5.4.2相遇问题和工程问题-课件-2026-2027学年冀教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程中的相遇问题和工程问题，核心知识点涵盖行程问题的路程=速度×时间、相向相遇等量关系，工程问题的总工程量为1、工作效率公式等。通过“试一试”情境导入，从基础公式到变式应用，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以问题驱动教学，结合小组讨论和分层练习，如基础相遇、工程问题到拔高变式，培养学生数学思维中的推理意识和运算能力，以及数学语言的模型意识。课堂小结系统梳理等量关系，学生能提升实际问题解决能力，教师可借助系统资源优化教学效率。

冀教版数学七年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月8日 5.4.2相遇问题和工程问题 第五章 一元一次方程 冀教版七年级上册5.4.2 相遇问题和工程问题专项练习题 核心知识点回顾 一、行程——相遇问题 1. 核心公式：路程 = 速度 × 时间 2. 相向相遇等量关系：甲路程 + 乙路程 = 总路程；相遇时两人运动时间相等。 3. 变形公式：（甲速度+乙速度）× 相遇时间 = 总路程 4. 解题技巧：统一单位（km/h、m/min），设相遇时间或其中一人速度为未知数。 二、工程问题 1. 总工程量默认看作单位1。 2. 核心公式：工作效率 = $$\frac{1}{工作总时间}$$；工作量 = 工作效率 × 工作时间 3. 合作等量关系：甲工作量 + 乙工作量 = 总工程量（1） 4. 多人合作、先后干活、中途休息题型均用“工作量相加=总量”列方程。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 甲乙两人从两地同时出发相向而行，甲速4km/h，乙速6km/h，相遇时两人相同的量是（） A. 路程 B. 速度 C. 时间 D. 无法确定 2. 一项工程甲单独做需要10天完成，甲的工作效率是（） A. 10 B. $$\frac{1}{10}$$ C. $$\frac{1}{5}$$ D. 5 3. 甲乙两车相距200km，相向而行，甲60km/h，乙40km/h，设x小时相遇，方程正确的是（） A. $$60x+40x=200$$ B. $$60x-40x=200$$ C. $$60+40x=200$$ D. $$60x+40=200$$ 4. 甲单独做5天完成，乙单独做8天完成，两人合作1天的工作量是（） A. $$\frac{1}{5}$$ B. $$\frac{1}{8}$$ C. $$\frac{1}{5}+\frac{1}{8}$$ D. $$\frac{1}{5}\times\frac{1}{8}$$ 5. 甲乙两人相向而行，2小时相遇，甲走12km，乙每小时5km，两地距离为（） A. 22km B. 17km C. 10km D. 24km 二、填空题（每题4分，共32分） 1. 相遇问题核心等量：甲路程 + 乙路程 = ________。 2. 工程问题中，总工程量一般看作________。 3. 乙单独完成一项工作需要6天，乙的工作效率是________。 4. 两车相距360km，甲乙车速70km/h、50km/h，同时相向出发，________小时相遇。 5. 甲效率$$\frac{1}{6}$$，乙效率$$\frac{1}{12}$$，两人合作1天可完成________工作量。 6. 相遇问题中，同时出发、中途不停，相遇时两人的________相等。 7. 一项工程，甲先做2天，再由甲乙合作x天完成，总工作量 = 甲2天工作量 + ________。 8. 甲乙相向而行，速度和15m/min，4分钟相遇，两地相距________m。 三、解答题（共48分） 1. （16分）基础相遇问题： 甲乙两地相距450千米，A、B两车同时从两地相向开出，A车每小时行70千米，B车每小时行80千米，经过几小时两车相遇？ 2. （16分）基础工程问题： 一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要18天完成。两人合作多少天可以完成这项工程？ 3. （16分）拔高变式问题： 甲乙两队合作修路，甲单独修20天完成，乙单独修30天完成。先由甲单独修5天，剩下的由两队合作完成，还需要多少天？ 参考答案及详细解析 一、选择题 1.C 解析：同时出发到相遇，运动时间相等。 2.B 解析：总工程量为1，效率=$$\frac{1}{总天数}$$。 3.A 解析：甲路程+乙路程=总路程。 4.C 解析：合作效率=各效率之和。 5.A 解析：乙路程$$5\times2=10$$km，总距离$$12+10=22$$km。 二、填空题 1.总路程 2.1 3.$$\frac{1}{6}$$ 4.3 5.$$\frac{1}{4}$$ 6.时间 7.甲乙合作x天工作量 8.60 三、解答题 1.解：设经过$$x$$小时两车相遇。 根据题意列方程：$$70x+80x=450$$ 合并同类项：$$150x=450$$ 系数化为1：$$x=3$$ 答：经过3小时两车相遇。 2.解：设两人合作$$x$$天完成。 甲效率$$\frac{1}{12}$$，乙效率$$\frac{1}{18}$$。 列方程：$$(\frac{1}{12}+\frac{1}{18})x=1$$ 通分计算：$$\frac{3+2}{36}x=1，\frac{5}{36}x=1$$ 解得：$$x=\frac{36}{5}=7.2$$ 答：两人合作$$\frac{36}{5}$$天（或7.2天）可以完成。 3.解：设还需要$$x$$天完成。 甲效率$$\frac{1}{20}$$，乙效率$$\frac{1}{30}$$。 甲先做5天工作量：$$\frac{1}{20}\times5=\frac{1}{4}$$ 合作工作量：$$(\frac{1}{20}+\frac{1}{30})x$$ 列方程：$$\frac{1}{4}+(\frac{1}{20}+\frac{1}{30})x=1$$ 化简：$$\frac{1}{4}+\frac{1}{12}x=1$$ 移项：$$\frac{1}{12}x=\frac{3}{4}$$ 解得：$$x=9$$ 答：还需要9天完成。 试一试： B地 A地 如图所示，甲、乙两车分别在A，B两地.若两车同时出发，相向而行，两小时后相遇.相遇时甲车比乙车多行进24km；相遇后半小时，甲车到达B地，求甲、乙两车的行进速度分别是多少. 小组讨论解决此问题的方法. 可以用列方程的方法解答 甲 乙 课堂导入 相遇问题 甲、乙两地间的路程为375km.一辆轿车和一辆公共汽车分别从甲、乙两地同时出发沿公路相向而行.轿车的平均速度为90km/h，公共汽车的平均速度为60km/h.它们出发后多少小时在途中相遇？ 问题1：找出本题中的等量关系. 轿车行驶的路程+公共汽车行驶的路程=甲乙两地间的路程. 新知探究 知识点1 行程问题 问题2：设两车出发后x h相遇，请解释下图的含义. 375 km 甲 乙 90x km 60x km 轿车行驶方向 公共汽车行驶方向 相遇地点 问题3：列出的方程是_________________________ 90x+60x=375. 解得x=2.5. 即轿车与公共汽车出发后2.5h在途中相遇. 新知探究 知识点1 行程问题 解方程应用题的关键就是要“抓住基本量，找出相等关系”．行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度． 关系式为：路程＝速度×时间． 相遇问题：①相遇时间×速度和＝路程和．②s甲＋s乙＝s. 相遇问题中常见的等量关系： 总路程＝速度和×时间 甲走的路程+乙走的路程=甲、乙之间的距离 【注意】相向而行的始发时间和地点 相遇问题 新知探究 知识点1 行程问题 例1 小明与小红的家相距20km，小明从家里出发骑自行车去小红家，两人商定小红到时候从家里出发骑自行车去接小明. 已知小明骑车的速度为13 km/h，小红骑车的速度是12 km/h. （1）如果两人同时出发，那么他们经过多少小时相遇？ （2）如果小明先走30min，那么小红骑车要走多少小时才能与小明相遇？ 【分析】由于小明与小红都从家里出发，相向而行，所以相遇时， 他们走的路程的和等于两家之间的距离，即 小明走的路程+小红走的路程=两家之间的距离（20 km）. 新知探究 知识点1 行程问题 解：（1）设小明与小红骑车走了x h后相遇， 则根据等量关系，得 13x + 12x = 20 . 解得 x = 0.8 . 答：经过0.8 h他们两人相遇. 小明走的路程 小红走的路程 相遇 新知探究 知识点1 行程问题 （2）如果小明先走30min，那么小红骑车要走多少小时才能与小明相遇？ 小明先走的路程 小红出发后小明走的路程 小红走的路程 解：（2）设小红骑车走了t h后与小明相遇， 则根据等量关系，得 13(0.5 + t )+12t = 20 . 解得 t = 0.54 . 答：小红骑车走0.54h后与小明相遇. 相遇 新知探究 知识点1 行程问题 例2 一项工作，小李单独做需要6h完成，小王单独做需要9h完成.如果小李先做2h后，再由两人合做，那么还需几小时才能完成 ？ 【分析】如果设还需两人合做x h才能完成，那么有下面分析图. 工程问题 小李单独做2h完成的工作量 小王、小李合做xh完成的工作量 总工作量 新知探究 知识点2 工程问题 解：设两人合做x小时才能完成．依题意，得 解得 答：两人合做 小时才能完成这项工作． 新知探究 知识点2 工程问题 2.相等关系： （1）按工作时间：各时间段的工作量之和=完成的工作量. （2）按工作者：若一项工作有甲、乙两人参与，则甲的工作 量+乙的工作量=完成的工作量. 工程问题 1.三个基本量： 工程问题中的三个基本量：工作总量、工作效率、工作时间. 它们之间的关系是：工作总量=工作效率×工作时间. 若把工作量看作1，则工作效率= 新知探究 知识点2 工程问题 知识点1 行程问题 1. 一名快递员需要在规定时间内开车将快递从北京送到沧州：若 快递员开车每分钟行驶，则早到 ：若快递员开车每 分钟行驶，则要迟到 ，关于嘉嘉和淇淇所列的方程， 下列判断正确的是( ) 嘉嘉：设快递员所行驶的总路程为 ，则 ; 淇淇：设规定时间为，则 B A. 只有嘉嘉正确 B. 只有淇淇正确 C. 嘉嘉、淇淇都正确 D. 嘉嘉、淇淇都不正确 中考考法 12 2. 甲、乙两运动员在长为的直道（ 为直道两端点） 上进行匀速往返跑训练，两人同时从点起跑，到达 点后， 立即转身跑向点，到达点后，又立即转身跑向 点……若 甲跑步的速度为，乙跑步的速度为 ，则起跑后 内，两人相遇的次数为( ) C A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 中考考法 13 【点拨】根据题意，甲、乙两运动员每次相遇的时间间隔为 . 设两人相遇的次数为，因为起跑后时间总共为 ，即 , 所以，所以 . 根据题意，两人相遇的次数 为整数， 所以 ，即两人相遇的次数为5，故选C. 中考考法 14 3. 一客轮沿江从A港顺流到达B港需要 ，从B港逆流到A港 需要.一天，客轮从A港出发开往B港， 后，客轮上的一 位旅客的帽子不慎落入江中，则帽子漂流到B港需要____ . 32 【点拨】设A港到B港的路程为1，则顺水速度为 ，逆水速度 为，水流速度为.设帽子漂流到B港需要的时间是 ， 由题意，得，解得 .故帽子漂流到B港 需要 . 中考考法 15 知识点2 工程问题 4. [烟台中考] 《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作. 书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟.初日织 五尺，末日织一尺，今三十日织讫.问织几何？”意思是：现 有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天 减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺 布，30天完工，问一共织了多少布？( ) C A. 45尺 B. 88尺 C. 90尺 D. 98尺 中考考法 16 5. 师徒二人检修管道，____，求师傅与徒 弟每小时各检修多长的管道. 条件： ①该管道长 ； ②师傅每小时比徒弟多检修 ； ③若两人从管道两端同时开始检修，则 后完成任务； ④若师傅先检修，则两人再一起检修 后完成任务. 在上述四个条件中选择____（选3个，填序号，写一种即 可），并完成解答. 中考考法 17 【解】答案不唯一，写一种即可. 当选择①②③时，设师父每小时检修 ，则徒弟每小时检 修 . 由题意，得 , 解得,所以 . 答：师父每小时检修,徒弟每小时检修 . 中考考法 18 当选择①②④时，设师父每小时检修 ,则徒弟每小时检修 . 由题意，得 , 解得,所以 . 答：师父每小时检修,徒弟每小时检修 . 当选择②③④时，设师父每小时检修 ,则徒弟每小时检修 . 中考考法 由题意，得 , 解得,所以 , 答：师父每小时检修,徒弟每小时检修 . 中考考法 6. 甲、乙两个工程队完成一项工程，每天完成的工作量始终 保持不变.甲队先干了3天，然后乙队加入，合作完成剩下的 工程，设工作总量为1.下面是未记录完整的工程进度表.根据 表中的数据，写出的值为_ _， 的值为___. 天数 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 … 第 天 工程总进度 … 1 9 中考考法 21 【点拨】因为甲的工作效率为 ，所以 .因为前5天一共干了 ，所以乙的工作效率为 .由题意，得，解得 . 中考考法 22 7. 如图，已知一周长为 的圆形 轨道上有相距的， 两点 （备注：圆形轨道上相距 是圆上这 两点间的较短部分展直后的线段长为 ），动点从点出发，以 的 3或7或 速度，在轨道上按逆时针方向运动，与此同时，动点从 点 出发，以的速度按同样的方向运动，设运动时间为 ， 在，第二次相遇前，当动点，在轨道上相距 时， _ ________. 中考考法 23 8. 甲、乙两人共同承包一项工程，甲单独做30天完成， 乙单独做20天完成，合同规定15天完成，否则每超过1天罚 款1 000元，甲、乙两人经商量后签订了该合同. （1）正常情况下，甲、乙两人能否履行该合同？为什么？ 【解】正常情况下，甲、乙两人能履行该合同.理由：设甲、 乙两人合作完成此项工程需 天. 则,解得 . 因为 ，所以正常情况下，甲、乙两人能履行该合同. 中考考法 24 （2）现两人合作完成了这项工程的 ，因别处有急事， 必须调走1人，问调走谁更合适？为什么？ 调走甲更合适.理由：设两人合作天完成了这项工程的 ， 则，解得 . 若调走甲，则乙还需 （天）； 若调走乙，则甲还需 （天）. 因为（天）天，（天） 天， 所以调走甲更合适. 中考考法 25 甲的工作量+乙的工作量=完成的工作量 列一元一次方程解决相遇、工程问题 相遇问题 工程问题 总路程＝速度和×时间 甲走的路程+乙走的路程=甲、乙之间的距离 工作总量=工作效率×工作时间 各时间段的工作量之和=完成的工作量 课堂小结 $