专题3：小小设计师（综合实践）（思维拓展）北师大版数学五年级上册奥数培优讲义（新教材）

该小学数学讲义以“原理探究→图形判断→组合设计→实践应用”为主线构建密铺知识体系，通过表格梳理密铺原理、单一/组合图形密铺、设计应用等模块，明确核心内容、关键方法及易错提醒，清晰呈现知识脉络与重难点联系。 讲义亮点在于分层进阶练习设计，能力进阶题聚焦教材重难点如正多边形密铺判断，思维拓展题对接奥数如组合密铺角度推导，结合易错避坑指南，培养推理思想与应用意识，助力不同层次学生提升，支持教师精准教学与学生自主复习。

专题3：小小设计师（综合实践） 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 2 考点一：密铺的原理与判断 3 考点二：单一图形密铺 4 考点三：组合图形密铺 6 考点四：密铺设计与实际应用 7 第三部分 易错避坑指南 9 易错点 1：正多边形都能密铺 9 易错点 2：圆形可以密铺 9 易错点 3：组合密铺只看边长 9 易错点 4：只有正图形能密铺 9 易错点 5：铺砖计算单位混乱 9 第四部分 分层进阶专题精练 10 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 10 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 10 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 12 一、能力进阶篇解析 12 二、思维拓展篇解析 13 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应北师大版五年级上册综合实践《小小设计师》核心内容，以 “原理探究→图形判断→组合设计→实践应用” 为主线，系统覆盖密铺原理与角度判断、单一图形密铺、组合图形密铺、密铺设计与实际应用四大核心模块，渗透空间观念、推理思想、应用意识、创新思维等核心数学素养。 专题遵循教材实践路径：从生活中的密铺现象入手，探索图形密铺的原理，理解 “拼接点处内角和为 360°” 的核心条件；能判断常见图形能否单独密铺，掌握单一图形密铺的规律；探索两种及多种图形的组合密铺，验证角度组合；能运用密铺知识设计图案、解决实际铺砖问题；延伸正多边形密铺推导、组合角度计算、面积计数等奥数思维题型。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“综合与实践” 领域要求，与 2024 版最新北师大版教材进度完全同步，体会数学的美学价值与应用价值。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 密铺原理与角度判断 密铺的定义；拼接点角度和；正多边形内角计算 角度验证法、公式法 认为图形好看就能密铺；拼接点角度和算错 单一图形密铺 三角形、四边形密铺；正多边形密铺；不能密铺的图形 列举验证法、内角和法 认为只有正多边形能密铺；圆也能密铺 组合图形密铺 两种图形组合密铺；角度组合计算；经典组合模型 不定方程法、试算法 组合角度和不等于 360°；边长不匹配 密铺设计与应用 密铺图案设计；铺砖计数问题；方案优化 周期设计法、面积计算法 图案有重叠空隙；单位不统一导致计数错误 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 角度验证法 密铺判断 ①算图形内角；②求和拼 360°；③判断能否 算内角，凑三百六，能凑成，就可铺 公式推导法 正多边形密铺 ①列角度方程；②求整数解；③确定种类 正多边，能密铺，三四六，共三种 不定方程法 组合密铺 ①设未知数；②列角度方程；③找整数解 设个数，列方程，整数解，能组合 周期设计法 密铺图案设计 ①定基本单元；②周期排列；③验证角度 定单元，重复排，验角度，无缝隙 面积计算法 铺砖计数问题 ①算总面积；②算单块面积；③相除得块数 总面积，除以单，得块数，要统一 三、数学思维提升 1. 空间观念 核心要点：感知图形拼接的空间关系，理解密铺的平面覆盖特征，发展空间想象与几何直观能力。 专题示例：想象多个正六边形拼接的样子，想象组合密铺的拼接点，就是空间观念的体现。 2. 推理思想 核心要点：通过内角和计算、方程推导，推理图形能否密铺，培养逻辑推理与演绎论证能力。 专题示例：推导哪些正多边形能单独密铺，推导组合密铺的角度组合，就是推理思想的应用。 3. 应用意识 核心要点：运用密铺知识解决生活中的铺砖、设计、装饰等实际问题，体会数学的实用价值与美学价值。 专题示例：设计地砖图案、计算教室铺砖数量，就是应用意识的典型体现。 4. 创新思维 核心要点：结合不同图形的特点，创意设计密铺作品，培养创新意识与设计思维。 专题示例：用多种图形组合设计独特的密铺图案，就是创新思维的体现。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 本部分例题严格对应两级难度梯度：能力进阶（★★★）聚焦考点综合应用与规范书写，对接教材重难点；思维拓展（★★★★）对接年级奥数题型，侧重思维方法。每个考点均覆盖两级难度，实现学练精准匹配。 考点一：密铺的原理与判断 能力进阶（★★★）—— 正多边形密铺判断 题目：正三角形、正方形、正五边形、正六边形中，哪些能单独密铺？请说明理由。 解题步骤： ① 密铺的核心条件：图形拼接时，在同一个拼接点处，所有内角的和正好等于 360°，且图形之间没有空隙、不重叠。 ② 分别计算各正多边形的内角度数，验证 360° 是否是内角的整数倍： 正三角形内角：，，是整数，6 个正三角形可以拼满 360°，能密铺； 正方形内角：，，是整数，4 个正方形可以拼满 360°，能密铺； 正五边形内角：，，不是整数，不能密铺； 正六边形内角：，，是整数，3 个正六边形可以拼满 360°，能密铺。 ③ 结论：正三角形、正方形、正六边形能单独密铺，正五边形不能单独密铺。 【答案】正三角形、正方形、正六边形能单独密铺；理由见解析。 【知识点睛】本题考查密铺的核心原理与正多边形密铺判断，对应教材核心重难点。 核心原理：平面图形密铺的关键是拼接点处的内角和恰好为 360°。 判断方法：单一图形密铺，360° 除以内角度数，商是整数就能密铺。 易错警示：只看图形形状，不计算角度，误以为正五边形能密铺。 思维拓展（★★★★）—— 正多边形密铺推导 题目：所有的正多边形中，只有哪几种能单独密铺？请通过计算推导说明。 解题步骤： ① 设正边形的一个内角为，密铺时拼接点处有个内角，满足。 ② 化简方程：，变形得。 必须是正整数，因此必须是整数，即是 4 的正因数。 4 的正因数有 1、2、4，对应： ，（正三角形）； ，（正方形）； ，（正六边形）。 ③ 结论：所有正多边形中，只有正三角形、正方形、正六边形这三种能单独密铺。 验证：三种图形的内角都能整除 360°，符合密铺条件。 【答案】只有正三角形、正方形、正六边形三种；推导见解析。 【知识点睛】本题是正多边形密铺的经典奥数推导题，考查方程思想与归纳推理。 核心结论：正多边形密铺只有正三、正四、正六边形三种。 解题关键：通过角度和为 360° 列方程，根据整数解确定边数。 易错警示：误以为正八边形也能单独密铺，忽略角度不能整除 360°。 考点二：单一图形密铺 能力进阶（★★★）—— 常见图形密铺判断 题目：判断下列图形哪些能单独密铺：任意三角形、任意四边形、圆形、平行四边形、正五边形。 解题步骤： ① 依据密铺条件逐一判断： 任意三角形：内角和为 180°，把 6 个完全相同的三角形不同的内角拼在同一个拼接点，，能密铺； 任意四边形：内角和为 360°，把 4 个完全相同的四边形不同的内角拼在同一个拼接点，正好凑成 360°，能密铺； 圆形：拼接时会产生空隙，无法铺满平面，不能密铺； 平行四边形：属于特殊的四边形，内角和 360°，能密铺； 正五边形：内角 108°，3 个拼是 324°，4 个拼是 432°，都不等于 360°，不能密铺。 ② 结论：能单独密铺的是任意三角形、任意四边形、平行四边形。 ③ 验证：动手剪几个图形拼一拼，符合密铺特征。 【答案】能单独密铺：任意三角形、任意四边形、平行四边形；不能：圆形、正五边形。 【知识点睛】本题考查常见图形的密铺判断，对应教材重难点。 核心规律：所有三角形、所有四边形都能单独密铺；圆和正五边形不能单独密铺。 易错警示：认为只有正三角形、正方形能密铺，忽略任意三角形、四边形都可以。 思维拓展（★★★★）—— 梯形密铺验证 题目：任意梯形能不能单独密铺？为什么？请画图说明原理。 解题步骤： ① 梯形属于四边形，任意四边形的内角和都是 360°。 ② 取 4 个完全相同的梯形，将它们不同的内角（上底角、下底角）依次拼在同一个拼接点处，四个内角的和正好是 360°。 ③ 拼接时，梯形的腰互相重合，没有空隙、不重叠，可以向四周无限延伸铺满平面。 结论：任意梯形都能单独密铺。 验证：直角梯形、等腰梯形都可以按此方法密铺，符合结论。 【答案】任意梯形都能单独密铺；理由见解析。 【知识点睛】本题是四边形密铺的拓展奥数题型，考查密铺原理的迁移应用。 解题关键：只要是四边形，内角和都是 360°，都可以通过四个不同内角拼接凑满 360°，实现密铺。 易错警示：认为只有规则的四边形才能密铺，不规则四边形不行。 考点三：组合图形密铺 能力进阶（★★★）—— 两种图形组合密铺 题目：边长相等的正三角形和正方形能不能组合密铺？如果能，写出一个拼接点处的图形数量组合。 解题步骤： ① 正三角形内角 60°，正方形内角 90°。设一个拼接点处有个正方形、个正三角形，满足： 化简得：② 求正整数解（排除全是同一种图形的情况）： 当时，，，即 2 个正方形和 3 个正三角形。 ③ 验证：，符合密铺条件。 结论：能组合密铺，一个拼接点处有 2 个正方形和 3 个正三角形。 【答案】能组合密铺；2 个正方形 + 3 个正三角形。 【知识点睛】本题考查两种图形的组合密铺判断，对应教材拓展重难点。 解题方法：设两种图形的个数，根据角度和 360° 列方程，找正整数解。 易错警示：只看边长相等就认为能组合，忽略角度和的验证。 思维拓展（★★★★）—— 经典组合密铺验证 题目：边长相等的正八边形和正方形是经典的密铺组合，请验证这个组合能否密铺，并说明拼接方式。 解题步骤： ① 先计算正八边形的内角：，正方形内角为 90°。 ② 设拼接点处有个正八边形、个正方形，列方程： 化简：③ 求正整数解：当时，，。 验证：，正好凑满 360°。 结论：可以组合密铺，每个拼接点处有 2 个正八边形和 1 个正方形。 【答案】能组合密铺；每个拼接点 2 个正八边形 + 1 个正方形。 【知识点睛】本题是经典组合密铺的奥数题型，考查组合角度计算与验证。 应用场景：这种组合常用于地砖、墙砖的设计，兼具美观与密铺特性。 易错警示：正八边形内角算成 120°，导致角度和计算错误。 考点四：密铺设计与实际应用 能力进阶（★★★）—— 密铺图案设计 题目：用边长相等的正三角形和正六边形设计一个简单的密铺图案，写出设计思路。 解题步骤： ① 先验证组合可行性：正三角形内角 60°，正六边形内角 120°。 列方程：，化简。 组合解：，，即 2 个正六边形 + 2 个正三角形，角度和，符合条件。 ② 设计思路：以 “2 个正六边形相邻排列，中间嵌入 2 个正三角形” 为基本重复单元，向左右、上下周期性延伸排列。 ③ 验证：每个拼接点的角度和都是 360°，图形之间无空隙、不重叠，形成完整的密铺图案。 【答案】设计思路见解析。 【知识点睛】本题考查密铺图案的设计方法，对应综合实践核心目标。 设计原则：先确定角度组合，再设计基本单元，最后周期排列；保证边长相等、角度和为 360°。 易错警示：设计时只考虑美观，忽略角度和边长的匹配。 思维拓展（★★★★）—— 铺砖计数问题 题目：一间教室长 9 米、宽 6 米，用边长 3 分米的正方形地砖密铺地面，一共需要多少块地砖？ 解题步骤： ① 统一单位：9 米 = 90 分米，6 米 = 60 分米。 ② 分别计算长和宽方向能铺的块数： 长边：（块） 宽边：（块） ③ 总块数：（块） 验证：教室面积平方米，地砖面积平方米，块，结果一致。 【答案】一共需要 600 块地砖。 【知识点睛】本题是密铺实际应用的奥数题型，考查面积计算与乘除法应用。 解题方法：方法一：总面积 ÷ 单块面积 = 总块数；方法二：长的块数 × 宽的块数 = 总块数。 易错警示：单位不统一，直接用米除以分米，导致结果错误。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：正多边形都能密铺 错误示例：正八边形边数多，也能单独密铺。 正确分析：只有正三角形、正方形、正六边形三种正多边形能单独密铺，正八边形内角不能整除 360°，不能单独密铺。 修正方法：用 360° 除以内角，商是整数才能单独密铺。 易错点 2：圆形可以密铺 错误示例：圆形没有角，能铺满地面。 正确分析：圆形拼接时，圆与圆之间会产生空隙，无法实现无空隙密铺。 修正方法：密铺必须无空隙、不重叠，圆不满足条件。 易错点 3：组合密铺只看边长 错误示例：边长相等的两种图形就能组合密铺。 正确分析：边长相等是前提，还要满足拼接点角度和为 360°。 修正方法：先看边长匹配，再算角度和，两者都满足才能组合密铺。 易错点 4：只有正图形能密铺 错误示例：只有正三角形、正方形这种规则图形才能密铺。 正确分析：任意三角形、任意四边形都能密铺，和是否正图形无关。 修正方法：三角形、四边形都能密铺，看内角和能不能凑 360°。 易错点 5：铺砖计算单位混乱 错误示例：教室长 9 米，地砖边长 3 分米，块。 正确分析：先统一单位，9 米 = 90 分米，块。 修正方法：计算前先统一长度单位，再计算块数。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 1. 密铺的关键是拼接点处的内角和等于（ ）°。 2. 正方形的内角是（ ）°，（ ）个正方形可以拼满一个拼接点。 3. 正六边形的内角是（ ）°，（ ）个正六边形可以单独密铺。 4. 下列图形中，不能单独密铺的是（ ）。（填序号：①三角形 ②圆 ③平行四边形） 5. 任意四边形的内角和是（ ）°，（ ）个四边形可以拼满一个拼接点。 6. 正三角形内角是（ ）°，6 个正三角形拼在一点是（ ）°。 7. 长方形的长 12cm、宽 8cm，用边长 2cm 的正方形密铺，需要（ ）块。 8. 下列正多边形能单独密铺的是（ ）。（填序号：①正五边形 ②正六边形 ③正七边形） 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 9. 为什么任意三角形都能单独密铺？请说明理由。 10. 边长相等的正方形和正八边形组合密铺，一个拼接点处有几个正方形、几个正八边形？ 11. 一间卧室长 8 米、宽 4 米，用边长 40 厘米的正方形地砖铺地，一共需要多少块地砖？ 12. 正十二边形内角 150°，它和正三角形能不能组合密铺？请验证。 13. 用大小相同的梯形密铺，一个拼接点处最多能放几个梯形？ 14. 一种地砖是边长为 5 分米的正方形，铺 100 平方米的地面，至少需要多少块这样的地砖？ 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】360 解题步骤： ① 密铺拼接点处所有内角加起来正好是 360°，无空隙不重叠。 【知识点睛】考查密铺核心原理。核心：360°。易错警示：180°。 2. 【答案】90；4 解题步骤： ① 正方形内角 90°，个。 【知识点睛】考查正方形密铺。核心：4 个拼一点。易错警示：2 个。 3. 【答案】120；3 解题步骤： ① 正六边形内角 120°，个。 【知识点睛】考查正六边形密铺。核心：3 个拼一点。易错警示：6 个。 4. 【答案】② 解题步骤： ① 圆拼接有空隙，不能密铺。 【知识点睛】考查密铺图形判断。核心：圆不能密铺。易错警示：三角形不能。 5. 【答案】360；4 解题步骤： ① 四边形内角和 360°，4 个不同内角拼一点正好 360°。 【知识点睛】考查四边形密铺原理。核心：4 个拼一点。易错警示：2 个。 6. 【答案】60；360 解题步骤： ① 正三角形内角 60°，。 【知识点睛】考查正三角形密铺。核心：6 个拼 360°。易错警示：180°。 7. 【答案】24 解题步骤： ① 长：块，宽：块，总：块。 【知识点睛】考查密铺计数。核心：长宽块数相乘。易错警示：12 块。 8. 【答案】② 解题步骤： ① 正六边形内角 120°，能整除 360°，可以密铺。 【知识点睛】考查正多边形密铺判断。核心：正六边形能密铺。易错警示：正五边形。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】理由见解析。 解题步骤： ① 三角形内角和是 180°； ② 把 6 个完全相同的三角形，不同的内角拼在同一个拼接点，和为，无空隙不重叠，所以能密铺。 【知识点睛】考查三角形密铺原理。核心：6 个角凑 360°。易错警示：说 3 个就能拼。 10. 【答案】1 个正方形，2 个正八边形。 解题步骤： ① 正八边形内角 135°，正方形 90°； ② ，所以 1 个正方形、2 个正八边形。 【知识点睛】考查组合密铺。核心：角度和 360°。易错警示：2 个正方形。 11. 【答案】200 块。 解题步骤： ① 统一单位：8 米 = 800 厘米，4 米 = 400 厘米； ② 长：块，宽：块，总：块。 【知识点睛】考查铺砖计算。核心：统一单位再计算。易错警示：80 块。 12. 【答案】能组合密铺。 解题步骤： ① 正十二边形内角 150°，正三角形内角 60°； ② ，2 个正十二边形和 1 个正三角形可以拼满 360°，所以能组合密铺。 【知识点睛】考查组合密铺验证。核心：角度和为 360°。易错警示：不能组合。 13. 【答案】4 个。 解题步骤： ① 梯形是四边形，内角和 360°，4 个不同内角拼一点正好 360°，所以最多放 4 个。 【知识点睛】考查四边形密铺。核心：4 个凑 360°。易错警示：6 个。 14. 【答案】400 块。 解题步骤： ① 地砖面积：平方分米 = 0.25 平方米； ② 块数：块。 【知识点睛】考查面积计算与单位换算。核心：总面积 ÷ 单块面积。易错警示：2000 块。 1 学科网（北京）股份有限公司 $