专题4：小数乘法（思维拓展）北师大版数学五年级上册奥数培优讲义（新教材）

该小学数学“小数乘法”专题复习讲义以“算理转化→算法掌握→近似估算→简便拓展”为主线构建知识体系，通过表格梳理四大模块的核心内容、关键方法及易错提醒，清晰呈现重难点分布与内在联系，渗透转化思想、建模思想等核心素养。 讲义亮点在于分层进阶设计，能力进阶题聚焦教材重难点如小数乘整数笔算，思维拓展题如“错中求解”“估算解决实际问题”培养推理意识与应用意识。易错避坑指南结合错误示例与修正方法，分层精练及精准解析助力不同层次学生提升，为教师实施精准复习教学提供有力支持。

专题4：小数乘法 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：小数乘整数与算理 3 考点二：小数乘小数与积的小数位数 4 考点三：积的近似数与估算 5 考点四：小数乘法简便运算 7 第三部分 易错避坑指南 9 易错点 1：积的小数点位置点错 9 易错点 2：积的小数位数判断错 9 易错点 3：近似数末尾 0 去掉 9 易错点 4：分配律漏乘项 9 易错点 5：估算方向错误 9 第四部分 分层进阶专题精练 10 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 10 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 10 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 12 一、能力进阶篇解析 12 二、思维拓展篇解析 13 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应北师大版五年级上册第三单元《小数乘法》核心内容，以 “算理转化→算法掌握→近似估算→简便拓展” 为主线，系统覆盖小数乘整数与算理、小数乘小数与积的位数、积的近似数与估算、小数乘法简便运算四大核心模块，渗透转化思想、建模思想、应用意识、推理思想等核心数学素养。 专题遵循教材认知路径：从小数乘整数的情境入手，理解 “转化为整数乘法” 的算理，掌握小数点定位方法；拓展到小数乘小数，掌握积的小数位数与乘数的关系，理解积的小数点定位规律；学习积的近似数，掌握四舍五入法，能结合估算解决实际问题；将整数乘法运算律推广到小数，能运用交换律、结合律、分配律进行简便计算；延伸错中求解、积的最值、隐藏公因数等奥数思维题型。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“数与代数” 领域要求，与 2024 版最新北师大版教材进度完全同步，提升小数运算能力与问题解决能力。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 小数乘整数与算理 小数乘整数算理；笔算方法；积的小数点定位 转化法、对位法 积的小数点位置点错；忘记化简末尾 0 小数乘小数与积的位数 小数乘小数笔算；积的小数位数规律；位数不够补 0 位数对应法、补 0 法 积的小数位数多数或少数；位数不够忘记补 0 积的近似数与估算 四舍五入取近似值；估算判断；积的最值 四舍五入法、估算法 近似数末尾的 0 去掉；估算方向错误导致结论错 小数乘法简便运算 交换律结合律；分配律；提取公因数 凑整法、提取公因数法 分配律漏乘其中一项；隐藏公因数无法识别 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 转化法 小数乘法笔算 ①转整数乘法；②算整数积；③点小数点 小数乘，先整算，点小数，看位数 位数对应法 积的小数位数 ①数乘数小数位；②求和得积位数；③补 0 定位 乘数小数位，加起来，积位数，对得上 四舍五入法 积的近似数 ①算准确积；②看保留位后一位；③四舍五入 保留哪一位，看下一位，四舍五入对 凑整法 简便计算 ①找凑整组合；②拆分结合；③计算结果 见 25 找 4，见 125 找 8，凑整巧算 提取公因数法 分配律简算 ①找相同因数；②提取公因数；③乘剩余和 找相同，提出来，剩括号，合起来 三、数学思维提升 1. 转化思想 核心要点：将小数乘法转化为整数乘法计算，将新知转化为旧知，培养转化迁移与运算能力。 专题示例：计算小数乘法时，先按整数乘法算出积，再点小数点，就是转化思想的体现。 2. 建模思想 核心要点：建立小数乘法的笔算模型、简便计算模型，掌握固定的解题方法，培养建模意识与迁移应用能力。 专题示例：小数点定位的笔算模型、乘法分配律模型，就是建模思想的体现。 3. 应用意识 核心要点：运用小数乘法解决生活中的购物、测量、工程等实际问题，体会小数运算的实用价值，培养实践应用能力。 专题示例：计算购物总价、计算面积、计算路程，就是应用意识的典型体现。 4. 推理思想 核心要点：根据积的变化规律、小数位数规律，推理未知的积、乘数，培养逻辑推理与合情推断能力。 专题示例：根据积的小数位数反推乘数的小数位数，根据错算的积推理正确的积，就是推理思想的体现。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 本部分例题严格对应两级难度梯度：能力进阶（★★★）聚焦考点综合应用与规范书写，对接教材重难点；思维拓展（★★★★）对接年级奥数题型，侧重思维方法。每个考点均覆盖两级难度，实现学练精准匹配。 考点一：小数乘整数与算理 能力进阶（★★★）—— 小数乘整数笔算 题目：计算，并说一说计算时是怎样想的。 解题步骤： ① 先把小数乘法转化为整数乘法，把 0.85 扩大 100 倍变成 85，按整数乘法计算。 ② 乘数 0.85 扩大了 100 倍，另一个乘数 14 不变，积也扩大了 100 倍；要得到原来的积，就要把整数的积缩小到它的。 ，根据小数的性质，末尾的 0 可以去掉，结果是。 ③ 验证：，，，结果一致。 【答案】 【知识点睛】本题考查小数乘整数的算理与笔算，对应教材核心重难点。 核心算理：小数乘整数，先按整数乘法算出积，再看乘数中有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。 注意事项：积的小数部分末尾有 0 时，要根据小数的性质化简去掉末尾的 0。 易错警示：直接把小数点对齐计算，或者积的小数位数点错。 思维拓展（★★★★）—— 错中求解（看错小数点） 题目：小马虎计算一道小数乘法时，把其中一个乘数 2.6 的小数点看丢了，结果得到的积比正确的积多了 117。正确的积是多少？ 解题步骤： ① 把 2.6 的小数点看丢，变成 26，相当于这个乘数扩大到原来的 10 倍；另一个乘数不变，积也扩大到原来的 10 倍。 ② 积比原来多了倍，对应的数量是 117，所以原来正确的积就是 1 倍量。 正确的积：③ 验证：另一个乘数是，错误计算，，符合题意。 【答案】正确的积是 13。 【知识点睛】本题是小数乘法错中求解的经典奥数题型，考查积的变化规律与差倍推理。 解题规律：一个乘数不变，另一个乘数扩大到原来的倍，积也扩大到原来的倍；增加的量对应倍。 解题步骤：先算乘数扩大的倍数，再算积增加的倍数，用增加的积除以增加的倍数得到原来的积。 易错警示：直接用，错误理解多出来的倍数。 考点二：小数乘小数与积的小数位数 能力进阶（★★★）—— 小数乘小数笔算 题目：计算，并用乘法交换律验算。 解题步骤： ① 先按整数乘法计算：。 ② 看乘数的小数位数：2.35 是两位小数，1.2 是一位小数，一共有位小数；从积的右边起数出 3 位，点上小数点。 2820 从右数 3 位点小数点，是，化简末尾的 0，结果是。 ③ 验算：交换两个乘数位置，计算，同样方法得到，结果一致，计算正确。 【答案】 【知识点睛】本题考查小数乘小数的笔算与验算，对应教材重难点。 核心规律：两个乘数一共有几位小数，积就有几位小数。 笔算步骤：一算（整数乘法）、二数（乘数小数位数和）、三点（积的小数点）、四化（化简末尾 0）。 易错警示：积的小数位数只看一个乘数，或者位数不够忘记在前面补 0。 思维拓展（★★★★）—— 积的小数位数推理 题目：两个一位小数相乘，积的小数部分最多有几位？最少有几位？请举例说明。 解题步骤： ① 最多的情况：两个一位小数，小数部分相乘没有整十的情况，积的小数部分就是两位。 举例：，小数部分有两位，是最多的情况。 ② 最少的情况：两个一位小数，小数部分相乘正好凑成整数，积的小数部分末尾有 0，化简后小数位数减少。 举例：，小数部分只有一位；特殊情况如，积是整数，小数部分为 0 位。 ③ 结论：积的小数部分最多有两位，最少有 0 位（整数）。 【答案】最多两位，最少 0 位；举例见解析。 【知识点睛】本题是积的小数位数的奥数拓展题型，考查小数位数规律与末尾 0 的化简。 核心结论：积的小数位数最多等于两个乘数小数位数之和；如果积的末尾有 0，化简后小数位数会减少。 易错警示：认为两个一位小数相乘，积一定是两位小数，忽略末尾 0 化简的情况。 考点三：积的近似数与估算 能力进阶（★★★）—— 积的近似数 题目：计算，得数保留两位小数。 解题步骤： ① 先算出准确的积：。 ② 保留两位小数，看千分位上的数字，千分位是 5，根据四舍五入法，向百分位进 1。 百分位，所以。 ③ 验证：，，，结果接近，合理。 【答案】【知识点睛】本题考查积的近似数的求法，对应教材重难点。 核心方法：四舍五入法：保留到哪一位，就看这一位的后一位，后一位≥5 向前一位进 1，＜5 舍去。 注意事项：近似数末尾的 0 不能去掉，它表示精确度。 易错警示：保留两位小数看第二位，或者去掉近似数末尾的 0。 思维拓展（★★★★）—— 估算解决实际问题 题目：妈妈带 100 元去超市购物，买了 2 袋大米，每袋 30.6 元；还买了 0.8 千克肉，每千克 26.5 元。剩下的钱够买一盒 10 元的鸡蛋吗？够买一盒 20 元的吗？ 解题步骤： ① 第一问：判断够不够 10 元，用估大的方法。 2 袋大米：，2 袋元； 肉：千克千克，元； 总花费元，，所以够买 10 元的鸡蛋。 ② 第二问：判断够不够 20 元，用估小的方法。 2 袋大米：，2 袋元； 肉：，千克元； 总花费元，所以不够买 20 元的鸡蛋。 ③ 结论：够买 10 元的鸡蛋，不够买 20 元的鸡蛋。 【答案】够买 10 元的，不够买 20 元的。 【知识点睛】本题是小数估算的经典奥数题型，考查估算的实际应用与策略选择。 解题策略：判断 “够不够” 的问题，要根据问题选择估算方向：判断够，要估大算，估大都够实际就够；判断不够，要估小算，估小都不够实际就不够。 易错警示：估算方向选错，导致结论错误。 考点四：小数乘法简便运算 能力进阶（★★★）—— 乘法结合律与分配律 题目：计算，，能用简便方法的用简便方法。 解题步骤： ① 第一题：拆分凑整，把 3.2 拆成，用乘法结合律。 ② 第二题：提取公因数 4.7，99 个 4.7 加 1 个 4.7，一共 100 个。 ③ 验证：按顺序计算，结果一致。 【答案】； 【知识点睛】本题考查小数乘法的简便运算，对应教材重难点。 核心定律：整数乘法的交换律、结合律、分配律，对小数乘法同样适用。 解题技巧：见 25 找 4，见 125 找 8，拆分凑整；有相同因数时提取公因数，用乘法分配律。 易错警示：拆分 3.2 时拆成，误用分配律；分配律漏乘 1。 思维拓展（★★★★）—— 隐藏公因数提取 题目：计算，能用简便方法的用简便方法。 解题步骤： ① 观察数字特点，3.6 和 36 是 10 倍关系，可以根据积不变的规律，转化出相同的因数。 把转化为（一个乘数缩小 10 倍，另一个扩大 10 倍，积不变）。 ② 原式转化为： ③ 验证：按顺序计算，，，结果正确。 【答案】 【知识点睛】本题是隐藏公因数的经典奥数题型，考查积不变规律与乘法分配律的结合应用。 解题关键：根据倍数关系，利用 “一个乘数扩大几倍，另一个缩小相同倍数，积不变” 的规律，转化出相同的公因数，再提取计算。 易错警示：转化时倍数搞错，导致积变化。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：积的小数点位置点错 错误示例：计算，结果写成 100。 正确分析：先算，两位小数，从右数两位点小数点，是。 修正方法：一算二数三点，先算整数积，再数小数位，最后点小数点。 易错点 2：积的小数位数判断错 错误示例：两个一位小数相乘，积一定是两位小数。 正确分析：积的末尾有 0 时会化简，小数位数可能少于两位，甚至是整数。 修正方法：最多等于小数位数和，实际看末尾有没有 0。 易错点 3：近似数末尾 0 去掉 错误示例：积保留两位小数是 9.30，写成 9.3。 正确分析：9.30 表示精确到百分位，9.3 表示精确到十分位，精确度不同，末尾的 0 不能去掉。 修正方法：近似数末尾的 0，代表精确度，不能随便去掉。 易错点 4：分配律漏乘项 错误示例：。 正确分析：括号里的每个数都要乘括号外的数，。 修正方法：分配律，分别乘，不漏项。 易错点 5：估算方向错误 错误示例：判断钱够不够，估小计算，得出够的结论。 正确分析：判断够要估大，估大都够才够；判断不够要估小，估小都不够才不够。 修正方法：够估大，不够估小。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 1. 计算：（ ） 2. 计算：（ ） 3. 的积化简后是（ ）位小数。 4. 计算：（ ） 5. 保留一位小数是（ ）。 6. 计算：（ ） 7. 两个乘数的小数位数和是 3 位，积最多是（ ）位小数。 8. 计算：（ ） 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 9. 小马虎做小数乘法时，把一个乘数 1.8 的小数点看丢了，结果积比正确的多了 64.8。正确的积是多少？ 10. 两个两位小数相乘，积保留一位小数是 5.0，积最大是多少？最小是多少？ 11. 计算： 12. 一本故事书 18.8 元，老师带 200 元，买 11 本够吗？用估算说明。 13. 两个小数相乘，积是两位小数，其中一个乘数是一位小数，另一个乘数至少是（ ）位小数。 14. 计算： 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】5.4 解题步骤： ① ，两位小数，。 【知识点睛】考查小数乘整数。核心：先整算再点小数点。易错警示：54。 2. 【答案】1 解题步骤： ① ，三位小数，。 【知识点睛】考查小数乘小数。核心：积的末尾 0 化简。易错警示：0.1。 3. 【答案】一 解题步骤： ① ，化简后是 1.2，一位小数。 【知识点睛】考查积的小数位数。核心：化简后看位数。易错警示：两。 4. 【答案】52.52 解题步骤： ① 乘法分配律：。 【知识点睛】考查分配律简算。核心：拆数凑整。易错警示：52.1。 5. 【答案】9.0 解题步骤： ① ，保留一位小数看百分位 7，进 1，得 9.0。 【知识点睛】考查积的近似数。核心：四舍五入。易错警示：9。 6. 【答案】267.3 解题步骤： ① 。 【知识点睛】考查分配律凑整。核心：99=100-1。易错警示：2673。 7. 【答案】3 解题步骤： ① 积的小数位数最多等于乘数小数位数之和。 【知识点睛】考查积的位数规律。核心：最多等于和。易错警示：4。 8. 【答案】10 解题步骤： ① 拆分 3.2 为，。 【知识点睛】考查结合律简算。核心：拆分凑整。易错警示：100。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】7.2。 解题步骤： ① 乘数扩大 10 倍，积多 9 倍； ② 正确积：。 【知识点睛】考查错中求解。核心：差倍推理。易错警示：6.48。 10. 【答案】最大 5.049，最小 4.950。 解题步骤： ① 最大：四舍得到 5.0，原数最大 5.049； ② 最小：五入得到 5.0，原数最小 4.950。 【知识点睛】考查近似数最值。核心：四舍最大，五入最小。易错警示：最大 5.0，最小 4.9。 11. 【答案】72。 解题步骤： ① 转化公因数：； ② 提取公因数：。 【知识点睛】考查隐藏公因数。核心：积不变转化。易错警示：7.2。 12. 【答案】不够。 解题步骤： ① 判断“不够”要把单价估小：若估小后总价仍超过 200 元，实际总价一定更高，也就不够。 ② 18.8＞18.5，买 11 本的总价大于 18.5×11=203.5（元）。 ③ 203.5＞200，估小后仍然超过 200 元，所以带 200 元不够。 【知识点睛】考查估算的方向选择。核心：判断“不够”要估小，估小后仍超就一定不够；判断“够”才估大，估大后仍够才一定够。易错警示：用估大（19×11=209）来证明不够，估大超过并不能说明实际也超过，估算方向错误。 13. 【答案】一 解题步骤： ① 积两位小数，一个乘数一位小数，另一个至少一位小数，位。 【知识点睛】考查积的位数推理。核心：位数和对应。易错警示：两。 14. 【答案】24。 解题步骤： ① 转化：； ② 提取公因数：。 【知识点睛】考查隐藏公因数。核心：转化相同因数。易错警示：2.4。 1 学科网（北京）股份有限公司 $