5.4 课时1 和、差、倍、分问题课件 2026-2027学年冀教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程的应用（和差倍分问题），以《孙子算经》“鸡兔同笼”问题导入，通过列算式与列方程解法对比，衔接从算术思维到代数思维的过渡，辅以等量关系梳理和解题步骤（审设列解验答）作为学习支架。 其亮点在于融合古代数学文化与现实问题，通过“鸡兔同笼”解法对比培养数学思维（推理意识），结合例1多种列方程方法强化模型意识（数学语言），总结解题步骤助力学生用数学眼光分析实际问题。学生能提升方程应用能力，教师可依托实例优化教学流程。

5.4 一元一次方程的应用 课时1 和、差、倍、分问题 我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”这是著名趣题之一. 每只兔子先算2只足（与鸡的足数凑齐）， 此时兔子和鸡的足数共有2×35=70. 由于每只兔子少算了2只足， 总共少算的足数为94-70=24. 所以兔子数为24÷2=12， 鸡数为35-12=23. 答：鸡有23只，兔子有12只. 下面是用列算式与列方程两种不同的方法解答该问题的过程. 上有三十五头，下有九十四足 列算式解法： 下面是用列算式与列方程两种不同的方法解答该问题的过程. 上有三十五头，下有九十四足 列方程解法： 设鸡有x只，那么兔子有（35-x）只. 因为鸡的足数+兔的足数=94， 所以2x+4(35-x)=94. 解这个方程，得x=23. 从而35-x=12. 答：鸡有23只，兔子有12只. 交流讨论：比较上述列算式的方法与列方程的方法，说说它们各自的特点.谈谈你对方程意义的理解与感悟. 利用列算式的方法求解，要先将每只兔子看成2只足，与每只鸡的足数凑齐(或先将每只鸡看成4只足，与每只免子的足数凑齐)，然后用足数之差间接求出兔子(或鸡)数，思考过程和算式的得出都比较曲折. 利用列方程的方法，可根据足数之和直接列方程，使得问题的解决比较简单. 例1 某学校七年级同学参加一次公益活动，其中15%的同学去作保护环境宣传，剩下的170名同学去植树.七年级共有多少名同学参加了这次公益活动？ 分析：参加保护环境宣传的人数+参加植树的人数=总人数 解：设七年级共有x名同学参加了这次公益活动， 那么作保护环境宣传的同学有15%x名. 依题意，得 15%x+170=x. 解这个方程，得 x=200. 答：七年级共有200名同学参加了这次公益活动. 还有其他的列法吗? 解：设七年级共有x名同学参加了这次公益活动， 那么作保护环境宣传的同学有(x－170)名. 依题意，得 15%x=x－170. 解这个方程，得 x=200. 答：七年级共有200名同学参加了这次公益活动. 例1 某学校七年级同学参加一次公益活动，其中15%的同学去作保护环境宣传，剩下的170名同学去植树.七年级共有多少名同学参加了这次公益活动？ 分析：参加保护环境宣传的人数=参加保护环境宣传的人数 解：设七年级共有x名同学参加了这次公益活动， 那么参加植树的同学有(1-15%)x 名. 依题意，得 (1-15%)x=170. 解这个方程，得 x=200. 答：七年级共有200名同学参加了这次公益活动. 例1 某学校七年级同学参加一次公益活动，其中15%的同学去作保护环境宣传，剩下的170名同学去植树.七年级共有多少名同学参加了这次公益活动？ 分析：参加植树的人数=参加植树的人数 同学们说说如何根据和、差、倍分问题列方程? 15%x+170=x. 15%x=x－170 总人数 = + 参加保护环境宣传的人数 参加植树的人数 参加保护环境宣传的人数 = 参加保护环境宣传的人数 参加植树的人数 参加植树的人数 = (1-15%)x=170 找关键词，确定等量关系，设未知数，再列方程. 等量关系： 1.总量=各分量之和. 2.表示同一个量的两个不同的式子相等 和(差)关系：总量=各分量之和，大数=小数+大数与小数的差. 倍(分)关系：几倍后的量=基础量×倍数，分量=总量×分量对总量所占的分数. 如图1，已知高度为60 cm的圆柱形玻璃容器内水面的高度为20 cm.现有体积分别相等的大球、小球若干个. (1)如图2，已知在容器内放入5个小球 后，容器内水面的高度为25 cm，那么 在容器内放入1个小球，水面会升高　　cm.  1 (2)在容器内放入1个大球，水面可升高2 cm.如果在图1所示的容器内放入大球、小球共18个，水面上升到46 cm，那么应该放入小球多少个？ 解析：由题意可知，放入5个小球后水面升高25－20＝5(cm). 所以放入一个小球水面升高5÷5＝1(cm). (2)在容器内放入1个大球，水面可升高2 cm.如果在图1所示的容器内放入大球、小球共18个，水面上升到46 cm，那么应该放入小球多少个？ 解：(2)设放入大球x个，则放入小球(18－x)个， 由题意可得2x＋(18－x)×1＝46－20，解得x＝8，则18－x＝18－8＝10， 即应放入小球10个. 如图1，已知高度为60 cm的圆柱形玻璃容器内水面的高度为20 cm.现有体积分别相等的大球、小球若干个. 方法：找到两个总量，揭示等量关系，设其中一个为未知量，用一个等量关系转换另一个未知量，利用余下的等量关系列方程. 根据以上过程，说说列一元一次方程解决实际问题的步骤. (1)审:审清题意，找出题中的数量关系，分清题中的已知量、未知量. (2)设:设未知数，用含未知数的代数式表示题中有关的数量. (3)列:根据题中的等量关系，列出一元一次方程. (4)解:解所列出的一元一次方程. (5)验:检验所得的解是否正确，是否符合实际意义(过程可省略不写). (6)答:写出答案(包括单位名称). 1.《九章算术》中有这样一个问题：今有垣(墙)高九尺(1尺＝10寸)，瓜生其上，蔓向下日长七寸，瓠(葫芦)生其下，蔓向上日长一尺，问几日相逢？设 x 日后瓜与葫芦的蔓长在一起，根据题意可列出方程为(　B　) B A. 7 x ＝10 x －9 B. 0.7 x ＋ x ＝9 C. 7 x －0.9＝10 x D. 7 x －0.9＝ x 2.如果一个两位数的十位数字是个位数字的一半，两个数位上的数字之和为9，则这个两位数是 ⁠. 36　 3.新华书店新进一种畅销书若干本，第一天售出总本数的 ，第二天售出总本数的 还多50本，结果书店还有200本这种书，则书店新进这种畅销书 本. 1 000　 和、差、倍、分问题 1.总量=各分量之和. 2.表示同一个量的两个不同的式子相等 运用一元一次方程解决实际问题的步骤 审 设 列 验 解 答 1.某糕点厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒中装2块大月饼和4块小月饼.制作1块大月饼要用0.05 kg面粉，1块小月饼要用0.02 kg面粉.现共有面粉4 500 kg，制作两种月饼应各用多少千克面粉，才能生产最多的盒装月饼？ 解：设制作大月饼应用 x kg面粉，则制作小月饼应用(4 500－ x )kg面粉， 根据题意得 ＝ ， 解得 x ＝2 500， 则4 500－ x ＝2 000. 所以制作大月饼应用2 500 kg面粉，制作小月饼应用2 000 kg面粉，才能生产最多的盒装月饼. 2.某学校8个班进行足球友谊赛，比赛采用单循环赛制(参加比赛的班，每两个班之间进行一场比赛)，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某班共得15分，并以不败成绩获得冠军，那么该班共胜多少场比赛？ 解：8个班进行友谊赛，比赛采用单循环赛制，也就是说每个班要和其余7个班比赛， 根据题意，设该班共胜 x 场比赛，则3 x ＋(7－ x )＝15， 解得 x ＝4. 答：该班共胜4场比赛. $