专题8：图形的位置与运动（一）（思维拓展）北师大版数学五年级上册奥数培优讲义（新教材）

该小学数学讲义以“位置表示→平移变换→旋转变换→综合应用”为主线构建知识体系，通过全景梳理表格呈现四大模块核心内容、关键方法及易错提醒，用解题方法图表记忆法归纳操作步骤与技巧口诀，清晰展现知识脉络与重难点联系。 讲义亮点在于分层进阶练习设计，能力进阶篇聚焦教材重难点，思维拓展篇如“平移扫过面积”“旋转周期规律”题型，结合“定点垂线法”等技巧培养空间观念与推理思想。易错避坑指南精准指出常见错误，分层解析支持不同学生提升，助力教师实施精准化复习教学。

专题8：图形的位置与运动（一） 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：用数对确定位置 3 考点二：图形的平移 4 考点三：图形的旋转（90°） 6 考点四：图形变换综合应用 7 第三部分 易错避坑指南 9 易错点 1：数对行列顺序颠倒 9 易错点 2：平移格数数错 9 易错点 3：旋转方向与中心错误 9 易错点 4：旋转后边长改变 9 易错点 5：变换顺序混乱 9 第四部分 分层进阶专题精练 10 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 10 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 10 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 12 一、能力进阶篇解析 12 二、思维拓展篇解析 13 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应北师大版五年级上册第六单元《图形的位置与运动（一）》核心内容，以 “位置表示→平移变换→旋转变换→综合应用” 为主线，系统覆盖用数对确定位置与平移变化、图形平移作图与特征应用、图形旋转 90° 作图与性质、图形变换综合与拓展推理四大核心模块，渗透空间观念、对应思想、推理思想、应用意识等核心数学素养。 专题遵循教材认知路径：从用数对表示物体位置入手，掌握 “先列后行” 的数对规则，能根据数对找位置、根据位置写数对，掌握平移前后数对的变化规律；探索图形平移的特征，掌握平移作图的方法，能在方格纸上按要求平移图形；探索图形旋转的三要素，掌握绕定点顺时针 / 逆时针旋转 90° 的作图方法；能综合运用平移和旋转解决问题；延伸数对方阵推理、平移扫过面积、旋转坐标规律、旋转周期等奥数思维题型。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“图形与几何” 领域要求，与 2024 版最新北师大版教材进度完全同步，发展空间观念与几何直观能力。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 用数对确定位置 数对的意义；先列后行；平移后的数对变化 行列对应法、平移规律法 行列顺序颠倒；平移后数对加减搞反 图形的平移 平移三要素；平移作图；平移的特征 对应点法、距离法 平移格数数错；对应点找不准 图形的旋转 90° 旋转三要素；旋转 90° 作图；旋转的特征 定点定角法、垂线法 旋转中心找错；方向搞反；边长改变 变换综合与拓展 平移 + 旋转综合；旋转周期；扫过面积 组合法、周期法 变换顺序混乱；周期计算错误 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 行列对应法 数对表示位置 ①数列数；②数行数；③写数对（列，行） 先数列，后数行，括号里，逗号分 对应点平移法 平移作图 ①找关键点；②移对应点；③连点成形 找点移，格数准，连起来，形不变 定点垂线法 旋转 90° 作图 ①定旋转中心；②画对应边垂线；③截等长连点 定中心，转 90，边垂直，长相等 周期法 多次旋转问题 ①找周期；②算余数；③定位置 转一圈，三百六，四次九零，回原位 扫面法 平移旋转扫过面积 ①确定轨迹；②算规则图形；③求总面积 看轨迹，拼图形，算面积 三、数学思维提升 1. 空间观念 核心要点：感知图形在方格纸上的位置与变换，想象平移、旋转后的图形形状，发展空间想象与几何直观能力。 专题示例：想象三角形绕顶点旋转 90° 后的样子，想象平移后的图形位置，就是空间观念的体现。 2. 对应思想 核心要点：图形平移、旋转前后，对应点、对应边、对应角一一对应，大小形状不变，培养对应思维与变换意识。 专题示例：平移前后对应点的连线平行且相等，旋转前后对应边长度相等，就是对应思想的应用。 3. 推理思想 核心要点：根据数对规律、变换特征，推理未知的位置、图形，培养逻辑推理与演绎论证能力。 专题示例：根据平移前的数对推理平移后的数对，根据旋转规律推理多次旋转后的位置，就是推理思想的体现。 4. 应用意识 核心要点：运用位置与变换的知识解决生活中的方队、设计、测绘等实际问题，体会几何的实用价值，培养实践应用能力。 专题示例：设计板报图案、确定方队位置、计算平移占地面积，就是应用意识的典型体现。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 本部分例题严格对应两级难度梯度：能力进阶（★★★）聚焦考点综合应用与规范书写，对接教材重难点；思维拓展（★★★★）对接年级奥数题型，侧重思维方法。每个考点均覆盖两级难度，实现学练精准匹配。 考点一：用数对确定位置 能力进阶（★★★）—— 平移后的数对变化 题目：方格纸上，三角形 ABC 的三个顶点分别是 A (3,5)、B (1,2)、C (4,2)。将三角形向右平移 4 格，再向上平移 3 格，写出平移后三个顶点的数对。 解题步骤： ① 数对的规则：第一个数表示列，第二个数表示行。向右平移，列数增加，行数不变；向上平移，行数增加，列数不变。 ② 向右平移 4 格，列数都加 4： A 列：，B 列：，C 列：； 再向上平移 3 格，行数都加 3： A 行：，B 行：，C 行：。 ③ 平移后的数对：A，B，C。 验证：平移后对应点的连线都是向右 4 格、向上 3 格，图形形状大小不变，符合平移特征。 【答案】A，B，C。 【知识点睛】本题考查用数对表示位置与平移后的数对变化，对应教材核心重难点。 核心规则：数对（列，行），先列后行； 平移规律：左右平移，列变行不变，右加左减；上下平移，行变列不变，上加下减。 易错警示：把数对的第一个数当成行，行列顺序颠倒；平移时加减搞反。 思维拓展（★★★★）—— 方队中的数对问题 题目：同学们排成方队做操，小红的位置用数对表示是，她站在队伍正中间的位置。这个方队一共有多少人？ 解题步骤： ① 数对表示第 4 列、第 5 行。小红在正中间，说明她左边有 3 列、右边有 3 列，总列数：列； 她上面有 4 行、下面有 4 行，总行数：行。 ② 方队总人数 = 列数 × 行数： （人） ③ 验证：第 4 列是 7 列的中间列，第 5 行是 9 行的中间行，符合 “正中间” 的描述；共 7 列 9 行，总人数 63 人。 【答案】一共有 63 人。 【知识点睛】本题是数对方阵的经典奥数题型，考查数对的意义与排队问题的结合。 解题关键：根据中间位置的数对，推算总列数和总行数；总人数 = 列数 × 行数。 易错警示：直接用计算总人数，忽略中间位置两边数量相等的规律。 考点二：图形的平移 能力进阶（★★★）—— 平移作图 题目：画出平行四边形先向右平移 5 格，再向下平移 2 格后的图形，说一说作图步骤。 解题步骤： ① 找出平行四边形的 4 个顶点作为关键点，分别标记为 A、B、C、D。 ② 将每个关键点都向右平移 5 格，描出第一次平移的对应点；再将这几个对应点都向下平移 2 格，描出最终的对应点 A'、B'、C'、D'。 ③ 按照原来的顺序，依次连接 A'、B'、C'、D'，就得到平移后的平行四边形。 验证：平移前后对应边平行且相等，图形形状、大小都不变，符合平移的特征。 【答案】作图步骤见解析。 【知识点睛】本题考查图形平移的作图方法，对应教材重难点。 作图步骤：找点→移点→连点成形； 平移特征：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小和方向。 易错警示：平移时数格子数错，从图形的边开始数，应该从对应点开始数。 思维拓展（★★★★）—— 平移扫过的面积 题目：方格纸上每个小方格的边长是 1 厘米。一个长 4 厘米、宽 3 厘米的长方形，从初始位置向右平移 5 厘米，平移过程中扫过的面积是多少平方厘米？ 解题步骤： ① 平移扫过的区域包含两部分：平移路径形成的长方形，加上原长方形本身的面积。 ② 平移路径是一个长 5 厘米、宽 3 厘米的长方形，面积：（平方厘米） 原长方形面积：（平方厘米） ③ 扫过的总面积：（平方厘米） 验证：也可看作大长方形，长为厘米、宽 3 厘米，平方厘米，结果一致。 【答案】27 平方厘米。 【知识点睛】本题是平移扫过面积的奥数题型，考查平移的特征与面积计算的结合。 解题关键：平移扫过的面积 = 平移方向的距离 × 垂直方向的边长 + 原图形面积。 易错警示：只算平移路径的面积，忘记加上原图形的面积。 考点三：图形的旋转（90°） 能力进阶（★★★）—— 绕点顺时针旋转 90° 作图 题目：画出三角形 ABC 绕点 A 顺时针旋转 90° 后的图形，说一说作图步骤。 解题步骤： ① 确定旋转三要素：旋转中心是点 A，旋转方向是顺时针，旋转角度是 90°。 ② 画出 AB 边绕点 A 顺时针旋转 90° 后的对应边 AB'：过点 A 作 AB 的垂线，沿顺时针方向量取 AB' = AB，得到点 B'。 用同样的方法画出 AC 边绕点 A 顺时针旋转 90° 后的对应边 AC'，得到点 C'。 ③ 连接 B'C'，三角形 AB'C' 就是旋转后的图形。 验证：旋转前后对应边长度相等，对应边的夹角是 90°，图形形状大小不变，符合旋转特征。 【答案】作图步骤见解析。 【知识点睛】本题考查绕定点旋转 90° 的作图方法，对应教材重难点。 旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度。 作图口诀：定中心，画垂线，截等长，连成形。 易错警示：旋转中心找错；方向搞反，顺时针画成逆时针。 思维拓展（★★★★）—— 旋转后的数对规律 题目：方格纸上，点 A 的位置是，点 B 的位置是。将线段 AB 绕点 A 顺时针旋转 90°，得到点 B'，点 B' 的数对是多少？你能发现什么规律？ 解题步骤： ① 先确定线段 AB 的位置和长度：点 A是旋转中心，点 B 在点 A 的正上方，竖直距离为格，线段 AB 长 3 格。 ② 顺时针旋转 90° 后，竖直向上的线段会转到水平向右的方向，长度保持 3 格不变。 点 B' 与点 A 同行，列数增加 3 格： 列数：，行数：2 所以点 B' 的数对是。 ③ 规律总结：绕定点顺时针旋转 90°，对应线段与原线段互相垂直，长度相等；竖直方向的线段旋转后变为水平方向，水平方向的线段旋转后变为竖直方向。 验证：AB 和 AB' 长度都是 3 格，夹角是 90°，符合旋转的特征。 【答案】点 B' 的数对是；规律见解析。 【知识点睛】本题是旋转与数对结合的奥数题型，考查旋转的特征与数对表示的综合应用。 解题关键：先确定原线段的方向和长度，再根据旋转方向确定旋转后的方向，保持长度不变，最后写出数对。 易错警示：旋转方向搞反，顺时针变成逆时针，导致数对错误；旋转后长度改变。 考点四：图形变换综合应用 能力进阶（★★★）—— 平移 + 旋转综合作图 题目：画出梯形先绕点 O 逆时针旋转 90°，再向左平移 4 格后的图形。 解题步骤： ① 先进行旋转：以点 O 为旋转中心，找出梯形的各个顶点，分别画出它们绕点 O 逆时针旋转 90° 后的对应点，连接得到旋转后的梯形。 ② 再进行平移：将旋转后的梯形的每个顶点都向左平移 4 格，描出对应点。 ③ 按照顺序连接各个对应点，得到最终变换后的图形。 验证：旋转后形状大小不变，平移后位置改变，方向符合要求。 【答案】作图步骤见解析。 【知识点睛】本题考查平移与旋转的综合作图，对应教材重难点。 注意事项：变换有顺序，先旋转后平移和先平移后旋转，结果一般不同，要严格按题目要求的顺序操作。 易错警示：变换顺序颠倒，导致结果错误。 思维拓展（★★★★）—— 旋转周期规律 题目：一个正八边形绕它的中心，每次顺时针旋转 45°，至少旋转多少次后，图形和原来完全重合？如果每次旋转 90°，至少旋转多少次后重合？ 解题步骤： ① 图形旋转后和原来重合，就是旋转了 360°，也就是一周。 每次旋转 45°，次数 = 总角度 ÷ 每次角度： （次） ② 每次旋转 90°，次数：（次） ③ 验证：正八边形中心角是 45°，转 8 次刚好转一圈，和原图重合；每次转 90°，4 次刚好转完一周，符合规律。 【答案】每次转 45°，至少 8 次重合；每次转 90°，至少 4 次重合。 【知识点睛】本题是旋转周期的奥数题型，考查旋转的性质与周期问题的结合。 核心规律：任何图形绕中心旋转 360° 都会和原图重合；重合次数 = 360°÷ 每次旋转角度。 拓展：正 n 边形绕中心每次旋转，n 次后重合。 易错警示：认为转一次就重合，忽略旋转角度小于 360°。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：数对行列顺序颠倒 错误示例：第 3 列第 5 行，写成。 正确分析：数对先列后行，正确写法是。 修正方法：先数列，再数行，逗号分隔，列在前，行在后。 易错点 2：平移格数数错 错误示例：平移图形时，从图形的边开始数格子，导致格数多算或少算。 正确分析：平移格数是对应点之间的格子数，要找准对应点，从点开始数。 修正方法：找关键点，对应点数格子，起点不算，终点算。 易错点 3：旋转方向与中心错误 错误示例：绕点 A 顺时针旋转，画成绕点 B 旋转，或者画成逆时针。 正确分析：先确定旋转中心，再看清方向，顺时针是和钟表指针同向，逆时针相反。 修正方法：定中心，看方向，画垂线，截等长。 易错点 4：旋转后边长改变 错误示例：旋转 90° 后，边的长度画长或画短了。 正确分析：旋转不改变图形的形状和大小，对应边长度相等。 修正方法：用尺子量或者数格子，保证对应边长度相等。 易错点 5：变换顺序混乱 错误示例：题目要求先旋转后平移，做成先平移后旋转，结果错误。 正确分析：变换顺序不同，最终位置一般不同，严格按题目顺序操作。 修正方法：按步骤，先做先要求的，再做后要求的。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 1. 数对表示第（ ）列第（ ）行。 2. 点 A向右平移 3 格后的数对是（ ）。 3. 图形平移只改变图形的（ ），不改变形状和大小。 4. 旋转的三要素是（ ）、（ ）、（ ）。 5. 点 B向下平移 2 格后的数对是（ ）。 6. 正方形绕中心至少旋转（ ）° 后和原图重合。 7. 三角形绕一个顶点顺时针旋转 90° 后，对应边的夹角是（ ）°。 8. 向左平移 5 格，列数（ ）5，行数不变。（填 “增加” 或 “减少”） 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 9. 同学们排成方队做操，小红的位置用数对表示是，她站在队伍正中间的位置。这个方队一共有多少人？ 10. 每个小方格边长 1 厘米，长 4 厘米、宽 3 厘米的长方形向下平移 3 厘米，平移过程中扫过的面积是多少平方厘米？ 11. 点 M绕点O顺时针旋转 90°，得到的点的数对是多少？ 12. 一个正八边形绕它的中心，每次顺时针旋转 45°，至少旋转多少次后和原图重合？ 13. 一个长方形绕它的中心至少旋转多少次 90° 后能和原图重合？ 14. 小明在教室的位置是第 3 列第 4 行，用数对表示是多少？如果他前面的同学用数对表示是，那么他后面的同学的数对是多少？ 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】5；7 解题步骤： ① 数对先列后行，第一个数是列，第二个是行。 【知识点睛】考查数对的意义。核心：先列后行。易错警示：7 列 5 行。 2. 【答案】解题步骤： ① 向右平移，列数加 3，行数不变，。 【知识点睛】考查平移与数对。核心：右加左减，列变行不变。易错警示：。 3. 【答案】位置 解题步骤： ① 平移的特征：只改变位置，不改变形状、大小、方向。 【知识点睛】考查平移的特征。核心：位置变，形状不变。易错警示：方向。 4. 【答案】旋转中心；旋转方向；旋转角度 解题步骤： ① 旋转三要素：中心、方向、角度。 【知识点睛】考查旋转三要素。核心：三要素缺一不可。易错警示：只写两个。 5. 【答案】解题步骤： ① 向下平移，行数减 2，列数不变，。 【知识点睛】考查平移与数对。核心：下减上加，行变列不变。易错警示：。 6. 【答案】90 解题步骤： ① 正方形中心角为 90°，旋转 90° 即可与原图重合。 【知识点睛】考查旋转重合。核心：正方形 90° 重合。易错警示：180°。 7. 【答案】90 解题步骤： ① 旋转 90°，对应边的夹角就是旋转角 90°。 【知识点睛】考查旋转的角度。核心：旋转角是对应边的夹角。易错警示：180°。 8. 【答案】减少 解题步骤： ① 向左平移，列数变小，减少 5。 【知识点睛】考查平移规律。核心：左减右加。易错警示：增加。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】63 人。 解题步骤： ① 小红在正中间，第 4 列是中间列，总列数：列； 第 5 行是中间行，总行数：行； ② 总人数：人。 【知识点睛】考查数对方队问题。核心：中间位置两边数量相等。易错警示：直接用计算。 10. 【答案】24 平方厘米。 解题步骤： ① 向下平移，平移距离 3 厘米，平移路径是长 4 厘米、宽 3 厘米的长方形，路径面积：平方厘米； 原长方形面积：平方厘米； ② 扫过的总面积：平方厘米。 【知识点睛】考查平移扫过面积。核心：路径面积加原面积。易错警示：只算 12 平方厘米。 11. 【答案】。 解题步骤： ① 旋转中心0，点 M在中心正上方，竖直距离 3 格； ② 顺时针旋转 90°，变成水平向右，列数加 3，行数和中心相同：，行数 2，数对。 【知识点睛】考查旋转与数对。核心：竖直变水平，长度不变。易错警示：。 12. 【答案】8 次。 解题步骤： ① 一周 360°，每次转 45°，次数：次。 【知识点睛】考查旋转周期。核心：总角度 ÷ 每次角度 = 次数。易错警示：6 次。 13. 【答案】2 次。 解题步骤： ① 长方形绕中心旋转 180° 即可与原图重合； ② 每次旋转 90°，至少需要次。 【知识点睛】考查旋转重合。核心：长方形旋转 180° 与原图重合。易错警示：4 次。 14. 【答案】；。 解题步骤： ① 第 3 列第 4 行，数对； ② 后面的同学，列不变，行加 1，。 【知识点睛】考查数对的实际应用。核心：前后同行列，行加减。易错警示：。 1 学科网（北京）股份有限公司 $