专题6：多边形的面积（思维拓展）北师大版数学五年级上册奥数培优讲义（新教材）

该小学数学“多边形的面积”单元复习讲义以“出入相补→公式推导→底高对应→组合应用”为主线构建知识体系，通过知识模块表格梳理平行四边形、三角形、梯形及组合图形的核心内容、关键方法和易错提醒，用解题方法图表呈现割补法、公式法等适用题型与技巧口诀，清晰呈现知识脉络与重难点联系。 讲义亮点在于分层进阶的练习设计与精准的解题策略指导，能力进阶篇聚焦教材重难点如平行四边形面积变化，思维拓展篇对接奥数题型如三角形差量推理，培养推理意识与应用意识。易错避坑指南针对性解决底高不对应等常见问题，分层精练及解析支持不同层次学生自主复习，助力教师实施精准教学提升几何度量能力。

专题六 多边形的面积 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 2 考点一：平行四边形的面积 3 考点二：三角形的面积 4 考点三：梯形的面积 5 考点四：组合图形的面积 7 第三部分 易错避坑指南 9 易错点 1：底与高不对应 9 易错点 2：三角形、梯形面积忘记除以 2 9 易错点 3：逆求底高忘记乘 2 9 易错点 4：组合图形分割重复或遗漏 9 易错点 5：单位不统一直接计算 9 第四部分 分层进阶专题精练 10 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 10 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 10 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 12 一、能力进阶篇解析 12 二、思维拓展篇解析 13 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应北师大版五年级上册第五单元《多边形的面积》核心内容，以 “出入相补→公式推导→底高对应→组合应用” 为主线，系统覆盖平行四边形面积与出入相补原理、三角形面积与底高对应关系、梯形面积与变式推理、组合图形面积计算四大核心模块，渗透转化思想、建模思想、推理思想、应用意识等核心数学素养。 专题遵循教材认知路径：从出入相补的割补方法入手，推导平行四边形面积公式；通过两个完全相同的三角形拼平行四边形，推导三角形面积公式；通过两个完全相同的梯形拼平行四边形，推导梯形面积公式；掌握各图形面积公式的逆用与底高对应关系；能运用分割法、添补法、平移法计算组合图形面积；延伸等积变形、差量推理、平移巧算等奥数思维题型。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“图形与几何” 领域要求，与 2024 版最新北师大版教材进度完全同步，提升几何度量与问题解决能力。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 平行四边形面积 出入相补原理；面积公式；底高对应；底高变化 割补法、公式法 底与高不对应；拉动框架面积变化判断错 三角形面积 面积公式推导；公式逆用；等底等高等积 倍比法、差量法 面积计算忘记除以 2；逆求底高忘记乘 2 梯形面积 面积公式；公式逆用；上下底变化推理 拼组法、差量法 面积计算忘记除以 2；上下底和与高不对应 组合图形面积 分割法求和；添补法求差；平移法巧算 分割法、平移法 分割重复或遗漏；不规则图形不会转化 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 割补法 平行四边形公式推导 ①沿高剪开；②平移拼接；③变成长方形 沿高剪，移过去，拼成长方形算面积 公式法 基本图形面积计算 ①找对应底高；②代入公式；③计算结果 底乘高，平方面积；除以二，三角梯形 差量法 底高变化问题 ①找变化部分；②算对应量；③求原图形 底不变看高变，面积差对应高差 分割法 组合图形面积 ①分成基本图形；②分别算面积；③加和得总 分图形，分别算，加起来，得总面积 平移法 带小路的面积 ①平移空白部分；②拼成规则图形；③计算面积 移草地，拼成长，减路宽，算面积 三、数学思维提升 1. 转化思想 核心要点：将平行四边形转化为长方形、三角形和梯形转化为平行四边形推导面积，把新知转化为旧知，培养转化迁移与几何推理能力。 专题示例：平行四边形割补成长方形算面积，就是转化思想的体现。 2. 建模思想 核心要点：建立各基本图形的面积公式模型，掌握底高对应关系，培养建模意识与迁移应用能力。 专题示例：平行四边形、三角形、梯形，就是典型的面积公式模型。 3. 推理思想 核心要点：根据面积变化、底高变化，推理未知的底、高或面积，培养逻辑推理与演绎论证能力。 专题示例：根据面积增加量求高、根据底的变化求面积变化，就是推理思想的应用。 4. 应用意识 核心要点：运用多边形面积知识解决生活中的菜地、草地、建材等实际问题，体会几何度量的实用价值，培养实践应用能力。 专题示例：计算菜地面积、计算草地面积、计算材料用量，就是应用意识的典型体现。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 本部分例题严格对应两级难度梯度：能力进阶（★★★）聚焦考点综合应用与规范书写，对接教材重难点；思维拓展（★★★★）对接年级奥数题型，侧重思维方法。每个考点均覆盖两级难度，实现学练精准匹配。 考点一：平行四边形的面积 能力进阶（★★★）—— 底高对应与面积变化 题目：一个平行四边形的底是 16 厘米，高是 10 厘米。如果底减少 3 厘米，高不变，面积减少多少平方厘米？ 解题步骤： ① 高不变时，减少的部分本身就是一个小平行四边形，它的底是减少的 3 厘米，高与原平行四边形相同。 ② 减少的面积 = 减少的底 × 高： （平方厘米） ③ 验证：原面积平方厘米，变化后面积平方厘米，平方厘米，结果一致。 【答案】30 平方厘米 【知识点睛】本题考查平行四边形的面积公式与底高对应关系，对应教材核心重难点。 核心公式：平行四边形面积 = 底 × 高，字母表示。 核心规律：高不变时，底增加或减少的量 × 高 = 面积增加或减少的量。 易错警示：底和高必须一一对应，一条底只能对应这条底边上的高。 思维拓展（★★★★）—— 高的对应性判断 题目：一个平行四边形相邻两条边的长度分别是 10 厘米和 6 厘米，其中一条边上的高是 8 厘米。这个平行四边形的面积是多少平方厘米？ 解题步骤： ① 平行四边形的高是从对边引出的垂直线段，根据 “直角边小于斜边”，高的长度一定小于相邻的另一条边。 若 8 厘米的高对应 10 厘米的底，则相邻边 6 厘米为斜边，，不符合几何规律，不可能成立。 ② 因此 8 厘米的高只能对应 6 厘米的底。 面积：（平方厘米） ③ 验证：对应 6 厘米底的高为 8 厘米，小于另一条邻边 10 厘米，符合 “斜边大于直角边” 的规律。 【答案】48 平方厘米 【知识点睛】本题是平行四边形底高对应的经典奥数题型，考查几何推理与底高对应思想。 解题关键：先根据 “直角边小于斜边” 判断高对应的底边，再用面积公式计算。 易错警示：直接用最长边乘高，得出平方厘米，忽略高的对应性。 考点二：三角形的面积 能力进阶（★★★）—— 公式逆用 题目：一块三角形的交通标志牌，面积是 34 平方分米，底是 8.5 分米。这块标志牌对应的高是多少分米？ 解题步骤： ① 三角形面积公式：，逆推高的公式：。 ② 代入数值计算： （分米） ③ 验证：底 8.5 分米、高 8 分米，面积平方分米，与题目条件一致。 【答案】8 分米 【知识点睛】本题考查三角形面积公式的逆用，对应教材重难点。 核心公式：三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2； 逆推公式：底 = 面积 ×2÷ 高；高 = 面积 ×2÷ 底。 易错警示：逆求底或高时，忘记先将面积乘 2，直接用面积除以底 / 高。 思维拓展（★★★★）—— 差量推理求面积 题目：一个三角形的底不变，如果高增加 2 厘米，面积就增加 12 平方厘米。如果原来三角形的高是 8 厘米，原来三角形的面积是多少平方厘米？ 解题步骤： ① 底不变，高增加时，增加的部分是一个与原三角形同底的小三角形，高为 2 厘米，面积为 12 平方厘米。 ② 先求三角形的底：底 = 增加的面积 ×2÷ 增加的高 （厘米） ③ 原来三角形面积：（平方厘米） 验证：高增加到 10 厘米时，面积平方厘米，平方厘米，与增加的面积一致。 【答案】48 平方厘米 【知识点睛】本题是三角形差量推理的经典奥数题型，考查等底面积变化与高的关系。 解题规律：底不变时，面积差 = 底 × 高差 ÷ 2；先通过面积差求出底，再计算原图形面积。 易错警示：直接用计算底，忘记面积差公式中的乘 2 关系。 考点三：梯形的面积 能力进阶（★★★）—— 公式逆用 题目：一个梯形的面积是 72 平方米，上底是 7 米，下底是 11 米。它的高是多少米？ 解题步骤： ① 梯形面积公式：，逆推高的公式：。 ② 代入计算： 上下底之和：（米） 高：（米） ③ 验证：平方米，符合题意。 【答案】8 米 【知识点睛】本题考查梯形面积公式的逆用，对应教材重难点。 核心公式：梯形面积 =（上底 + 下底）× 高 ÷ 2； 逆推公式：高 = 面积 ×2÷（上底 + 下底）；上下底和 = 面积 ×2÷ 高。 易错警示：逆求高时，忘记先将面积乘 2，直接用面积除以上下底之和。 思维拓展（★★★★）—— 梯形变平行四边形的差量问题 题目：一个梯形，如果把上底延长 3 厘米，就变成一个边长是 7 厘米的平行四边形，面积增加了 12 平方厘米。原来梯形的面积是多少平方厘米？ 解题步骤： ① 上底延长 3 厘米变成平行四边形，说明梯形的下底和平行四边形边长相等，为 7 厘米；梯形的高与平行四边形的高相等。 增加的部分是一个三角形，底为延长的 3 厘米，高与梯形的高相同，面积 12 平方厘米。 ② 先求梯形的高：（厘米） ③ 梯形的上底：（厘米） 梯形面积：（平方厘米） 验证：平行四边形面积平方厘米，平方厘米，与增加的面积一致。 【答案】44 平方厘米 【知识点睛】本题是梯形面积的经典奥数题型，考查图形转化与差量推理。 解题关键：上底延长变平行四边形，增加的部分是三角形，三角形的底等于延长的长度，高等于梯形的高；先求高，再求梯形面积。 易错警示：误将增加的部分当作平行四边形，直接用求高。 考点四：组合图形的面积 能力进阶（★★★）—— 分割法计算 题目：一块菜地由长方形和三角形两部分组成，长方形长 15 米、宽 8 米，三角形的底与长方形的长相等，高是 4 米。这块菜地的总面积是多少平方米？ 解题步骤： ① 用分割法将组合图形拆分为长方形和三角形两个基本图形，分别计算面积再求和。 ② 长方形面积：（平方米） 三角形面积：（平方米） ③ 总面积：（平方米） 验证：也可看作上底 8 米、下底 12 米、高 15 米的梯形，平方米，结果一致。 【答案】150 平方米 【知识点睛】本题考查组合图形的面积计算，对应教材重难点。 解题方法：分割法，将组合图形分割成若干个基本图形，分别计算面积后相加求和。 易错警示：三角形面积计算忘记除以 2，导致结果偏大。 思维拓展（★★★★）—— 平移法求草地面积 题目：一块长方形草地，长 25 米，宽 18 米。中间有一条宽 2 米的曲折小路，小路的宽度处处相等。求草地的实际面积是多少平方米？ 解题步骤： ① 利用平移法，将小路两侧的草地向中间平移，可以拼接成一个完整的新长方形。 新长方形的长：（米），宽与原草地一致，为 18 米。 ② 草地面积 = 新长方形面积： （平方米） ③ 验证：原总面积平方米，小路面积平方米，平方米，结果一致。 【答案】414 平方米 【知识点睛】本题是组合图形面积的奥数题型，考查平移法的巧妙应用。 解题技巧：宽度均匀的小路，无论形状是否曲折，都可以通过平移空白区域，将草地拼接成规则长方形；纵向小路草地面积 =（长 - 路宽）× 宽。 易错警示：逐段计算小路面积，过程复杂且容易出错。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：底与高不对应 错误示例：平行四边形两条邻边 10cm、6cm，高 8cm，面积cm²。 正确分析：高 8cm 只能对应 6cm 的底，面积cm²。 修正方法：先判断高对应的底边，再代入公式计算。 易错点 2：三角形、梯形面积忘记除以 2 错误示例：三角形底 10、高 6，面积。 正确分析：三角形面积 = 底 × 高 ÷2，正确结果是 30。 修正方法：三角形、梯形面积，最后都要除以 2。 易错点 3：逆求底高忘记乘 2 错误示例：三角形面积 24，高 6，底。 正确分析：底 = 面积 ×2÷ 高，正确结果是 8。 修正方法：逆求底高，面积先乘 2。 易错点 4：组合图形分割重复或遗漏 错误示例：分割组合图形时，公共部分重复计算，或者边角部分遗漏。 正确分析：分割要做到不重叠、不遗漏，各部分加起来正好是总面积。 修正方法：分割后先标序号，逐个计算再相加。 易错点 5：单位不统一直接计算 错误示例：底 5 米，高 20 厘米，面积。 正确分析：先统一单位，20 厘米 = 0.2 米，面积平方米。 修正方法：计算前先统一单位，底高单位一致再计算。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 1. 平行四边形的底是 12 厘米，高是 7 厘米，面积是（ ）平方厘米。 2. 三角形的底是 10 米，高是 6 米，面积是（ ）平方米。 3. 梯形的上底 4 厘米，下底 6 厘米，高 5 厘米，面积是（ ）平方厘米。 4. 平行四边形面积是 48 平方分米，底是 8 分米，对应的高是（ ）分米。 5. 三角形面积是 24 平方厘米，高是 6 厘米，对应的底是（ ）厘米。 6. 梯形面积是 30 平方米，上下底之和是 10 米，它的高是（ ）米。 7. 平行四边形和三角形等底等高，平行四边形面积是 36 平方厘米，三角形面积是（ ）平方厘米。 8. 把一个长方形框架拉成平行四边形，周长（ ），面积（ ）。（填 “变大”“变小” 或 “不变”） 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 9. 一个三角形的底扩大到原来的 3 倍，高扩大到原来的 2 倍，面积扩大到原来的多少倍？ 10. 一个梯形的上底是 5 厘米，下底是 9 厘米。如果上底增加 4 厘米，下底和高都不变，面积就增加 12 平方厘米。原来梯形的面积是多少平方厘米？ 11. 一块长方形草地长 30 米、宽 20 米，中间有一条宽 2 米的横向曲折小路，小路宽度处处相等。草地的实际面积是多少平方米？ 12. 一个平行四边形相邻两条边分别长 8 厘米和 5 厘米，其中一条边上的高是 6 厘米。这个平行四边形的面积是多少平方厘米？ 13. 一个梯形，如果上底减少 4 厘米就变成一个三角形，面积比原来减少 12 平方厘米。已知梯形的下底是 9 厘米，原来梯形的面积是多少平方厘米？ 14. 一个三角形的底不变，如果高减少 3 厘米，面积就减少 15 平方厘米。原来的高是 8 厘米，原来三角形的面积是多少平方厘米？ 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】84 解题步骤： ① 平行四边形面积 = 底 × 高：平方厘米。 【知识点睛】考查平行四边形面积公式。核心：底 × 高。易错警示：除以 2。 2. 【答案】30 解题步骤： ① 三角形面积 = 底 × 高 ÷2：平方米。 【知识点睛】考查三角形面积公式。核心：除以 2。易错警示：60。 3. 【答案】25 解题步骤： ① 梯形面积 =(上底 + 下底)× 高 ÷2：平方厘米。 【知识点睛】考查梯形面积公式。核心：上下底和乘高除以 2。易错警示：50。 4. 【答案】6 解题步骤： ① 高 = 面积 ÷ 底：分米。 【知识点睛】考查平行四边形公式逆用。核心：高 = 面积 ÷ 底。易错警示：384。 5. 【答案】8 解题步骤： ① 底 = 面积 ×2÷ 高：厘米。 【知识点睛】考查三角形公式逆用。核心：面积先乘 2。易错警示：4。 6. 【答案】6 解题步骤： ① 高 = 面积 ×2÷ 上下底和：米。 【知识点睛】考查梯形公式逆用。核心：面积先乘 2。易错警示：3。 7. 【答案】18 解题步骤： ① 等底等高的三角形面积是平行四边形的一半：平方厘米。 【知识点睛】考查等底等高面积关系。核心：三角形是平行四边形的一半。易错警示：36。 8. 【答案】不变；变小 解题步骤： ① 拉框架边长不变，所以周长不变；高变短，所以面积变小。 【知识点睛】考查拉动框架的周长面积变化。核心：周长不变，面积变小。易错警示：面积变大。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】6 倍。 解题步骤： ① 面积扩大倍数 = 底扩大倍数 × 高扩大倍数：倍。 【知识点睛】考查三角形面积倍比关系。核心：面积扩大倍数是底高倍数的乘积。易错警示：5 倍。 10. 【答案】42 平方厘米。 解题步骤： ① 增加的部分是三角形，高 = 梯形的高：厘米； ② 原梯形面积：平方厘米。 【知识点睛】考查梯形差量推理。核心：先求高再算面积。易错警示：27 平方厘米。 11. 【答案】540 平方米。 解题步骤： ① 平移法，新长方形宽：米； ② 草地面积：平方米。 【知识点睛】考查平移法求面积。核心：横向小路宽减在宽上。易错警示：600 平方米。 12. 【答案】30 平方厘米。 解题步骤： ① 高 6 厘米对应 5 厘米的底（）； ② 面积：平方厘米。 【知识点睛】考查底高对应。核心：高小于邻边。易错警示：48 平方厘米。 13. 【答案】39 平方厘米。 解题步骤： ① 上底减少 4cm 变三角形，说明上底就是 4cm；减少的三角形高 = 梯形的高：厘米； ② 原梯形面积：平方厘米。 【知识点睛】考查梯形变三角形的差量问题。核心：上底等于减少的长度。易错警示：27 平方厘米。 14. 【答案】40 平方厘米。 解题步骤： ① 底 = 面积差 ×2÷ 高差：厘米； ② 原面积：平方厘米。 【知识点睛】考查三角形差量推理。核心：先求底再算面积。易错警示：60 平方厘米。 1 学科网（北京）股份有限公司 $