专题5：用字母表示（一）（思维拓展）北师大版数学五年级上册奥数培优讲义（新教材）

该小学数学“用字母表示”单元复习讲义以“符号抽象→关系表达→公式建模→等式感知”为主线构建知识体系，通过知识模块表格梳理核心内容、关键方法及易错提醒，用解题方法图表呈现规范书写法等技巧，清晰呈现知识脉络与重难点联系。 讲义亮点在于分层进阶练习设计，能力进阶篇聚焦教材重难点如代数式简写，思维拓展篇对接奥数题型如用字母表示图形规律、年龄差问题，培养抽象思维和推理思想。易错避坑指南针对性强，分层精练及解析支持不同层次学生提升，助力教师实施精准教学。

专题5：用字母表示 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 2 考点一：用字母表示数与代数式简写 3 考点二：用字母表示数量关系 4 考点三：用字母表示运算律与计算公式 6 考点四：等式的性质与方程初步 7 第三部分 易错避坑指南 9 易错点 1：代数式简写顺序错误 9 易错点 2：平方与 2 倍混淆 9 易错点 3：加减式子带单位不加括号 9 易错点 4：等式性质只变一边 9 易错点 5：年龄差随年龄增长变大 9 第四部分 分层进阶专题精练 10 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 10 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 10 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 12 一、能力进阶篇解析 12 二、思维拓展篇解析 13 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应北师大版五年级上册第四单元《用字母表示数》核心内容，以 “符号抽象→关系表达→公式建模→等式感知” 为主线，系统覆盖用字母表示数与代数式简写、用字母表示数量关系、用字母表示运算律与计算公式、等式的性质与方程初步四大核心模块，渗透抽象思维、建模思想、推理思想、应用意识等核心数学素养。 专题遵循教材认知路径：从用字母表示数的情境入手，理解字母表示数的意义，掌握代数式的简写规则；延伸到用字母表示常见的数量关系，能结合实际问题列代数式并代入求值；能用字母表示运算律与几何计算公式，体会代数表达的简洁性；认识等式的基本性质，初步感知方程与等量代换思想；延伸规律探究、年龄差不变、面积变化推理、等量代换等奥数思维题型。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“数与代数” 领域要求，与 2024 版最新北师大版教材进度完全同步，为后续方程学习奠定代数基础。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 用字母表示数与简写 字母表示数的意义；代数式简写规则；平方的意义 规范书写法、判断法 数字字母顺序颠倒；平方与 2 倍混淆 用字母表示数量关系 加减乘除数量关系；代入求值；实际问题表达 关系分析法、代入法 数量关系搞反；带单位不加括号 运算律与计算公式 运算律的字母形式；几何周长面积公式；公式逆用 公式建模法、逆推法 公式记错字母；周长面积公式混淆 等式的性质与方程初步 等式的两个性质；等量代换；简单方程感知 等式变形法、代换法 等式只变一边；代换部分找错 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 规范书写法 代数式简写 ①数字放前；②省略乘号；③平方规范 数在前，乘号省，平方写在右上角 关系分析法 列代数式 ①找数量关系；②对应字母列式；③化简整理 找关系，对字母，列式子，化最简 代入求值法 代数式计算 ①代入数值；②按序计算；③写清单位 代数值，按序算，结果准 公式建模法 运算律与公式 ①回忆文字表述；②对应字母替换；③规范书写 文字转字母，公式要记准 等量代换法 等式与方程初步 ①找相同部分；②整体代入；③逐步求解 找相同，整体代，一步步，求出来 三、数学思维提升 1. 抽象思维 核心要点：用字母代替具体的数，将具体的数量关系抽象为代数表达式，培养符号意识与抽象概括能力。 专题示例：用 a 表示单价，b 表示数量，c 表示总价，写出 c=ab，就是抽象思维的体现。 2. 建模思想 核心要点：建立运算律、计算公式的字母模型，掌握固定的代数表达，培养建模意识与迁移应用能力。 专题示例：加法结合律、长方形面积公式的字母表达，就是建模思想的体现。 3. 推理思想 核心要点：根据等式性质、数量关系，推理未知数的值、代数式的变化，培养逻辑推理与演绎论证能力。 专题示例：根据等式性质填空、等量代换求未知数，就是推理思想的应用。 4. 应用意识 核心要点：运用字母表示数的知识解决生活中的购物、几何、规律探究等实际问题，体会代数的实用价值，培养实践应用能力。 专题示例：用字母表示购物总价、表示图形面积、表示规律，就是应用意识的典型体现。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 本部分例题严格对应两级难度梯度：能力进阶（★★★）聚焦考点综合应用与规范书写，对接教材重难点；思维拓展（★★★★）对接年级奥数题型，侧重思维方法。每个考点均覆盖两级难度，实现学练精准匹配。 考点一：用字母表示数与代数式简写 能力进阶（★★★）—— 代数式规范简写 题目：判断下列各式的简写是否正确，把错误的改正过来。 ① ② ③ ④ 解题步骤： ① 数字与字母相乘，数字必须写在字母前面，乘号省略。应写成，原写法错误。 ② 两个相同字母相乘，应写成平方形式，；表示，意义不同，原写法错误。 ③ 1 与字母相乘时，1 可以省略不写，直接写成，原写法不规范。 ④ 多个字母相乘，乘号可以省略，按字母顺序书写即可，，写法正确。 【答案】①错误，改正为；②错误，改正为；③错误，改正为；④正确。 【知识点睛】本题考查代数式的简写规则，对应教材核心重难点。 核心规则： 1. 数字与字母相乘，数字在前，字母在后，乘号省略； 2. 字母与字母相乘，乘号省略，按顺序书写； 3. 相同字母相乘，写成平方形式，如； 4. 1 与字母相乘，1 省略不写。 易错警示：混淆和的意义，前者是两个 a 相乘，后者是两个 a 相加。 思维拓展（★★★★）—— 用字母表示图形规律 题目：摆 1 个三角形用 3 根小棒，摆 2 个三角形用 5 根小棒，摆 3 个三角形用 7 根小棒…… 照这样摆下去，摆个三角形用多少根小棒？当时，一共用多少根小棒？ 解题步骤： ① 找数量规律： 摆 1 个：摆 2 个：摆 3 个：每多摆 1 个三角形，增加 2 根小棒。 ② 摆个三角形，小棒总数 = 每个增加的根数 × 个数 + 公共的 1 根，即根。 ③ 代入求值： （根） 验证：摆 4 个三角形用 9 根，，符合规律。 【答案】摆个用根；当时用 51 根。 【知识点睛】本题是用字母表示规律的经典奥数题型，考查归纳推理与代数式表达。 解题方法：先列举前几个的结果，找到不变量和变化量，总结通用规律，再用字母表示；最后代入具体数值计算结果。 易错警示：直接用表示，忽略相邻三角形共用一条边，小棒数不是 3 倍关系。 考点二：用字母表示数量关系 能力进阶（★★★）—— 实际问题列代数式与求值 题目：商店运来筐苹果，每筐 25 千克，卖出千克。 ① 用含有字母的式子表示剩下的苹果质量。 ② 当，时，还剩多少千克苹果？ 解题步骤： ① 先算苹果总质量：每筐质量 × 筐数 = 千克； 剩下的质量 = 总质量 - 卖出的质量，即千克。 ② 代入数值计算： （千克） ③ 验证：12 筐共 300 千克，卖出 150 千克，剩 150 千克，符合题意。 【答案】①千克；②还剩 150 千克。 【知识点睛】本题考查用字母表示数量关系与代入求值，对应教材重难点。 解题要点：先分析题目中的数量关系，再用字母和数字对应列出式子；有加减运算的式子带单位时，要给式子加上括号。 代入求值时，将字母替换成对应的数，按运算顺序计算即可。 易错警示：式子带单位时不加括号，如写成千克，格式不规范。 思维拓展（★★★★）—— 年龄差问题 题目：爸爸今年岁，小明今年岁。再过年后，爸爸比小明大多少岁？当时，爸爸比小明大多少岁？ 解题步骤： ① 年龄差永不变，今年的年龄差就是年后的年龄差。 今年年龄差：（岁） ② 再过年，爸爸岁，小明岁， 年龄差：（岁），和今年相同。 ③ 当时，年龄差仍然是 28 岁，与爸爸的具体年龄无关。 验证：爸爸 40 岁，小明 12 岁，差 28 岁；再过 5 年爸爸 45 岁，小明 17 岁，还是差 28 岁。 【答案】再过年后爸爸比小明大 28 岁；当时仍大 28 岁。 【知识点睛】本题是年龄问题的经典奥数题型，考查用字母表示数量关系与化简。 核心规律：年龄问题中，两人的年龄差永远不变，增长的年龄相同。 解题技巧：通过代数式化简，字母会被消掉，得到固定的差值，这就是年龄差不变的代数原理。 易错警示：认为再过年，年龄差增加岁，忽略两人同时增长。 考点三：用字母表示运算律与计算公式 能力进阶（★★★）—— 运算律与几何公式 题目：用字母表示加法结合律、乘法分配律，以及长方形的周长和面积公式。 解题步骤： ① 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 ② 乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。 ③ 长方形周长：长与宽的和的 2 倍，； 长方形面积：长乘宽，。 ③ 验证：代入具体数值，公式均成立，符合运算律和几何意义。 【答案】加法结合律：； 乘法分配律：； 长方形周长：；长方形面积：。 【知识点睛】本题考查运算律与计算公式的字母表达，对应教材重难点。 核心意义：用字母表示运算律和公式，具有一般性，适用于所有符合条件的数，简洁明了。 易错警示：长方形周长公式漏乘 2，写成；混淆周长和面积公式的字母形式。 思维拓展（★★★★）—— 长方形边长变化的面积与周长推理 题目：一个长方形的长是厘米，宽是厘米。如果长增加 3 厘米，宽不变，面积增加多少平方厘米？周长增加多少厘米？ 解题步骤： ① 面积变化分析： 原来的面积：长增加后的面积：面积增加量：（平方厘米） ② 周长变化分析： 原来的周长：长增加后的周长：周长增加量：（厘米） ③ 验证：设长 5 厘米、宽 2 厘米，原面积 10 平方厘米，长增加 3 后面积 16 平方厘米，增加 6 平方厘米，，正确；原周长 14 厘米，新周长 20 厘米，增加 6 厘米，正确。 【答案】面积增加平方厘米；周长增加 6 厘米。 【知识点睛】本题是几何变化的奥数题型，考查用字母表示公式与变化推理。 解题关键：宽不变时长增加，面积增加量 = 宽 × 增加的长；周长增加量 = 2× 增加的长，和原来的长无关。 通过代数式化简，相同的部分会抵消，只保留变化的部分。 易错警示：认为面积增加 3 平方厘米，忽略宽的影响。 考点四：等式的性质与方程初步 能力进阶（★★★）—— 等式的性质 题目：根据等式的性质，在○里填运算符号，在□里填数。 ① 如果，那么 ○ □ ② 如果，那么 ○ □ 解题步骤： ① 等式的性质 1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。 左边减去了 5，右边也要同时减去 5，所以。 ② 等式的性质 2：等式两边同时乘或除以同一个不为 0 的数，等式仍然成立。 左边除以了 3，右边也要同时除以 3，所以。 ③ 验证：第一个式子，，正确；第二个式子，，正确。 【答案】① ，；② ，。 【知识点睛】本题考查等式的基本性质，对应教材重难点，是解方程的基础。 核心性质： 性质 1：等式两边同时加或减同一个数，等式仍成立； 性质 2：等式两边同时乘或除以同一个不为 0 的数，等式仍成立。 易错警示：只改变等式的一边，另一边不做相同操作，破坏等式平衡。 思维拓展（★★★★）—— 等量代换初步 题目：已知，。求和分别代表多少？ 解题步骤： ① 观察两个等式，都有这个相同的部分，把第二个式子整体代入第一个式子。 第一个式子可以写成：。 ② 把代入，得：。 根据等式性质 1，两边同时减 14：。 ③ 把代入，得：，。 验证：，，符合两个等式。 【答案】，。 【知识点睛】本题是等量代换的经典奥数题型，考查等式性质与方程初步思想。 解题方法：找到两个等式中的公共部分，将公共部分整体代换，把两个未知数简化为一个，逐步求解。 这是方程消元思想的雏形，也是后续解方程组的基础。 易错警示：两个式子直接相减时符号出错，或者找不到公共部分。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：代数式简写顺序错误 错误示例：写成。 正确分析：数字与字母相乘，数字必须在前，正确写法是。 修正方法：数在前，字母在后，乘号省略。 易错点 2：平方与 2 倍混淆 错误示例：写成。 正确分析：，是两个相乘；是两个相加，意义完全不同。 修正方法：相同字母相乘写平方，相加写几倍。 易错点 3：加减式子带单位不加括号 错误示例：还剩千克。 正确分析：有加减运算的式子是一个整体，带单位要加括号，正确写法是千克。 修正方法：加减式子带单位，整体加括号。 易错点 4：等式性质只变一边 错误示例：，左边减 3，右边不变，得。 正确分析：等式两边必须同时做相同操作，右边也要减 3，。 修正方法：等式两边，同加同减同乘同除，操作一致。 易错点 5：年龄差随年龄增长变大 错误示例：今年差 28 岁，再过 5 年差 33 岁。 正确分析：两人年龄同时增长，年龄差永远不变。 修正方法：年龄差，永不变，过多少年都一样。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 1. 简写：（ ）；（ ）。 2. 每支钢笔元，买 8 支一共（ ）元。 3. 加法交换律用字母表示是（ ）。 4. 正方形的边长是，周长是（ ），面积是（ ）。 5. 如果，那么 ○ □。 6. 一本书有页，小明每天看 12 页，看了天，还剩（ ）页。 7. 当，时，（ ）。 8. 乘法结合律用字母表示是（ ）。 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 9. 摆 1 个正方形用 4 根小棒，摆 2 个用 7 根，摆 3 个用 10 根…… 摆个正方形用多少根小棒？摆 15 个呢？ 10. 小红今年岁，妈妈今年岁。再过 5 年，妈妈比小红大多少岁？当时，妈妈比小红大多少岁？ 11. 一个长方形的宽是米，长是宽的 2 倍，周长是多少米？面积是多少平方米？ 12. 已知，，求和各是多少？ 13. 一根绳子长米，第一次用去米，第二次用去的是第一次的 2 倍，还剩多少米？ 14. 如果，那么 ○ □，（ ）。 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】； 解题步骤： ① 数字在前字母在后，； ② 相同字母相乘写平方，。 【知识点睛】考查代数式简写。核心：数字在前，平方规范。易错警示：、。 2. 【答案】 解题步骤： ① 总价 = 单价 × 数量，元。 【知识点睛】考查数量关系字母表示。核心：单价 × 数量 = 总价。易错警示：。 3. 【答案】 解题步骤： ① 交换两个加数的位置和不变。 【知识点睛】考查运算律字母表示。核心：交换律交换位置。易错警示：。 4. 【答案】； 解题步骤： ① 正方形周长 = 边长 ×4，； ② 面积 = 边长 × 边长，。 【知识点睛】考查正方形公式。核心：周长 4 倍边长，面积边长平方。易错警示：周长，面积。 5. 【答案】， 解题步骤： ① 等式性质 1，左边加 7，右边也要加 7。 【知识点睛】考查等式性质 1。核心：两边同时加。易错警示：减 7。 6. 【答案】 解题步骤： ① 看了的页数：；剩下：页。 【知识点睛】考查数量关系。核心：总页数 - 看了的 = 剩下的。易错警示：。 7. 【答案】14 解题步骤： ① 代入：。 【知识点睛】考查代入求值。核心：准确代入计算。易错警示：12。 8. 【答案】 解题步骤： ① 三个数相乘，先乘前两个或先乘后两个，积不变。 【知识点睛】考查乘法结合律。核心：结合律改变运算顺序。易错警示：分配律。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】根；46 根。 解题步骤： ① 规律：摆个需要根； ② 摆 15 个：根。 【知识点睛】考查图形规律。核心：每多 1 个正方形多 3 根。易错警示：根。 10. 【答案】岁；24 岁。 解题步骤： ① 年龄差：岁，再过 5 年差不变； ② 当时，岁。 【知识点睛】考查年龄差问题。核心：年龄差不变。易错警示：岁。 11. 【答案】周长米；面积平方米。 解题步骤： ① 长是米，周长米； ② 面积平方米。 【知识点睛】考查长方形公式。核心：先求长再算周长面积。易错警示：周长米。 12. 【答案】，。 解题步骤： ① 代入：，； ② 。 【知识点睛】考查等量代换。核心：整体代入。易错警示：。 13. 【答案】米。 解题步骤： ① 第二次用去米； ② 剩下：米。 【知识点睛】考查数量关系化简。核心：合并同类项。易错警示：米。 14. 【答案】，； 解题步骤： ① 等式性质 1，两边减 3，； ② 。 【知识点睛】考查等式性质解方程。核心：先两边减 3，再除以 2。易错警示：。 1 学科网（北京）股份有限公司 $