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，当时，，则；当时，有， 因此对，均有，即为偶函数，B正确； 对于C，由，得，因此函数的值域为，C错误； 对于D，当时，；当时，，因此恒成立，D正确. 故选：ABD 15．（多选题）（25-26高三上·广东·阶段检测）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为高斯函数，其中，用表示不超过的最大整数，例如.已知，则下列说法错误的是（    ） A． B．为奇函数 C．为上的增函数 D．与图象所有交点的横坐标之和为2 【答案】ABD 【分析】A选项，由定义计算；B选项，取特殊值可判断，C选项，利用解析式判断单调性；D选项，由函数图象交点的求法，结合函数新定义判断. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，由，， 则函数不是奇函数，故B错误； 对于C，令，则， 由，则，所以， 所以在R上是增函数，故C正确； 对于D，令，即， 又，所以，得， 当时，有，即2为两图象交点的横坐标， 当时，，则，得，即为两图象交点的横坐标， 当时，有，则1不是两图象交点的横坐标， 当时，，则，得，即为两图象交点的横坐标， 综上，两图象所有交点的横坐标之和为，故D错误. 故选：ABD 16．（多选题）定义若函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若直线与的图象有3个交点，则 D．在区间上的值域为，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】通过分段定义明确的解析式，验证选项A的函数值；求选项B的函数解析式；结合函数图象判断C、D的正误. 【详解】，其中， ， 当 时，，若，由 ， 解得 ，与的交点坐标为 . 其中时，时， 当 时，，若，由 , 解得，与的交点坐标为 . 其中时，时， 所以，函数图象如图所示， 选项A： ，A选项正确； 选项B： 由， 则， 选项B正确. 选项C：结合函数图象可知，直线与图象有3个交点， 则或，因此C错误. 选项D：要让在上的值域为，需要覆盖到函数值和，同时不能出现大于0的部分， 函数值为的唯一位置是； 由，函数值为的最左点是，最右点是， 要使值域为，区间需包含最小值点，最大区间为， 长度为，因此D正确. 17．（多选题）伯恩哈德•黎曼是德国著名数学家，他在数学分析和微分几何领域贡献卓著，开创的黎曼几何为广义相对论奠定了数学基础.他提出的黎曼函数是分析学中的经典函数，其定义域为，解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是（    ） A． B．关于的不等式的解集为 C． D．若，是内的有理数，则有 【答案】ABD 【分析】根据黎曼函数的定义域分类对函数进行分析，再对每一个选项逐一分析判断，即可求出结果． 【详解】对于选项A，为有理数，且互质，则，故A正确； 对于选项B，若或或内的无理数，此时，显然不成立， 当（、为正整数，、互质），由，得到， 整理得到，又、为正整数，、互质，所以， 所以，关于的不等式的解集为，选项B正确； 对于选项C，取，，则， 而，所以选项C错误； 对于选项D，，是内的有理数， 当，（、、、是正整数，、是最简真分数）时， ，，故， 所以，所以选项D正确． 故选：ABD． 18．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知函数与满足对任意的，总存在，使得成立，则称是在区间D上的“m阶自伴函数”，当时，称为区间D上的“m阶自伴函数”. (1)若函数为区间上的“243阶自伴函数”，求实数b的值; (2)若是在区间上的“2阶自伴函数”，求实数a的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由题意可得对任意，存在，使得成立，解得，进而可得，即可求得答案. （2）根据x的范围，先求得的值域，进而可得是在区间上值域的子集，根据二次函数图像与性质，分析计算，即可得答案. 【详解】（1）因为函数为区间上的“243阶自伴函数”， 所以对任意，存在，使得成立， 所以对任意，存在，使得，即， 所以， 所以，解得b=2，即实数b的值为2. （2）当时，， 所以， 因为是的“2阶自伴函数”， 所以对任意，存在，使得成立， 因为，所以， 所以是在区间上值域的子集. 当时，， 令， 当时，在上单调递增， ， 所以，解得； 当时，， 所以，解得； 当时，， 所以，解得； 当时，在上单调递减， ， 所以，解得. 综上所述，实数a的取值范围为. 19．（24-25高三上·山东青岛·期末）若函数满足：对于任意，，都有，则称具有性质． (1)设，，分别判断函数，是否具有性质？并说明理由； (2)（ⅰ）已知奇函数是上的增函数，证明：具有性质； （ⅱ）设函数具有性质，求的范围． 【答案】(1)见解析 (2)（ⅰ）见解析 （ⅱ） 【分析】（1）利用举反例即可判断不具有性质．利用题干中的定义列出式子即可判断具有性质. （2）（ⅰ）利用奇函数的性质以及题干的定义即可证明结论. （ⅱ）根据定义列出式子，得出为上的增函数，再利用导数的性质以及分情况讨论即可得到结果. 【详解】（1）不具有性质，理由如下：取，则 ； 具有性质，理由如下：对于任意， ， 所以具有性质. （2）（ⅰ）是上的增函数， 当时，，即， 为奇函数，  ， ，具有性质； （ⅱ）因为函数具有性质， ， 因为， 又定义域为，所以为奇函数， ， 即为上的增函数， 在上恒成立， 在上恒成立， 当时，显然成立， 当时，， 令，， 令，， 因为为的增函数， ， 当时，， 令， ， . 综上： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是理解性质P的定义，第二问结合函数的奇偶性得到函数的单调性，从而转化为恒成立问题. 创新能力提升 1．历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet），他在1829年定义了一个“奇怪的函数”：，其中为实数集，为有理数集．则关于函数的如下四个命题中，不正确的是（   ） A．，都有 B．，都有 C．，都有 D．，都有 【答案】D 【详解】对于选项A，当时，，则， 当时，，则，所以A正确； 对于选项B，，当时，，则， 当时，可知，则，所以B正确； 对于选项C，，若，则，此时， 若，则有两种情况， 当时，此时，满足，当时，此时， 若，则有两种情况， 当时，此时，满足， 当时，此时， 综上，，都有，所以C正确； 对于选项D，当时，有， 此时，所以D错误. 2．波恩哈德·黎曼（1866.07.20~1926.09.17）是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法不正确的是（   ） A． B．关于的不等式的解集为 C． D． 【答案】C 【分析】根据黎曼函数的定义域分类对函数进行分析，再对每一个选项逐一分析判断，即可求出结果. 【详解】对于选项A，当时，，当时，，而， 当时，，若是无理数，则是无理数， 有， 若是有理数，则是有理数，当（、为正整数，为最简真分数）， 则（、为正整数，为最简真分数）， 此时， 综上，时，所以选项A正确； 对于选项B，若或或内的无理数，此时，显然不成立， 当（、为正整数，、互质），由，得到， 整理得到，又、为正整数，、互质，所以或均满足， 所以，关于的不等式的解集为，选项B正确； 对于选项C，取，，则， 而，所以选项C错误； 对于选项D，当或或为无理数且或或为无理数时，， 显然有， 当，（、、、是正整数，、是最简真分数）时， ，，故， 当，时，，有， 当，时，，，有， 当为无理数，时，，有， 综上，所以选项D正确. 故选：C. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 3．对于函数，常数，若自变量在区间上变化时，函数值的取值范围恰为，则称区间是函数的倍值区间，区间长度为.已知定义域为的函数的表达式为，给出下列结论： ① 函数恰有2个1倍值区间； ② 函数的所有倍区间长度之和为. 下列说法正确的是（    ） A．结论①成立，结论②不成立 B．结论①不成立，结论②成立 C．两个结论都成立 D．两个结论都不成立 【答案】B 【分析】先分析得出，再分，，三种情况，根据函数的值域为和可求的值，即可得出结论. 【详解】作函数的草图如下：    对①：设为函数的1倍值区间，即当时，. 因为，所以. 当时，在上单调递减， 由. 两式相减得， 因为，所以，将其代入， 得或. 因为和均不属于， 所以当时，函数无1倍值区间； 当时，因为，所以必有， 又，所以必有，即，又，所以. 所以区间是函数的一个1倍值区间. 当时，在上单调递增， 所以，且，所以方程组无解， 即当时，函数无1倍值区间. 综上，函数只有一个1倍值区间，故①错误； 对②：设为函数的倍值区间，即当时，. 因为，所以. 当时，在上单调递减， 所以， 两式相减得：， 因为，所以, 代入得或（因为故舍去）. 由. 所以当时，， 所以是函数的一个倍值区间； 当时，因为，所以必有， 又，所以必有，即，又，所以. 所以区间是函数的一个倍值区间. 当时，在上单调递增， 所以，且，所以方程组无解， 即当时，函数无倍值区间. 综上，函数有两个倍值区间和， 它们的区间长度之和为：.故②正确. 故选：B 4．（多选题）对于任意的，表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是（   ） A．函数，的图象关于原点对称 B．函数，的值域为 C．对于任意的，不等式恒成立 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，取值验证判断A；由取整函数的定义得，进而判断BC；解一元二次不等式，然后根据取整函数的定义求出解集判断D. 【详解】对于选项A：当时，，当时，， 即点都在函数的图象上，它们关于原点不对称， 则函数的图象关于原点不对称，A错误； 对于选项B：由取整函数的定义知， ，则， 因此函数的值域为，B正确； 对于选项C：由取整函数的定义知，，， 则，C正确； 对于选项D：由，可得，解得， 且，则或， 因此，不等式的解集为，D正确. 故选：BCD 5．（多选题）已知函数，并定义函数，若函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．在区间上单调递减 C．若关于的方程有2个实数根，则 D．若在区间上的值域为，则的最大值为，最小值为 【答案】AD 【分析】数形结合法求解比较直观，首先作出函数图象，将转化到上，想到指数运算，进而求解A；根据图象上的一些特殊点可判断BC；根据函数值为的自变量的取值范围求得的最值. 【详解】在同一平面直角坐标系中分别作出函数， 的图象，的图象为图中实线部分，如图： 对于A，因为，所以若，且， 不妨令，则. 令，则， 两式相乘得，即， 因为，所以， 所以，所以，故A正确. 对于B，因为，所以的图象在轴右侧交于点，由图知在区间上单调递增，故B错误. 对于C，因为，即， 所以的图象在轴左侧的交点的横坐标， 所以若关于的方程有2个实数根，由图知，故C错误. 对于D，若在区间上的值域为，由图知，若最大，则函数值为0的自变量的跨度最大，此时，即最大值为，若最小，则在附近寻找函数值为0，且离直线最近的自变量的取值，为，所以的最小值为. D正确. 故选：AD. 6．已知实数满足，，则__________. 【答案】 【分析】由与的交点关于对称，结合，，从而有与关于对称得到且，即可求. 【详解】由关于对称，又与垂直， 所以与的交点关于对称， 结合题设有，，且， 所以是与的交点；是与的交点， 所以与关于对称，则且， 所以. 7．（2026·山东青岛·二模）已知函数的定义域为.对于正实数，定义集合. (1)若，求集合； (2)若，且集合中有3个元素，求实数的取值范围； (3)是否存在非常数函数，使得？若存在，写出一个符合要求的函数，并给出证明；若不存在，说明理由. 【答案】(1) 或 ； (2) 或 . (3)见解析 【分析】（1）代入计算得，再求解即可； （2）分、和讨论即可； （3）写出，再证明即可. 【详解】（1）由题意，若， 则， 即， 所以或， 所以或， 所以或. （2）设， ①当时，，所以， ， 所以在上无解； ②当时，， 整理得，因为， 所以在实数范围内有两个不相等的实数解为， 又因为， 所以在上最多有两个解. ③当时，，所以， 由得， 令，所以， 令即，解得， 易知在单调递增， 所以当时，单调递减， 所以当时，单调递增， 所以， 而， 此时在上最多有两个解， 为了满足集合中有3个元素， 所以在上有两解且在上有一个解， 或者在上有一个解且在上有两个解， 所以或或， 分别解得或或无解， 综上，的取值范围是或. （3）存在 ， 证明：. 8．（2025·河南周口·二模）已知函数，，，若存在区间I，对，恒成立，则称在I上具有性质． (1)若，，且，，求k的值； (2)若，，，判断在区间上是否具有性质； (3)若，，，证明，是在上具有性质的必要条件． 【答案】(1) (2)在上具有性质 (3)见解析 【分析】（1）构造函数，求导可得其单调性，从而得到，即可得到结果； （2）分别构造函数以及，利用导数判断其单调性，再结合性质，即可判断； （3）将问题转化为证明，构造，结合（1）中的结论可得，从而可得，使得，再结合性质，即可证明. 【详解】（1）令，则，因为， 所以为的最小值点，也是极小值点， 又，所以，所以， 当时，，， 显然时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 所以符合题意，故. （2）令，则， ，，，所以，即， 令，则， 因为，，所以， 所以在上单调递增，所以，即， 所以在上，恒有成立， 所以在上具有性质. （3）证明：即由在上具有性质，证明， 令，则， 由（1）可得， 当且仅当时取等号， 令，则，所以在上单调递增， 又， 所以，使得，即， 所以，，且， 因为，，所以， 即，所以， 令，则， 由已知可得， 则为的极值点，所以，所以， 又，所以， 所以是在上具有性质的必要条件. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了导数与函数的综合以及函数新定义问题，难度较大，解答本题的关键在于合理构造函数以及理解性质，然后结合导数相关知识解答. 9．（2026·上海浦东新·三模）对于定义在区间上的函数，若对一切恒成立，则称直线是的一个“函数”． (1)若，分别判断和是否为的函数并说明理由； (2)设，．若是的一个函数，求的取值范围； (3)设为无穷实数列．令．已知与其函数的图象有公共点，其公共点的横坐标为．是否存在，使得为非常数的无穷等比数列？证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）使用特值法分析； （2）构造函数，使用导数求解； （3）构造函数通过导数分析函数的单调性与最值，再使用反证法证明. 【详解】（1）函数，由，得，则， 当时，，因此恒成立， 即恒成立，所以是的函数； 当时，，取，，， 此时，所以不是的函数. （2）函数，由是的一个函数， 得，不等式恒成立， 令函数，由，得， 求导得，， 当时，，则恒成立，在上单调递增， 因此恒成立，； 当时，由，，在上单调递减，，因此， 当时，方程的两个实根， 而且对称轴，故， 由，得或；由，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 由，得， 因此，，所以的取值范围是. （3）函数与其函数的图象有公共点， 函数与在上的图象公共点横坐标为，且恒成立， 则，令函数，于是恒成立， 且，即为在上的最小值点， 求导得，由，得， 令函数，求导得，则， 由为最小值点，得，则，解得； 假设存在使为非常数无穷等比数列， 设，，若，则数列严格递增， 当（表示的整数部分）时，，与矛盾； 若，则数列严格递减，当时，， 则存在正整数，使得当时，，与矛盾； 若，数列为常数列，与“非常数”矛盾， 所以不存在数列使得为非常数的无穷等比数列. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $