专题10：可能性（思维拓展）北师大版数学五年级上册奥数培优讲义（新教材）

该小学数学《可能性》专题复习讲义以“现象分类→大小判断→公平评判→统计推测”为主线构建知识体系，通过知识模块表格梳理确定现象与随机现象等四大核心内容，用解题方法图表呈现分类辨析法等技巧，清晰呈现重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层进阶练习设计，能力进阶题聚焦教材重难点，思维拓展题如“反向推理白球数量”培养推理思想，结合最不利法口诀等方法指导，渗透随机观念与应用意识，助力不同层次学生提升，解析详细支持教师精准教学与学生自主复习。

专题10：可能性 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 2 考点一：确定现象与随机现象 3 考点二：可能性的大小 4 考点三：游戏公平性 5 考点四：统计推测与实际应用 6 第三部分 易错避坑指南 9 易错点 1：可能性大小和摸的顺序有关 9 易错点 2：公平就是结果一定一样 9 易错点 3：确定现象和随机现象混淆 9 易错点 4：保证类问题按最有利算 9 易错点 5：少量试验下绝对结论 9 第四部分 分层进阶专题精练 10 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 10 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 10 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 12 一、能力进阶篇解析 12 二、思维拓展篇解析 13 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应北师大版五年级上册第八单元《可能性》核心内容，以 “现象分类→大小判断→公平评判→统计推测” 为主线，系统覆盖确定现象与随机现象辨析、可能性大小判断、游戏公平性分析、统计推测与实际应用四大核心模块，渗透随机观念、推理思想、决策思维、应用意识等核心数学素养。 专题遵循教材认知路径：从生活中的现象入手，区分确定现象和随机现象，能用 “一定”“不可能”“可能” 描述事件；通过摸球、转盘等活动，理解可能性有大有小，可能性大小与数量多少有关；探究游戏规则的公平性，知道可能性相等游戏才公平；能根据试验的统计数据进行合理推测；延伸最不利原则、公平性设计、频率推测等奥数思维题型。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“统计与概率” 领域要求，与 2024 版最新北师大版教材进度完全同步，发展随机观念与数据分析能力。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 确定现象与随机现象 确定事件；不可能事件；随机事件；描述判断 分类辨析法、条件法 混淆 “可能” 与 “一定”；忽略结果的确定性 可能性大小判断 数量与可能性的关系；可能性大小比较；数量调整 数量比较法、反向推理法 认为可能性和顺序有关；数量相等可能性不同 游戏公平性 公平的标准；规则判断；公平规则设计 对等法、调整法 认为有输有赢就是公平；修改规则不对等 统计推测与应用 频率推测数量；最不利原则；实际决策 统计法、最不利法 少量试验下绝对结论；保证类问题算最有利情况 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 分类辨析法 现象判断 ①看结果是否唯一；②定确定 / 随机；③对应描述 结果定，分确定，不确定，是随机 数量比较法 可能性大小判断 ①数对应数量；②比多少；③定大小 数量多，可能大，数量少，可能小 对等法 公平性判断 ①数双方结果数；②比是否相等；③定公平 等可能，就公平，不等同，不公平 最不利法 保证类问题 ①找最倒霉情况；②每种各取最多差 1 个；③加 1 得答案 最不利，再加一，能保证，没问题 三、数学思维提升 1. 随机观念 核心要点：感知随机事件的不确定性，理解可能性有大小，建立随机意识与概率直觉，培养数据观念。 专题示例：判断抛硬币的结果、判断摸球的结果，就是随机观念的体现。 2. 推理思想 核心要点：根据可能性规律、数量关系，推理事件的结果、物体的数量，培养逻辑推理与演绎论证能力。 专题示例：根据摸球次数推测球的数量、根据可能性要求反推数量，就是推理思想的应用。 3. 决策思维 核心要点：根据可能性的大小、游戏的公平性，做出合理的判断与规则设计，培养决策意识与优化思维。 专题示例：判断游戏是否公平、设计公平的游戏规则，就是决策思维的体现。 4. 应用意识 核心要点：运用可能性的知识解决生活中的游戏、抽奖、预测等实际问题，体会概率知识的实用价值，培养实践应用能力。 专题示例：设计抽奖规则、推测天气、判断游戏公平性，就是应用意识的典型体现。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 本部分例题严格对应两级难度梯度：能力进阶（★★★）聚焦考点综合应用与规范书写，对接教材重难点；思维拓展（★★★★）对接年级奥数题型，侧重思维方法。每个考点均覆盖两级难度，实现学练精准匹配。 考点一：确定现象与随机现象 能力进阶（★★★）—— 现象分类判断 题目：下列事件中，哪些是确定现象？哪些是随机现象？ ① 地球每天都在转动；② 抛一枚硬币正面朝上；③ 从全是白球的袋子里摸出红球；④ 明天的气温比今天高。 解题步骤： ① 确定现象包括 “一定发生” 和 “不可能发生” 的事件，结果是唯一确定的；随机现象是可能发生也可能不发生的事件，结果不确定。 ② 逐个分析： ①地球一定每天转动，是确定现象； ②抛硬币可能正面朝上也可能反面朝上，是随机现象； ③全是白球的袋子里不可能摸出红球，是确定现象； ④明天的气温可能更高也可能更低，是随机现象。 ③ 结论：确定现象是①③，随机现象是②④。 【答案】确定现象：①③；随机现象：②④。 【知识点睛】本题考查确定现象与随机现象的辨析，对应教材核心重难点。 核心概念：一定发生或不可能发生的事件统称为确定现象；可能发生、也可能不发生的事件称为随机现象。 判断关键：事件的结果是否唯一、可提前确定。 易错警示：把 “可能发生” 当成确定现象，忽略结果的不确定性。 思维拓展（★★★★）—— 可能性的条件控制 题目：一个袋子里有 3 个红球、2 个黄球，按要求填空。 ① 从中任意摸 1 个球，（ ）是红球； ② 再放入 5 个绿球，任意摸 1 个，（ ）是白球； ③ 如果想让摸出黄球成为确定现象，可以（ ）。 解题步骤： ① 袋子里既有红球也有黄球，摸出红球是可能发生的，填 “可能”。 ② 放入绿球后，袋子里没有白球，不可能摸出白球，填 “不可能”。 ③ 要让摸出黄球是确定现象，也就是一定摸出黄球，需要袋子里只有黄球，因此可以把袋子里的红球全部拿走，只留黄球。 验证：全是黄球的袋子，任意摸一个一定是黄球，属于确定现象。 【答案】① 可能；② 不可能；③ 把红球全部拿走，只留黄球（合理即可）。 【知识点睛】本题是确定现象的拓展奥数题型，考查事件可能性的条件控制。 核心结论：要让事件 “一定” 发生，就要让所有可能的结果都符合要求；要让事件 “不可能” 发生，就去掉所有符合条件的结果。 解题关键：根据 “一定、不可能、可能” 的要求，调整对应物体的数量。 易错警示：认为多放几个黄球就 “一定” 能摸到，忽略其他颜色球的存在。 考点二：可能性的大小 能力进阶（★★★）—— 可能性大小比较 题目：袋子里有 4 个红球、7 个蓝球、1 个黄球，任意摸一个球，摸到哪种颜色球的可能性最大？摸到哪种颜色的可能性最小？ 解题步骤： ① 可能性的大小与对应物体的数量直接相关：同一条件下，物体数量越多，摸到的可能性越大；数量越少，可能性越小。 ② 比较三种球的数量：，蓝球数量最多，黄球数量最少。 ③ 结论：摸到蓝球的可能性最大，摸到黄球的可能性最小。 验证：总球数共 12 个，摸到蓝球的可能性对应 7 份，红球对应 4 份，黄球对应 1 份，大小关系正确。 【答案】摸到蓝球的可能性最大，摸到黄球的可能性最小。 【知识点睛】本题考查可能性大小的基本判断，对应教材重难点。 核心规律：在总数中，占的数量越多，发生的可能性越大；占的数量越少，发生的可能性越小。 易错警示：认为每种颜色的可能性一样大，忽略数量差异的影响。 思维拓展（★★★★）—— 反向推理数量 题目：袋子里有 8 个红球和一些白球，要让摸到白球的可能性大于红球，白球至少要有多少个？ 解题步骤： ① 摸到白球的可能性大于红球，说明白球的数量必须比红球多。 ② 红球有 8 个，白球数量要大于 8，最少比 8 多 1 个。 ③ 白球至少的数量：（个） 验证：9 个白球时，白球数量 9＞红球数量 8，摸到白球的可能性更大，符合要求。 【答案】至少要有 9 个白球。 【知识点睛】本题是可能性大小的反向推理奥数题型，考查数量与可能性的对应关系。 解题关键：可能性大对应数量多，可能性相等对应数量相等；求 “至少” 就按最小的符合条件计算。 易错警示：认为 8 个白球就可以，忽略数量相等时可能性一样大，不满足 “大于” 的要求。 考点三：游戏公平性 能力进阶（★★★）—— 公平性判断 题目：小明和小刚玩转盘游戏，转盘被平均分成 4 份，分别标 1、2、3、4。规则是：指针指向大于 2 的数小明赢，指向小于 2 的数小刚赢。这个游戏公平吗？为什么？ 解题步骤： ① 判断游戏公平的标准：游戏双方获胜的可能性大小相等，游戏就公平；可能性不相等，游戏就不公平。 ② 分别数双方对应的结果数： 大于 2 的数有 3、4，共 2 种，小明赢的可能性对应 2 种； 小于 2 的数只有 1，共 1 种，小刚赢的可能性对应 1 种。 双方可能性不相等。 ③ 结论：这个游戏不公平，因为两人获胜的可能性大小不相等。 【答案】不公平；因为小明赢的可能性有 2 种，小刚只有 1 种，可能性不相等。 【知识点睛】本题考查游戏公平性的判断方法，对应教材重难点。 核心标准：公平的本质是机会均等，也就是双方获胜的可能性大小相等。 易错警示：认为游戏有输有赢就是公平，忽略可能性大小的差异。 思维拓展（★★★★）—— 公平规则设计 题目：上面的游戏不公平，请你修改规则，设计一个公平的游戏规则。 解题步骤： ① 要让游戏公平，就要让双方获胜对应的结果数量相等，可能性大小相等。 ② 方法一：按奇偶性划分。指针指向奇数（1、3）小明赢，指向偶数（2、4）小刚赢。双方各对应 2 种结果，可能性相等。 ③ 方法二：按大小划分。指针指向大于 2.5 的数（3、4）小明赢，指向小于 2.5 的数（1、2）小刚赢。双方各对应 2 种结果，游戏公平。 验证：两种规则下，双方都各有 2 种可能的结果，可能性大小相等，符合公平要求。 【答案】示例：指针指向奇数小明赢，指向偶数小刚赢（合理即可）。 【知识点睛】本题是公平游戏设计的奥数题型，考查公平性的灵活应用。 设计原则：保证双方对应的结果数量相等，双方获胜的可能性就相等。 易错警示：修改规则时只改数字，不保证双方结果数量对等。 考点四：统计推测与实际应用 能力进阶（★★★）—— 频率推测数量 题目：小明在袋子里摸球，每次摸一个，记录颜色后放回摇匀，一共摸了 20 次，其中摸到红球 16 次，摸到白球 4 次。根据这个结果推测，袋子里哪种颜色的球可能更多？ 解题步骤： ① 当试验次数足够多时，摸到某种球的次数越多，说明这种球的数量可能越多；摸到的次数越少，数量可能越少。 ② 比较次数：，摸到红球的次数远多于白球。 ③ 结论：袋子里红球可能更多。 验证：红球数量多，摸到的可能性大，试验中出现的次数就多，符合规律。 【答案】红球可能更多。 【知识点睛】本题考查用频率推测可能性，对应教材重难点。 核心规律：大量重复试验中，事件发生的频率能反映其可能性的大小；次数多对应可能性大，对应数量可能多。 易错警示：只凭少数几次试验就下绝对结论，忽略随机事件的偶然性。 思维拓展（★★★★）—— 最不利原则 题目：袋子里有红、黄、蓝三种颜色的球各若干个，至少摸出多少个球，才能保证一定有 2 个颜色相同的球？ 解题步骤： ① 这是 “保证类” 问题，要用最不利原则解题：先考虑最倒霉、最不符合要求的情况，在此基础上再加 1，就一定能满足要求。 ② 最不利的情况：每种颜色各摸出 1 个，一共摸出 3 个球，此时每种颜色都只有 1 个，还没有 2 个同色。 ③ 再摸 1 个球，不管是什么颜色，都会和其中一个颜色相同。 至少摸出的数量：（个） 验证：摸 4 个球，最多有 3 种不同颜色，必然至少有 2 个颜色相同，符合保证要求。 【答案】至少摸出 4 个球。 【知识点睛】本题是最不利原则的经典奥数题型，考查保证类问题的解题思路。 解题方法：最不利原则，先找出最不利的情况数，再加 1 就是保证满足条件的最少数量。 解题口诀：最不利，再加一，能保证，没问题。 易错警示：直接答 2 个，混淆 “最有利” 和 “保证” 的区别。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：可能性大小和摸的顺序有关 错误示例：第一个摸球，摸到红球的可能性更大。 正确分析：可能性大小只和物体的数量有关，和摸球的先后顺序无关，第一个和最后一个摸到红球的可能性一样大。 修正方法：看数量，比多少，定大小，和顺序无关。 易错点 2：公平就是结果一定一样 错误示例：游戏公平就是两人赢的次数一定一样多。 正确分析：游戏公平是指两人获胜的可能性相等，也就是机会均等；实际玩的时候，赢的次数可能不一样，只是长期来看机会均等。 修正方法：公平看可能性，不是看单次结果。 易错点 3：确定现象和随机现象混淆 错误示例：抛硬币正面朝上是确定现象。 正确分析：抛硬币可能正面也可能反面，结果不确定，属于随机现象。 修正方法：结果唯一、提前能确定的，才是确定现象。 易错点 4：保证类问题按最有利算 错误示例：保证 2 个同色，至少摸 2 个。 正确分析：2 个是最有利的情况，不能保证一定发生；要保证一定满足，必须按最不利的情况计算。 修正方法：保证类问题，先算最不利，再加 1。 易错点 5：少量试验下绝对结论 错误示例：摸 2 次都是红球，袋子里一定红球多。 正确分析：少量试验偶然性很大，只能说红球可能多，不能说 “一定”。 修正方法：次数多，才可靠，少量试验只做推测。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 1. 太阳从东方升起是（ ）现象。（填 “确定” 或 “随机”） 2. 袋子里有 5 个黑球、3 个白球，任意摸一个，摸到（ ）球的可能性大。 3. 抛一枚均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性（ ）。（填 “相等” 或 “不相等”） 4. 下列事件中，不可能发生的是（ ）。（填序号：① 冬天下雪 ② 月亮绕着地球转 ③ 从装有 5 个红球的袋子里摸出白球） 5. 转盘被平均分成 6 份，分别标 1~6，指针指向单数的可能性有（ ）种。 6. 摸球试验共 30 次，摸到绿球 22 次，摸到黄球 8 次，推测袋子里（ ）球可能更少。 7. 要让摸出红球是确定现象，袋子里要全部放（ ）球。 8. 两人玩掷骰子游戏，点数大于 3 甲赢，小于 3 乙赢，（ ）赢的可能性大。 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 9. 袋子里有 7 个红球，要让摸到黄球的可能性大于红球，至少要放入多少个黄球？ 10. 有 2、3、4、5 四张卡片，任意抽两张，和是奇数小明赢，和是偶数小刚赢。这个游戏公平吗？为什么？ 11. 袋子里有红、黄、蓝、绿四种颜色的球各若干，至少摸出多少个，才能保证一定有 3 个颜色相同的球？ 12. 一个正方体六个面写 1~6，抛一次，点数大于 4 的可能性有几种？小于 4 的呢？ 13. 盒子里有一些糖果，小明摸了 10 次，摸到 8 次水果糖，2 次奶糖。下一次摸到哪种糖的可能性大？ 14. 转盘被平均分成 8 份，请设计一个公平的游戏规则。 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】确定 解题步骤： ① 太阳一定从东方升起，结果是确定的，属于确定现象。 【知识点睛】考查确定现象的判断。核心：一定发生的是确定现象。易错警示：填随机。 2. 【答案】黑 解题步骤： ① 黑球数量 5＞白球数量 3，数量多的摸到的可能性大。 【知识点睛】考查可能性大小判断。核心：数量多可能性大。易错警示：填白。 3. 【答案】相等 解题步骤： ① 硬币正面和反面各 1 面，数量相等，所以朝上的可能性相等。 【知识点睛】考查等可能性。核心：数量相等可能性相等。易错警示：填不相等。 4. 【答案】③ 解题步骤： ① 袋子里全是红球，不可能摸出白球，属于不可能事件。 【知识点睛】考查不可能事件。核心：一定不发生的是不可能事件。易错警示：选①。 5. 【答案】3 解题步骤： ① 单数有 1、3、5，一共 3 个，对应 3 种可能。 【知识点睛】考查可能性的数量。核心：数符合条件的结果数。易错警示：填 2。 6. 【答案】黄 解题步骤： ① 摸到黄球的次数更少，推测袋子里黄球的数量可能更少。 【知识点睛】考查统计推测。核心：次数少对应数量可能少。易错警示：填绿。 7. 【答案】红 解题步骤： ① 袋子里全部放红球，摸出的就一定是红球，属于确定现象。 【知识点睛】考查确定现象的条件。核心：全是才一定。易错警示：填几个红球。 8. 【答案】甲 解题步骤： ① 大于 3 的点数有 4、5、6，共 3 种；小于 3 的点数有 1、2，共 2 种；甲对应的数量更多，赢的可能性大。 【知识点睛】考查可能性大小比较。核心：数量多可能性大。易错警示：填乙。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】8 个。 解题步骤： ① 摸到黄球的可能性大于红球，黄球数量必须大于红球的 7 个； ② 最少比 7 多 1 个，个。 【知识点睛】考查可能性反向推理。核心：可能性大对应数量多。易错警示：填 7 个。 10. 【答案】不公平。 解题步骤： ① 任意抽两张的和有：2+3=5（奇）、2+4=6（偶）、2+5=7（奇）、3+4=7（奇）、3+5=8（偶）、4+5=9（奇）； ② 和是奇数的有 4 种，和是偶数的有 2 种，可能性不相等，所以游戏不公平。 【知识点睛】考查游戏公平性判断。核心：可能性相等才公平。易错警示：认为公平。 11. 【答案】9 个。 解题步骤： ① 最不利原则：每种颜色先各摸 2 个，4 种颜色共摸个，此时每种颜色都只有 2 个； ② 再摸 1 个，一定有 3 个颜色相同，共个。 【知识点睛】考查最不利原则。核心：最不利情况加 1。易错警示：填 5 个。 12. 【答案】大于 4 的有 2 种；小于 4 的有 3 种。 解题步骤： ① 大于 4 的点数是 5、6，共 2 种； ② 小于 4 的点数是 1、2、3，共 3 种。 【知识点睛】考查可能性数量。核心：数符合条件的个数。易错警示：答反。 13. 【答案】水果糖。 解题步骤： ① 摸到水果糖的次数更多，说明水果糖可能更多，下一次摸到水果糖的可能性更大。 【知识点睛】考查频率与可能性。核心：次数多可能性大。易错警示：填奶糖。 14. 【答案】示例：指针指向红色区域甲赢，指向蓝色区域乙赢；将 8 份中的 4 份涂红色，4 份涂蓝色。 解题步骤： ① 公平游戏需要双方获胜的可能性相等，各占 4 份区域； ② 设计两种颜色各占一半，分别对应两人输赢即可。 【知识点睛】考查公平游戏设计。核心：双方可能性相等。易错警示：区域数量不对等。 1 学科网（北京）股份有限公司 $