专题7：鸡兔同笼（数学好玩）（思维拓展）北师大版数学五年级上册奥数培优讲义（新教材）

该小学数学鸡兔同笼专题复习讲义以“模型建构→假设核心→变式迁移→巧算拓展”为主线构建知识体系，通过知识模块表格梳理基本模型、变式题型、分组法及拓展推理的核心内容和关键方法，用解题方法图表呈现假设法、分组法等步骤与口诀，清晰呈现知识脉络与重难点联系。 讲义亮点在于分层例题设计与精准方法指导，如基础假设法解标准问题、变式得失分问题及三量租船问题，搭配能力进阶（8题）和思维拓展（6题）分层练习，通过分步推理与易错警示培养推理意识和应用意识，助力不同层次学生掌握方法，为教师实施精准分层教学提供系统支持。

专题7：鸡兔同笼（数学好玩） 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 2 考点一：鸡兔同笼基本问题 3 考点二：鸡兔同笼变式 —— 得失分问题 4 考点三：分组法解鸡兔同笼 5 考点四：三量鸡兔同笼 7 第三部分 易错避坑指南 9 易错点 1：假设与结果对应搞反 9 易错点 2：倒扣问题只算扣分 9 易错点 3：脚差问题单差算错 9 易错点 4：分组法数量不匹配 9 易错点 5：三量问题分步混乱 9 第四部分 分层进阶专题精练 10 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 10 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 10 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 12 一、能力进阶篇解析 12 二、思维拓展篇解析 13 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应北师大版五年级上册 “数学好玩” 板块《鸡兔同笼》核心内容，以 “模型建构→假设核心→变式迁移→巧算拓展” 为主线，系统覆盖鸡兔同笼基本模型与假设法、鸡兔同笼常见变式题型、分组法巧解鸡兔同笼、三量鸡兔同笼拓展推理四大核心模块，渗透假设思想、建模思想、推理思想、应用意识等核心数学素养。 专题遵循教材认知路径：从古代鸡兔同笼问题入手，掌握列表枚举法的基本思路；理解假设法的核心逻辑，能熟练用假设法解决标准鸡兔同笼问题；迁移解决鸡兔同笼的各类变式，如得失分问题、租船问题、工程问题等；拓展分组法、抬腿法等巧算方法，提升逻辑推理能力。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“综合与实践” 领域要求，与 2024 版最新北师大版教材进度完全同步，体会假设的数学思想，提升逻辑推理能力。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 基本模型与假设法 鸡兔同笼基本特征；假设法核心逻辑；验证方法 假设法、验证法 假设与结果对应搞反；脚数差计算错误 常见变式题型 得失分问题；租船问题；购物问题 迁移对应法、差量法 倒扣问题总差算错；数量关系不对应 分组法巧解 倍数分组；抬腿法；和差结合 分组法、抬腿法 分组错误；数量不匹配 拓展推理题型 鸡兔互换问题；三量鸡兔同笼；几倍多 / 少问题 转化法、分步法 互换问题总只数算错；三量问题分步混乱 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 假设法 标准鸡兔同笼 ①全假设；②算总差；③除以单差得数量 设鸡得兔，设兔得鸡，总差除以单差 迁移对应法 变式问题 ①找鸡兔对应量；②转化为标准模型；③用假设法 找对应，转模型，假设法，照样用 分组法 数量有倍数关系 ①按倍数分组；②算每组脚数；③求组数得总数 有倍数，就分组，算每组，求组数 抬腿法 基础鸡兔同笼巧算 ①各抬一半脚；②脚减头得兔数；③剩头减兔得鸡 抬半脚，减个头，得兔数，剩鸡数 分步转化法 三量鸡兔同笼 ①先按共同特征分；②转化为两量；③用假设法 先分类，降两量，再假设，依次解 三、数学思维提升 1. 假设思想 核心要点：通过假设全是同一种事物，将复杂问题转化为简单的差量问题，培养假设思维与化繁为简的能力。 专题示例：假设全是鸡，算出脚的差量，推理兔子的数量，就是假设思想的体现。 2. 建模思想 核心要点：建立鸡兔同笼的基本数学模型，掌握 “总差 ÷ 单差 = 数量” 的核心公式，培养建模意识与迁移应用能力。 专题示例：得失分问题、租船问题都可以转化为鸡兔同笼模型，就是建模思想的体现。 3. 推理思想 核心要点：根据假设后的差量，逐步推理两种事物的数量，培养逻辑推理与演绎论证能力。 专题示例：根据脚的总差和每只的脚差，推理兔子的数量，就是推理思想的应用。 4. 应用意识 核心要点：运用鸡兔同笼的方法解决生活中的答题、租船、购物等实际问题，体会数学方法的实用价值，培养实践应用能力。 专题示例：计算答题对错数量、计算租船大小船数量，就是应用意识的典型体现。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 本部分例题严格对应两级难度梯度：能力进阶（★★★）聚焦考点综合应用与规范书写，对接教材重难点；思维拓展（★★★★）对接年级奥数题型，侧重思维方法。每个考点均覆盖两级难度，实现学练精准匹配。 考点一：鸡兔同笼基本问题 能力进阶（★★★）—— 假设法解标准鸡兔同笼 题目：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有 35 个头，从下面数，有 94 只脚。鸡和兔各有多少只？ 解题步骤： ① 假设全是鸡，那么总脚数为：（只） ② 实际脚数比假设多了：（只） 每把一只兔当成鸡，就少算了只脚，所以兔子的数量：（只） ③ 鸡的数量：（只） 验证：只脚，符合题意。 【答案】鸡有 23 只，兔有 12 只。 【知识点睛】本题考查鸡兔同笼的基本解法 —— 假设法，对应教材核心重难点。 核心公式：假设全是鸡，兔的数量 =(实际脚数 - 总头数 ×2)÷(4-2)； 假设全是兔，鸡的数量 =(总头数 ×4 - 实际脚数)÷(4-2)。 解题口诀：设鸡得兔，设兔得鸡，总差除以单差。 易错警示：假设全是鸡，算出来的是鸡的数量，搞反对应关系。 思维拓展（★★★★）—— 抬腿法巧算 题目：笼子里鸡和兔共 30 个头，84 只脚。用抬腿法计算鸡和兔各有多少只？ 解题步骤： ① 让所有动物都抬起一半的脚，此时地上的脚数：（只） ② 这时每只鸡 1 只脚着地，每只兔 2 只脚着地；脚的总数比头的总数多的部分，就是兔子的数量。 兔子数量：（只） ③ 鸡的数量：（只） 验证：只脚，正确。 【答案】鸡有 18 只，兔有 12 只。 【知识点睛】本题是鸡兔同笼的奥数巧算题型，考查抬腿法的灵活应用。 方法原理：都抬一半脚，鸡变成 1 只脚，兔变成 2 只脚；脚数减头数，剩下的就是兔子的数量。 适用场景：标准鸡兔同笼，脚数都是偶数的情况，计算更简便。 易错警示：抬起全部脚，导致逻辑错误。 考点二：鸡兔同笼变式 —— 得失分问题 能力进阶（★★★）—— 答题对错问题 题目：数学竞赛共 20 道题，做对一题得 5 分，做错一题倒扣 3 分。小明全做了，最终得 60 分。他做对了多少道题？ 解题步骤： ① 假设全做对，总得分：（分） ② 实际少得了：（分） 每做错一题，不仅不得 5 分，还倒扣 3 分，一共少得分。 做错的题数：（道） ③ 做对的题数：（道） 验证：分，正确。 【答案】做对了 15 道。 【知识点睛】本题考查鸡兔同笼的经典变式 —— 得失分问题，对应教材重难点。 核心逻辑：倒扣问题，做错一题损失的分数是 “得的分 + 扣的分”，不是只扣 3 分。 解题公式：做错数量 =(总分 - 实际得分)÷(对得分 + 错扣分)。 易错警示：做错一题只算扣 3 分，算成少得 5 分，导致错误。 思维拓展（★★★★）—— 答题分组变式 题目：口算比赛共 25 道题，做对一题得 4 分，做错一题倒扣 2 分，不做得 0 分。小刚得了 70 分，他做错的和没做的数量一样多。小刚做对了多少道题？ 解题步骤： ① 因为做错和没做的数量相同，将 1 道错题和 1 道没做题分为一组，每组 2 道题。 如果全做对，每组 2 道题应得：（分） 实际每组得分：分（没做得 0 分，做错扣 2 分） 每组比全对少得：（分） ② 假设全做对，总得分：（分） 实际少得了：（分） 组数：（组） 也就是做错 3 道，没做 3 道。 ③ 做对的题数：（道） 验证：分，正确。 【答案】做对了 19 道。 【知识点睛】本题是得失分问题的奥数拓展题型，考查分组法与假设法的结合应用。 解题关键：当两种错误情况数量相同时，分组计算每组的分数差，再用总差除以每组差得到组数。 易错警示：忽略没做的题也不得分，只算做错的扣分。 考点三：分组法解鸡兔同笼 能力进阶（★★★）—— 倍数分组 题目：鸡的数量是兔的 3 倍，一共有 100 只脚。鸡和兔各有多少只？ 解题步骤： ① 鸡的数量是兔的 3 倍，把 3 只鸡和 1 只兔分成一组。 每组的脚数：（只） ② 总组数：（组） ③ 兔子数量：（只） 鸡的数量：（只） 验证：只脚，符合题意。 【答案】鸡有 30 只，兔有 10 只。 【知识点睛】本题考查倍数关系的鸡兔同笼问题，对应教材拓展重难点。 解题方法：数量有倍数关系时，按倍数分组，算出每组的脚数，总脚数 ÷ 每组脚数 = 组数，再求各动物数量。 易错警示：倍数搞反，分组错误。 思维拓展（★★★★）—— 鸡兔互换问题 题目：鸡和兔一共有 100 只脚，如果将鸡和兔的数量互换，就有 86 只脚。原来鸡和兔各有多少只？ 解题步骤： ① 原来和互换后的脚数相加：（只） 互换后，每只鸡和每只兔都算了 2 次脚，相当于每只动物都有只脚。 总只数：（只） ② 现在知道总只数 31 只，总脚数 100 只，变成标准鸡兔同笼问题。 假设全是鸡，总脚数：（只） 脚差：（只） 兔的数量：（只） ③ 鸡的数量：（只） 验证：只脚；互换后只脚，符合题意。 【答案】原来鸡有 12 只，兔有 19 只。 【知识点睛】本题是鸡兔互换的经典奥数题型，考查整体思维与分组法的结合。 解题关键：互换前后脚数相加，总脚数 ÷(2+4)= 总只数，转化为标准鸡兔同笼问题。 易错警示：直接用脚数差计算，找不到总只数。 考点四：三量鸡兔同笼 能力进阶（★★★）—— 租船问题 题目：全班一共有 38 人，共租了 8 条船，每条大船坐 6 人，每条小船坐 4 人，每条船都坐满了。大船和小船各租了多少条？ 解题步骤： ① 这是鸡兔同笼的变式，大船相当于兔，小船相当于鸡，人数相当于脚数。 假设全是小船，总人数：（人） ② 实际多了：（人） 每条大船比小船多坐人，大船数量：（条） ③ 小船数量：（条） 验证：人，符合题意。 【答案】大船 3 条，小船 5 条。 【知识点睛】本题考查鸡兔同笼的变式 —— 租船问题，对应教材重难点。 解题方法：将大船、小船对应鸡兔，人数对应脚数，转化为标准鸡兔同笼模型，用假设法解决。 易错警示：搞反大船小船的人数差，导致结果错误。 思维拓展（★★★★）—— 三量鸡兔同笼 题目：蜘蛛有 8 条腿，蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀，蝉有 6 条腿和 1 对翅膀。现在三种小虫共 18 只，有 118 条腿和 20 对翅膀。每种小虫各多少只？ 解题步骤： ① 先按腿的数量分类，蜻蜓和蝉都是 6 条腿，先看成一类，转化为两量鸡兔同笼。 假设全是 6 条腿的小虫，总腿数：（条） 腿差：（条） 每只蜘蛛多条腿，蜘蛛数量：（只） 6 条腿的小虫共：（只） ② 再按翅膀分类，转化为蜻蜓和蝉的两量鸡兔同笼。 假设全是蝉，总翅膀：（对） 翅膀差：（对） 每只蜻蜓多对翅膀，蜻蜓数量：（只） 蝉的数量：（只） ③ 验证：条腿；对翅膀，符合题意。 【答案】蜘蛛 5 只，蜻蜓 7 只，蝉 6 只。 【知识点睛】本题是三量鸡兔同笼的经典奥数题型，考查分步转化与假设法的综合应用。 解题方法：三量鸡兔同笼，先找共同特征分成两类，转化为两量问题，用假设法解出第一类数量；剩下的再用一次假设法，解出第二类数量。 解题口诀：三量问题两步走，先按共性分两类，解完一类再一类。 易错警示：同时假设三个量，导致逻辑混乱。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：假设与结果对应搞反 错误示例：假设全是鸡，算出来的数量是鸡的数量。 正确分析：假设全是鸡，先算出来的是兔的数量；设鸡得兔，设兔得鸡。 修正方法：假设哪种，先算出来的是另一种的数量。 易错点 2：倒扣问题只算扣分 错误示例：做对得 5 分，做错扣 3 分，做错一题少得 3 分。 正确分析：做错一题，5 分没得到，还扣 3 分，一共少得 8 分。 修正方法：倒扣问题，总损失 = 得分数 + 扣分数。 易错点 3：脚差问题单差算错 错误示例：兔脚比鸡脚多，每换一只，差减少 2 只。 正确分析：兔减 4 只脚，鸡加 2 只脚，差一共减少 6 只。 修正方法：脚差问题，单差 = 两种动物的脚数之和。 易错点 4：分组法数量不匹配 错误示例：鸡是兔的 2 倍，按 1 鸡 2 兔分组。 正确分析：按倍数关系，2 鸡 1 兔为一组。 修正方法：倍数是谁的，谁的数量多，按倍数配组。 易错点 5：三量问题分步混乱 错误示例：同时假设三个量的数量，直接计算。 正确分析：先按共同特征分成两大类，解出第一类，再解第二类。 修正方法：三量变两量，分步来假设。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 1. 鸡兔同笼，共 20 个头，56 只脚，鸡有（ ）只。 2. 自行车和三轮车共 15 辆，共有 35 个轮子，三轮车有（ ）辆。 3. 数学竞赛 10 道题，做对一题得 10 分，做错一题扣 5 分，小明得 70 分，做错（ ）道。 4. 鸡的数量是兔的 2 倍，总脚数 72 只，鸡有（ ）只。 5. 鸡兔同笼，兔比鸡多 5 只，总脚数 86 只，兔有（ ）只。 6. 5 元和 10 元的人民币共 12 张，共 95 元，5 元的有（ ）张。 7. 工人运花瓶 20 个，完好一个得 5 元，损坏一个赔 10 元，共得 70 元，损坏（ ）个。 8. 30 人租船，大船坐 6 人，小船坐 4 人，共租 6 条船，大船租了（ ）条。 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 9. 鸡和兔共有 118 只脚，将鸡兔数量互换后有 104 只脚。原来鸡和兔各多少只？ 10. 一次口算比赛，共 25 道题，做对一题得 4 分，做错一题倒扣 2 分，不做得 0 分。小红得了 70 分，她做错的和没做的数量一样多。做对了多少道？ 11. 蜘蛛有 8 条腿，蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀，蝉有 6 条腿和 1 对翅膀。现在三种小虫共 18 只，有 118 条腿和 20 对翅膀。每种小虫各多少只？ 12. 鸡的数量比兔的 3 倍多 2 只，总脚数 104 只。鸡和兔各多少只？ 13. 100 个和尚吃 100 个馒头，大和尚 1 人吃 3 个，小和尚 3 人吃 1 个。大小和尚各多少人？ 14. 鸡兔同笼，鸡比兔的 2 倍少 4 只，总脚数 136 只。鸡和兔各多少只？ 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】12 解题步骤： ① 假设全是兔，总脚数只，总差只； ② 鸡的数量：只。 【知识点睛】考查标准鸡兔同笼。核心：设兔得鸡。易错警示：8 只。 2. 【答案】5 解题步骤： ① 假设全是自行车，轮子个，总差个； ② 三轮车：辆。 【知识点睛】考查车轮变式。核心：总差 ÷ 单差。易错警示：10 辆。 3. 【答案】2 解题步骤： ① 假设全对，得分分，少得分； ② 做错：道。 【知识点睛】考查得失分问题。核心：少得的分 ÷(对得分 + 错扣分)。易错警示：3 道。 4. 【答案】18 解题步骤： ① 2 鸡 1 兔一组，每组脚只，组数组； ② 鸡：只。 【知识点睛】考查倍数分组。核心：按倍数分组。易错警示：9 只。 5. 【答案】16 解题步骤： ① 去掉多的 5 只兔，剩下的鸡兔数量相等，剩下的脚：（只）； ② 每组 6 只脚，组数：（组），兔的数量：只。 【知识点睛】考查头差脚和。核心：去多的，分组算。易错警示：11 只。 6. 【答案】5 解题步骤： ① 假设全是 10 元，共元，多了元； ② 5 元张数：张。 【知识点睛】考查人民币变式。核心：总差 ÷ 单差。易错警示：7 张。 7. 【答案】2 解题步骤： ① 假设全完好，得元，少得元； ② 损坏一个少得元，损坏：个。 【知识点睛】考查损坏赔偿变式。核心：赔偿倒扣，总损失 = 得 + 赔。易错警示：3 个。 8. 【答案】3 解题步骤： ① 假设全是小船，坐人，少了人； ② 大船：条。 【知识点睛】考查租船问题。核心：总差 ÷ 单差。易错警示：2 条。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】鸡 15 只，兔 22 只。 解题步骤： ① 总脚数和：只，总只数：只； ② 假设全是鸡，脚只，差只； 兔：只，鸡：只。 【知识点睛】考查鸡兔互换。核心：求和除以 6 得总只数。易错警示：总只数算成 111 只。 10. 【答案】19 道。 解题步骤： ① 把 1 错 1 没做分为一组，每组 2 题，比全对少得分； ② 假设全对得 100 分，少得 30 分，组数：组； ③ 做对：道。 【知识点睛】考查得失分分组。核心：数量相同分组算。易错警示：20 道。 11. 【答案】蜘蛛 5 只，蜻蜓 7 只，蝉 6 只。 解题步骤： ① 先按腿分类，假设全是 6 条腿，总腿条，差条； 蜘蛛：只；6 条腿的共只。 ② 再按翅膀分类，假设全是蝉，翅膀对，差对； 蜻蜓：只；蝉：只。 【知识点睛】考查三量鸡兔同笼。核心：分两步，先按腿分，再按翅膀分。易错警示：直接同时算三种量。 12. 【答案】鸡 32 只，兔 10 只。 解题步骤： ① 去掉多的 2 只鸡，剩下的鸡是兔的 3 倍，剩下的脚：（只）； ② 3 只鸡 1 只兔为一组，每组脚（只）； 组数：（组），兔有 10 只； ③ 鸡的数量：（只）。 【知识点睛】考查几倍多几的分组。核心：去多的，按倍分组。易错警示：30 只鸡。 13. 【答案】大和尚 25 人，小和尚 75 人。 解题步骤： ① 1 个大和尚和 3 个小和尚为一组，4 个和尚共吃 4 个馒头； ② 组数：（组）； 大和尚：（人）；小和尚：（人）。 【知识点睛】考查百僧分馍问题。核心：1 大 3 小为一组。易错警示：33 个大和尚。 14. 【答案】鸡 32 只，兔 18 只。 解题步骤： ① 补上少的 4 只鸡，鸡的数量就是兔的 2 倍，总脚数：（只）； ② 2 只鸡 1 只兔为一组，每组脚（只）； 组数：（组），兔有 18 只； ③ 鸡的数量：（只）。 【知识点睛】考查几倍少几的分组。核心：补少的，按倍分组。易错警示：36 只鸡。 1 学科网（北京）股份有限公司 $